E n g u is e d ’in tro d u c tio n : g ro u pe(s )

Chapitre 1

E n g u is e d ’in tro d u c tio n : g ro u pe(s )

attac h´e(s ) `a u n e ´eq u atio n d iff ´eren tielle.

Ce chapitre a un rˆole introductif, pres q ue culturel : il s ert es s entiellem ent `a m otiv er le cours . O n y m ontre de q uelle m ani`ere des g roupes interv iennent naturellem ent dans l’ ´etude des ´eq uations diff ´erentielles , et en q uel s ens on peut parler de thorie de G alois . L a pr´es entation n’es t pas tr`es d´etaill´ee.

L ’ ´etudiant q ue le M 1 n’a pas s uffi s am m ent fam iliaris ´e av ec le prob l`em e du prolong em ent analy tiq ue et du pas s ag e du local au g lob al com pens era cette lacune av ec le chapitre 8 de [1], q u’il com pl`etera (ag r´eab lem ent) de [2 4 ] pour s av oir o`u l’appliq uer. P our la corres pondance de R iem ann-H ilb ert, il cons ultera av ec profi t [2 ] (chap. 1), [3 ] (chap. 7 ), [11] (chap. 1) et (m ais oui !) [4 ]. M on cours [2 0] (prem i`ere partie) peut aider. E nfi n, pour la th´eorie de G alois diff ´erentielle, la s eule r´ef ´erence actuellem ent acces s ib le es t [16 ]. N oter enfi n q ue [9 ] ex pos e le point de v ue

“ m oderne” (dˆu `a G rothendieck ) s ur les th´eories g alois iennes .

1.1 E q u atio n s d iff ´eren tielles lin ´eaires an aly tiq u es ´

S oit une ´eq uation diff ´erentielle lin´eaire analy tiq ue s calaire d’ordren(ouf !) dans le dom aine (i.e .ouv ert connex e non v ide)XdeC:

(1.1.0.1) a₀(z)f⁽ⁿ⁾(z) +· · ·+a_n(z)f(z) =0,

o`u a<sub>0</sub>, . . . ,a<sub>n</sub>∈O<sub>(X)</sub>(anneau des fonctions holom orphes s urX) et o`ua₀ 6=0 (i.e .ce n’es t pas

la fonction nulle). L e plus s ouv ent,X =C(le plan com plex e) ouX =S(la s ph`ere de R iem ann, c’es t- `a-dire la droite projectiv e com plex eP¹(C)), et les a_is ont des fractions rationnelles , ou des poly nˆom es , ce q ui rev ient au m ˆem e puis q ue l’on peut chas s er les d´enom inateurs . E n v ue d’appli- q uer le th´eor`em e de Cauchy `a l’ ´eq uation (1.1.0.1), on introduit s onlie u s ing u lie r :

Σ:={z∈X|a0(z) =0}.

C’es t un ferm ´e dis cret deXetX⁰:=X\Σes t encore un dom aine. (P ourq uoi ? )

1.1.1 Le faisceau des solutions de(1.1.0.1)sur X⁰ P o u r to u t o u vertUd eX⁰=X\Σ, o n n o tera :

F_(U):={f ∈O_(U)|a₀f⁽ⁿ⁾+· · · +a_nf=0}

leC-es p a c e vec to riel d es s o lu tio n s d e (1.1.0.1) s u rU. (P a r c o n ven tio n , o u p a r ra is o n n em en t c a p il- lo tra c t´e m a is c o rrec t,F_(/0)es t l’es p a c e vec to riel trivia l.) O n o b tien t a in s i u n fais c e au d e C-e s p ac e s v e c to r ie ls s u r X⁰, le fa is c ea u d es s o lu tio n s d e (1.1.0.1) ; c ette term in o lo g ie r ´es u m e les p ro p ri´et´es s u iva n tes .

A c h a q u e in c lu s io n d ’o u verts` V⊂U⊂X⁰es t a s s o c i´e u n m o r p h is m e d e r e s tr ic tio n: ρ^U_V :F_(U)→F_(V), f 7→f_|V.

