PROPRIÉTÉS PHYSIQUES, MÉCANIQUES, ET ÉLECTRONIQUES DES MATÉRIAUX SOLIDES

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PROPRIÉTÉS PHYSIQUES, MÉCANIQUES, ET ÉLECTRONIQUES DES MATÉRIAUX SOLIDES

Roland FORTUNIER

Centre Micro-électronique de Provence Département Packaging et Supports Souples

Avenue des anémones 13541 - GARDANNE

équipe enseignante 2005-2006 :

Frédéric BAROU, Guillaume BATTAIA, Sébastien BOISSIERE, Stéphanie DECLAIR, Mourad LAKHSSASSI, Claire MAURICE,

Jacques MOUTTE, Amed RAIHANE, François VALDIVIESO, Sébastien VILLERT, Krzysztof WOLSKI

version 3.0 du 30 Novembre 2005

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Table des matières

Introduction . . . 11

PREMIÈRE PARTIE. L’ÉLECTRON . . . 13

Chapitre 1. Description physique . . . . 15

1.1. Description d’une onde . . . 15

1.1.1. Onde plane . . . 15

1.1.2. Paquet d’onde . . . 16

1.1.3. Vitesse de groupe . . . 17

1.1.4. Relation d’incertitude . . . 18

1.2. Description d’une particule . . . 20

1.2.1. Fonction d’onde . . . 20

1.2.2. Onde de de Broglie . . . 21

1.2.3. Principe de superposition . . . 22

Chapitre 2. Équations de mouvement . . . 25

2.1. Équation de Schrödinger . . . 25

2.1.1. Mise en place . . . 25

2.1.2. États stationnaires . . . 26

2.1.3. Cas limite de la mécanique classique . . . 27

2.2. Particule dans un puits de potentiel . . . 28

2.2.1. Description et résolution . . . 28

2.2.2. Exemples . . . 31

2.2.3. Particule dans une boîte . . . 32

2.3. Oscillateur harmonique . . . 35

2.3.1. Description et résolution . . . 35

2.3.2. Exemples . . . 39

Chapitre 3. Grandeurs physiques, mesures . . . . 41

3.1. Opérateurs ou Observables . . . 41

3.1.1. Définition . . . 41

3.1.2. Exemples . . . 44

5

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3.2. Moment cinétique . . . 46

3.2.1. Définition . . . 46

3.2.2. Valeurs propres et fonctions propres . . . 48

3.3. Première description des atomes . . . 51

3.3.1. Équation de Schrödinger . . . 51

3.3.2. Moment cinétique intrinsèque - spin . . . 53

3.3.3. Classification des éléments chimiques . . . 54

Chapitre 4. Études de cas . . . . 57

4.1. Le paquet d’onde gaussien . . . 57

4.2. Le rayonnement du corps noir . . . 58

4.3. Le modèle de Bohr . . . 59

4.4. Particule dans une boîte 1D infinie . . . 60

4.5. Le microscope à effet tunnel . . . 60

4.5.1. La marche de potentiel . . . 61

4.5.2. La barrière de potentiel . . . 61

4.5.3. Le microscope STM . . . 62

4.6. Spectroscopie de la molécule HCl . . . 62

4.6.1. Règles de sélection . . . 62

4.6.2. Populations des niveaux d’énergie . . . 63

4.7. Le laser . . . 64

4.7.1. Le laser à deux niveaux . . . 65

4.7.2. Le laser à trois niveaux . . . 66

4.7.3. Questions complémentaires . . . 66

DEUXIÈME PARTIE. LE SOLIDE CRISTALLIN . . . . 67

Chapitre 5. Réseau cristallin . . . . 69

5.1. Classification des structures . . . 70

5.1.1. Réseau de Bravais . . . 70

5.1.2. Motif, rangées, plans . . . 72

5.1.3. Allotropie, structures non cristallines . . . 75

5.2. Structures cristallines usuelles . . . 77

5.2.1. Chlorure de sodium et chlorure de césium . . . 77

5.2.2. Structure cubique à faces centrées (cfc) . . . 78

5.2.3. Structure cubique centrée (cc) . . . 79

5.2.4. Structure hexagonale compacte (hc) . . . 79

5.2.5. Structure diamant . . . 81

Chapitre 6. Interaction onde-réseau . . . 83

6.1. Modélisation de l’interaction . . . 84

6.1.1. Loi de Bragg . . . 84

6.1.2. Réseau réciproque . . . 85

6.1.3. Loi de Bragg généralisée . . . 86

6.2. Effets de structure . . . 90

6.2.1. Zones de Brillouin . . . 90

6.2.2. Facteur de structure . . . 93

(5)

Table des matières 7

Chapitre 7. Liaisons cristallines . . . . 95

7.1. Différents types de liaisons . . . 95

7.1.1. Liaison atomique ou de Van der Waals . . . 95

7.1.2. Liaison ionique ou hétéropolaire . . . 98

7.1.3. Liaison covalente ou homopolaire . . . 99

7.1.4. Liaison métallique . . . 101

7.1.5. Autres liaisons . . . 102

7.2. Phonons . . . 103

7.2.1. Vibration des réseaux monoatomiques . . . 103

7.2.2. Vibration de réseaux diatomiques . . . 105

7.2.3. Densité de modes . . . 106

7.2.4. Capacité calorifique d’un cristal . . . 109

7.2.4.1. Modèle d’Einstein . . . 110

7.2.4.2. Modèle de Debye . . . 111

Chapitre 8. Défauts dans les cristaux . . . . 113

8.1. Défauts ponctuels . . . 113

8.1.1. Définition . . . 113

8.1.2. Diffusion . . . 117

8.2. Dislocations . . . 118

8.2.1. Concept . . . 118

8.2.2. Définition . . . 120

9.1. Le carbone sous toutes ses formes . . . 123

9.1.1. Graphite et Diamant . . . 123

9.1.2. Le fullerène . . . 124

9.1.3. Les nanotubes . . . 125

9.2. Le réseau réciproque . . . 126

9.2.1. Rangées cristallines et plans réticulaires . . . 126

9.2.2. Microscopie électronique en transmission . . . 127

9.3. Le module d’Young . . . 128

9.3.1. Module et potentiel d’interaction . . . 128

9.3.2. rigidité d’une poutre . . . 128

9.4. Diffraction des rayons X . . . 129

9.4.1. Nombre et nature des phases . . . 130

9.4.2. Etude de la phase Pb . . . 130

9.4.3. Facteur de structure du silicium . . . 131

9.5. Limite d’élasticité des cristaux métalliques . . . 131

9.5.1. Glissement simple . . . 131

9.5.2. Glissement double . . . 132

TROISIÈME PARTIE. LES ÉLECTRONS DANS UN SOLIDE . . . . 135

Chapitre 10. Modèle de Drude . . . 137

10.1.Description du modèle . . . 137

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10.1.1.Le gaz d’électrons . . . 137

