Contrainte de cisaillement

Calcul de la contrainte de cisaillement totale

L’objectif de ce projet de recherche étant l’étude du transport de sédiments, la contrainte au fond doit être calculée afin de connaître les régimes de transport que nous étudierons. La contrainte totale de cisaillement moyennée dans le temps

τ

est calculée grâce aux équations (IV-4) à (IV-6):

L T

τ τ τ= +

(IV-4) L

u

y

τ =µ^∂

∂

^(IV-5) ' ' T fu v

τ

= −

ρ

(IV-6)

Dans ces équations,

τ

_L et

τ

_T représentent respectivement la moyenne temporelle de la contrainte de cisaillement visqueuse et la contrainte de cisaillement turbulente. La contrainte de cisaillement turbulente est aussi appelée contrainte de Reynolds. Les différents termes de ces équations sont déterminés à partir des mesures PIV. La contrainte s’exerçant au fond est calculée à une hauteur de 0,5mm au dessus de la paroi. Elle est notée

τ

_0,5 et est appelée par abus de langage « contrainte au fond ». Les billes que nous utilisons ayant une taille variant de 200 à 800 µm. La contrainte calculée à 0,5mm du fond est donc bien représentative de l’action de l’écoulement sur une bille au repos.

Contrainte s’exerçant sur le fond

Nous avons vu dans la section précédente que les profils de vitesse varient avec la distance à l’hémisphère. Nous déterminons donc la contrainte au fond en aval de l’hémisphère en fonction de cette distance. Cette évolution est donnée sur la Figure IV-11 pour tous les tests. On observe effectivement une évolution de la contrainte au fond en fonction de la distance à l’hémisphère pour certains tests. Pour ReR < 659, la contrainte est quasiment constante en fonction de x/R. En revanche, pour ReR > 659, elle augmente de façon importante entre x/R = 4,5 et x/R = 11,5. Cette variation de la contrainte est liée à la variation des profils de vitesses au cours du temps. L’augmentation observée est d’autant plus importante que le nombre de Reynolds ReR augmente.

Afin de connaître l’influence des hairpin vortex sur la contrainte au fond, nous déterminons la même contrainte en amont de l’hémisphère,

τ

_{0,5 amont} . Elle est donnée dans le Tableau IV-2, avec la contrainte au fond en aval de l’hémisphère moyennée dans la direction longitudinale

τ

_{0,5 aval} . Cette contrainte moyenne est calculée sur la distance de 4,5 à 11,5R, qui est la distance à laquelle sera positionné le lit de particules pour l’étude du transport solide. La comparaison des contraintes en amont et en aval montre une augmentation de la contrainte moyenne d’un facteur 1,7 à 2,4 en présence des hairpin vortex. La contrainte aval en fonction de la distance à l’hémisphère peut être jusqu’à 3,22 fois supérieure à la moyenne en amont. Cette augmentation est due à la modification des profils de vitesse de l’écoulement. En effet, nous avons vu que pour x/R ≤ 10, les profils de vitesse moyenne sont fortement déformés, près du fond, ce qui engendre un fort gradient de vitesse donc une forte contrainte de cisaillement visqueuse. D’autre part, la présence des hairpin vortex augmente la turbulence de

l’écoulement, ce qui va produire de fortes fluctuations de vitesse, donc une forte contrainte de cisaillement turbulente. De plus, nous observons que les écarts-types donnés dans le Tableau IV-2 sont beaucoup plus importants en aval de l’hémisphère qu’en amont. Ceci s’explique par la variation de contrainte au fond en fonction de x/R et aussi par l’augmentation des fluctuations de

τ

_0,5 en présence des hairpin vortex.

Figure IV-11 : Evolution de la moyenne temporelle de la contrainte de cisaillement au fond (y = 0,5mm)

τ

_0,5 en kg.m²/s² en fonction de x/R Test utip (m/s) ReR 0,5 amont

τ

(10^-2 kg.m²/s²) 0,5 aval

τ

(10^-2 kg.m²/s²) CL_1 0,042 341 0,36±0,7 0,779±1,4 CL_2 0,06 447 0,45±0,9 1,26±2,3 CL_3 0,068 553 0,587±1,1 1,61±3,1 CL_4 0,081 659 0,847±1,6 2,12±4 CL_5 0,097 789 1,08±2 2,51±4,5 CL_6 0,12 895 1,27±2,2 3,01±5,5 CL_7 0,125 1017 _1,49±2,7 3,56±6,1

Tableau IV-2 : Contrainte de cisaillement moyennée en temps et en espace, en amont et en aval de l'hémisphère à une hauteur y=0,5mm

Profils de contrainte visqueuse et de contrainte turbulente

Afin de comprendre l’importance de la contrainte turbulente et de la contrainte visqueuse dans la contrainte totale moyenne de l’écoulement, les profils des deux contraintes sont présentés sur la Figure IV-12. Sur cette figure, les profils de contrainte turbulente et de contrainte visqueuse sont donnés pour les tests CL_4 et CL_5, (a) en amont de l’hémisphère et en trois positions en aval de l’hémisphère : (b)

l’hémisphère, près du fond, la contrainte visqueuse est largement supérieure à la contrainte turbulente, alors que plus haut dans l’écoulement, le contraire est observé. En effet, on voit que pour y/R ≈ 0,2, la contrainte visqueuse est responsable de 50% à 90% de la contrainte totale alors qu’au dessus, c’est la contrainte turbulente qui est largement représentée dans la contrainte totale.

Cette observation pousse à penser que la contrainte de cisaillement responsable du transport des particules dans ce type d’écoulement sera majoritairement visqueuse près du fond et turbulente dans le haut de l’écoulement. De plus, la comparaison entre les profils en amont et en aval de l’hémisphère montre bien l’augmentation des deux contraintes en présence des hairpin vortex par rapport à l’écoulement initial.

Figure IV-12 : Profils de contrainte turbulente (

⋅⋅+ ⋅⋅

) et de contrainte visqueuse ( + ) moyennés en temps, tests CL_4 et CL_5, (a) en amont de l’hémisphère et en aval de l’hémisphère en (b) x/R=5, (c) x/R =

Vitesse de frottement

A partir des profils de contrainte turbulente, il est possible de déterminer la vitesse de frottement

*

u . Cette vitesse est déterminée en utilisant l’équation (II-6) avec h=2,5cm. Les vitesses de frottement ainsi obtenues sont données dans le Tableau IV-3 et ont été utilisées pour compléter le Tableau III-5 donnant les conditions expérimentales en écoulement chargé en particules. Cette vitesse de frottement est calculée entre x/R = 4,5 et 11,5. Elle est fortement variable comme le montrent les écarts-types car les profils de contrainte turbulente varient en fonction de la distance à l’hémisphère. Pour le Tableau III-5, nous prenons la valeur moyenne de cette vitesse.

Test *

u

(mm/s) CL_1 5,38±0,6 CL_2 7,2±1,2 CL_3 8,53±1 CL_4 9,72±1,28 CL_5 10,6±1,6 CL_6 14,55±3,4 CL_7 17,5±4,5

Tableau IV-3 : Vitesse de cisaillement au fond

IV.2.3 Application au transport solide : seuils de mise en

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