Chapitre 2. Équations de mouvement
2.3. Oscillateur harmonique
On remarque qu’il peut exister des fonctions d’onde différentes avec le même niveau d’énergie.
Ceci se produit par exemple pourna = nb eta = b. Dans ce cas, on peut intervertir les axesx ety. On dit dans ce cas que l’énergie est dégénérée. Son degré de dégénérescence est donné par le nombre de fonctions d’onde indépendantes correspondant à cette énergie.
2.3. Oscillateur harmonique 2.3.1. Description et résolution
Un oscillateur harmonique est un système mécanique constitué d’un point matériel de massem élastiquement lié à un centre, c’est-à-dire soumis à une force de rappel proportionnelle à sa distance
Figure 2.8. probabilité de présence de la particule - cas bidimensionnel avec (a= 1Å,na= 2) et (b= 1Å,nb= 1)
Figure 2.9. probabilité de présence de la particule - cas bidimensionnel avec (a= 1Å,na= 2) et (b= 1Å,nb= 2)
Équations de mouvement 37
au centre. Les systèmes se présentant en bonne approximation sous la forme d’oscillateurs harmo-niques sont très nombreux. On peut citer par exemple la position relative de deux atomes voisins soumis à de faibles perturbations (élastiques), ou un pendule élastique. Nous nous limitons ici au cas monodimensionnel, nous notonsxl’axe de déplacement de la particule, et nous choisissons l’origine de cet axe au point d’équilibre.
Au voisinage d’un point d’équilibre, le potentielV(x)peut être développé au second ordre enx.
Au point d’équilibrex= 0, la force de rappel doit être nulle, d’oùdV /dx= 0en ce point. De plus, en plaçant l’origine des énergies enV(0), on obtient un potentiel de la formeV(x) =αx2. Enfin, on peut définir une pulsationω(ens−1) telle que le potentielV(x)et la force de rappel associée F(x)s’écrivent :
V(x) =1
2mω2x2etF(x) =−−−→
grad(V) =−mω2x
En mécanique classique, l’équation d’équilibre des forces conduit à l’équation différentielle d2x/dt2 +ω2x = 0. Si à t = 0, le point matériel est en x = 0 animé d’une vitesse v0 non nulle, alors la solution générale de cette équation est une oscillation sinusoïdale de la particule, de périodeω, et d’amplitudea=v0/ω, soitx=asinωt. Ainsi, la probabilité d’observer la particule entre les instantstett+dtau pointxàdxprès est de la formeP(x)dx = 2dt/T, oùT = 2π/ω est la période. Commedxetdtsont reliés sous la formedx=aωcosωtdt, la densité de probabilité P(x)s’écrit :
La figure 2.10 donne l’allure de cette probabilité en fonction dex. Elle est évidemment nulle à l’extérieur du segment]−a, a[, tend vers l’infini aux points extrémités du segment (où la particule passe très lentement), et est minimum au centre du segment (où la particule passe très vite).
Dans une approche quantique, on recherche les états stationnaires, et donc des fonctionsψ(x) non triviales solutions de l’équation de Schrödinger 2.2. Cette équation s’écrit ici :
d2ψ
La résolution de cette équation s’effectue à l’aide de deux transformations successives : – un changement de variableξ = xp
mω/¯hqui permet de transformer l’équation, qui s’écrit maintenant :
– une recherche de solutions de la formeψ(ξ) =χ(ξ)e−ξ2/2, avec des fonctionsχpolynômiales de façon à conserver des fonctionsψ de carré intégrable (et en particulier nulles à l’infini). Ceci conduit à chercher des fonctionsχ(ξ)polynômiales solutions de l’équation différentielle suivante :
d2χ
Figure 2.10. probabilité de présence d’un oscillateur harmonique - cas de la mécanique classique -a= 1Å
Des solutions polynômiales existent à l’équation précédente lorsque le termeE/¯hω−1/2prend des valeurs entières. En notant ncette valeur, et en remarquant qu’elle ne peut prendre que des valeurs supérieures à−1/2, on sait que la solution généraleχn (àndonné) est proportionnelle au polynôme d’Hermite de degrén:Hn. En notantCla constante de proportionnalité, on obtient :
χn(ξ) =CHn(ξ)avecHn(ξ) = (−1)neξ2 dn
e−ξ2 dξn
On peut maintenant utiliser les propriétés des polynômes d’Hermite pour écrire la solution com-plète. En particulier, ils forment un ensemble de polynômes orthogonaux avec la fonction poids e−ξ2, et on peut les obtenir par une relation de récurrence simple . On a les relations suivantes :
Z ∞
−∞
e−ξ2Hn2(ξ)dξ = 2nn!√ π Z ∞
−∞
e−ξ2Hn(ξ)Hm(ξ)dξ= 2nn!√ πδnm
H0(ξ) = 1,H1(ξ) = 2ξet pourn≥0Hn+2(ξ) = 2ξHn+1(ξ)−2(n+ 1)Hn(ξ)
Équations de mouvement 39
Ceci nous permet d’écrire la solution stationnaire normalisée d’indicenpour l’oscillateur har-monique à une dimension :
Les figures 2.11 et 2.12 représentent respectivement les fonctions d’onde et les probabilités de présence d’une particule pour un oscillateur harmonique, avec un indicenet donc une énergieEn
croissante. La massemde la particule, le potentielV(x), et donc la pulsationω, ont été choisis tels que l’on aitmω= ¯h. On remarque sur ces figures que :
– Quelle que soit la valeur den, et donc de l’énergieEn, la probabilité de présence de la particule est partout non nulle.