10.1.2.Les collisions . . . 139

10.2.Quelques propriétés physiques . . . 140

10.2.1.Conductivité électrique . . . 140

10.2.2.Conductivité thermique . . . 142

10.2.3.Interaction avec un rayonnement électromagnétique . . . 143

Chapitre 11. Modèle de Sommerfeld . . . . 147

11.1.1.Approximation des électrons libres . . . 147

11.1.2.Distribution de Fermi-Dirac . . . 150

11.2.1.Capacité calorifique des électrons . . . 152

11.2.2.Conductibilité électrique . . . 155

11.2.3.Loi de Wiedemann-Franz . . . 157

11.2.4.Surfaces libres . . . 158

Chapitre 12. Bandes d’énergie . . . . 161

12.1.1.Électron dans Potentiel périodique . . . 161

12.1.2.Apparition de bandes interdites . . . 165

12.1.3.Approximation de Krönig-Penney . . . 167

12.2.1.Surface de Fermi . . . 171

12.2.2.Classification des matériaux . . . 172

Chapitre 13. Cristaux semi-conducteurs . . . . 177

13.1.Représentation énergétique . . . 177

13.1.1.Densité d’états . . . 177

13.1.2.Occupation des niveaux . . . 181

13.2.Propriétés de conduction . . . 184

13.2.1.Semi-conducteur intrinsèque . . . 184

13.2.2.Semi-conducteur extrinsèque . . . 186

13.2.2.1.Semi-conducteurs de type n . . . 186

13.2.2.2.Semi-conducteurs de type p . . . 187

13.2.2.3.Position du niveau de Fermi . . . 188

14.1.L’effet thermo-électrique . . . 191

14.1.1.Le pouvoir thermo-électrique . . . 191

14.1.2.L’effet Seebeck . . . 193

14.2.Capteurs à effet Hall . . . 194

14.2.1.Caractérisation de semi-conducteurs . . . 194

14.2.2.Capteurs de position . . . 196

14.3.Conductivité électrique et température . . . 196

14.4.Jonction PN . . . 198

(7)

Table des matières 9

14.4.1.Modèle de la jonction abrupte à l’équilibre . . . 198

14.4.2.Polarisation de la jonction abrupte . . . 199

14.4.3.Le transistor bipolaire . . . 200

14.5.Plaquettes de lithium . . . 201

Annexes . . . . 203

A. Tableau des constantes utilisées . . . 203

Bibliographie . . . . 205

Index . . . . 207

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(9)

Introduction

La complexité du monde ne s’aborde pas uniquement en utilisant des outils, aussi sophistiqués soient-ils. Elle ne s’aborde pas non plus en construisant les couches successives d’un édifice scientifique unique. Elle doit s’aborder aujourd’hui avec une grande ouverture d’esprit, et une insatiable curiosité, qui mettront à profit vos capacités d’abstraction actuelles et futures. L’objectif de ce cours n’est donc pas de vous donner une liste de matériaux, avec leurs principales propriétés, mais plu- tôt de vous expliquer comment ils sont structurés, d’où viennent ces propriétés, et les principaux modèles qui servent à les représenter et à les prévoir.

La première partie est une brève introduction à un outil majeur de la physique moderne : la mécanique quantique. Nous nous contentons des bases physiques de cet outil, souvent rassemblées sous le nom de mécanique ondulatoire. Ces bases physiques illustrent bien l’ouverture d’esprit dont doit faire preuve un scientifique en général, et un ingénieur en particulier. En effet, pour les mettre en place, il a fallu se sortir du contexte habituel de description d’une particule par une position, une vitesse et une énergie, pour aboutir à une approche probabiliste dans laquelle la particule devient comparable à une onde électromagnétique.

Dans la seconde partie, nous décrivons les principaux solides qui nous entourent comme des ar- rangements périodiques d’atomes. Cette partie se situe donc volontairement à une échelle beaucoup plus macroscopique que la précédente. On y voit cependant vite que la cohésion des solides est directement fonction des énergies de liaison entre les atomes qui les constituent, et donc de leur structure électronique. On se rend alors compte que les électrons jouent un rôle fondamental dans les diffé- rentes propriétés des solides qui nous entourent, propriétés aussi bien mécaniques qu’électriques, optiques, thermiques, . . .

Dans la troisième partie, les principaux modèles de description des électrons dans un solide sont donnés, du plus rustique (gaz d’électrons libres) au plus sophistiqué (bandes d’énergie). Chaque modèle est utilisé pour décrire certaines propriétés des solides cristallins. Nous voyons que le modèle le plus sophistiqué n’est pas toujours nécessaire. Ceci illustre le fait que modéliser n’est rien d’autre que simplifier. Toutefois, nous voyons que le simple classement des matériaux comme métaux ou isolants nécessite un modèle sophistiqué. Cette partie se termine par une introduction à la physique des semi-conducteurs, qui est une parfaite illustration des propriétés vues auparavant.

Ce survol de la physique appliquée aux matériaux solides poursuit deux objectifs principaux. Il se veut d’une part une formation terminale destinée à ceux qui n’en entendront plus jamais parler, et

11

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d’autre part une formation ouverte destinée à ceux qui désirent poursuivre dans un domaine connexe tel que la micro-électronique, la science des matériaux, la mécanique, le génie des procédés, l’éner- gétique, . . . Pour cela, le contenu de ce document est illustré à la fin de chaque partie par une série d’exercices donnant soit un éclairage nouveau sur certains points du cours (rayonnement du corps noir, particule dans une boîte 1D, module d’Young, réseau réciproque, . . . ), soit des applications concrètes des notions abordées (microscopie à effet tunnel, LASER, jonction PN, . . . ).

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P

REMIÈRE PARTIE

L’ÉLECTRON

13

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(13)

Chapitre 1

Description physique

Comment doit-on décrire physiquement un électron ? Il nous vient naturellement à l’esprit qu’un électron est une particule de massem= 9,10953.10⁻³¹kget de charge−e=−1,60219.10⁻¹⁹C.

Toutefois, certaines expériences faites dans les années1920montrent que ces particules ont un ca- ractère ondulatoire. Par exemple, Davisson et Germer ont mis en évidence la diffraction des électrons par un réseau cristallin. La figure géométrique obtenue est alors identique à celle produite par des rayons X.

Dans ce chapitre, nous donnons les outils de base de description des électrons. Ces outils reposent en fait sur ceux servant à décrire les ondes. Nous abordons donc dans un premier temps la description d’une onde, avant d’écrire les postulats de description des électrons dans un cadre quantique.

1.1. Description d’une onde 1.1.1. Onde plane

L’onde plane est la schématisation la plus simple d’une onde. La description d’une onde plane se fait sous la forme de la fonction suivante :

ψ(−→r , t) =aeⁱ⁽

−

→k .→−r−ωt) (1.1)

Dans cette expression, des quantités importantes sont introduites : –−→

k est le vecteur d’onde (enm⁻¹), –−→r est le vecteur position (enm), –ωest la pulsation (ens⁻¹ouHertz), –test le temps (ens),

–aest l’amplitude d’onde (siψ^∗désigne le nombre complexe conjugué deψ, alorsa²=ψψ^∗).

15

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On constate sur l’équation 1.1 que, sitest modifié ent+ ∆tet−→r en−→r + ∆−→r, alors la fonction ψne sera pas modifiée si∆−→r = (ω/k−→

kk)∆t−→n, où−→n est le vecteur unitaire de la direction−→ k, c’est-à-dire−→n =−→

k /k−→

kk. On en déduit que l’onde plane décrite par la fonction 1.1 se propage à la vitesseω/k−→

kkdans la direction du vecteur d’onde−→

k. Dans le vide, les ondes se propagent à la vitesse de la lumièrec. On a doncω=k−→

kkc.

