analyse phénoménologique
3 Analyse phénoménologique de la fracturation des verres
3.6 Évolution du front de la fissure
La Figure IV.36 représente le déplacement du front de la fissure identifié par deux méthodes : (1) la valeur moyenne du déplacement des trois points au front de la fissure et (2) la valeur du déplacement de la pointe de la fissure.
Sous l’effet de la déformation, on observe un émoussement du front de la fissure dans la phase élastique. Dans le schéma utilisant trois points, le front de la fissure est déplacé d’une distance d’environ 1 Å et se stabilise entre 5 et 22 picosecondes. Si on prend en compte un seul point, il semble que le front de fissure se relâche sous l’effet de la déformation (il se déplace entre 0 et 12 picosecondes et recule vers la valeur initiale entre 12 et 18 picosecondes).
Avec le schéma utilisant 3 points, la fissure se propage à partir de 24 picosecondes, tandis que l’instant de la propagation est de 22 picosecondes si on prend en compte seulement le front de fissure.
À partir de 22-24 picosecondes, le déplacement du front de la fissure progresse rapidement jusqu’à 32 picosecondes. Cette propagation se déroule d’une manière quasi-statique. Entre 32 et 34 picosecondes, la vitesse de propagation de la fissure ralentit car il apparait des cavités dans le verre qui consomme l’énergie fournie. Ces cavités aident à relaxer une partie de la déformation locale et limitent l’avancée du front de la fissure. À partir de 34 picosecondes, la fracturation devient dynamique. Des fluctuations sont observées dans la phase 38-50 picosecondes. Leur origine est liée à la coalescence et à la décohésion locale qui modulent l’avancée du front de la fissure.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Te mps (ps) Déplacement du front de fissure (Å)
Schéma 1 point Schéma 3 points
Figure IV.36 : Déplacement du front de la fissure au cours de la fracturation
3.7 Calcul de la ténacité
Pour déterminer la valeur de l’intégrale Gθ, nous avons utilisé une couronne comme cela a été décrit dans le paragraphe 2.3. Cette couronne contient 50 éléments (2*20 horizontaux + 2*5 verticaux). La taille de chaque élément est de 11 x 11 Å à l’instant initial. Au cours de la
fracturation, la déformation et la contrainte sur chaque élément ont été calculées, et on peut mesurer l’évolution de l’intégrale Gθ.
La difficulté de cette approche est de définir une couronne dont tous les éléments se trouvent dans la zone de déformation élastique. Plusieurs couronnes ont été testées mais il reste toujours certains éléments traversant des zones déformées plastiquement. Nous avons choisi une couronne le plus loin de la process zone pour que le nombre des éléments en état élastique soit maximal.
La Figure IV.37 représente l’évolution de l’intégrale Gθ en fonction du nombre des éléments dans la zone plastique. Sur cette figure, l’intégrale Gθ évolue de façon linéaire avec le nombre des éléments « plastiques ». Cette évolution nous permet d’estimer la valeur de l’intégrale Gθ par extrapolation sur les éléments déformées de façon élastique.
0 5 10 15 20 25
10 15 20 25 30
Nombre des éléments en état plastique
Gtheta (J/m^2)
Figure IV.37 : Évolution de Gθ en fonction du nombre des éléments « plastiques » Supposons que la valeur de Gθ se compose de 2 parties : une partie élastique et une partie plastique :
Gθ = Gθélastique + Gθplastique =
∑
élas θ +N∑
plas θi Ni G
G
où Nélas, Nplas sont respectivement le nombre d’éléments élastiques, et plastiques.
Donc, la partie élastique de Gθ s’écrit sous la forme : Gθélastique =
∑
NélasGθiLe facteur d’intensité de contrainte est calculé selon la formule : E
G
KI = θélastique. (en contrainte plane)
L’évolution du facteur d’intensité de contrainte au cours de la fracturation est représentée sur la Figure IV.38. Une petite fluctuation est observée sur la courbe des valeurs instantanées,
c’est pourquoi nous avons utilisé une moyenne temporelle pour estimer la ténacité. La valeur moyenne est calculée de la façon suivante :
KImoy (t) =
3
) 1 ( ) ( ) 1
(t− +K t +K t+
KI I I
Au cours de la traction, le facteur d’intensité de contrainte augmente jusqu’à 22 picosecondes.