– Pourn = 0, la probabilité de présence de la particule est maximum enx = 0, alors qu’en mécanique classique elle y est minimum.
La figure 2.13 donne la probabilité de présence de la particule obtenue pourntrès élevé et en mécanique classique (figure 2.10). On constate que les deux résultats sont semblables. En fait, le caractère quantique (donc ondulatoire) de la particule ne se manifeste que lorsque ses grandeurs
Figure 2.12. probabilités de présence
Figure 2.13. probabilités de présence pournélevé
caractéristiques (masse, énergie, . . . ) sont du même ordre que la constante de Planck réduite¯h. Ceci est principalement le cas pour des particules telles que l’électron, le proton, . . .
Chapitre 3
Grandeurs physiques, mesures
Ce chapitre est consacré à un aspect très important de la mécanique : la mesure de grandeurs physiques. Il s’agit par exemple de mesurer la position d’une particule, son impulsion, son énergie, . . . En mécanique classique, l’opération de mesure est relativement simple. La précision de la mesure est donnée par la méthode, l’instrument de mesure, et le traitement de cette mesure. Par exemple, les méthodes optiques de mesures de déplacement demandent un ensemble de traitement avant d’arriver au résultat souhaité.
Dans un cadre quantique, l’opération de mesure revêt un caractère particulier lié à la méthode utilisée pour décrire physiquement l’état des particules. Cet état est décrit par une fonction d’onde ψ(−→r , t). Mais si on prépare indépendammentN particules dans le même étatψ, alors nous avons vu au chapitre 2 que le résultat de la mesure d’une grandeur (énergie, position, impulsion, . . . ) n’est en général pas unique, mais distribué selon une loi de probabilité dont la densité est donnée par le carré du module de la fonction d’onde.
Dans ce chapitre, nous allons dans un premier temps introduire la notion d’opérateur pour la me-sure de grandeurs physiques, puis donner quelques exemples de tels opérateurs (énergie, impulsion, position, . . . ). Ensuite, nous allons étudier plus particulièrement l’opérateur moment cinétique, en le quantifiant, puis en introduisant le formalisme du spin de l’électron pour aboutir à une description complète de cette particule.
3.1. Opérateurs ou Observables 3.1.1. Définition
Nous introduisons ici les opérateurs de mesure par une approche heuristique, sans faire appel à la théorie mathématique associée. Le lecteur pourra trouver une description complète de cette théorie dans des ouvrages de physique théorique dédiés à la mécanique quantique tels que [LAN 75], ou dans des supports de cours dans ce domaine tels que [BAS 86], [LOW 00].
Considérons une grandeur physiquefque nous souhaitons mesurer sur un système dont l’état est décrit par une fonction d’ondeψ(−→r , t). Cette grandeur physique peut être la position d’une particule,
41
son impulsion, ou l’énergie d’un système formé d’une particule dans un potentiel donné, . . . Les valeurs que peut prendre cette grandeur physique sont appelées ses valeurs propres. L’ensemble de ces valeurs constitue le spectre des valeurs propres de cette grandeur. Par exemple, au chapitre 2, nous avons traité divers exemples (puits de potentiel, oscillateur harmonique, . . . ), pour lesquels nous avons obtenu le spectre en énergie du système formé de la particule et du potentiel.
