Analyse de la tâche prescrite

Quelques éléments de l’analyse a priori (développée dans l’Annexe 4)

Nous reprenons ici quelques éléments de l’analyse a priori de l’activité « Les 9 boules de cristal ». Les différentes stratégies sont avec ou sans utiliser de boulier. Une première stratégie possible se place dans le registre des écritures chiffrées. Nous cherchons donc tous les nombres que l’on peut représenter de dizaine en dizaine : de 0 à 9, puis de 10 à 19, puis de 20 à 29 ..., jusqu’à de 90 à 99, avec la contrainte que la somme des chiffres des dizaines et des unités soit inférieure ou égale à 9.

Les solutions sont donc : 0; 1; 2; ... 9; 10; 11; ... 18; 20; 21; ... 27; 30; ... 36; ... 80; 81; 90.

29 Dans le livre du maître (Danalet, Dumas, Studer & Villars-Kneubühler, 1998b) une activité +peut être indiquée comme étant un prolongement, c’est-à-dire une suite à l’activité décrite. « Selon les cas, le prolongement permet à l'élève :

- de se familiariser avec des connaissances fraîchement construites en les faisant fonctionner dans une situation semblable ou proche

- d'aborder, en réinvestissant ses connaissances, la même notion que dans l'activité, mais dans un contexte différent.

La différenciation de l'enseignement et de l'apprentissage s'effectue ici par le moyen d’activités différentes.

En principe, le prolongement peut aussi s'adresser à tous les élèves. »

10 + 9 + 8 + 7 + ⋯ + 1 = 55. Il y a donc 55 solutions.

Une deuxième stratégie possible est d’utiliser un boulier à deux tiges pour mettre en œuvre cette même démarche de comptage. On enfile les boules une à une sur la tige des unités, on écrit le nombre représenté à chaque fois que l’on enfile une boule. Ensuite, on enlève toutes les boules et on recommence en mettant une boule sur la tige des dizaines et en enfilant une à une les huit boules restantes sur la tige des unités. Il faut recommencer cette marche à suivre jusqu’au moment où on enfile les neuf boules sur la tige des dizaines. On obtient ainsi les 55 solutions. Pour les trouver tous, il faut mettre en place une procédure systématique de comptage avec un boulier. Dans ce cas, on peut se poser la question de savoir si la représentation par le boulier est une aide et s’il n’est en fait pas plus simple de se poser directement la tâche dans le registre des écritures chiffrées. Une troisième stratégie possible consiste à chercher tous les nombres que l’on peut représenter avec une boule, puis avec deux boules ..., et enfin avec neuf boules sur un boulier, en reprenant la même marche à suivre que précédemment. Une quatrième stratégie est de se placer dans le registre des écritures chiffrées pour mettre en œuvre cette démarche de comptage. On cherche tous les nombres dont la somme des chiffres des dizaines et des unités est inférieure ou égale à 2, puis à 3..., jusqu’à 9.

Nous étudions les variables didactiques à disposition de l’enseignant. Une première variable est le fait d’utiliser exactement ou au maximum neuf boules : laisser la possibilité d’utiliser au maximum neuf boules et non exactement neuf boules pour représenter des nombres représente une difficulté supplémentaire. En effet, si l’activité consiste à représenter tous les nombres possibles sur un boulier à deux tiges avec exactement neuf boules, celle-ci est beaucoup plus simple et s’apparente au dénombrement des décompositions additives en deux termes de neuf.

Une seconde variable didactique est le fait d’utiliser ou non un boulier : cela n’implique pas les mêmes représentations du nombre. Une troisième variable didactique est le nombre de tiges à utiliser pour représenter des nombres sur un boulier. Une quatrième variable didactique est le nombre de boules que l’on peut utiliser au maximum sur un boulier à deux tiges. Les variables didactiques à disposition de l’enseignant impliquent des stratégies et des connaissances mathématiques différentes, et donc différentes activités possibles pour les élèves.

