Approche analytique

Pour ce faire nous nous baserons une fois de plus sur l’´equation d’´evolution DNL pour ce syst`eme d dt<sup>θR =</sup> k<sub>1</sub> 2 <sup>(1−θR) (θR+a+θR−a)−k2θR(1−θR+a) (1−θR−a)</sup> +<sup>Γ</sup> 2 <sup>(θR+a+θR−a−2θr) (4.32)</sup> dont la limite continue est (`a l’ordrea2)

∂ ∂t^{θR = k1θR(1−θR)−k2θR(1−θR)} 2+a2k₂θ_R(∇θ_R)² +a2 · Γ 2 ⁺ k₁ 2 ^{(1−θR) +k2θR(1−θR)} ¸ ∇2θ_R (4.33) Nous pouvons remarquer qu’en plus d’un coefficient de diffusion d´ependant de la concentration, cette ´equation admet un terme de «friction » non-lin´eaire de la forme a2k2θ(∇θ)² comme le pr´evoit de mani`ere g´en´erale l’´eq. (4.4). Une int´egration num´erique de l’´eq. (4.32) r´ev`ele que la DNL, malgr´e son aspect ap-proximatif, est une repr´esentation qualitativement valable de la dynamique des

0 0.5 1 1.5 2 Γ −0.1 −0.05 0 0.05 v_prop

Fig. 4.5. Vitesse de propagation asymptotique dans le mod`ele TBM pour k₁ = 0,1,

k₂ = 0,25 en fonction de la probabilit´e de saut Γ, pour un condition initiale du type Heaviside respectant (4.29)-(4.30). Les courbes pleines, discontinues et pointill´ees ont la mˆeme signification que dans les figures pr´ec´edentes.

simulations. En effet, tant le profil du front de r´eaction (Figure 4.4) que la vitesse de propagation de celui-ci (Figure 4.5) obtenus dans la DNL offrent des r´esultats en meilleur accord avec les simulations que ne le fait l’´equation classique de r´eaction-diffusion. Comme nous l’avons suppos´e dans la section 4.2, le couplage spatial non-lin´eaire induit par la r´eaction (4.32) ne partage toutefois pas avec l’´equation CM (4.28) la propri´et´e de d´eriver d’un potentiel et nous ne pouvons donc nous baser sur des notions de stabilit´e relative des ´etats pour expliquer les r´esultats obtenus. De plus, en l’absence de transfert par diffusion (Γ = 0), l’´equation DNL admet une multiplicit´e prononc´ee d’´etats stationnaire inhomog`enes correspondant `a des sites isol´es recouverts par A(ads) et s´epar´es entre eux par des ˆılots de sites vides de taille arbitraire.

Nous pouvons cependant comme pr´ec´edemment tirer avantage de la limite continue pour avoir acc`es `a une compr´ehension analytique de la propagation des fronts. Le param`etrea est tout d’abord ´elimin´e par une red´efinition de la variable d’espace (R→R/a) ; l’´eq. (4.33) devient

∂ ∂t^{θ = θ(1−θ) [k1−k2(1−θ)] +k2θ(∇θ)} 2 +¹ 2 ^{[Γ +k1(1−θ) + 2k2θ(1−θ)]∇} 2θ (4.34)

o`u, pour des raisons de clart´e, nous ne notons pas explicitement la coordonn´ee spatiale ainsi introduite. Nous proposons de d´eterminer une approximation asymp-totique de la solution pour le front d’onde, valide pour de petites valeurs dek1 et

k₂. Introduisons dans ce but le petit param`etre ε etκ=O(1) d´efinis comme

ε≡k₁ etk₂ =εκ, (4.35)

et recherchons des solutions sous forme d’onde de propagationθ =θ(z, ε) o`uz est donn´e par

z ≡^√εR−vεt. (4.36)

L’´eq. (4.34) peut se r´e´ecrire en termes de (4.35) et de (4.36)

−vθ⁰ = θ(1−θ) [1−κ(1−θ)] +ε κ θ θ⁰²

+¹

2^{[Γ +ε(1−θ) + 2ε κ θ(1−θ)] θ}

00 (4.37)

o`u la d´eriv´ee est prise par rapport `a z. Nous consid´erons des conditions initiales identiques `a celles introduites dans le cadre des int´egrations et simulations

θ(−∞) = 1 etθ(∞) = 0. (4.38) Lorsque ε = 0 l’´eq. (4.37) se r´eduit `a l’´equation de Fisher-Kolmogorov avec une non-lin´earit´e locale cubique et un coefficient de diffusion constant, en d’autres termes la description du champ moyen est valide. Dans le cas sp´ecifique d’une ´equistabilit´e entre les deux ´etats stationnaires stables, v = 0 et l’´eq. (4.37) admet une solution simple