Pour simplifier, nous allons supposer ici que la grandeurf présente un spectre discret, et nous désignerons parfnsesN valeurs propres (n= 1,2, . . . , N). De plus, nous noteronsψnla fonction d’onde décrivant l’état du système lorsque f prend la valeurfn. Ces fonctionsψn sont appelées fonctions propres de la grandeur physiquef.
L’équation 2.5 du chapitre 2 donne les fonctions propresψnd’un oscillateur harmonique, ainsi que les valeurs propres d’énergieEn associées à ces fonctions. Les fonctions propresψnsont évi-demment normalisées, de sorte que l’on a :
Z ∞
−∞
|ψn|2d−→r = 1
Si le système se trouve dans un état quelconqueψ, alors la mesure de la grandeurf donnera une des valeurs propresfn. Si maintenant nous refaisons la mesure immédiatement après, alors le résultat obtenu doit être le même, soitfn, avec une probabilité de1. Ceci signifie que le système est dans l’étatψn: la première mesure a modifié l’état du système, qui est passé d’un étatψquelconque à l’étatψn.
Le principe de superposition nous conduit à dire que les fonctionsψnforment un système com-plet de fonctions propres. En effet, comme toute fonctionψ est susceptible de devenirψn, cette fonctionψdoit pouvoir être écrite comme une superposition linéaire des fonctionsψn, où les coef-ficients complexesansont constants :
ψ=
N
X
n=1
anψn
Il est maintenant tentant de supposer que la probabilité de mesurerfnpour la grandeur physique f soit|an|2. En effet, il s’agit d’un nombre réel positif. De plus, lorsque le système est dans l’état ψn, alorsan est le seul coefficient non nul, et il vaut1. Enfin, sian = 0, alors le système ne peut être dans l’étatψn, et la valeur proprefnne peut être observée. Comme la mesure def doit donner une des valeurs propresfnavec une probabilité de1, on doit avoir la relation suivante :
N
X
n=1
|an|2= 1
Grandeurs physiques, mesures 43
Finalement, les relations précédentes nous permettent d’écrire les composantesan comme les projections de la fonction d’ondeψsur les fonctions propresψn:
1 =
On peut ici effectuer une analogie entre la fonction d’ondeψ servant à mesurer une grandeur physiquef, et un vecteur−→u dans un espace vectoriel de dimensionNmuni d’un repère orthonormé (−→e1, . . . ,−e→N). En effet, ce vecteur a des composantesunqui peuvent être obtenues par projection sur
Avec ce produit scalaire, on constate que les coefficientsan jouent le rôle de composantes de ψsur la base des fonctions propresψnassociées à la grandeur physiquef. On peut en effet écrire an = (ψ, ψn)etψ =P
anψn. Ainsi, les fonctions propresψn associées à la mesure d’une gran-deur physiquefforment une base orthonormée dans l’espace des fonctions d’onde muni du produit scalaire défini précédemment. En particulier, on peut écrire :
∀n, m= 1, . . . , N, (ψn, ψm) = Z ∞
−∞
ψnψ∗md−→r =δnm
Revenons maintenant à la mesure de la grandeur physiquef. Si|an|2est la probabilité d’obtenir fn lors de la mesure def, alors on peut introduire la valeur moyenne de f sous la formehfi = Pfn|an|2. Ceci nous permet d’écrire cette valeur moyenne de la façon suivante :
hfi=
Cette relation nous permet d’introduire la notion d’opérateur ou d’observable, notion fonda-mentale en mécanique quantique. A chaque grandeur physique est associé un opérateur, appelé aussi observable. L’opérateurfˆassocié à la grandeur physiquef est une application linéaire de l’espace des fonctions d’ondes vers ce même espace défini par :
fˆ:ψ→f ψˆ =
N
X
n=1
anfnψn (3.1)
Le rôle fondamental de l’opérateurfˆest d’extraire des informations de la grandeur physiquef. Par exemple, la valeur moyenne de cette grandeur est obtenue sous la forme :
hfi= Z ∞
−∞
ψ∗f ψdˆ −→r (3.2)
Pour chaque opérateurfˆ, on peut définir son opérateur conjuguéfˆ∗, son opérateur transposéfˆt, et son opérateur adjointfˆa . Siψetφsont deux fonctions d’onde, on peut définir ces opérateurs comme suit :
– Sif ψˆ =φ, alors l’opérateur conjugué est tel quefˆ∗ψ∗=φ∗. – L’opérateur transposé est tel que :
Z ∞
−∞
φf ψdˆ −→r = Z ∞
−∞
ψfˆtφd−→r
– L’opérateur adjoint defˆest celui qui est associé à la grandeur physique complexe conjuguée def, soitf∗. Il est donc tel que la valeur moyenne de cette grandeur conjuguée est :
hf∗i= Z ∞
−∞
ψ∗fˆaψd−→r
Les opérateurs de la mécanique quantique doivent être hermitiens, c’est-à-dire tels quefˆ∗= ˆft, et auto-adjoints, c’est-à-dire tels que fˆa = ˆf. Ces deux propriétés sont principalement liées au fait que l’opération de mesure doit fournir des nombres réels, et pas des nombres complexes. Leur démonstration est laissée à titre d’exercice au lecteur.
