3.4 Flambage d’un film mince élastique
3.4.3 Flambage du film mince
Nous allons utiliser les résultats établis au paragraphe précédent pour décrire le comportement d’un mince film élastique déposé à la surface de l’eau, faiblement déformé suivant un axe x et soumis à une compression latérale Nx. Il faut alors tenir compte du fait qu’il est maintenu en position horizontale par une sous-phase : l’eau. Le terme q dans l’équation (3.52) doit donc être considéré comme non nul, soit de manière permanente (sous-phase élastique), soit de manière transitoire (sous-phase visqueuse).
Film sur un milieu élastique
Décrivons le comportement d’un film mince placé sur un milieu élastique isotrope [79]. Ce film possède une épaisseur h, une largeur d selon la direction de l’axe y et une longueur infinie
selon l’axe x. Comprimons ce film selon cet axe. L’équation différentielle donnant la déformation du film s’écrit : D∂ 4ζ ∂x4 + P∂ 2ζ ∂x2 = σz (3.53)
où D désigne la rigidité de flexion du film, P la compression du film (−Nx), ζ la déformation dans la direction verticale et σzla contrainte verticale (q) exercée par le milieu élastique sur le film en réponse au déplacement vertical du film (ζ).
Une solution de cette équation différentielle peut s’écrire sous la forme d’une onde sinusoïdale de demi-longueur d’onde λ : ζ = ζ0sin(πx/λ). La surface du milieu élastique isotrope doit suivre les déformations du film déposé dessus et la contrainte σzs’écrit alors [79, 80] :
σz= −a λζ0sin πx λ (3.54) avec a = (3−νc)(1+νc)2πEc où Ec et νc sont le module élastique et le coefficient de Poisson du milieu présent sous le film. Remplaçons σzet ζ par leurs expressions dans l’équation différentielle on obtient alors : Dπ 4 λ4 − Pπ 2 λ2 = −a λ (3.55)
Cette équation permet de définir un seuil de compression nécessaire à l’obtention du flambage du film. Pour plus de commodité, écrivons D = E∗h3et P = σh, l’équation précédente se réécrit :
σ = π2E∗(h λ)
2+ a π2(λ
h) (3.56)
La contrainte minimale que l’on doit exercer pour faire flamber le film est alors :
σcri= 3 3 p(3 − νc)2(1 + νc)2E 2 3 c E∗23 (3.57)
Et la demi-longueur d’onde du flambage s’exprime par : λ h cri = πp3 (3 − νc)(1 + νc) E∗ Ec 1 3 (3.58) Cette description du flambage permet de mettre en évidence ce qui est communément appelé le plissage, par opposition au flambage tel qu’il a été décrit par Euler. Dans le cas du plissage où le matériau est soumis à des forces extérieures autres que la force de compression, la longueur d’onde caractérisant la déformation du matériau dépend des propriétés élastiques du film et du support et non pas des dimensions du film. De plus, l’apparition de cette déformation dépend d’un seuil de contrainte fonction des caractéristiques des deux milieux [6].
Film sur un milieu visqueux
Sridhar et collaborateurs [81] ont étudié le cas du flambage d’un film mince étalé sur un milieu visqueux de viscosité η et d’épaisseur d. Le film est de dimension infinie dans la direction de la compression (x), de largeur b et d’épaisseur h. Il est soumis à une contrainte σ qui est reliée à la déformation du film par σ = E/(1 − ν). Décrivons la déformation du film par un profil sinusoïdal de faible amplitude ζ(x, t) = A(t) sin(kx) et reportons cette forme dans l’équation (3.53). Nous obtenons (σd = P ) :
σz = (Dk4− σhk2)A(t) sin(kx) (3.59) Lors de la déformation, le milieu visqueux suit les déformations de l’interface. Une condition aux limites est donc que la vitesse de déformation de l’interface ∂ζ/∂t est proportionnelle à la croissance de la contrainte σz/η et une longueur caractéristique. Plaçons-nous dans le cas où d 1/k, on obtient [82] :
∂ζ ∂t = −
σz
2ηk (3.60)
Remplaçons σzpar son expression (3.59) dans la formule précédente. Nous obtenons l’équa-tion différentielle à laquelle obéit l’amplitude de la perturbal’équa-tion :
∂A ∂t = D 2η σh Dk − k 3 A(t) (3.61)
La solution à cette équation différentielle est : A(t) = A(0)eαtoù α = (D/2η)(khσ/D −k3). Cette équation ne définit pas de seuil de contrainte pour l’apparition du flambage mais elle en dé-crit la dynamique d’apparition : en particulier, elle prédit les longueurs d’onde de déformation possibles. Un paramètre intéressant est alors le vecteur d’onde pour lequel la croissance de l’in-stabilité est la plus rapide :
k = r
2σh
D (3.62)
Ce modèle d’évolution de l’instabilité n’est valable qu’aux temps courts. Lorsque l’amplitude de la déformation devient trop importante, des non-linéarités apparaissent dans l’expression de la déformation du film qui limitent alors la croissance de la déformation [83].
3.5 Conclusion
Ce chapitre nous a permis de dresser un bilan détaillé des instabilités de flambage d’une inter-face. Les différents mécanismes mis en jeu dépendent en particulier de la nature de l’interface se-lon que l’on considère une interface fluide recouverte d’une monocouche, une interface chargée ou une interface recouverte d’un film élastique. Si l’on arrive aujourd’hui à rendre compte des cas de flambage de monocouches ou de diverses interfaces à l’aide des différents mécanismes présentés, il est toutefois difficile de prédire quel sera le comportement sous compression d’une monocouche à une interface. Ainsi la monocouche de copolymère est susceptible de présenter chacune des trois caractéristiques décrites alors qu’il n’existe très vraisemblablement qu’un seul mécanisme de dé-formation. Au chapitre suivant nous décrivons les différentes techniques expérimentales que nous avons utilisées pour mettre en évidence le flambage des monocouches de copolymère. A partir des caractéristiques de ce flambage présentées au chapitre 5 nous proposerons des mécanismes de déformation de l’interface.
Méthodes d’observation et de
caractérisation des monocouches
Dans ce chapitre nous allons présenter les différentes techniques que nous avons utilisées pour mettre en évidence et caractériser le flambage des monocouches de copolymères diblocs neutres-chargés. Nous avons utilisé différentes méthodes de microscopie (fluorescence, contraste de phase ou Brewster) pour observer et caractériser le flambage des monocouches. Les mesures de diffusion diffuse de rayons X par l’interface nous ont permis de montrer la déformation de l’interface.