Les ondes sont souvent classées par longueur d’ondeλou par fréquenceν. La longueur d’onde correspond à la périodicité de la fonction 1.1 dans sa direction de propagation, tandis que sa fré- quence est l’inverse de sa période, c’est-à-dire de sa périodicité en temps. On constate facilement sur l’équation 1.1 queλ= 2π/k−→

kketν=ω/2π.

1.1.2. Paquet d’onde

Les ondes planes, à vecteur d’onde fixé, ne sont qu’une vue de l’esprit, et ne sont pas réali- sables en pratique. En effet, elles ne sont pas localisées puisque leur amplitudeaest constante (elles occupent tout l’espace), de sorte que l’énergie nécessaire à leur mise en place est infinie.

En fait, une onde réelle peut être considérée comme une superposition continue d’ondes planes, chacune à vecteur d’onde fixé. Cette superposition, appelée paquet d’onde, peut être décrite par une transformée de Fourier appliquée à une distributionϕ(−→

k , t)de vecteurs d’onde : ψ(−→r , t) = 1

(2π)^3/2 Z ∞

−∞

ϕ(−→

k , t)eⁱ⁽^→⁻^{k .}⁻^→^r^−ωt)d−→

k (1.2)

En utilisant la transformée de Fourier inverse, on peut maintenant écrire la distributionϕ(−→ k , t) du vecteur d’onde en fonction de la distributionψ(−→r , t)du vecteur position :

ϕ(−→

k , t) = 1 (2π)^3/2

Z ∞

−∞

ψ(−→r , t)e⁻ⁱ⁽

−

→k .−→r−ωt)d−→r (1.3)

Dans les équations 1.2 et 1.3, le coefficient1/(2π)^3/2est introduit pour des questions de normalisation, et les quantitésd−→

k etd−→r s’écrivent dans un repère cartésien(0, x, y, z): d−→

k =dkxdkydkz

d−→r =dxdydz

Un paquet d’onde est donc caractérisé par une distributionϕ(−→

k , t), ou de façon équivalente par une distributionψ(−→r , t)puisque les équations 1.2 et 1.3 permettent de passer indifféremment de l’une à l’autre.

Il est important de constater maintenant que, si ψ1 et ψ2 sont deux distributions de position, avec comme transformées de Fourier associéesϕ1etϕ2respectivement, alors cette transformation

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Description physique 17

conserve le produit scalaire suivant : (ψ1, ψ2) =

Z ∞

−∞

ψ^∗₁(−→r , t)ψ2(−→r , t)d−→r

= 1

(2π)^3/2 Z ∞

−∞

ψ^∗₁(−→r , t) Z ∞

−∞

ϕ2(−→ k , t)eⁱ⁽

−

→k .−→r−ωt)d−→ k

d−→r

= 1

(2π)^3/2 Z ∞

−∞

ϕ2(−→ k , t)

Z ∞

−∞

h

ψ1(−→r , t)e⁻ⁱ⁽

−

→k .−→r−ωt)i∗

d−→r

d−→ k

= Z ∞

−∞

ϕ2(−→

k , t)ϕ^∗₁(−→ k , t)d−→

k

= (ϕ1, ϕ2)

Cette relation est appelée relation de Parseval-Plancherel. Elle stipule que la transformation de Fourier est isométrique, c’est-à-dire conserve la métrique associée à ce produit scalaire. En particulier, la norme associée à cette métrique est conservée. On a donc pour deux distributionsψetϕ transformées l’une de l’autre :

A= Z ∞

−∞

|ψ|²d−→r = Z ∞

−∞

|ϕ|²d−→ k

1.1.3. Vitesse de groupe

Figure 1.1. distributions d’amplitude d’un paquet d’onde

Nous verrons par la suite que les distributions d’amplitudes en position|ψ|²et en vecteur d’onde

|ϕ|²jouent un rôle important. La figure 1.1 donne une évolution typique de ces distributions, centrées sur une position−→r0et sur un vecteur d’onde−→

k0respectivement. De telles distributions constituent le paquet d’onde. Il est maintenant intéressant de voir comment évolue le paquet d’onde au cours du temps. Pour cela, on effectue un développement au premier ordre de la pulsationωautour de−→

k0, ce qui donne :

ω(−→

k) =ω(−→ k0) + ∂ω

∂−→ k

⁻^→_k₌⁻_k^→

0

.(−→ k −−→

k0) =ω0+−→v .(−→ k −−→

k0)

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En incorporant maintenant ce développement dans l’expression 1.2, on peut écrire la fonction d’ondeψ(−→r , t)sous la forme d’une amplitudea(−→r , t)et d’une onde porteuse de vecteur d’onde−→ k₀ et de pulsationω0:

ψ(−→r , t) =a(−→r , t)eⁱ⁽

−→ k0.−→r−ω0t)

a(−→r , t) = 1 (2π)^3/2

Z ∞

−∞

ϕ(−→ k , t)eⁱ⁽

−

→k−−→

k0).(−→r−−→v t)d−→ k

La distribution d’amplitude en position du paquet d’onde,|ψ|², est donc donnée par le carré du module de l’amplitude,|a|². Or, on constate que cette amplitude vérifie la relation :

a(−→r , t) =a(−→r − −→v t,0)

La distribution d’amplitude du paquet d’onde se déplace donc à la vitesse−→v. Cette vitesse est appelée vitesse de groupe du paquet d’onde (voir figure 1.2).

Figure 1.2. vitesse de groupe : évolution de la distribution d’amplitude en position d’un paquet d’onde

1.1.4. Relation d’incertitude

Pour simplifier, nous nous plaçons dans un cas monodimensionnel. Nous notons ensuiteretkles valeurs de position et de vecteur d’onde dans cette direction, et nous considérons un paquet d’onde dont les distributions d’amplitude|ψ|²et|ϕ|²sont centrées sur des valeurs moyennesr₀etk₀. Ces valeurs, ainsi que l’écart quadratique de ces distributions, sont alors données sous la forme suivante :

k0=< k >=

R∞

−∞k|ϕ|²dk R∞

−∞|ϕ|²dk = 1 A

Z ∞

−∞

k|ϕ|²dk r0=< r >=

R∞

−∞r|ψ|²dr R∞

−∞|ψ|²dr = 1 A

Z ∞

−∞

r|ψ|²dr

(17)

(∆k)²= 1 A

Z ∞

−∞

(k−k0)²|ϕ|²dk=< k²>−< k >² (∆r)²= 1

A Z ∞

−∞

(r−r0)²|ψ|²dr=< r²>−< r >²

Nous considérons ensuite l’intégrale suivante, oùλest un scalaire réel quelconque etf(k) = e^ir⁰^kϕ(k):

I= Z ∞

−∞

(k−k0)f(k) +λdf dk

2

dk

Cette intégrale est positive ou nulle quelle que soit la valeur deλ. D’autre part, elle peut s’écrire de la façon suivante :

I= Z ∞

−∞

(k−k₀)²|f|²dk+λ Z ∞

−∞

(k−k₀)

f^∗df dk+df^∗

dkf

dk+λ² Z ∞

−∞

df dk

2

dk

Il est important maintenant de remarquer que :

– l’amplitude def est identique à celle deϕ:|f|²=|ϕ|², – la transformée de Fourier defest la fonctiong(r) =ψ(r+r0),

– la transformée de Fourier dedf /dkest la fonction−irg(r), soit la fonction−irψ(r+r0).