3.1.2. Exemples
Lorsque l’on applique un opérateurfˆà une des fonctions propres ψn associées à la grandeur physiquef, on obtient directement en appliquant la relation 3.1 :
f ψˆ n=fnψn
Ainsi, les fonctionsψnet les valeursfnsont respectivement les fonctions propres et les valeurs propres de l’opérateur, c’est-à-dire les solutions non triviales de l’équationf ψˆ =f ψ. Cette notion a déjà été utilisée dans le chapitre 2 lors de la résolution de l’équation de Schrödinger stationnaire.
Cette équation signifie simplement que le spectre d’énergie totale du système est l’ensemble des valeurs propres de l’opérateur hamiltonienHˆ défini par :
Grandeurs physiques, mesures 45
Hψˆ =−¯h2
2m∆ψ+V ψ
Ainsi, l’opérateur (ou observable) hamiltonienHˆ est lié à la grandeur physique énergie totale E, et l’équation de Schrödinger stationnaire est l’équation aux valeurs propres de cet opérateur, qui s’écritHψˆ =Eψ.
On peut définir d’autres opérateurs. Le plus simple est celui qui est lié à la grandeur physique position,−→ˆr, qui consiste à multiplier la fonction d’ondeψpar le vecteur position−→r. L’opérateur−→ˆr permet d’extraire de la fonction d’ondeψdes informations sur la position de la particule :
−ˆ
On pourrait imaginer que, de la même façon, l’opérateur impulsion−→ˆp consiste simplement à multiplier la fonction d’onde par le vecteur impulsion−→p. En effet, l’impulsion moyenne est obtenue par la formule suivante utilisant la densité de probabilité|ϕ|2associée à la transformée de Fourierϕ de la fonction d’ondeψ:
Mais l’opérateur impulsion doit agir sur la fonction d’onde ψ, et non sur sa transformée de Fourierϕ. Pour l’obtenir, on utilise la relation suivante montrant que, siϕest la transformée de Fourier deψ, alors¯hi−−→
Comme la transformation de Fourier conserve le produit scalaire, on peut maintenant écrire que :
Z ∞
Ceci conduit à la définition suivante de l’opérateur impulsion−→ˆp :
−ˆ
Connaissant maintenant les opérateurs impulsion et position, on peut remarquer qu’ils ne com-mutent pas toujours. En effet, on peut écrire par exemple la commutation des opérateursrˆxetpˆx, dans la directionx, puis celle des opérateurspˆxetpˆy, le tout dans un repère cartésien. On obtient :
( ˆrxpˆx−pˆxrˆx)ψ=x¯h Tableau 3.1. tableau de correspondance de quelques opérateurs de mesure
Le tableau 3.1 donne la correspondance entre les principales grandeurs physiques associées à un système et les opérateurs de mesure associés. L’opérateur moment cinétique fait l’objet du pa-ragraphe suivant, car il est d’une grande importance pour la description physique et mécanique des particules en général, et des électrons en particulier.