C ’es t u n e a p p lic a tio n lin ´ea ire, et l’en s em b le d es ρ^U_V v´erifi e les p ro p ri´et´es d e c o m p a tib ilit´e s u i- va n tes : o n a ρ^U_U=IdF_(U)etρ^V_W◦ρ^U_V =ρ^U_W. O n r ´es u m e c ela en d is a n t q u eF _{es t u n} p r ´efais c e au.

S o itU=^S

i∈I

U_iu n rec o u vrem en t o u vert d e l’o u vertU⊂X⁰. S o it f ∈F_(U). Il d ´ec o u le d e la p rem i`ere p ro p ri´et´e q u e la fa m ille d es res tric tio n s f_i:=ρ^U_U

i(f)∈F_(Ui)s a tis fa it la rela tio n s u iva n te :

∀i,j∈I,ρ^U_Uⁱ

i∩Uj(f_i) =ρ^U_U^j

i∩Uj(f_j).

O n p eu t le fo rm u ler a in s i : les “ d o n n ´ees lo c a les ” f_i∈F_(Ui), o b ten u es p a r res tric tio n s `a p a rtir d e la “ d o n n ´ee g lo b a le” f ∈F_(U)s o n t “ c o m p a tib les ” s u r leu rs lieu x d e d ´efi n itio n c o m m u n sU_i∩Uj. R´ec ip ro q u em en t, s i l’o n s e d o n n ea p r io r id es d o n n ´ees lo c a les c o m p a tib les , o n p eu t les “ rec o ller”

en u n e u n iq u e d o n n ´ee g lo b a le :

∀(f_i)i∈I∈

∏

i∈I

F_(Ui)t.q .∀i,j∈I, ρ^U_Uⁱ_i∩Uj(f_i) =ρ^U_Ui^j_∩Uj(f_j),∃!f∈F_(U) : ∀i∈I, f_i:=ρ^U_Ui(f).

C ’es t c ette d ern i`ere p ro p ri´et´e (ex is ten c e et u n ic it´e d u rec o llem en t d e d o n n ´ees lo c a les c o m p a tib les ) q u e l’o n r ´es u m e en d is a n t q u eF es t u n fa is c ea u . O n p eu t a u s s i l’ ´ec rire s o u s fo rm e d e s u ite ex a c te :

0− →F_{(U)− →}

∏

i∈I

F_{(Ui)− →}

∏

i,j∈I

F_(Ui∩Uj).

(L e lec teu r d ´efi n ira lu i-m ˆem e les fl `ec h es d e c ette s u ite.) 1.1.2 Le faisceau

F

N o u s a llo n s r ´es u m er s a n s p reu ve (p o u r c es d ern i`eres , vo ir<sup>1</sup>[1]) les p ro p ri´et´es c a ra c t´eris tiq u es d u fa is c ea u F. C es p ro p ri´et´es s o n t li´ees , p o u r l’es s en tiel, a u th ´eo r `em e d e C a u c h y s u r les ´eq u a tio n s d iff ´eren tielles lin ´ea ires a n a ly tiq u es c o m p lex es , et a u p rin c ip e d u p ro lo n g em en t a n a ly tiq u e. L e lec - teu r es t in vit´e `a fo rm u ler la c o n trep a rtie r ´eelle d e c h a c u n d es ´en o n c ´es c i-d es s o u s et d e vo ir les q u els s o n t p ro p res a u c h a m p c o m p lex e.

1. D a n s [1], les fa is c ea u x s o n t p r ´es en t´es `a p a rtir d es “ es p a c es ´eta l´es ” . L e lien en tre les d eu x p o in ts d e vu e es t ex p lic it´e d a n s l’o u vra g e [10].

Exercice 1.1.1 (Lemme du wronskien) Pour tout ouvert connexeU⊂X⁰, on a d im _CF_(U)≤n.

