Anamnèse de la vie, de la mort et de la résurrection du Seigneur

Antes de determinar a presença de trincas via análises dinâmicas, os próximos três exemplos (exemplo 9, 10 e 11) testam se a implementação da análise dinâmica no código de MECD está dando resultados esperados do ponto de vista da análise dinâmica.

5.4.1 – Exemplo 9 – Chapa com 1 Reforçador – Análise Dinâmica

O primeiro exemplo numérico aqui apresentado é o de uma chapa com apenas um reforçador posicionado, a princípio, no centro da chapa e depois variando sua posição dentro da mesma. Como neste exemplo a chapa é considerada fina, podemos resolver esse problema usando a consideração de estado plano de tensão e conseguir a resposta em apenas 2D. As diferentes posições do reforçador dentro da chapa podem ser vistas na Figura 5.20. As condições de contorno utilizadas para a resolução do problema também podem ser encontradas na mesma figura. Para a resolução deste exemplo foram empregados 12 elementos no contorno da peça e pelo menos três elementos internos em cada reforçador. O material utilizado na chapa e para o reforçador foi o aço. As propriedades do material da chapa e do reforçador podem ser vista na Tabela 5.3. As dimensões da chapa eram: largura de 20 m e altura de 40 m. Cada reforçador tinha a área transversal de 5 m2. O carregamento dinâmico aplicado à chapa estava apenas na parte superior da mesma, com intensidade unitária. Para maior simplicidade da apresentação do problema e mais fácil visualização do resultado, as forças concentradas e momentos aplicados nos reforçadores tiveram amplitudes nulas. O gráfico da Figura 5.21 mostra os resultados alcançados para os diferentes posicionamentos dos reforçadores no interior da chapa. Para comparação dos resultados alcançados utilizando esse código e resultados que poderiam ser considerados corretos foi empregado um código estático já consagrado de MEC (Salgado e Aliabadi, 1996). A comparação dos resultados pode ser realizada quando, na aplicação do código dinâmico, a freqüência aplicada ao problema seja reduzida de modo a se obter um valor mais próximo do resultado obtido com o código estático para o problema. Com isso, aplicando-se a freqüência ω = 0.001 deveria se obter resultados muito próximos com o código estático e dinâmico.

Tabela 5.3 – Propriedades Geométricas e do Material para a Chapa e Reforçador de Aço. Dimensões (m) 20 x 40 x 0.10

Módulo de Young, E (GPa) 200 Módulo de Cisalhamento, G (GPa) 77

Densidade, ρ (kg m-3) 8000

Coeficiente de Poisson, υ 0.3

Figura 5.20 – Exemplos numéricos para diferentes posicionamentos dos reforçadores dentro da chapa.

Figura 5.21 – Valores dos deslocamentos ao longo da parte superior da chapa com um reforçador usando os códigos estático e dinâmico.

As concordâncias nos deslocamentos para as curvas com os códigos dinâmicos e estáticos podem ser consideradas satisfatórias, considerando, que foi usado um valor pequeno para a freqüência no caso do código dinâmico para se chegar a essa comparação com o resultado do código estático. Os deslocamentos apresentados no eixo y do gráfico da Figura 5.21 foram normalizados usando o valor v0 que é igual ao deslocamento do nó central da parte

superior da chapa sem o uso de reforçadores (sendo igual em valor à 0.4574 mm). O eixo x foi normalizado com a distância d = 20.0 mm fazendo com que x varie de 0 a 1, pois o lado da chapa mede 20 mm. Pequenas variações nos resultados estáticos e dinâmicos devem ser esperadas pela grande diferença na aproximação do problema, mas é nítida que a tendência dos resultados alcançada no código dinâmico estando concordante com os resultados do código estático para as diferentes posições dos reforçadores e isso mostra que o programa esta correto e pode, então, ser avaliado para diferentes freqüências a serem empregadas.

5.4.2 – Exemplo 10 – Chapa com 2 Reforçadores – Análise Dinâmica

O segundo exemplo numérico é uma chapa com dois reforçadores. As diferentes posições escolhidas para se realizar as medições dos deslocamentos podem ser vistas na

Figura 5.22. As condições de contornos empregadas neste exemplo também podem ser verificadas na Figura 5.22. Para este exemplo também foram empregados 12 elementos no contorno, e o material da chapa e dos reforçadores também é o aço. As propriedades também são as mesmas da Tabela 5.3. As dimensões da chapa e reforçadores também são as mesmas do exemplo anterior. O carregamento dinâmico aplicado à chapa estava apenas na parte superior da mesma, com intensidade unitária, igualmente como no primeiro exemplo.

Figura 5.22 – Exemplos numéricos para diferentes posicionamentos dos reforçadores dentro da chapa.