Après le commencement de l’avancée de la fissure (22 ps), le facteur d’intensité de contrainte se réduit. La propagation de la fissure influence nettement l’évolution du facteur d’intensité de contrainte. Dans l’étape suivante (28-32ps), le facteur KI augmente jusqu’à sa valeur maximale correspondant à la ténacité. La ténacité du verre CJ1 est égale à 0.83 MPa.m1/2 (valeur instantanée) et 0.79 MPa.m1/2 (moyenne temporelle).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Te mps (ps)
K1 (MPa.m^0.5)
ins tantanée m oyenne
Figure IV.38 : Évolution du facteur d’intensité de contrainte au cours de la fracturation
Sur la Figure IV.39, on observe la dépendance du facteur d’intensité de contrainte en fonction de la taille de la couronne. Ici, la taille s’exprime par la hauteur des couronnes (la largeur des couronnes est constante). Lorsque la hauteur augmente, la zone calculée s’éloigne de plus en plus de la process zone. C’est pourquoi, une diminution du facteur d’intensité de contrainte a été observée. Théoriquement la valeur du facteur d’intensité de contrainte est indépendante de la taille de couronne dans les régions suffisamment éloignées de la process zone. Pour des boîtes de simulation de 100000 atomes, cette région n’est pas atteinte. Dans le chapitre 5, nous présenterons une estimation du facteur d’intensité de la contrainte pour une boite de simulation plus grande (1 million d’atomes). Nous observerons effectivement une indépendance de la valeur avec le contour.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
20 30 40 50 60 70 80
Taille de couronne(Å)
K1(MPa.m^0.5)
Figure IV.39 : Evolution du facteur d’intensité de contrainte à 32 ps en fonction de la taille de couronne
3.8 La rugosité
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.5 1 1.5 2 2.5
Log(∆∆∆∆x ) Log(∆∆∆∆h)
0.71
0.61
Figure IV.40 : Rugosité de la surface de rupture du verre CJ1
La Figure IV.40 représente la relation log(∆h)-log(∆x) de la surface de rupture du verre CJ1 suivant la direction de propagation de la fissure. Sur cette courbe, on peut déterminer la rugosité par la pente de la courbe. La rugosité du verre CJ1 (0.61) est proche de la valeur universelle de la rugosité suivant la direction de propagation de la fissure 0.6 [31]. À courte distance (sur les trois premiers points), nous avons obtenu une valeur supérieure de la rugosité 0.71.
Afin de vérifier l’auto-affinité de la surface de rupture, nous avons appliqué la formule :
variation de la densité de probabilité pdf(∆h) pour différentes valeurs de ∆x.
Il est nécessaire de tracer les courbes depdf(∆h(∆x)).∆xζen fonction de ∆h(∆x)/∆xζ pour vérifier l’indépendance de l’évolution de ces courbes avec la valeur de ∆x.
Sur la Figure IV.42, deux régimes auto-affines sont trouvés. Les courbes correspondant à
∆x=9Å et ∆x=13.5Å ont une forme similaire et cela correspond à la valeur de rugosité 0.71.
Le deuxième régime (rugosité de 0.61) est observé à partir de ∆x=18Å. Dans ce régime, les courbes normalisées de la densité de probabilité coïncident.
En raison de la taille assez petite de la boîte atomique, le nombre des points pour la statistique reste faible et on observe la fluctuation sur les courbes de la densité de probabilité. Ces courbes ne présentent pas une forme parabolique idéale obtenue en utilisant l’AFM.
0
Figure IV.41 : Densité de probabilité de ∆h pour différentes valeurs de ∆x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-4 -2 0 2 4
deltax=9 deltax=13.5 deltax=18 deltax=27
∆∆∆∆h/(∆∆∆∆x ^ζ)ζ)ζ)ζ) pdf(∆∆∆∆h)(∆∆∆∆x^ζζζζ)
Figure IV.42 : Normalisation de la densité de probabilité de ∆h pour différentes valeurs de
∆x
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