Partant de ces remarques, on constate que le premier terme de l’intégrale I est proportionnel au carré de l’écart quadratique en vecteur d’onde,(∆k)². Ensuite, en utilisant le fait que le carré du module de la fonctionf, intégrable, doit être nul à l’infini, le second terme peut s’intégrer par parties sous la forme :

Z ∞

−∞

(k−k0)

f^∗df dk+df^∗

dkf

dk = Z ∞

−∞

(k−k0)d|f|² dk dk

=

(k−k0)|f|²^∞

−∞− Z ∞

−∞

|f|²dk

= 0−A

Enfin, le dernier terme peut être transformé en utilisant la transformée de Fourier dedf /dket celle defsous la forme :

Z ∞

−∞

df dk

2

dk= Z ∞

−∞

r²|ψ(r+r0)|²dr= Z ∞

−∞

(r−r0)²|ψ|²dr=A(∆r)²

On en déduit finalement que l’intégrale I, positive ou nulle quel que soitλ, peut s’écrireI = A((∆k)²−λ+λ²(∆r)²). Le discriminant de cette forme quadratique enλdoit donc être négatif ou nul, soit1 −4(∆k)²(∆r)² ≤ 0. On obtient ainsi une inégalité fondamentale liant les écarts quadratiques en position et en vecteur d’onde :

∆k∆r≥ 1

2 (1.4)

(18)

Cette relation est appelée relation d’incertitude. Il convient de bien noter ici qu’elle se déduit directement des propriétés de la transformation de Fourier. Cette relation signifie que, si une onde est fortement localisée (∆rfaible), alors elle sera forcément polychromatique (∆kgrand). Inverse- ment, une onde monochromatique (peu de dispersion sur le vecteur d’onde) sera forcément très peu localisée (grande dispersion sur la position). La figure 1.3 donne un aperçu de la grande diversité des ondes que nous côtoyons quotidiennement (lumière visible, ondes radio, ...).

Figure 1.3. exemples d’ondes

1.2. Description d’une particule 1.2.1. Fonction d’onde

Nous posons le principe selon lequel la description d’une particule à un instanttse fait au moyen d’une fonction d’onde complexe ψ(−→r , t)dont l’interprétation physique est que la probabilité de trouver la particule à l’instanttdans un volumed−→r entourant le point−→r est :

dP =|ψ(−→r , t)|²d−→r (1.5)

Cette fonction d’onde doit donc être normalisée, puisque sa distribution d’amplitude doit corres- pondre à une densité de probabilités. La probabilité de trouver la particule dans tout l’espace doit être égale à1, soit :

Z ∞

−∞

|ψ(−→r , t)|²d−→r = 1

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Cette description probabiliste a le sens suivant. Supposons que nous préparions indépendamment un nombre très grand,N, de particules dans le même état, c’est-à-dire décrites par strictement la même fonction d’onde. Lors de la mesure de la position de ces particules, on obtient des valeurs−→r_n, n= 1, . . . , N, qui ne seront pas toutes identiques (même à la précision de mesure près), mais qui seront distribuées suivant la loi de probabilité 1.5. La valeur moyenne de ces résultats est la valeur moyenne de la position de la particule. Elle est notée< −→r >et a comme composantes < x >,

< y >et< z >. Par exemple la valeur moyenne de la position de la particule dans la directionx est :

< x >=

Z ∞

−∞

x|ψ(−→r , t)|²dx

La dispersion des résultats de mesure sera caractérisée par un écart-type, que l’on appellera écart quadratique moyen sur la position de la particule. On a l’habitude de considérer séparément les écarts selon les trois coordonnées de l’espace,∆x,∆yet∆z. On aura par exemple pour la direction x:

∆x= Z ∞

−∞

(x−< x >)²|ψ(−→r , t)|²dx=< x²>−< x >²

Plus les écarts quadratiques moyens seront faibles (par rapport aux grandeurs caractéristiques du problème, comme par exemple la précision de l’appareil de mesure), plus la particule sera bien localisée.

1.2.2. Onde de de Broglie

D’un point de vue macroscopique, une particule de massempeut être caractérisée par une quan- tité de mouvement−→p et une énergieE = p²/2m= −→p .−→p /2m. Nous posons ici le postulat de de Broglie, selon lequel à cette particule on peut associée une onde plane caractérisée par :

– un vecteur d’onde−→

k tel que−→p = ¯h−→ k, – une pulsationωtelle queE= ¯hω.

La constante de Planck ¯h (ou h) ainsi introduite est une valeur fondamentale qui donne la frontière entre une description quantique et une description macroscopique de la particule. Cette constante vaut :

h= 6,6262.10⁻³⁴J s, ou¯h= h

2π = 1,05459.10⁻³⁴J s

La constante de Planck est homogène à une énergie fois un temps, c’est-à-dire en mécanique à une action. C’est pour cela qu’elle est parfois appelée quantum d’action. La fonction d’onde associée à une onde de de Broglie, c’est-à-dire à une particule libre d’impulsion−→p et d’énergieE, est donc donnée sous la forme :

ψ(−→r , t) =ae^h^¯ⁱ⁽⁻^→^{p .}⁻^→^r^−Et)avecE=

−

→p .−→p 2m

(20)

On constate que cette expression correspond à une onde plane, et n’a donc pas de réalité physique. En effet, si l’impulsion de la particule est fixée, alors cette particule ne peut être localisée dans l’espace (voir paragraphe précédent). En fait, l’impulsion de la particule, ou d’un ensemble de particules, ne peut valoir−→p qu’à une certaine approximation près. Il faut donc introduire un nouveau principe pour pouvoir décrire physiquement une particule en tant qu’objet quantique.

1.2.3. Principe de superposition

Nous posons le principe de superposition des fonctions d’onde, selon lequel toute superposition linéaire de fonction d’onde est une fonction d’onde possible. Il en résulte que la description physique d’une particule sera réalisée par une expression de fonction d’ondeψ(−→r , t)analogue à celle utilisée pour décrire un paquet d’onde (équation 1.2) :

ψ(−→r , t) = 1 h^3/2

Z ∞

−∞

ϕ(−→p , t)e^h^¯ⁱ⁽⁻^→^{p .}⁻^→^r^−Et)d−→p (1.6)

Cette fonction décrit une distribution en position de la particule. Comme pour les ondes, on associe à cette distribution en position une distribution en impulsion par la transformée de Fourier (équation 1.3) :

ϕ(−→p , t) = 1 h^3/2

Z ∞

−∞

ψ(−→r , t)e⁻^¯^hⁱ⁽⁻^→^{p .}⁻^→^r^−Et)d−→r (1.7)

La constante de Planck a été introduite comme facteur multiplicatif à ces équations par soucis de normalisation. Il est maintenant possible de reprendre les propriétés de la transformée de Fourier, et de les appliquer au cas des particules quantiques.