O gráfico da Figura 5.23 mostra os resultados alcançados para os diferentes posicionamentos dos reforçadores no interior da chapa. Para comparação dos resultados alcançados utilizando esse código e resultados que poderiam ser considerados corretos foi empregado um código estático já consagrado de MEC (Salgado e Aliabadi, 1996). A comparação dos resultados pode ser realizada quando, na aplicação do código dinâmico faz-se com que a freqüência aplicada ao problema seja reduzida de modo a se obter o mais próximo do resultado estático do problema. Com isso, aplicando-se a freqüência ω = 0.001 deveria se obter resultados muito próximos com o código estático e dinâmico.

As concordâncias nos deslocamentos para as curvas com os códigos dinâmicos e estáticos podem ser consideradas também satisfatórias, considerando que foi usado um valor

pequeno para a freqüência no caso do código dinâmico para se chegar a essa comparação com o resultado do código estático. Podem ser visualizadas que todas as tendências são mantidas também para este caso com dois reforçadores no interior da chapa. Os deslocamentos apresentados no eixo y do gráfico da Figura 5.23 foram normalizados usando o valor v0 que é igual ao deslocamento do nó central da parte superior da chapa sem

o uso de reforçadores (sendo igual em valor à 0.4574 mm). O eixo x foi normalizado com a distância d = 20.0 mm fazendo com que x varie de 0 a 1, pois o lado da chapa mede 20 mm. Pode se perceber que a presença agora de dois reforçadores enrijecem mais a estrutura e com isso diminuem os valores dos deslocamentos, o que era esperado. As variações dos resultados utilizando o código dinâmico e estático ficam neste caso igual as variações para o exemplo com um reforçador, mostrando com isso também a coerência do código.

Figura 5.23 – Valores dos deslocamentos ao longo da parte superior da chapa com dois reforçadores usando os códigos estático e dinâmico.

5.4.3 – Exemplo 11 – Chapa com 3 Reforçadores – Análise Dinâmica

No terceiro e último exemplo para comprovação do código MECD-Vdin aqui

desenvolvido, foi empregado as mesmas dimensões para a chapa, mas agora com três reforçadores dentro dela. As diferentes posições escolhidas para se realizar as medições

dos deslocamentos podem ser vista na Figura 5.24. As condições de contornos empregadas neste exemplo também podem ser verificadas na Figura 5.24. Para este exemplo também foram empregados 24 elementos no contorno, e o material da chapa e dos reforçadores também é o aço. As propriedades também são as mesmas da Tabela 5.3. As dimensões da chapa e reforçadores também são as mesmas dos exemplos anteriores. O carregamento dinâmico aplicado à chapa estava apenas na parte superior da mesma, com intensidade unitária, igualmente como nos primeiros exemplos.

Figura 5.24 – Exemplos numéricos para diferentes posicionamentos dos reforçadores dentro da chapa.

O gráfico da Figura 5.25 mostra os resultados alcançados para os diferentes posicionamentos dos reforçadores no interior da chapa. Para comparação dos resultados alcançados utilizando esse código e resultados que poderiam ser considerados corretos foi empregado um código estático já consagrado de MEC (Salgado e Aliabadi, 1996). A comparação dos resultados pode ser realizada quando, na aplicação do código dinâmico faz-se com que a freqüência aplicada ao problema seja reduzida de modo a se obter o mais próximo do resultado estático do problema. Com isso, aplicando-se a freqüência ω = 0.001 deveria se obter resultados muito próximos com o código estático e dinâmico.

As concordâncias nos deslocamentos para as curvas com os códigos dinâmicos e estáticos podem ser consideradas também satisfatórias considerando que foi usado um valor

pequeno para a freqüência no caso do código dinâmico para se chegar a essa comparação com o resultado do código estático. Pode ser visualizado que todas as tendências são mantidas também para este caso com três reforçadores no interior da chapa. Os deslocamentos apresentados no eixo y do gráfico da Figura 5.25 foram normalizados usando o valor v0 que é igual ao deslocamento do nó central da parte superior da chapa sem

o uso de reforçadores (sendo igual em valor à 0.4574 mm). O eixo x foi normalizado com a distância d = 20.0 mm fazendo com que x varie de 0 a 1, pois o lado da chapa mede 20 mm. Pode se perceber que a presença agora de três reforçadores enrijecem mais a estrutura e com isso diminuem os valores dos deslocamentos, quando comparados com os dois primeiros exemplos, o que também era esperado. As variações dos resultados, utilizando o código dinâmico e estático, ficaram neste caso pouco menores que as variações para os exemplos com um reforçador e dois reforçadores, devido ao fato da melhor discretização do contorno (foi empregado o dobro do número de elementos), mostrando, com isso, também a coerência do código.

Figura 5.25 – Valores dos deslocamentos ao longo da parte superior da chapa com três reforçadores usando os códigos estático e dinâmico.

Com esses três exemplos escolhidos fica claro que as respostas, alcançadas pelo código dinâmico MECD-Vdin, são satisfatórias em relação à determinação dos