Exercice 1.1.2 (T h ´eor`eme de Ca uch y ) S oientz<sub>0</sub>∈X<sup>0</sup>etb<sub>0</sub>, . . . ,b<sub>n−1</sub>∈C. M ontrer q u’il exis te une uniq ue s ´erie enti`ere f(z):= ∑

k∈N

c_k(z−z0)^ks olution d e (1.1.0.1) et d ont les np rem iers coeffi - cients s oientc₀:=b₀, . . . ,c_n−1:=b_n−1.

E t m a intena nt, la lis te d es p rop ri´et´es ca ra ct´eris tiq ues d e notre fa icea u, q ui en font un “ s y s t`em e loca l” .

Exercice 1.1.3 (F est un sy st `eme loca l) 1. S oitz0 ∈X<sup>0</sup>. Il exis te a lors r>0 tel q ueU := D(z◦ 0,r)⊂X<sup>0</sup> (il s ’a g it d u d is q ue ouvert d e centrez<sub>0</sub> et d e ra y on r) et q ue F<sub>(U)</sub> es t d e d im ens ionn. (C ’es t une cons ´eq uence im m ´ed ia te d u lem m e d u w rons k ien et d u th ´eor`em e d e C a uch y .)

2. S oient d eux ouvertsV ⊂U⊂X⁰tels q ueUes t connexe etV non vid e. A lors le m orp h is m e d e res trictionρ^U_V :F_(U)→F_(V)es t injectif. (C ela d ´ecoule d u p rincip e d e p rolong em ent a na ly tiq ue.)

3 . S oitU⊂X⁰un ouvert non vid e s im p lem ent connexe. A lors d im CF_{(U) =}n. (R a is onnem ent p urem ent top olog iq ue `a p a rtir d e ce q ui p r´ec`ed e.)

S up p os ons m a intena nt q ueU₁,U₂⊂X⁰s ont d eux ouverts non vid es s im p lem ent connexes et s oitV⊂U₁∩U2 un ouvert connexe non vid e. D’a p r`es ce q ui p r´ec`ed e, on a d euxis o m o rp h is m e s ρ^U_Vⁱ:F_(Ui)→F_(V): ils s ont injectifs , la d im ens ion es tn`a la s ource et≤na u b ut. O n a d onc d es is om orp h is m es :

F_(U1)−→F_{(V)← −}F_(U2),d ’o`u, p a r com p os ition :F_(U1)−→F_(U2).

S iV=U₁∩U₂(i.e .s i cette inters ection es t connexe), on en d ´ed uit q ueto u te s o lu tio n de (1.1.0.1) s u r U₁adm e t u n u niq u e p ro lo ng e m e nt `a U₂d´efi ni p ar co m p atibilit´e s u r U₁∩U2.

M a is , s iU₁∩U2n’es t p a s connexe, on p eut d ´efi nir un tel is om orp h is m eF_(U1)'F_(U2)p our ch a q ue com p os a nte connexeV d eU₁∩U₂! (C es com p os a ntes s ont b ien ouvertes .) R ien ne d ita p rio riq ue ces “ p rolong em ents a na ly tiq ues ” s ont les m ˆem es .

R ema rq ue 1.1.4 N ous n’a vons p a s d ´efi ni ce q u’es t un “ s y s t`em e loca l” . C ’es t es s entiellem ent un fa is cea u s ur leq uel on p eut fa ire d es ra is onnem ents d u ty p e p r´ec´ed ent : voir [6 ] p our une ´etud e en form e.

1.2 Exemp les b a siq ues

1.2 .1 Les “ ca ra ct `eres”

O n p rend X:=C. Pour un certa inα∈C, on cons id `ere :

(1.2.0.1) z f⁰(z)−αf(z) =0.A ins i,Σ={0}etX⁰=C^∗. S oientz₀∈C^∗etU:=D(z^◦ 0,|z0|). L a s ´erie d e N ew ton :

1+z−z₀ z₀

α

=

∑

n≥0

α n

z−z₀ z₀

n

d´efi n it un e s olution f_z0de (1.2.0.1) n on triv iale s urU, e t l’on p e ut p rouv e r q ue F_{(U) =V e c t(}f_z0).