L’isométrie de la transformée de Fourier (conservation de la métrique) nous conduit à dire que, si nous définissons une distribution d’amplitude de position|ψ|² correspondant à une densité de probabilité, c’est-à-dire normalisée par1, alors la distribution d’amplitude d’impulsion|ϕ|²sera elle aussi normalisée par1, et correspondra à une distribution de probabilité.

La figure 1.4 donne une évolution typique des distributions d’amplitude en position et en impulsion d’une particule. Ces deux distributions sont des densités de probabilité, de sorte que l’on a :

Z ∞

−∞

|ψ|²d−→r = Z ∞

−∞

|ϕ|²d−→p = 1

La relation d’incertitude due à la transformée de Fourier conduit ici à affirmer que, plus la particule sera localisée, c’est-à-dire aura une distribution d’amplitude de position concentrée au voisinage de sa moyenne−→r0, plus son impulsion sera étalée autour de sa valeur moyenne−→p0. Inversement, une particule avec une impulsion connue assez précisément sera forcément mal localisée.

En reprenant l’équation 1.4, et en l’adaptant simplement en remplaçant le facteur multiplicatif 2π(équations 1.2 et 1.3) parh= 2π¯h(équations 1.6 et 1.7), on peut écrire la relation suivante dans

(21)

Figure 1.4. distribution d’amplitude en position et en impulsion d’une particule

chaque direction de l’espace, en notantrla position etpl’impulsion :

∆p∆r≥ ¯h

2 (1.8)

Cette inégalité est connue sous la nom de relation d’incertitude de Heisenberg. Elle est valable quelle que soit la fonction d’onde, et donc la particule considérée. En particulier, cette inégalité n’a rien à voir avec les instruments de mesure utilisés, ni avec leur précision. Elle donne la limite avec laquelle une particule peut être localisée à la fois en impulsion et en position.

En fait, dans une description classique de particule, cette relation n’a souvent pas lieu d’être utilisée car la limite est plutôt donnée par la précision des instruments de mesure. En effet, la valeur de la constante¯hest suffisamment faible pour que les ordres de grandeur mis en jeu soient dans ce cas beaucoup plus grands. Lors d’observations macroscopiques, on peut mesurer la position et l’impulsion d’une particule de façon extrêmement précise, tout en satisfaisant la relation 1.8.

En pratique, on utilise plutôt l’inégalité 1.8 sous la forme d’un ordre de grandeur. Dans chaque directionx,y etz, le produit des écarts quadratiques moyens en position et en impulsion est de l’ordre de grandeur de la constante¯h:

∆x∆p_x∼¯h

∆y∆p_y∼¯h

∆z∆p_z∼¯h

Enfin, si on reprend la définition de la vitesse de groupe d’un paquet d’onde, et qu’on l’adapte à une particule de massemsuffisamment bien localisée autour de−→r₀ et avec une impulsion bien centrée sur−→p₀, alors la vitesse de groupe du paquet d’onde correspondant fournit bien l’expression classique de la vitesse d’une particule :

−

→v = ∂E

∂−→p −→p=−→p₀

= ∂⁻^→^{p .}_2m⁻^→^p

∂−→p →−p=−p→0

=

−

→p₀ m

(22)

(23)

Chapitre 2

Équations de mouvement

Nous savons maintenant que la description d’objets quantiques tels que les électrons, objets que nous qualifions en général de particules, se fait sous la forme d’un paquet d’onde. Ce paquet d’onde est défini à l’aide d’une fonction d’ondeψ(−→r , t), et de sa transformée de Fourierϕ(−→p , t), fournis- sant une distribution de positions−→r,|ψ|², et d’impulsions−→p,|ϕ|², correspondant chacune à une densité de probabilité. Maintenant, nous pouvons étudier le mouvement de telles particules, lorsqu’elles sont soumises ou non à des forces extérieures.

Nous allons commencer par mettre en place les fameuses équations de Schrödinger pour décrire le mouvement d’une particule dans un cadre quantique, puis montrer que ces équations se ramènent à la limite à la mécanique classique. Ensuite, nous allons appliquer ces équations à quelques cas particuliers, et mettre en évidence quelques propriétés fondamentales de l’électron grâce à ce forma- lisme.

2.1. Équation de Schrödinger 2.1.1. Mise en place

Pour mettre en place l’équation de Schrödinger, nous allons partir d’une onde plane de de Broglie de la forme suivante :

ψ(−→r , t) =ae^h^¯ⁱ^S avecS=−→p .−→r − Et

Dans cette équation,a(amplitude de l’onde) est un paramètre réel, de même que le terme S correspondant à l’action d’une particule. Cette action s’exprime en fonction de l’impulsion−→p et de l’énergieE de la particule. Lorsqu’une particule de massemest soumise à un potentielV, son énergie totale s’écrit sous la forme :

E =

−

→p .−→p

2m +V = p² 2m+V

25

(24)

On peut maintenant calculer la variation de la fonction d’ondeψau cours du temps, ainsi que son laplacien. Sa variation au cours du temps s’obtient directement sous la forme :

∂ψ

∂t =−iE

¯ hψ

Les deux équations précédentes permettent d’écrire : i¯h∂ψ

∂t =Eψ= p²

2mψ+V ψ

Pour obtenir le laplacien, on commence par calculer le gradient, puis on en prend la divergence.

Cela donne :

∆ψ=div(−−→

grad(ψ)) =div(i

−

→p

¯ hψ) =i

−

→p

¯ h.−−→

grad(ψ) =−p²

¯ h²ψ

En incorporant finalement cette équation dans l’équation précédente, on obtient la relation suivante :

−¯h²

2m∆ψ(−→r , t) +V(−→r)ψ(−→r , t) =i¯h∂ψ

∂t(−→r , t) (2.1)

Schrödinger a postulé que cette équation était l’équation générale dont la solution est la fonction d’onde associée à une particule soumise à un potentielV. Elle est appelée équation de Schrödinger.

On peut remarquer que cette équation est linéaire enψ, de sorte que sa solution générale est une superposition continue d’ondes planes : un paquet d’onde.

2.1.2. États stationnaires

Pour rechercher les états stationnaires solutions de l’équation de Schrödinger, on regarde s’il existe des solutions de l’équation 2.1 à variables séparées, soit de la formeψ(−→r)Ω(t). En incorporant de telles fonctions dans l’équation de Schrödinger, on obtient :

−¯h²

2mΩ∆ψ+V ψΩ =i¯hψdΩ dt

En divisant maintenant les deux membres de l’équation parψΩ, on obtient :

−¯h² 2m

1

ψ∆ψ+V =i¯h1 Ω

dΩ dt

Si le potentielV est indépendant du temps, alors l’équation précédente fournit une égalité entre un terme uniquement fonction de−→r (celui de gauche) et un terme uniquement fonction det(celui de droite). Cette égalité n’est possible que si chaque membre est une constante indépendante de−→r

(25)

Équations de mouvement 27

et det. Écrivant que cette constante est l’énergie totale du système,E, on peut aisément intégrer le terme de droite pour obtenir (Cest une constante) :

Ω(t) =Ce⁻^h^¯ⁱ^E^t

Quant au terme de gauche, on peut maintenant l’écrire en multipliant parψsous la forme :

−¯h²

2m∆ψ(−→r) +V(−→r)ψ(−→r) =Eψ(−→r) (2.2) Cette équation est appelée équation de Schrödinger indépendante du temps. En effet, la réso- lution de cette équation permet d’écrire la solution sous la formeCψ(−→r)e⁻^¯^hⁱ^Et. Cette solution est bien stationnaire, puisqu’elle fournit une densité de probabilité de présence|Cψ(−→r)|²indépendante du temps.

