analyse phénoménologique
2 Méthode d’analyse de la fracturation des verres
2.1 Calcul des contraintes et de la taille de la process zone
2.1.3 Détermination de la process zone à l’aide du champ de la contrainte locale
Dans la seconde approche, nous avons utilisé un critère de plasticité classiquement utilisé en mécanique des milieux continus pour définir la zone plastique au front de la fissure. Notre objectif est de développer une méthode de détermination de l’état élastique ou plastique du volume fini dans le corps du matériau suivant le champ local de la contrainte.
Pour cela, nous avons calculé les contraintes locales dans un volume Vloc localisé près de la zone de la fissure. À l’intérieur d’un volume donné, la contrainte équivalente de Von Mises a été utilisée pour différencier les comportements localement plastique et élastique. La contrainte équivalente de Von Mises est définie comme suit :
3J2 vm = σ
où J2 est le deuxième invariant du déviateur du tenseur des contraintes sij :
ij déterminée par la courbe contrainte-déformation de l’échantillon.
Dans le paragraphe suivant, nous présenterons la méthode choisie pour le calcul de la contrainte locale et son application dans la détermination de la taille de la process zone.
Notre but est ici de disposer d’un critère fondé sur la contrainte locale et permettant de mesurer la taille de la process zone au front de la fissure. Il a été nécessaire de développer un nouveau critère car, comme nous allons le montrer, les niveaux de contraintes calculés avec les méthodes existantes n’ont pas permis d’estimer de façon cohérente la taille de la zone plastique.
Tout d’abord, nous avons utilisé la définition de la contrainte de viriel pour calculer la contrainte locale dans un volume fini contenant N atomes:
∑ ∑
grande fluctuation dans la simulation atomistique [14], ce qui a été vérifié dans notre calcul.L’origine de cette dernière provient des déplacements permanents des atomes qui peuvent traverser dans un sens ou dans un autre régulièrement les frontières d’un volume fini V au cours de la simulation. En 1982, R.J. Hardy [15] a proposé une formule de calcul de la contrainte locale en ajoutant une fonction de localisation pour réduire la fluctuation. La contrainte en un point x au centre d’un volume fini V s’écrit dans cette approche :
∑ ∑
où ϕ(xm−x) est la fonction de localisation, vloc = vm – v, v est la vitesse moyenne de
Les vitesses des atomes sont corrigées pour éliminer les éventuels mouvements de dérives qui ne correspondraient pas à de l’agitation thermique.
Figure IV.5 : Comparaison de la contrainte locale de Hardy et de viriel (a) à pression nulle et (b) à 2% de déformation (A, B des points spatiaux) [14]
La Figure IV.5 représente la comparaison entre la contrainte locale de viriel et de Hardy calculée dans un volume fini d’un cristal de cuivre dont la forme est sphérique avec un rayon Rc. Un petit écartement a été observé sur le système à pression nulle. Avec un système présentant 2% de déformation, la contrainte de Hardy converge plus vite que la contrainte de viriel. La convergence de la contrainte de Hardy est nette à partir de 6 Å, mais pour la contrainte de viriel, il faut attendre 8 Å. La définition de la contrainte locale de Hardy est complexe à implanter dans un code [16], c’est pourquoi la contrainte de viriel est utilisée dans plusieurs ouvrages pour le calcul des contraintes dans un volume local. Dans la littérature, la validité de la définition de Hardy a été testée uniquement sur un réseau ordonné de cuivre [14]
ou de graphène [17]. Nous n’avons trouvé aucun exemple sur un matériau plus complexe (multi-composants, amorphe…).
Afin de pallier les problèmes de la fluctuation des valeurs de la contrainte, nous avons développé une nouvelle définition de la contrainte locale en introduisant une fonction de localisation sur la contrainte correspondant à chaque atome. La contrainte correspondant à un atome m dans ce volume s’écrit d’une façon générale :
La contrainte locale sur le volume V est déterminée à l’aide de la formule :
∑ ∑
entre l’atome m et le centre du volume, Rc est une distance de coupure au-delà de laquelle les atomes ne sont plus pris en compte, V est le volume support de la fonction de localisation.Figure IV.6 : Schéma de calcul de la contrainte locale
La formule ci-dessus est plus simple que la définition de Hardy. Nous allons maintenant comparer les résultats obtenus par notre approche et par la contrainte de viriel. Pour cela, deux structures du verre seront utilisées : l’une équilibrée à pression nulle et l’autre déformée de 3%
de façon uniaxiale. Dans le corps de la structure, deux points sont choisis aléatoirement au centre de volumes sphériques de rayon Rc. Nous avons calculé les contraintes locales pour des valeurs de Rc variant de 5 à 13 Å.
