Couplage par prisme

Le couplage par prisme a été précédemment décrit page 40 (Figure 13 et équation (I-16)). Rappelons la condition de couplage :

2 2 sin Re m c p m c n n n ε θ  _ε ⋅  ⋅ = _{ } +     (I-18)

avec np l’indice du prisme et nc l’indice du milieu diélectrique couvrant.

• interrogation angulaire

A partir de l’équation (I-18) et sachant quen_pcosθ = n_p2−N_SPR2 , nous pouvons dériver l’angle SPR (à longueur d’onde fixe) par rapport à l’indice du milieu couvrant pour en déduire la valeur de la sensibilité angulaire SP,θ :

3 2 2 , Re 2 m 2 P p SPR m c c d S n dn θ θ _ε ε _{ }    = = _{  } − +       n N (I-19)

Figure 24 : Sensibilité angulaire de la SPR pour différents prismes en BK7 (n = 1,5142), SF10 (n = 1,7205) et en SF11 (n = 1,7756) (voir Annexe 4) recouverts d’une couche d’or, en

fonction de l’indice de réfraction du milieu diélectrique couvrant à λ = 660 nm.

Sur la Figure 24, pour les différents prismes étudiés, la sensibilité en interrogation angulaire (en radians par unité d’indice de réfraction (R.I.U.)) augmente avec l’indice de réfraction du milieu couvrant pour aboutir à un maximum lorsque l’indice effectif du plasmon de surface est égal à l’indice du prisme (voir le dénominateur de l’équation (I-19)). La sensibilité d’un dispositif SPR couplé par prisme d’interrogation angulaire peut donc être optimisée en choisissant un prisme d’indice le plus proche possible de l’indice effectif du plasmon de surface tout en lui restant supérieur pour que le couplage soit possible. Par contre, dans ces conditions, la sensibilité varie beaucoup avec la valeur de l’indice de réfraction du milieu couvrant tandis que lorsque l’indice de milieu diminue (ou si nous utilisons un prisme d’indice plus élevé), la sensibilité angulaire devient quasiment indépendante du milieu couvrant.

A.N. : Pour revenir à l’exemple étudié dans la Figure 16, c’est-à-dire un milieu couvrant liquide d’indice nc = 1,333 à λ = 660 nm, et en considérant que nous pouvons détecter sans

problème la position du minimum avec une précision de 10-3 degrés, la sensibilité angulaire S_P,θ et la résolution ∆nmin valent :

Verre SP,θ (rad/R.I.U.) ∆nmin (R.I.U.)

BK7 2,4628 7,1⋅10-6

SF10 1,2863 1,4⋅10-5

SF11 1,1694 1,5⋅10-5

Figure 25 : Sensibilité angulaire de la SPR pour différents prismes en BK7, SF10 et en SF11 (indices de réfraction dans l’Annexe 4) recouverts d’une couche d’or, en fonction de la

longueur d’onde pour un milieu diélectrique couvrant d’indice nc = 1,333.

La sensibilité angulaire devient plus élevée aux longueurs d’onde faibles. Pour les longueurs d’onde élevées, la sensibilité angulaire ne varie plus beaucoup avec la longueur d’onde et, loin de la singularité, son expression peut être simplifiée (|εm| >> nc2) et devient

quasiment indépendante des propriétés du métal [41] :

(

)

, , 2 2 1 P P p c S S n n θ ≅ +θ = − (I-20)

Nous pouvons remarquer que les systèmes commerciaux cités dans le paragraphe I.2.3.1 (page 44) utilisent des longueurs d’ondes proches de 800 nm et non des longueurs d’ondes proches de 600 nm comme nous pourrions nous y attendre suite à ces calculs. La

raison en est très simple : l’augmentation de la sensibilité à faible longueur d’onde s’accompagne d’une augmentation importante du bruit de mesure. En effet, détecter la position d’un minimum n’est pas chose aisée car, par définition, il se situe à un point où la dérivée de la courbe s’annule et ses voisins immédiats ont donc une valeur très proche de ce minimum. A faible longueur d’onde, le pic d’absorption dû à la SPR s’élargit, rendant plus difficile une détection précise du minimum. Le passage d’une longueur d’onde de travail λ1 = 800 nm à λ2 = 600 nm dans le cas d’un prisme en BK7, bien que multipliant la sensibilité

par 2 (voir Figure 25), va élargir le pic, et par voie de conséquence diminuer le rapport signal sur bruit par un facteur 5 (voir Figure 26). Cette baisse finale de la résolution ne sera pas profitable pour la détection des interactions biomoléculaires.