Il convient de remarquer ici que le terme de gauche de l’équation 2.2 est l’hamiltonien du sys- tème. Nous verrons par la suite que cette équation n’admet de solution non triviale (par exemple non nulle) que pour certaines valeurs de l’énergieE, et ceci en fonction des conditions aux limites et des conditions de continuité imposées à la fonction d’onde recherchée. Les différentes valeurs de l’énergie,En, pour lesquelles cette équation a une solution particulière,ψ_n, forment un spectre en énergie. Lorsque ce spectre est constitué de valeurs discrètes, on dit que l’on a quantification de l’énergie.

Notons enfin que le principe de superposition nous conduit à pouvoir écrire une solutionψsous la forme d’une fonction d’onde résultant de la contribution possible de chaque fonction particulière ψnd’énergieEn:

ψ(−→r , t) =

N

X

n=1

α_nψ_n(−→r)e^¯^hⁱ^Eⁿ^t

Ce type de solution n’est pas forcément stationnaire. En effet, elle ne fournit pas obligatoirement une probabilité de présence|ψ|²indépendante du tempst.

2.1.3. Cas limite de la mécanique classique

Il est intéressant à ce stade de faire le lien entre l’approche présentée et la description mécanique classique d’une particule. Pour cela, on part à nouveau de la fonction d’onde associée à une onde plane de de Broglie, mais sans expliciter le terme d’actionS, et en considérantacomme une fonction de l’espace et du temps :

ψ(−→r , t) =a(−→r , t)e^¯^hⁱ^S(⁻^→^{r ,t)}

Partant de cette expression, on peut calculer les différents termes de l’équation de Schrödinger.

Ces termes mettent en jeu le laplacien de la fonction d’onde, et sa dérivée partielle par rapport au temps. Ces quantités s’écrivent :

∂ψ

∂t = 1

a

∂a

∂t + i

¯ h

∂S

∂t

ψ

(26)

∆ψ =div(−−→

grad(ψ))

=div(−−→

grad(a) +_h_¯ⁱa−−→

grad(S) e^¯^hⁱ^S)

=

"

div(−−→

grad(a)) +_h_¯ⁱadiv(−−→

grad(S)) +_h_¯ⁱ−−→

grad(a).−−→

grad(S) +_¯_hⁱ−−→

grad(S).−−→

grad(a) +_h_¯ⁱa−−→

grad(S)

# e^¯^hⁱ^S

=

1

a∆a+_¯_hⁱ∆S+ 2_a¯ⁱ_h−−→

grad(a).−−→

grad(S)−_h_¯¹2

−−→grad(S).−−→

grad(S) ψ

En remplaçant maintenant dans l’équation de Schrödinger 2.1 le laplacien et la dérivée par rapport au temps de la fonction d’ondeψpar ces expressions, et en divisant le tout pare^¯^hⁱ^S, on obtient :

∂S

∂t +_2m¹ −−→

grad(S).−−→

grad(S) +V −_2ma^¯^h² ∆a

−i¯h

∂a

∂t +_2m^a ∆S+_m¹−−→

grad(S).−−→

grad(a) = 0

Pour annuler cette quantité, il faut annuler sa partie réelle (premier terme entre parenthèses) et sa partie imaginaire (second terme entre parenthèses). Ceci fournit deux équations réelles, dont la première met en jeu un terme en¯h². Dans une approche classique (non quantique), ce terme sera négligé devant les autres. On peut d’ailleurs remarquer ici qu’il n’apparaît pas de terme en¯h, ce qui signifie que l’approche classique est encore valable au premier ordre. Finalement, les deux équations réelles que l’on obtient peuvent s’écrire de la façon suivante :

∂S

∂t + 1 2m

−−→grad(S).−−→

grad(S) +V = 0 (2.3)

∂a²

∂t +div(a²

−−→grad(S)

m ) = 0 (2.4)

La première de ces deux équations, l’équation 2.3, n’est autre que l’équation classique d’Hamilton- Jacobi pour l’actionS de la particule. Cette équation permet par exemple de retrouver l’expression de l’actionSsous la formeS=−→p .−→r − Et. En effet, si l’on postule que le gradient de l’action est l’impulsion,−−→

grad(S) =−→p, alors cette équation nous donne ^∂S_∂t +E= 0, avecE =_2m^p² +V. La seconde de ces deux équations porte sura², qui n’est autre que la densité de probabilité de présence de la particule. En reprenant−−→

grad(S) =−→p, on trouve que cette équation n’est autre que l’équation de continuité, qui montre que la densité de probabilité de présence se déplace suivant les lois de la mécanique classique, avec une vitesse−→v =−→p /men chaque point.

2.2. Particule dans un puits de potentiel 2.2.1. Description et résolution

Nous considérons une particule de massemen mouvement dans une directionx, avec une éner- gieE, et rencontrant un puits de potentiel carréV(x), de largeura(figure 2.1).

(27)

Figure 2.1. puits de potentiel carré

On recherche la fonction d’onde stationnaireψ(x)qui satisfait l’équation de Schrödinger 2.2.

On peut écrire cette équation de la façon suivante :







ψ⁰⁰+2m

¯

h²Eψ= 0pour0≤x≤a ψ⁰⁰+2m

¯

h²(E −V₀)ψ= 0pourx≤0oux≥a

Les solutions vont dépendre de l’énergieEde la particule. Nous nous limitons ici au cas où cette énergie est inférieure au potentielV₀. On en déduit que :

– à l’intérieur du puits, la solution est du type : ψ(x) =A1e^iαx+A2e^−iαxavecα=

√2mE

¯ h – à l’extérieur du puits, la solution est de la forme :

ψ(x) =B₁e^βx+B₂e^−βxavecβ =

p2m(V0− E)

¯ h

Les constantes A1,A2,B1 etB2 sont obtenues en écrivant les conditions aux limites et des conditions de continuité :

– pourx→ −∞etx→+∞, la fonction d’ondeψdoit s’annuler pour être intégrable, ce qui donne :

ψ(x) =B1e^βxpourx≤0 ψ(x) =B2e^−βxpourx≥a

– enx = 0, la fonction d’ondeψdoit être continue, ainsi que sa dérivée premièreψ⁰. On en déduit que, à l’intérieur du puits, on a :

ψ=B1(cos(αx) + (β/α)sin(αx))pour0≤x≤a

– enx=a, la fonction d’ondeψdoit être continue, ainsi que sa dérivée premièreψ⁰. La conti- nuité deψdonne une relation entre les constantesB₂etB₁de la forme :

B2=B1e^βa((cos(αx) + (β/α)sin(αx))

(28)

La condition sur la dérivée première conduit enfin à l’équation suivante : B1(2cos(αa)−α²−β²

αβ sin(αa)) = 0

Il est évident queB1= 0permet de satisfaire toutes les conditions précédentes. Mais ceci donne une fonction d’onde identiquement nulleψ = 0. Pour obtenir des solutions non triviales, c’est-à- dire non nulles, il faut que la dernière condition soit satisfaite en annulant le terme entre parenthèses.