θ=θ₀(z) = ¹

1 + exp^³√2Γ−1z^{´ (4.39)}

si

κ=κ₀ = 2, (4.40)

donnant acc`es au profil d’un front stationnaire. Siκest proche deκ₀, nous pouvons chercher une solution sous forme d’une onde se d´epla¸cant lentement en terme d’un d´eveloppement en s´erie selonε

θ = θ₀(z) +εθ₁(z) +...

v = εv₁+..., κ= 2 +εκ₁+.. (4.41)

Ins´erant (4.41) dans l’´eq. (4.37) et ´egalant `a z´ero les diff´erentes puissances de ε, nous obtenons une ´equation pour θ₁ de la forme

¡

−1 + 6θ0−6θ₀^2¢θ1+ ¹ 2^Γθ

00

o`u leRdans le membre de droite contient tous les termes non-lin´eaires engendr´es par l’aspect discret et non-local de l’´equation d’´evolution :

R ≡ −v1θ⁰₀+κ1θ0(1−θ0)²−2θ0(θ⁰₀)²− ¹

2^{(1−θ0)(1 + 4θ0)θ}

00

0. (4.43) Le membre de gauche de l’´eq. (4.42) admet la solution non-triviale θ₁ = θ0

0. La solvabilit´e de l’´eq. (4.42) (une solution born´ee pour z → ±∞) requiert donc la

condition _{Z ∞}

−∞

R(z)θ⁰₀dz = 0 (4.44) A l’aide de (4.43) et de (4.39), ´evaluant l’int´egrale dans (4.44), nous obtenons ainsi une ´equation pour la vitesse

v₁ =−¹ 2 r Γ 2^(κ1−Γ −1). (4.45)

Pour de valeurs ´elev´ees de Γ,v₁ est n´egative et proportionnelle `a ^√Γ, ce qui n’est pas surprenant puisque dans cette limite le coefficient de diffusion est essentiel-lement constant suivant l’´eq. (4.34). Il est int´eressant de noter cependant que v₁

peut changer de signe lorsque Γ diminue, en accord avec l’int´egration de la DNL et les simulations (Figure 4.5). Plus pr´ecis´ement,v₁ change de signe pour Γ = Γ_c:

Γc =κ⁻₁¹ = ^k2−2k1

k2 1

etκ1 >0. (4.46) La seconde condition correspond `a k<sub>2</sub> > 2k<sub>1</sub>, ce qui signifie que θ<sub>3</sub> doit ˆetre l’´etat stable, en d’autres termes une inversion du sens de propagation est attendue lorsque θ = 1 est m´etastable ; ceci est d’ailleurs confirm´e par int´egration et par simulation de Monte Carlo. Notons que tous les termes non-lin´eaires provenant de la dynamique non-locale et discr`ete contribuent au terme Γ−1 dans (4.45), ce qui appuie encore notre constatation selon laquelle les processus non-lin´eaires sont la cause de la propagation inhabituelle. Pour les valeurs des param`etres choisies dans la Figure 4.5 (k<sub>1</sub> = 0,1 et k<sub>2</sub> = 0,25), ε = 0,1 et κ = 2,5, et donc κ<sub>1</sub> = 5 et Γc = 0,20... ce qui est tr`es proche du r´esultat de l’int´egration de la dynamique non-locale (Γ_c ≈0,2006) mais inf´erieur au r´esultat des simulations (Γ_c≈0,747). La d´eviation par rapport aux simulations doit, une fois de plus, ˆetre attribu´ee `a la pr´esence de corr´elations importantes dans la r´egion du front ; quoiqu’il en soit l’approche DNLC semble ˆetre dans ce syst`eme une bonne approximation qualita-tive. Si Γ → 0, v₁ → ∞ et l’expansion asymptotique supposant que v₁ = O(1) n’est plus valide.

Notons que la stabilisation d’un ´etat m´etastable, telle que celle que nous avons observ´ee ici, partage plusieurs similarit´es avec un ph´enom`ene de stabilisation par

fluctuations propos´e r´ecemment par certains auteurs ([100] et r´ef´erences incluses). D’importantes diff´erence subsistent toutefois par rapport `a cette approche, puisque nous avons pu mettre en ´evidence l’absence d’un potentiel cin´etique, en opposition aux travaux mentionn´es. Il serait int´eressant de pousser l’analyse plus loin afin de d´eterminer si ces deux ph´enom`enes de stabilisation sont simplement similaires, ou si une analogie plus forte existe entre les deux.