(M ´eth ode : p our toute te lle s olution f, le w ron s k ie n f f_z⁰₀−f⁰f_z0e s t triv ial.) E n re v an c h e , on p rouv e

´eg ale m e n t q ue , p our q u’il y ait de s s olution s n on triv iale s g lob ale s ,i.e.F₍C^∗)6={0}, il faut, e t il s uffi t, q ue α∈Z. (M ´eth ode p our l’im p lic ation n on triv iale : s i f e s t un e te lle s olution , ap p liq ue r la form ule de s r ´es idus `a f⁰/f.)

C on s id´eron s m ain te n an t le s dis q ue s ouv e rtsU_{`</sub>:=D(i<sup>◦ `</sup>,1),`=0,1,2,3 (e tU<sub>4</sub>=U<sub>0</sub>) e t n oton s f<sub>`}:= f_i`∈F<sub>(U`)</sub>le s “ fon c tion s -b as e s ” c orre s p on dan te s . Il e s t c lair q ue , p our c h aq ue `, l’in te r- s e c tion U<sub>`</sub>∩U_{`+1</sub>e s t un ouv e rt c on n e x e n on v ide (le de s s in e r), e t l’on e n d´eduit un is om orp h is m e F<sub>(U`)'}F_{(U`+1</sub>). C e lui-c i e s t p arfaite m e n t c arac t´eris ´e p ar l’im ag e de f<sub>`}, q ui e s t un m ultip le (n on triv ial) de f<sub>`+1</sub>. Il y a don c un e un iq ue c on s tan te α`∈C^∗te lle q ue le s re s tric tion s de f<sub>`</sub>e t de α`f_`+1

`aU<sub>`</sub>∩U`+1c o¨ın c ide n t.

E n c om p os an t c e s is om orp h is m e s , on ob tie n t l’autom orp h is m e de F_(U0)q ui e n v oie f₀ s ur a f₀, o`u a:=α0α1α2α3∈C^∗. P lus g ´en ´erale m e n t, e n p rolon g e an t un e s olution f ∈F_(U0) p ar la m ´eth ode c i-de s s us (re s tric tion -d´ere s tric tion de dis q ue e n dis q ue v ois in ), on ob tie n t la s olution a f ∈F_(U0).

P our s av oir s ’il s ’e s t p as s ´e q ue lq ue c h os e ,i.e.s ia6=1, il im p orte de c alc ule r le s α_{`</sub>. O n p e ut le faire de la m an i`ere s uiv an te . O n c on s tate d’ab ord q ue , p our c h aq ue `e t p our toutz∈U<sub>`}, on a z/i<sup>`</sup>∈U<sub>0</sub>e t f<sub>`</sub>(z) =f₀(z/i<sup>`</sup>)(c ’e s t im m ´ediat d’ap r `es la form ule ). O n p rouv e e n s uite :

∀z∈U₀, f₀(z) =ρ^αe^iαθ, o`uρ:=|z| ∈]0,2[e tθ:=A rgz∈]−π/2,π/2[.

(O n n ote A rg lad´eter m in atio n p r in c ip ale de l’ar gu m en t.) L a m ˆem e form ule p e rm e t d’ ´ete n dre f₀ e n un e fon c tion an aly tiq ue g₀s urV₀:=C\R₋⊃U₀e t don c , p lus g ´en ´erale m e n t, d’ ´ete n dre c h aq ue f_{`</sub>e n un e fon c tion an aly tiq ue g<sub>`}s ur V_{`</sub>:=C\i<sup>`</sup>R₋⊃U_{`</sub>. O n a b ie n e n te n dug<sub>`}∈F_{(V`)</sub>(c ar la fon c tion an aly tiq ue g<sup>0</sup><sub>`}−αg`e s t n ulle s urU<sub>`}don c ide n tiq ue m e n t n ulle s urV_{`</sub>). L e m orp h is m e de re s tric tion F<sub>(V`)→}F_(U`)e s t un is om orp h is m e , e t n otre p e tit je u de re s tric tion -d´ere s tric tion de dis q ue e n dis q ue v ois in p e ut aus s i b ie n s e joue r de p lan fe n du e n p lan fe n du v ois in .