Afin de développer une nouvelle définition de la contrainte locale, une famille de fonctions de localisation a été choisie :
3 nouvelle approche de calcul de la contrainte locale :
3
Figure IV.7 : Fonctions de localisation m
V Rc
rm
La comparaison de la contrainte de viriel avec celles calculées par notre nouvelle méthode est représentée sur les figures ci-dessous. Nous avons utilisé la contrainte équivalente de Von Mises pour avoir un critère qui tient compte de toutes les composantes de la contrainte locale.
(a)
Figure IV.8 : Contraintes locales sur une structure à pression nulle (a) Point 1 (b) Point 2
(a)
Figure IV.9 : Contraintes locales sur une structure déformée de 3% de façon uniaxiale (a) Point 1 (b) Point 2
On observe que dans les deux cas (relaxé ou déformé), l’emploi d’une fonction de localisation permet de diminuer la fluctuation de la contrainte locale. D’autre part, dans l’état relaxé, la contrainte locale, pour les deux points choisis, n’est pas nulle. Ce phénomène provient de la fluctuation des densités locales associée à l’hétérogénéité de la structure à l’échelle nanométrique. Cette hétérogénéité de la structure a donc une influence importante sur les propriétés mécaniques locales du verre.
Il est nécessaire de bien choisir les paramètres A, B de la fonction de localisation. Dans le cas de la deuxième fonction (A=3, B=2), nous avons obtenu des valeurs trop faibles de la contrainte qui ne permettaient pas de mettre en évidence les zones plastiques au cours de la fracturation (en effet, la contrainte reste toujours inférieure à la limite élastique quelque soit la déformation). Au contraire, si les valeurs A et B sont trop petites, la valeur de la contrainte
locale est de plus en plus proche de celle obtenue avec la formule de viriel (ce qui se comprend car la fonction de localisation tend vers 1). Et l’analyse des valeurs montre qu’il existe plusieurs sites ayant atteint un état plastique dans le verre relaxé, ce qui n’est pas logique.
La Figure IV.10 représente la distribution des valeurs de la contrainte de Von Mises locale dans une structure du verre à l’état relaxé ou déformé. La structure du verre est divisée par un maillage selon 3 axes Ox, Oy et Oz. La distance entre 2 nœuds du maillage vaut 10 Å et toutes les valeurs de contrainte aux nœuds ont été calculées. Sur cette figure, on observe qu’avec les paramètres A=3, B=2, la contrainte locale ne présente pas de grandes variations, et le pic maximum se décale de façon surprenante vers la gauche après déformation. D’autre part, les contraintes locales calculées avec les paramètres A=1, B=0.5 présentent une fluctuation plus faible que celle de la contrainte de viriel. Le décalage du maximum reproduit correctement l’évolution de la contrainte sous la déformation.
(a)
Figure IV.10 : Distribution des contraintes locales (a) sur une structure relaxée (b) sur une structure déformée de 3% de façon uniaxiale
Pour ajuster les paramètres A et B, nous avons cherché à retrouver une taille pour la zone plastique (process zone) identique à celle obtenue sur la base du champ des déplacements pour une déformation de 8%. Cette approche utilise le critère de plasticité de Von Mises pour identifier les sites plastiques.
Le Tableau IV.2 fournit les valeurs de la taille de la process zone lorsque les paramètres A et B varient. Des valeurs correctes pour A et B sont obtenues respectivement pour 1 et 0.5.
Approche Paramètre A Paramètre B Taille de la process
zone
Déplacement local 17 Å
1.5 0.75 6 Å
1.2 0.6 14 Å
1.1 0.55 15 Å
Contrainte locale
1.0 0.5 17 Å
Tableau IV.2 : Taille de la process zone suivant les deux approches
Sur la base du calcul de la taille de la process zone, nous avons déterminé les paramètres de la fonction de localisation utilisée pour le calcul de la contrainte locale. Cette approche a été rendue nécessaire car l’utilisation de la définition du ‘virial stress’ sur un volume fini est difficile à mettre en œuvre en raison des grandes fluctuations des contraintes locales sur un réseau désordonné comme celui du verre. Cette nouvelle définition est facilement applicable et nous a permis d’obtenir de bons résultats.