analyse phénoménologique
2 Méthode d’analyse de la fracturation des verres
2.3 Calcul de la ténacité
La ténacité est une propriété importante pour déterminer la résistance contre la rupture d’un matériau. Certains auteurs ont développé des méthodes pour calculer la ténacité à l’échelle atomistique pour les matériaux fragiles en 2D: saphir [18], graphène [19]. L’estimation de cette propriété à l’échelle atomistique est un problème abordé depuis peu pour les matériaux complexes (hétérogènes ou plastiques). Le verre se comporte comme un matériau désordonné et plastique à l’échelle nanométrique, c’est pourquoi il est difficile d’estimer sa ténacité. Ici, nous présentons la méthode que nous avons utilisée pour calculer la ténacité des verres.
À l’échelle nanométrique, le verre se fracture par la croissance et la coalescence des cavités.
Au cours de leur nucléation et croissance, les cavités permettent de relaxer localement la structure du verre, ce qui réduit la concentration de la contrainte au front de la fissure et limite ainsi sa propagation. Si nous calculons directement la ténacité en utilisant le déplacement du front de la fissure, la valeur obtenue est toujours surestimée. C’est pourquoi, il est nécessaire de choisir une méthode qui ne nécessite pas de connaître le déplacement exact de la pointe de la fissure. Nous avons donc choisi la méthode de l’intégrale Gθ.
L’intégrale Gθ est mesurée sur une couronne d’épaisseur non nulle entourant la pointe de la fissure. La Figure IV.12 représente le schéma de calcul de l’intégrale Gθ par la méthode des Eléments Finis.
z
O
x y
z O
x y
P
Figure IV.12 : Contour épais typique utilisé pour le calcul de l’intégrale Gθ [20]
L’intégrale Gθ est calculée à l’aide de la formule :
( ) ∫ ( ) ( )
∫
Ω Ω
Ω θ
∇ σ
− Ω θ
∇
∇ σ
= Tr u d Tr u div d
G 2
1
Avec le vecteur θ (θ1, θ2) :
θ
−
=
θ1 1 cos IJ
IM ; θ
−
=
θ2 1 sin IJ IM
La méthode mise en place consiste à définir plusieurs contours d’épaisseur non nulle et parallélépipédiques de taille croissante autour de la pointe de la fissure. Les contours sont suffisamment étendus pour éviter la prise en compte des déformations plastiques. D’autre part, puisque l’épaisseur de l’échantillon est relativement courte par rapport aux autres dimensions, nous pouvons calculer l’intégrale Gθ dans un schéma 2D. Cela permet de simplifier la démarche de calcul.
Chaque contour est divisé en un ensemble d’éléments carrés tous identiques comme le montre la Figure IV.13. L’épaisseur de chaque élément est égale à celle de l’échantillon. Pour chaque élément, l’ensemble des atomes qu’il contient sont déterminés.
Figure IV.13 : Contour épais utilisé pour la détermination de l’intégrale Gθ (la fissure est représentée par un trait horizontal et le point O représente la pointe de la fissure) Afin de calculer Gθ, il est nécessaire de déterminer le tenseur des contraintes et des déformations sur chaque élément. Au cours de la fracturation, les déplacements de chaque atome entre l’état initial et l’instant t sont connus. En se fondant sur ces déplacements, Gullett et al [21] et ensuite Zimmermann et al. [22] ont développé une méthode pour déterminer la déformation autour de chaque atome. Ci-dessous nous allons présenter la méthode de Zimmermann.
Le calcul du tenseur des déformations sur chaque atome est fondé sur la modification des distances entre atomes premiers voisins.
Si x=
{
x1,x2,x3}
correspond aux positions finales et X ={
X1,X2,X3}
correspond aux positions initiales, le gradient de déformation en un point se définit comme :I i
iI X
F x
∂
= ∂
Pour une paire d’atomes voisins α-β, la modification des différences entre les coordonnées s’écrit :
αβ αβ
I iI
i F X
x =
Mais un même tenseur F ne peut pas être appliqué à toutes les paires de voisins autour d’un atome en raison des déplacements inhomogènes de l’ensemble des atomes.
La méthode consiste à rechercher le tenseur Fα qui minimise l’expression précédente pour tous les atomes premiers voisins autour de l’atome considéré :
( )
∑
=
−
= n i iI I
i x F X
B
1
2 β
αβ α αβ α
La somme est faite sur les n premiers voisins autour de l’atome considéré. On peut montrer que le tenseur Fα vaut dans ces conditions :
( )
−1 moyennée dans un volume fini. Afin d’éviter cette fluctuation, chaque volume élémentaire du contour utilisé pour le calcul de l’intégrale Gθ est divisé en 9 sous – éléments (calcul en 2D) pour lesquels des atomes fictifs sont définis. Chaque atome fictif est placé au centre d’un sous-élément. La position de chaque atome fictif est déterminée en fonction du temps comme la moyenne des positions des atomes du sous-élément. Le tenseur Fα a été calculé à partir des positions des atomes fictifs au cours de la fracturation. Cette méthode permet de définir le tenseur de déformation pour chaque volume élémentaire du contour.
Figure IV.14 : Détermination des atomes fictifs sur les sous-éléments
On peut calculer la contrainte locale sur chaque élément par la méthode que nous avons développée ci-dessus. Cette méthode a donné une valeur de contrainte équivalente à celle de Cauchy à l’échelle locale. Mais au cours de la déformation, il est difficile d’estimer précisément le volume déformé de chaque élément, particulièrement dans le cas d’un matériau désordonné comme le verre. Une surestimation du volume déformé peut conduire à une erreur sur la valeur de la ténacité. C’est pourquoi, nous avons utilisé une méthode de calcul des contraintes qui ne nécessite pas de connaître la valeur du volume déformé des éléments.
Suivant l’approximation de Cauchy-Born, l’énergie potentielle Φ d’un ensemble d’atomes est une fonction du gradient de déformation F :
Φ = f(F)
Si tous les atomes dans chaque élément se déplacent d’une manière uniforme selon le gradient de déformation F, on peut calculer le tenseur des contraintes P associé à F à l’aide de la l’ensemble des atomes dans la configuration de référence (l’instant initial).
Atome fictif Sous-élément
L’énergie potentielle de l’ensemble des atomes s’écrit Φ =
∑
φEn dérivant l’énergie potentielle suivant F : P = Ω∂∂Φ = Ω
∑
∂∂φ ∂∂ contraintes internes et à la déformation) de la mécanique des milieux continus:ω contraintes de Cauchy en sont déduites :
PFT connaissance du tenseur du gradient de déformation F et du tenseur de Piola-Kirchhoff.
Le taux de restitution d’énergie calculé par la méthode Gθ est indépendant du contour si les déformations prises en compte sont purement élastiques ce qui est le cas si le contour est suffisamment étendu pour contenir l’ensemble des déformations plastiques. Ainsi pour chaque élément, sont connus le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations. Il devient alors possible de calculer l’intégrale Gθ.
Pratiquement, le centre de chaque élément constituant le contour épais est utilisé pour déterminer le vecteur θ intervenant dans l’expression de l’intégrale Gθ. Les contraintes et les déformations moyennées sur l’ensemble des atomes contenus dans un élément déterminent la contrainte et la déformation locale de cet élément. La détermination de l’intégrale Gθ se réduit à la sommation de la contribution de chaque élément.
Cette méthode a été mise en place pour déterminer le taux de restitution de l’énergie et par extension le facteur d’intensité des contraintes. Si le calcul est fait pour la configuration correspondant au moment où la fissure commence à se propager, il est possible d’estimer la ténacité du matériau.