∆θ

min

∆

Rmin

∆θ

min

Figure 26 : Réflectivité, en polarisation TM et pour deux longueurs d’onde (λ1 = 600 nm et

λ2 = 800 nm), entre un prisme en BK7 et une couche d’or de 48 nm en contact avec un milieu

liquide (nc = 1,333). A droite, est illustré le fait que, pour une résolution de mesure ∆Rmin, la

précision de positionnement du minimum est d’autant plus précise que le pic est étroit.

• interrogation spectrale

Toujours à partir de l’équation de couplage (I-18), nous pouvons dériver la longueur d’onde de SPR (à angle fixe) par rapport à l’indice du milieu couvrant pour en déduire la valeur de la sensibilité spectrale SP,λ :

(

)

3 3 2 , 2 ₃ 2 Re Re 2 p m SPR c m P m c c c m m c dn d N n d d S n n d dn n λ λ _ε ε _λ ε ε ε   λ   _{ }  _{ }    = = _{   } ⋅ − ⋅ _{ } +     _  _{⋅ + }   _{  }    (I-21)

Figure 27 : Sensibilité spectrale de la SPR pour différents prismes en BK7, SF10 et en SF11 (indices de réfraction dans l’Annexe 4) recouverts d’une couche d’or, en fonction de la

longueur d’onde pour un milieu couvrant d’indice nc = 1,333.

La sensibilité spectrale augmente rapidement avec la longueur d’onde, contrairement à la sensibilité angulaire. Généralement, pour les verres couramment utilisés, la dispersion est faible, surtout aux faibles longueurs d’onde [41]. Pour les faibles longueurs d’onde, le terme en (dnp/dλ) du dénominateur de l’équation (I-21) peut être négligé, ce qui est confirmé par la

superposition des 3 courbes de la Figure 27 obtenues pour trois prismes différents.

A.N. : Toujours dans le cadre de l’exemple de la Figure 16, c’est-à-dire un milieu couvrant liquide d’indice nc = 1,333 à λ = 660 nm, et en considérant que nous pouvons détecter sans

problème la position du minimum avec une précision de 0,1 nm, la sensibilité spectrale S_P,λ et la résolution ∆nmin valent :

Verre SP,λ (µm/R.I.U.) ∆nmin (R.I.U.)

BK7 2,3629 4,2⋅10-5

SF10 2,5831 3,9⋅10-5

Figure 28 : Sensibilité spectrale de la SPR pour différents prismes en BK7 (n = 1,5142), SF10 (n = 1,7205) et en SF11 (n = 1,7756) recouverts d’une couche d’or, en fonction de

l’indice de réfraction du milieu diélectrique à λ = 660 nm.

Les dispositifs SPR couplés par prisme en interrogation spectrale ont un comportement opposé à ceux en interrogation angulaire : ils ont une meilleure sensibilité pour les grandes longueurs d’onde, les faibles indices de réfraction du diélectrique et des indices de prisme élevés. La Figure 29 résume simplement, dans le cas de la SPR excitée par un prisme en BK7, les propriétés opposées de l’interrogation angulaire et de l’interrogation spectrale lorsque l’indice du milieu diélectrique augmente. Dans la configuration 1, à λ = 800 nm, cette augmentation provoque une variation importante ∆λ1 de longueur d’onde ou une variation

faible ∆θ1 de l’angle de résonance tandis que dans la configuration 2, à λ = 585 nm, cette

augmentation provoque une variation faible ∆λ2 de longueur d’onde ou une variation

Figure 29 : Position de la résonance des plasmons de surface en longueur d’onde et en angle d’incidence pour un prisme en BK7 recouvert d’une couche mince d’or et un milieu diélectrique d’indice nc = 1,333. La seconde courbe, au-dessus de la première, simule une

augmentation d’indice du milieu couvrant ∆nc = 10-2.

