n g ' g ' u et u ' g ' u et u ' n g g ( x )=[ u ( x )] u

(1)

Chapitre n°4 : Dérivées (compléments) Objectifs :

Niveau a eca n

C4.a 1 Calculer la dérivée de [u]^n

C4.b 1 Savoir dériver une fonction composée de racine carrée

C4.c 1 Savoir dériver une fonction composée

C4.d 1 Savoir déterminer la parité et la périodicité d’une

fonction

C4.e 2 Savoir étudier les variations d'une fonction

trigonométrique

Activité d'approche n°1 : Dérivée de u puissance n

On définit une famille de fonctions gn par gn(x)=[u(x)]ⁿ, où u est une fonction dérivable sur l'intervalle étudié, et n est un entier naturel positif.

1. Déterminer g'2 en fonction de u et u'.

...

2. Déterminer g'3 en fonction de u et u'.

...

3. Conjecturer g'n.

...

4. Démontrer la conjecture.

...

5. Comment généraliser la formule pour n entier relatif ?

...

(2)

...

Cours n°1 : Dérivée de u puissance n Rappel (Propriété n°0) :

1. Réviser les formules de dérivation ( Mathenpoche, livre...)→ Mathenpoche, livre...)

2. Soit f une fonction dérivable, cf sa courbe représentative. Une équation de la tangente à cf au point d'abscisse a est donnée par :

y=...^{. (} vaut .…...……...….)

3. Le taux d'accroissement est ...…...…...….…....…

... et sa limite quand h

tend vers 0 est la ...…... de f en a.

I) Dérivée de (u(x))ⁿ

Propriété n°1

Soit n un nombre entier relatif et u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction uⁿ est dérivable sur I et sa dérivée vaut …...

Démonstration: cf activité 1.

Exemple n°1 :

Dériver la fonction f définie par

(

²x^x²−⁻1⁴

)

⁵

...

(3)

Se tester C4.1 (sur 3)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C4.a 1 Calculer la dérivée de [u(x)]^n

Ex.1 [d:1,f:1,r:1]

Dériver la fonction f définie par f(x) =

(

⁷x^{x –}²–7⁵

)

⁸^.

...

...…

(4)

Résultats Ex.1 : f ’(x) =8−7x²+10x−49

(x²−7)² ⁽g(x))⁷.

Interrogation n°1 Objectifs

C4.a_Niv1 :Calculer la dérivée de [u(x)]^n Exercice n°1

Ex.5 p.84 Exercice n°2

Ex.7 p.84

Activité d'approche n°2 : Dérivée de racine carrée de u Soit u(x) une fonction dérivable et positive sur un intervalle I. On définit la fonction f par f(x)=_√u(x).

1. Exprimer le taux d'accroissement (h) de f en a.

...

2. En multipliant par la quantité adéquate, démontrer que :

(h)= û⁽â+^h⁾^−u⁽â⁾

h × 1

√u(a+h)+√u(a)

...

3. En déduire la dérivée de f.

...

Cours n°2 : Dérivée de racine carrée de u II) Dérivée de _√u

Soit u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I, ne s'annulant pas sur cet intervalle. La fonction√u est dérivable et sa dérivée vaut

…...

(5)

Démonstration: cf activité 2.

Remarque : en considérant que √u(x)= (u(x))^1/2, on « retombe » sur la formule du cours n°1.

Exemple n°2 :

Dériver la fonction f définie par

√

²^x^x²⁻⁻¹⁴^.

...

(6)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C4.b 1 savoir dériver une fonction composée de racine carrée

Ex.1 (der:1, for:1, res:1)

Dériver la fonction f définie par f(x) =

√

⁸^x^{x –}²^–²⁷

...

......

...

(7)

Résultats Ex.1 : f ‘(x)= ⁽⁻⁸^x²⁺¹⁴^x⁻¹⁶⁾√^x²⁻²

2(x²−2)²√8x−7 .

C4.b_Niv1 :savoir dériver une fonction composée de racine carrée Exercice n°3

Ex.3 p.84 Exercice n°4

Ex.4 p.84

Cours n°3 : Dérivée de la fonction d’une fonction affine III) Dérivée de x → f ( a x + b )

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonctiong définie par g(x)=f(x+)

est dérivable et sa dérivée vaut...

Démonstration :

Le taux d'accroissement de g en a est donné par :

...

Ce qui donne :

...

En posant T=a+^etH=h :

...

D'où :

...

Exemple n°3 :

Dériver la fonction f définie par f(x)=(2x – 4)² – 3(2x – 4) .

...

(8)

...

Propriété n°3 (admise)

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I). La fonctiong définie par g(x)=f(u(x)) est dérivable sur I et sa dérivée vaut...

Exemple n°4 :

Dériver la fonction fn définie par fn (x) = ¹

(√x)ⁿ.

...

(9)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C4.c 1 Savoir dériver une fonction composée

Ex.1

1. [/4] On sait que h est une fonction. Soit la fonction f définie par :

f(x) = [h(x)]³ –7h(x)

Dériver f en fonction de h et h' (sans se servir de la question suivante) :

...

...…

2. [/2] On sait maintenant que h est la fonction définie par h(x)=8x – 1. Appliquer le résultat précédent pour déterminer la dérivée de f.

...

(10)

Résultats 1. f ’ (x) = 3 × h’(x) × [h(x)]²– 7× h’(x).

2. f ’ (x) = 24 × (8x – 1)²– 56.

C4.c_Niv1 :savoir dériver une fonction composée.

Exercice n°5*

Ex.53 p.86 Exercice n°6**

Sujet A p.97

(11)

(12)

Résultats ou indices

Exercice n°1 -Ex.5 p.84- f ' (x)=2(x+1) et g' (x)=3(x+1)²

Exercice n°2 -Ex.7 p.84- f ' (x)=6(2x+1)²et g' (x)=4(2x+1)(x²+x)³

Exercice n°3 -Ex.3 p.84- f ' (x)= ¹

√2x+1 ^etg' (x)= ³^x

√³^x²+1 Exercice n°4 -Ex.4 p.84- f ' (x)= ^x

√^x²⁺¹ ^et^{g' (x)=}

3x

√³^x²⁺¹

Exercice n°5* -Ex.53 p.86- 1. f '(x)= 2v'(x)(2x–1), g'(x)= – 3v'(x)(–3x), et h'(x)= –v'(x)(5 – x). 2. f'(x)= ¹

2x²−2x+1 , g' (x)= ⁻³

(−3x)²+1et h' (x)= ⁻¹

(5−x)²+1

Exercice n°6** -Sujet A p.97- 1. x ∈ [0;1[ ^2.A(x) = ⁽²⁺²^x⁾₂^√¹⁻^x^² et V(x)=2(1+x)√¹+x² 3.

V’(x)=2 × ¹⁻^x−2^x^²

√¹⁻^x² ^4.^x=0,5.

(13)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...……….

Prénom et classe :...………

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* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

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* TRAVAIL PERSONNEL (2 travaux min.+résum.de cours, sf exception ou mot daté et signé)

- Activité n°... : Question n° : … / … / … / … / … - Cours n°… : Exemple n° : … / … / … / … / … - Résumé du Cours n° : ...

- Se tester n° … du Cours n°..., Ex. n° : … / … / … / … - Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

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(14)