Ceci donne la relation suivante : tan(αa) = 2β/α

1−(β/α)², soit







tan(αa/2) =β/α ou

tan(αa/2−π/2) =β/α

Il est intéressant maintenant d’utiliser les notations suivantes : ξ=αa/2 =√

2mE a 2¯h≥0 η=βa/2 =p

2m(V0− E)a 2¯h≥0

En remarquant maintenant queξ²+η²= 2mV0a²/¯h²=K², oùKest une constante fixée par la taille du puits (aetV0) et la masse de la particule, on peut écrire les conditions précédentes sous la forme de relations entreξetη:

ξ²+η²=K²et







ξtan(ξ) =η ou

ξtan(ξ−π/2) =η

Ces relations peuvent facilement être représentées graphiquement. La figure 2.2 montre que les solutions prennent des valeurs discrètes enξ,ξn(avecn= 1, . . . , N), correspondant chacune à une valeur discrète en énergieEn:

E_n= 2¯h²ξ_n² ma²

On dit que le spectre en énergie est dégénéré. Le nombreN de valeurs discrètes dépend deK, et donc en particulier de la valeur du potentielV0. PourV0très faible (Kproche de0), il n’y aura qu’une valeur (N = 1). PourV0élevé, le nombreN peut lui aussi devenir assez élevé. A chacune de ces valeurs (ξn,ηn), et doncEn, correspond une fonction d’ondeψn:

ψn(x, t) =











B₁e^2ηⁿ^x^ae⁻^h^¯ⁱ^Eⁿ^tpourx≤0 B₁

cos(2ξ_nx a) +η_n

ξn

sin(2ξ_nx a)

e⁻^¯^hⁱ^Eⁿ^tpour0≤x≤a B₁

cos(2ξ_n) +η_n ξn

sin(2ξ)

e^−2ηⁿ⁽^x^a⁻¹⁾e⁻^¯^hⁱ^Eⁿ^tpourx≥a

(29)

Figure 2.2. solutions stationnaires non nulles de l’équation de Schrödinger (K= 5)

Le module au carré de cette fonction d’onde donne la densité de probabilité de présence de l’électron le long de l’axex(La constanteB1est calculée en appliquant la condition de normalisation à1de cette densité) :

|ψn|²=











B₁²e^4ηⁿ^x/apourx≤0 B₁²

cos(2ξ_nx a) +ηn

ξ_nsin(2ξ_nx a)

²

pour0≤x≤a B₁²

cos(2ξn

x a) +ηn

ξ_nsin(2ξn) ²

e^−4ηⁿ⁽^x^a⁻¹⁾pourx≥a

2.2.2. Exemples

Considérons maintenant par exemple le cas d’une particule dans un puits de potentiel de largeur 1Å(soit 10⁻¹⁰m) et de hauteur 379 électron-Volts (soit environ 6.10⁻¹⁷J). Ces valeurs sont de bons ordres de grandeurs pour un électron périphérique sur un noyau. On obtient alors une valeur d’environ5J.spour la constanteK, et les quatre solutions obtenues sont listées dans le tableau 2.1.

Les figures 2.3 et 2.4 donnent respectivement, dans ce cas, les fonctions d’onde et les densités de probabilité correspondant aux quatre niveaux d’énergie pour lesquels l’équation de Schrödinger fournit une solution non nulle (tableau 2.1). On remarque sur la figure 2.4 que la particule a une pro- babilité de présence non nulle à l’extérieur du puits (x≤0etx≥a). Dans une analyse mécanique classique, ceci n’est pas possible car l’énergie cinétique de la particuleE=p²/2mest inférieure au potentielV0. En fait la valeur de la constanteKdevient très vite très élevée, car la largeur du puits

(30)

n ξn(J s) ηn(J s) En(eV) 1 1,3064 4,8263 25,8411 2 2,5957 4,2734 102,0121 3 3,8375 3,2052 222,9578 4 4,9063 0,9634 364,4467 Tableau 2.1. solutions non nulles pourK= 5J.s

Figure 2.3. fonctions d’onde avecK= 5J.s

a, la masse de la particulemet le potentielV0peuvent prendre des valeurs beaucoup plus grandes que celles mentionnées ici.

La figure 2.5 donne la probabilité de présence du niveau d’énergie le plus élevé dans les cas K= 10etK= 100(à largeur de puits constante, par exemple pour une masse ou un potentiel plus élevé). On remarque que cette probabilité tend vers0à l’extérieur du puits.

2.2.3. Particule dans une boîte

Nous considérons ici une particule se déplaçant dans l’espace, soumise à un potentiel nul dans une boîte de dimensionsa,betcdans les directionsx,yetzrespectivement, et infini ailleurs (figure 2.6)

Dans le cas d’une dimensionx, on peut utiliser le cas du puits de potentiel carré (paragraphe précédent), en faisant tendreV0vers l’infini. On obtient alors comme résultat :

(31)

Figure 2.4. probabilités de présence avecK= 5J.s

Figure 2.5. probabilités de présence de la particule avecK= 10J.set K= 100J.s(niveau d’énergie le plus élevé)

– Une fonction d’onde nulle à l’extérieur du puits, ce qui signifie que la particule est confinée dans le puits (probabilité de présence nulle à l’extérieur du puits),

(32)

Figure 2.6. boîte de dimensionsa,betcdans les drectionsx,yetz respectivement

– A l’intérieur du puits, le second terme (en sinus) de la fonction d’onde est prépondérant, ce qui donne (la constante multiplicative de la fonction est déterminée par la condition de normalisation de

|ψ_n|²) :







ψ_n(x, t) = r2

asin 2ξ_nx

a e^¯^hⁱ^Eⁿ^t

|ψn|²= 2 asin²

2ξn

x a

– Les niveaux d’énergieEn proviennent des solutions ξ_n obtenues sur la figure 2.2. Pour un potentiel infini, ces solutions donnent :







ξn=nπ 2 En= π²¯h²

2m n² a²

La figure 2.7 donne la distribution de probabilité de présence de la particule, dans le cas monodimensionnel, pour des énergies correspondant àn= 1à4. Dans le cas tridimensionnel, pour confiner la particule dans une boîte de dimensionsa,betc, on peut écrire le potentiel suivant :

V(x, y, z) =Vx(x) +Vy(y) +Vz(z)avec











Vx(x) =

0si0≤x≤a

∞sinon Vy(y) =

0si0≤y≤b

∞sinon Vz(z) =

0si0≤z≤c

∞sinon

Dans ce cas, on peut chercher des solutions stationnaires particulières de l’équation de Schrödin- ger sous la forme suivante, oùψn_a,ψn_b etψn_c sont les solutions du problème monodimensionnel

(33)

Figure 2.7. probabilité de présence de la particule dans le cas monodimensionnel (a= 1Å) pourn= 1à4

traité auparavant, avec un puits de dimensiona,betc, dans chaque directionx,yetz: ψ_n(x, y, z) =ψ_n_a(x).ψ_n_b(y).ψ_n_c(z)

Les figures 2.8 et 2.9 donnent la probabilité de présence d’une particule, dans deux cas bidimen- sionnels, aveca = b = 1Å. Les solutions ψn_a,ψn_b etψn_c correspondent chacune à un niveaux d’énergieEna,En_betEnc. Finalement, l’énergie globale s’obtient comme le potentiel en ajoutant ces trois énergies, ce qui donne :

En=En_a+En_b+En_c =π²¯h² 2m

n²_a a² +n²_b

b² +n²_c c²

On remarque qu’il peut exister des fonctions d’onde différentes avec le même niveau d’énergie.