• Interrogation en réflectivité

Dans cette configuration, l’équation de couplage (I-18) n’est plus valable car la mesure ne se fait plus au minimum de réflectivité correspondant à la résonance des plasmons de surface mais au maximum de la pente de la courbe de réflectivité en fonction de la longueur d’onde ou de l’angle d’incidence. Ces deux possibilités aboutissent à la même configuration où l’angle d’incidence et la longueur d’onde sont fixés.

La sensibilité en interrogation en réflectivité sera d’autant plus importante que le pic d’absorption dû à la résonance des plasmons de surface est étroit et profond (minimum de réflectivité proche de zéro), ce qui augmente la pente maximale de la réflectivité et que le minimum de réflectivité (correspondant à la SPR) se déplace rapidement avec les perturbations survenant au cours d’une expérience. La forme de ce pic d’absorption, et par voie de conséquence la sensibilité en interrogation en réflectivité, dépendent non seulement de la permittivité du métal utilisé mais aussi de l’épaisseur de la couche métallique (Figure

32). Pour évaluer l’influence de ces différents paramètres sur la sensibilité, nous avons procédé par des simulations informatiques qui sont représentées sur les figures suivantes :

Figure 30 : Sensibilité de la SPR en réflectivité pour différents prismes en BK7, SF10 et en SF11 (indices de réfraction dans l’Annexe 4) recouverts d’une couche d’or, en fonction

de la longueur d’onde pour un milieu couvrant d’indice nc = 1,333 et une épaisseur d’or

e = 48 nm.

D’après la Figure 30, représentant pour différents prismes la sensibilité de l’interrogation en réflectivité en fonction de la longueur d’onde, nous pouvons dire en première approximation que cette sensibilité en interrogation en réflectivité est directement proportionnelle à la longueur d’onde et ne dépend pas de l’indice du prisme utilisé pour le couplage.

Figure 31 : Sensibilité de la SPR en réflectivité pour différents prismes en BK7 (n = 1,5142), SF10 (n = 1,7205) et en SF11 (n = 1,7756) recouverts d’une couche d’or, en fonction de l’indice de réfraction du milieu diélectrique couvrant à λ = 660 nm et pour une épaisseur

d’or e = 48 nm.

D’après la Figure 31, qui représente la sensibilité en réflectivité en fonction de l’indice de réfraction du milieu couvrant, nous pouvons dire en première approximation que la sensibilité en interrogation en réflectivité ne dépend pas de l’indice du prisme utilisé pour le couplage et décroît avec l’indice de réfraction du milieu diélectrique. La sensibilité devient dépendante de l’indice du prisme quand l’indice effectif du plasmon de surface devient proche de cet indice, ce qui explique que dans la Figure 30, la sensibilité en fonction de la longueur d’onde soit superposée pour les prismes en SF10 et SF11 alors que pour le prisme en BK7, elle est légèrement différente. Puis, lorsque l’indice du milieu diélectrique devient trop important, il devient impossible d’exciter le plasmon de surface avec le prisme (NSPR > np) et

Figure 32 : Sensibilité de la SPR en réflectivité pour différents prismes en BK7 (n = 1,5142), SF10 (n = 1,7205) et en SF11 (n = 1,7756) recouverts d’une couche d’or en fonction de son

épaisseur, à λ = 660 nm et pour un milieu couvrant d’indice nc = 1,333.

D’après les simulations effectuées pour tracer la courbe de la Figure 32, l’épaisseur optimale d’or, pour l’interrogation en réflectivité à λ = 660 nm, est 58 nm quel que soit le prisme utilisé. Une tolérance de ± 5 nm sur cette épaisseur conduit alors à une perte de sensibilité d’au plus 5 %. Cette épaisseur optimale ne correspond pas à l’épaisseur minimisant la réflectivité à l’angle de résonance (e = 48 nm) qui, elle, correspondrait à une dynamique maximale du système.

A.N. : Pour un prisme recouvert d’une couche d’or d’épaisseur 48 nm en contact avec un milieu couvrant liquide d’indice nc = 1,333 à λ = 660 nm, et en considérant que nous pouvons

détecter une variation de réflectivité avec une précision de 0,05 %, la sensibilité en réflectivité SP,R et la résolution ∆nmin valent :

Verre SP,R (%/R.I.U.) ∆nmin (R.I.U.)

BK7 5288 9,5⋅10-6

SF10 5082 9,8⋅10-6

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