6.1.2.1 Analyse des connaissances mathématiques et gestes professionnels explicités dans la tâche prescrite

La fiche du maître correspond à une autre activité « Vanille-Fraise », néanmoins certaines considérations peuvent s’appliquer aux deux activités. Dans la mise en œuvre, il est préconisé que « l’enseignant s’assure que les élèves connaissent le fonctionnement du boulier à tiges ».

Cette activité est un prolongement de l’activité « Vanille-Fraise », donc la connaissance du fonctionnement du boulier à tiges a déjà dû être travaillée lors d’activités précédentes. Pour la mise en commun des procédures des élèves, « les élèves confrontent les démarches utilisées pour respecter la contrainte du minimum de boules », ici, il faudrait adapter ce commentaire en respectant « la contrainte d’utiliser neuf boules au maximum ».

L’enseignante doit mettre en œuvre certains gestes professionnels et connaissances d’ordre mathématique et didactique pour mener à bien cette activité. Des éléments sont explicités dans les commentaires généraux (Livre du maître de 5H, Danalet et al., 1998b, pp. 9-27).

L’enseignante doit mettre à disposition le matériel : boulier, boules, tiges (comme indiqué dans le livre du maître).

Concernant la consigne, il n’y a pas d’indication pour cette activité en particulier mais des commentaires généraux :

« Les consignes sont écrites de manière à être transmises par l’enseignant ou lues par les élèves, telles quelles » (p. 14).

« Une modification de consigne pourrait engendrer d’autres démarches de la part des élèves. Ces démarches ne concourront alors plus nécessairement à développer les compétences visées. L’enseignant s’assurera que la consigne est comprise. Au besoin, il pourra : rappeler tout ou partie de la consigne ou renvoyer les élèves à celle-ci, demander aux élèves de reformuler la consigne, demander aux élèves de formuler ce qu’ils ont compris et/ou ce qui leur cause des difficultés mais il n’agira ainsi que de cas en cas et s’abstiendra de donner des indications sur les démarches ou d’induire des procédures utiles à la résolution du problème ». (p. 15)

Concernant les moments de recherche (par groupe de deux élèves pour cette activité) :

• « Les élèves doivent bénéficier d’un temps suffisamment long pour mener leur recherche le plus loin possible » (p. 19).

• « L’enseignant s’attachera à comprendre les démarches de l’élève et l’encouragera à aller au bout de son cheminement plutôt que de le conduire à la « bonne » solution » (p. 19).

Concernant la validation :

• « La recherche doit appartenir aux élèves ; l’enseignant interviendra pour répondre à des questions portant sur la compréhension de la consigne, mais pas sur le choix ou la validité d’une procédure » (p. 19).

• « La validation doit être à la charge des élèves. C’est une condition essentielle pour que le problème soit le leur et non celui de l’enseignant. » (p. 20).

Concernant la mise en commun :

• « La mise en commun peut avoir lieu avec tout ou partie des élèves de la classe » (p.

20).

• « Elle peut avoir lieu à des moments différents selon l'intention poursuivie : en cours d'activité, pour permettre la confrontation de stratégies ou de difficultés et servir de relance pour de nouveaux essais et de nouvelles procédures » (p. 20).

• « L’enseignant veillera à permettre la confrontation des diverses démarches utilisées, à favoriser un échange entre élèves plutôt qu’entre les élèves et lui, à éviter une présentation exhaustive systématique des productions d’élèves » (p. 21).

Concernant l’institutionnalisation :

• « Au moment qu’il jugera opportun, l’enseignant institutionnalisera certaines conventions, certains termes ou certaines notations rencontrés. Il interviendra aussi pour s’assurer que les connaissances construites sont reconnues par tous, que les nouveaux savoirs et savoir-faire sont identifiés. Il précisera dans les savoirs construits ceux qui sont à retenir et sous quelle forme. Il est important que cela ne précède pas la construction des connaissances » (p. 21).

Concernant le matériel prévu pour chaque activité des MER :

• « Le matériel a été choisi en fonction des représentations ou des procédures que l'on souhaite voir apparaître. Les modifications de matériel décrites sous « Mise en oeuvre » ou « Variable » sont prévues pour faire apparaître de nouvelles procédures ou pour entraîner une procédure plutôt qu'une autre (par exemple, l'appel au calcul réfléchi plutôt que l'usage de la calculatrice) ». (p. 12)

• « Une modification du matériel constitue une action sur une variable qui pourrait aboutir à une situation ne produisant pas les mêmes effets que ceux décrits dans l'activité. Une analyse est donc nécessaire avant de modifier le matériel proposé ». (p.