3.2. Moment cinétique 3.2.1. Définition
En mécanique classique, le moment cinétique d’une particule est défini à partir de sa position
−
→r et de son impulsion−→p par−→
L =−→r ∧ −→p. Par exemple, le moment cinétique dans la directionz d’un repère cartésien estLz = xpy−ypx. En mécanique quantique, on définit de la même façon un opérateur moment cinétique orbital−→ˆ
L comme le produit vectoriel entre les opérateurs position et impulsion :
Grandeurs physiques, mesures 47
Dans un repère cartésien, cet opérateur appliqué dans la directionz à une fonction d’ondeψ donneLˆzψ=x∂ψ∂y−y∂ψ∂x. Toutefois, dans le cadre de ce paragraphe, nous allons utiliser un système de coordonnées sphériques (figure 3.1). Dans ce cas, les opérateurs gradient et laplacien appliqués à un scalaire (fonction d’ondeψpar exemple) donnent :
On peut vérifier que, en coordonnées sphériques, l’opérateurLˆz ne dépend que deϕ. De plus, on définit l’opérateurLˆ2= ˆL2x+ ˆL2y+ ˆL2z, qui ressemble à la norme au carré de l’opérateur−→ˆ
L. Les opérateursLˆzetLˆ2s’écrivent dans le système de coordonnées sphériques :
Lˆz= ¯h
Enfin, on peut vérifier une relation importante donnant le laplacien en coordonnées sphériques, dans laquelle la partie opérant des dérivations surrest dissociée de celle opérant des dérivations sur θetϕ, cette dernière pouvant être directement exprimée en fonction de l’opérateurLˆ2:
∆ψ=∂2ψ
Le qualificatif de orbital de l’opérateur−→ˆ
L vient du fait que nous pouvons ici définir une classe d’opérateurs moment cinétique−→ˆ
J plus généraux que ceux-là. Nous qualifions en effet en mécanique quantique d’opérateur moment cinétique tout opérateur−→ˆ
J qui satisfait à la condition suivante :
−ˆ
→J ∧−→ˆ J =i¯h−→ˆ
J (3.7)
Nous laissons au lecteur, à titre d’exercice, le soin de montrer que l’opérateur−→ˆ
L, moment ci-nétique orbital, est bien un opérateur de moment cici-nétique. Maintenant, nous allons nous intéresser plus particulièrement aux opérateurs suivants :
Jˆz: composante selonzdu moment cinétique−→ˆ J Jˆ2= ˆJx2+ ˆJy2+ ˆJz2
Jˆ+= ˆJx+iJˆy: opérateur de saut positif Jˆ−= ˆJx−iJˆy: opérateur de saut négatif
On peut remarquer que des opérateursJˆ+etJˆ−sont hermitiens (combinaison linéaire d’opéra-teurs hermitiens). Par contre, il ne s’agit pas d’opérad’opéra-teurs de mesure en mécanique quantique car ils ne sont pas auto-adjoints. On peut vérifier en fait qu’ils sont adjoints l’un de l’autre :
Jˆ+a = ˆJ−etJˆ−a = ˆJ+
3.2.2. Valeurs propres et fonctions propres
La première propriété fondamentale de l’opérateur moment cinétique−→ˆ
J que nous allons utiliser est queJˆ2et les composantes de−→ˆ
J commutent. Par exemple, en utilisant simplement la définition 3.7, on montre que les opérateursJˆ2etJˆzcommutent :
Grandeurs physiques, mesures 49
Cette propriété permet d’affirmer que les opérateursJˆ2etJˆzpeuvent être décrits par une famille unique de fonctions propres. De plus, commeJˆ2 est la somme de carrés d’opérateurs, ses valeurs propres sont positives. Nous les noteronsj(j + 1)¯h2 (avecj ≥ 0), tandis que nous noteronsm¯h celles deJˆz. Les nombresjetmsont pour l’instant des réels quelconques. En notant maintenant ψj,mles fonctions propres de la base commune choisie, on peut écrire :
Jˆ2ψj,m=j(j+ 1)¯h2ψj,m Jˆzψj,m=m¯hψj,m
Appliquons maintenant les opérateursJˆ2etJˆzà l’image des fonctions propresψj,mpar les opé-rateurs sautJˆ+etJˆ−. On obtient en utilisant simplement la définition des opérateurs, leur linéarité, et le fait queJˆ+etJˆ−, commeJˆxetJˆy, commutent avecJˆ2:
Ainsi,ψj,métant une fonction propre commune aux opérateursJˆ2 etJˆz, avec comme valeurs propres respectivesj(j+ 1)¯h2etm¯h, on a le résultat suivant :
–Jˆ+ψj,mest une fonction propre commune aux opérateursJˆ2etJˆz, avec comme valeurs propres respectivesj(j+ 1)¯h2et(m+ 1)¯h,
–Jˆ−ψj,mest une fonction propre commune aux opérateursJˆ2etJˆz, avec comme valeurs propres respectivesj(j+ 1)¯h2et(m−1)¯h.
