Topos de Grothendieck
14 janvier 2021
Introduction
On veut donner un cadre général à la notion de faisceau d’ensemble.
Un faisceauF est un foncteur contravariantF : Ouv(X)→Ensqui vérifie des conditions de recollements.
On veut remplacerOuv(X) par une catégorieC. Définition
UnpréfaisceauF surC est un foncteur contravariantF :C →Ens.
Faisceau ?
Crible
Définition
SoitC une catégorie et Aun objet deC. Un cribleS deA est un ensemble de flèches de butAvérifiant :
f ∈S =⇒f ◦g ∈S.
Exemple
SoientX un espace topologique etOuv(X) la catégorie des ouverts deX. SiU est un ouvert de X, un crible deU est un ensemble d’ouverts inclus dansU qui contient tout ouvert inclus dans un de ses ouverts.
Topologie de Grothendieck
Définition
SoitC une catégorie. Une topologie de Grothendieck surC et la donnée pour tout objetAdeC d’un ensemble J(A) de cribles de A tel que les axiomes suivants soient vérifiés :
1. pour tout objetA,Hom(−,A) appartient àJ(A);
2. pour tous objets Aet B, tout cribleS deB et toute flèche h :A→B, si S appartient àJ(B)alors h−1(S)appartient à J(A);
3. pour tout objetB, tous criblesS et R deB, si S ∈J(B) et que pour touth :A→B dansS,h−1(R)apppartient à J(A), alors R appartient aussi àJ(B).
Topologie de Grothendieck
Définition
Unsite est un couple(C,J) oùJ est une topologie de Grothendieck surC.
Les cribles deJ(A) sont les cribles couvrants deA.
Définition
SiF :C →Ensest un préfaisceau et S un crible couvrant de A, unefamille cohérente de sections surS est le choix pour tout f :B →A∈S d’un élémentxf ∈F(B) tel que pour tout g :C →B,xf◦g =F(g)(xf).
Faisceau sur un site
Définition
Un préfaisceauF surC est un faisceau si pour tout crible couvrant S deAet toute famille cohérente (xf)f∈S de sections sur S, il existe un unique élémentx∈F(A)tel que pour toute flèche g :B →A,F(g)(x) =xg.
Les faisceaux surC forment une catégorie notée C˜. Ces catégories ont de bonnes propriétés.
Topos de Grothendieck
Définition
Untopos de Grothendieck est une catégorie équivalente à une catégorie de faisceaux sur un site.
Exemple
SiX est un espace topologique, on noteTop(X) la catégorie des faisceaux surX. Il s’agit d’un topos de Grothendieck.
Morphisme de topos
Une application continuef :X →Y donne un foncteur
f−1 : Ouv(Y)→Ouv(X). Le foncteurf−1 induit en composant à droite un foncteurf∗ : TopX →TopY qui admet un adjoint f∗ à gauche qui preserve les limites finies.
Définition
Unmorphisme de toposu deE vers E0 est un couple de foncteur (u∗,u∗) tel queu∗ est l’adjoint à gauche de u∗ et tel queu∗ préserve les limites finies.
Fidélité du foncteur Top
Le foncteurTop voit les espaces comme des catégories d’ouverts.
Sif est une application continue, le foncteur f∗ est une équivalence sif−1 en est une.
La relation d’ordre sur les ouverts est donnée par l’appartenance.
x ∈U ⇐⇒ {x} ∩U 6=∅.
On peut définir la relation d’ordre sur les ouverts par U ⊂V ⇐⇒ ∀Z,Z∩U 6=∅=⇒Z∩V 6=∅.
Espace sobre
Définition
Un espace topologiqueX estsobre si tout fermé irréductible deX admet exactement un point générique. On noteEspSob la catégorie des espaces sobres.
Exemple
Les espaces séparés et ceux sous-jacents aux schémas sont sobres.
Espace sobre
Proposition
Le foncteur d’oubliEspSob→Espadmet un adjoint à gauche noté Sob :Esp→EspSob. On appelSob(X) l’espace sobre associé àX. Démonstration.
Points deSob(X) : fermés irréductibles de X.
Ouverts deSob(X) :{Z fermé irréductible de X|Z∩U 6=∅} où U est un ouvert deX.
Proposition
L’applicationx7→ {x} induit une équivalence de topos entre Top(X) et Top(Sob(X)).
Point d’un topos
Six est un point de X, on a une inclusion{x},→X. Cette
application induit un morphisme de toposx : Top({x})→Top(X).
Le toposTop({x}) est la catégorie des ensembles.
Définition
SoitE un topos. Unpoint deE est un morphisme de topos ξ:Ens→E.
On noteEsp(E) l’ensemble des points deE à isomorphisme près.
La fibre deF enξ est l’ensembleξ∗(F).
Ouvert d’un topos
Définition
SoitE un topos. Unouvert deE est un sous-objet de l’objet final deE.
SiE est une catégorie de faisceau, l’objet final est le faisceau dont les ensembles de sections sont des singletons.
Exemple
Les ouverts deTop(X) sont les ouverts deX. Les sous-faisceaux du faisceau final surX sont ceux qui ont une unique section sur les ouverts inclus dansU et aucune sur les autres où U est un ouvert fixé.
Espace associé à un topos
Définition
L’espace associé à un toposE est l’espace topologique Esp(E) où les ouverts sont donnés par
|U|={ξ ∈Esp(E)|Uξ6=∅}
oùU est un ouvert de E.
Siu:E →E0 est un morphisme de topos, on obtient une application continueEsp(u) : Esp(E)→Esp(E0) définie par Esp(u)(ξ) =u◦ξ.
Proposition
SiX est un espace topologique, l’espaceEsp(Top(X))est homéomorphe àSob(X).
Construction des nombres réels
Définition
SoitU un ouvert deQ. Un recouvrementU deU est unbon recouvrementsi tout intervalle fermé I inclus dansU peut être recouvert par un nombre fini d’ouverts deU.
Les cribles engendrés par les bons recouvrements forment une topologie de Grothendieck surOuv(Q). On noteQ le site ainsi obtenu.
Proposition
Le foncteurOuv(R)→Ouv(Q), qui à un ouvert deR associe son intersection avecQ, induit une équivalence entre les topos Qeet Top(R).
Construction des nombres réels
Corollaire
L’espace topologiqueEsp(Q)e est canoniquement homéomorphe à R.
Les ouverts deQesont ceux de R. Exemple
On peut construire]− ∞,√ 2[∪]√
2,+∞[en considérant le faisceau défini par
F(]a,b[) =
( ∅ si√
2∈]a,b[
{∗} sinon.
C’est un faisceau surQ mais pas sur Q.