13)

Nous voyons que ces commentaires généraux induisent une certaine direction de l’enseignement mais laissent une marge de liberté importante à l’enseignante sur la gestion de l’activité en classe (voir 3.1).

6.1.2.2 Analyse des connaissances mathématiques et gestes professionnels implicites dans la tâche prescrite

L’enseignante doit mettre en œuvre certains gestes professionnels et connaissances d’ordre mathématique et didactique pour mener à bien cette activité, qui sont implicites dans la tâche prescrite et laissés à sa charge. Notamment, l’analyse préalable de l’activité avec l’identification des connaissances mathématiques en jeu est à la charge de l’enseignante.

Celle-ci doit ainsi identifier l’aspect positionnel du système de numération, la représentation de nombres sur un boulier, le passage du nombre représenté sur un boulier à son écriture chiffrée et la mise en œuvre d’une démarche de résolution.

Concernant le matériel, la fiche du maître indique le matériel à utiliser pour les activités

« Vanille-Fraise » et « Les 9 boules de cristal » : un boulier à deux tiges. Or, le matériel de classe officiel à disposition est un boulier à quatre tiges (voir Annexe 6). Il est donc sous-entendu dans la tâche prescrite que l’enseignant utilise le matériel de classe, un boulier avec un support à quatre tiges, en en disposant que deux sur les quatre (Figure 10). Nous rajoutons qu’il est sous-entendu qu’il y a une correspondance entre chaque tige ou emplacement vide et l’aspect positionnel du système de numération : c’est-à-dire ici les deux emplacements vides du boulier situés sur la gauche correspondent au chiffre des milliers, puis au chiffre des centaines et les deux tiges correspondent au chiffre des dizaines puis à celui des unités. Ainsi, la tige qui correspond aux unités se trouve tout à droite, celle qui correspond aux dizaines à côté, puis les emplacements laissés vides sont à gauche sur le boulier et correspondent aux centaines et aux milliers. La correspondance entre le boulier et le système de numération implique que l’on ne peut pas retourner le boulier et lire simultanément les nombres 18 et 81 sur ce boulier à quatre emplacements et deux tiges. Pour conserver cette correspondance, le nombre 18 représenté sur un boulier devrait se lire après retournement du boulier le nombre 8100 (en admettant qu’un emplacement vide corresponde à une tige vide).

Concernant la consigne et sa mise en œuvre, le fonctionnement du boulier ne doit pas poser de difficulté aux élèves. La consigne précise qu’il faut représenter tous les nombres possibles sur un boulier satisfaisant la condition d’utiliser neuf boules au maximum. Pour représenter

tous les nombres possibles, il faut mettre en œuvre une démarche de résolution pour s’assurer d’avoir trouvé la liste exhaustive des nombres solutions du problème et il faut une procédure de validation pour s’assurer que les nombres représentés sont bien des solutions du problème.

La consigne sous-entend que les procédures des élèves doivent s’appuyer sur l’utilisation d’un boulier. Les nombres trouvés doivent vérifier la condition particulière d’utiliser neuf boules au maximum. Utiliser neuf boules au maximum signifie que l’on peut en utiliser zéro, une, deux, et cetera jusque neuf boules.

L’enseignante ne dispose de peu de commentaires ou d’indications didactiques concernant la mise en œuvre de l’activité (excepté que les élèves doivent connaître le fonctionnement du boulier) ni la validation des procédures des élèves (excepté que celle-ci doit d’une manière générale être effectuée par les élèves). La tâche prescrite laisse ainsi une marge de manœuvre importante à l’enseignante concernant la mise en œuvre et le déroulement de la séance.

Nous allons à présent étudier la réalisation de la tâche, décrire le déroulement et les activités proposées aux élèves.

6.1.3 Étude de la réalisation de la tâche