Ce résultat justifie le choix du nom des opérateursJˆ+etJˆ−(opérateurs sauts). De plus, on peut maintenant écrire le module au carré des fonctionsJˆ+ψj,metJˆ−ψj,m. on obtient par exemple pour la fonctionJˆ+ψj,m:
Z ∞ s’écrivent finalement sous la forme :
kJˆ+ψj,mk2= (j(j+ 1)−m(m+ 1))¯h2 kJˆ−ψj,mk2= (j(j+ 1)−m(m−1))¯h2
Figure 3.2. valeurs propres bornées de l’opérateurJˆz
Comme ces normes au carré doivent être positives ou nulles, on en déduit que, pourjfixé,mest borné par−jetj. Ceci est illustré sur la figure 3.2.
L’application répétée N fois de l’opérateur Jˆ+ permet d’engendrer, à partir d’une fonction d’ondeψj,m, toute une série d’étatsψj,m+1,ψj,m+2, . . . ,ψj,m+N. De même, l’applicationM fois deJˆ−permet d’engendrer les étatsψj,m−1,ψj,m−2, . . . ,ψj,m−M. Pour que tous ces états respectent la condition symétrique−j≤m±n≤j(avecnentier), on doit avoir :
m+N =j m−M =−j
Grandeurs physiques, mesures 51
En soustrayant et en additionnant ces deux équations, on obtient le résultat fondamental selon lequel2jet2mdoivent être entiers. En résumé, on peut écrire que, si−→ˆ
J est un opérateur de moment cinétique, c’est-à-dire tel que−→ˆ
J ∧−→ˆ J =i¯h−→ˆ
J, alors :
– les valeurs propres de sa composanteJˆzsont de la formem¯h,métant entier, demi-entier ou nul,
La compréhension de la structure des atomes est à la base de nombreuses applications techno-logiques modernes, du laser à l’exploration du cosmos. Nous donnons ici une première description, très sommaire, de cette structure, en considérant le comportement d’un électron (particule de charge
−e et de massem) dans un potentiel centralV(r) schématisant son interaction avec le reste de l’atome. Pour cela, nous nous plaçons en coordonnées sphériques.
L’équation de Schrödinger dans un potentiel centralV(r)repose sur l’opérateur hamiltonienHˆ qui, appliqué à une fonction d’ondeψ, fournit la quantitéHψˆ =−2m¯h2∆ψ+V(r)ψ. En coordonnées sphériques, on peut utiliser la relation 3.6 pour l’écrire sous la forme suivante, où l’opérateurLˆ2est le carré du moment cinétique orbital de l’électron :
Hψˆ =− ¯h2
On peut remarquer ici que l’opérateurHˆ commute avecLˆ2etLˆz. En effet, ces derniers n’agissent que sur les coordonnéesθetϕ, et commutent entre eux, tandis queHˆ agit surr, contientLˆ2, et im-plique une simple multiplication par le potentielV(r). Cette remarque essentielle nous conduit à choisir les fonctionsψdans une base de fonctions propres commune aux trois opérateurs. Nous al-lons maintenant affiner l’expression de ces fonctions propres en utilisant les propriétés des opérateurs mis en jeu :
1) Puisque −→ˆ
L est un opérateur de moment cinétique, les valeurs propres de Lˆz et Lˆ2 sont respectivement m¯h et l(l + 1)¯h2, où m et l sont des entiers ou demi-entiers avec l ≥ 0 et m = −l,−l+ 1, . . . , l−1, l. Ceci nous conduit à exprimer les fonctions propres sous la forme ψl,m(r, θ, ϕ), et l’équation précédente sous la forme :
Hψˆ l,m=− ¯h2 2mr
∂2(rψl,m)
∂r2 +l(l+ 1)¯h2
2mr2 ψl,m+V(r)ψl,m
2) D’après l’expression de l’opérateurLˆ2(équation 3.5), qui n’agit que sur les variablesθetϕ, les fonctions propresψl,mpeuvent s’écrire sous la forme :
ψl,m(r, θ, ϕ) =Rl(r)Yl,m(θ, ϕ)
Dans cette expression, les fonctionsYl,m(θ, ϕ)doivent d’une part satisfaire les équations aux valeurs propres de Lˆ2 et Lˆz, et d’autre part former une base orthonormée sur la sphère unité.
On montre que les fonctions harmoniques sphériques, qui s’écrivent sous la formeYl,m(θ, ϕ) =
On montre que les fonctions harmoniques sphériques, qui s’écrivent sous la formeYl,m(θ, ϕ) =