Ceci se produit par exemple pourna = nb eta = b. Dans ce cas, on peut intervertir les axesx ety. On dit dans ce cas que l’énergie est dégénérée. Son degré de dégénérescence est donné par le nombre de fonctions d’onde indépendantes correspondant à cette énergie.

2.3. Oscillateur harmonique 2.3.1. Description et résolution

Un oscillateur harmonique est un système mécanique constitué d’un point matériel de massem élastiquement lié à un centre, c’est-à-dire soumis à une force de rappel proportionnelle à sa distance

(34)

Figure 2.8. probabilité de présence de la particule - cas bidimensionnel avec (a= 1Å,na= 2) et (b= 1Å,nb= 1)

Figure 2.9. probabilité de présence de la particule - cas bidimensionnel avec (a= 1Å,na= 2) et (b= 1Å,nb= 2)

(35)

au centre. Les systèmes se présentant en bonne approximation sous la forme d’oscillateurs harmo- niques sont très nombreux. On peut citer par exemple la position relative de deux atomes voisins soumis à de faibles perturbations (élastiques), ou un pendule élastique. Nous nous limitons ici au cas monodimensionnel, nous notonsxl’axe de déplacement de la particule, et nous choisissons l’origine de cet axe au point d’équilibre.

Au voisinage d’un point d’équilibre, le potentielV(x)peut être développé au second ordre enx.

Au point d’équilibrex= 0, la force de rappel doit être nulle, d’oùdV /dx= 0en ce point. De plus, en plaçant l’origine des énergies enV(0), on obtient un potentiel de la formeV(x) =αx². Enfin, on peut définir une pulsationω(ens⁻¹) telle que le potentielV(x)et la force de rappel associée F(x)s’écrivent :

V(x) =1

2mω²x²etF(x) =−−−→

grad(V) =−mω²x

En mécanique classique, l’équation d’équilibre des forces conduit à l’équation différentielle d²x/dt² +ω²x = 0. Si à t = 0, le point matériel est en x = 0 animé d’une vitesse v₀ non nulle, alors la solution générale de cette équation est une oscillation sinusoïdale de la particule, de périodeω, et d’amplitudea=v₀/ω, soitx=asinωt. Ainsi, la probabilité d’observer la particule entre les instantstett+dtau pointxàdxprès est de la formeP(x)dx = 2dt/T, oùT = 2π/ω est la période. Commedxetdtsont reliés sous la formedx=aωcosωtdt, la densité de probabilité P(x)s’écrit :

P(x) = ω

π^dx_dt = 1

aπcosωt = 1 π√

a²−x²

La figure 2.10 donne l’allure de cette probabilité en fonction dex. Elle est évidemment nulle à l’extérieur du segment]−a, a[, tend vers l’infini aux points extrémités du segment (où la particule passe très lentement), et est minimum au centre du segment (où la particule passe très vite).

Dans une approche quantique, on recherche les états stationnaires, et donc des fonctionsψ(x) non triviales solutions de l’équation de Schrödinger 2.2. Cette équation s’écrit ici :

d²ψ dx² +2m

¯ h²

E −1

2mω²x²

ψ= 0

La résolution de cette équation s’effectue à l’aide de deux transformations successives : – un changement de variableξ = xp

mω/¯hqui permet de transformer l’équation, qui s’écrit maintenant :

d²ψ dξ² +

2E

¯ hω−ξ²

ψ= 0

– une recherche de solutions de la formeψ(ξ) =χ(ξ)e^−ξ²^/2, avec des fonctionsχpolynômiales de façon à conserver des fonctionsψ de carré intégrable (et en particulier nulles à l’infini). Ceci conduit à chercher des fonctionsχ(ξ)polynômiales solutions de l’équation différentielle suivante :

d²χ

dξ² −2ξdχ dξ + 2

E

¯ hω −1

2

χ= 0

(36)

Figure 2.10. probabilité de présence d’un oscillateur harmonique - cas de la mécanique classique -a= 1Å

Des solutions polynômiales existent à l’équation précédente lorsque le termeE/¯hω−1/2prend des valeurs entières. En notant ncette valeur, et en remarquant qu’elle ne peut prendre que des valeurs supérieures à−1/2, on sait que la solution généraleχ_n (àndonné) est proportionnelle au polynôme d’Hermite de degrén:H_n. En notantCla constante de proportionnalité, on obtient :

χ_n(ξ) =CH_n(ξ)avecH_n(ξ) = (−1)ⁿe^ξ² dⁿ

e^−ξ² dξⁿ

On peut maintenant utiliser les propriétés des polynômes d’Hermite pour écrire la solution com- plète. En particulier, ils forment un ensemble de polynômes orthogonaux avec la fonction poids e^−ξ², et on peut les obtenir par une relation de récurrence simple . On a les relations suivantes :

Z ∞

−∞

e^−ξ²H_n²(ξ)dξ = 2ⁿn!√ π Z ∞

−∞

e^−ξ²Hn(ξ)Hm(ξ)dξ= 2ⁿn!√ πδnm

H0(ξ) = 1,H1(ξ) = 2ξet pourn≥0Hn+2(ξ) = 2ξHn+1(ξ)−2(n+ 1)Hn(ξ)

(37)

Ceci nous permet d’écrire la solution stationnaire normalisée d’indicenpour l’oscillateur harmonique à une dimension :











ψn(x, t) = 1

√2ⁿn!

mω π¯h

^1/4

e⁻^mω^2¯^h^x²Hn

x

rmω

¯ h

e⁻^¯^hⁱ^Eⁿ^t En = ¯hω

n+1

2

|ψ|²= 1 2ⁿn!

rmω

π¯he⁻^mω^h^¯ ^x²H_n²

x rmω

¯ h

(2.5)

2.3.2. Exemples

Figure 2.11. fonctions d’onde

Les figures 2.11 et 2.12 représentent respectivement les fonctions d’onde et les probabilités de présence d’une particule pour un oscillateur harmonique, avec un indicenet donc une énergieEn

croissante. La massemde la particule, le potentielV(x), et donc la pulsationω, ont été choisis tels que l’on aitmω= ¯h. On remarque sur ces figures que :

– Quelle que soit la valeur den, et donc de l’énergieEn, la probabilité de présence de la particule est partout non nulle.

– Pourn = 0, la probabilité de présence de la particule est maximum enx = 0, alors qu’en mécanique classique elle y est minimum.

La figure 2.13 donne la probabilité de présence de la particule obtenue pourntrès élevé et en mécanique classique (figure 2.10). On constate que les deux résultats sont semblables. En fait, le caractère quantique (donc ondulatoire) de la particule ne se manifeste que lorsque ses grandeurs