P uis q ue le s re s tric tion s de f<sub>`</sub> e t de α`f<sub>`+1</sub> `aU_{`</sub>∩U<sub>`+1} c o¨ın c ide n t, il e n e s t de m ˆem e de s re s tric tion s de g<sub>`</sub>e t de α`g_{`+1</sub> `aV_{`</sub>∩V`+1(e n c ore le p rin c ip e de p rolon g e m e n t an aly tiq ue ). M ais i<sup>`+1</sup>∈V<sub>`}∩V`+1, e tg<sub>`+1}(i<sup>`+1</sup>) =1, d’o`u le s form ule m ag iq ue s :

α`=g<sub>`</sub>(i<sup>`+1</sup>) =g<sub>1</sub>(i) =e<sup>iπα/2</sup>, d’o`u l’on d´eduit :a=e^2iπα.

O n p e ut re trouv e r le c rit`ere d’e x is te n c e de s olution s g lob ale s ´en on c ´e p lus h aut. S i h∈F<sub>(</sub>C<sup>∗</sup>), n oton s h<sub>`</sub>s a re s tric tion `aU<sub>`</sub>. A lors l’im ag e de h_{`</sub>p ar l’is om orp h is m e F<sub>(U`)→}F_{(U`+1)n e p e ut</sub> ˆetre q ue h<sub>`+1} (e lle s c o¨ın c ide n t s ur l’in te rs e c tion de le urs dom ain e s ) ; le p rolon g e m e n t an aly tiq ue de h₀ e s t don c h₀(c ar re s tric tion d’un e s olution g lob ale ) e tah₀(v rai p our toute s olution loc ale ).

C e la e n train e ah₀=h₀, don c ah=h. L ’e x is te n c e de s olution s g lob ale s n on triv iale s im p liq ue don c a=1, c ’e s t- `a-dire α∈Z.

1.2.2 Le logarithme

Le logarithme complexe peut ˆetre d´efi n i s oit comme in v ers e `a droite de l’expon en tielle : exp(logz) =z, s oit comme primitiv e : log⁰(z) = 1

z. Il n ’es t pas diffi cile de mon trer q ue ces deux prob l`emes admetten t des s o lu tio ns lo c a les au v ois in age de tout poin t de C<sup>∗</sup> (le premier par le th´eor`eme d’in v ers ion locale ; le s econ d par in t´egration terme `a terme de s ´eries en ti`eres ). Il n ’es t pas n on plus tr`es diffi cile de mon trer q u’il n e peut exis ter de s olution glob ale s urC<sup>∗</sup>(mˆeme s im- plemen t con tin ue dan s le premier cas ). O n v a utilis er le poin t de v ue des ´eq uation s diff ´eren tielles pour compren dre l’o b s tr u c tio n to p o lo giq u e`a l’exis ten ce du logarithme.

P our ce faire, on s uppos era con n ue la fon ction lo ga r ith m e n´ep ´er ien, n ot´ee ln : il s ’agit de lad´eter m ina tio n p r inc ip a le du lo ga r ith m e, q ui es t d´efi n ie s ur C\R₋, y es t in v ers e `a droite de l’expon en tielle : exp(lnz) =z, et y es t holomorphe, de d´eriv ´ee ln⁰(z) =1

z·. De plus , on a la formule explicite :

∀ρ∈R^∗₊,∀θ∈]−π,π[,ln ρe^iθ

=ln ρ+iθ et le d´ev eloppemen t en s ´erie en ti`ere, v alab le s urD(1,^◦ 1):

ln(1+z) =

∑

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹ n zⁿ.

P our ob ten ir un e ´eq uation diff ´eren tielle lin´ea ir e, on remplace la relation log⁰(z) = 1 z, q ui

´eq uiv aut `azlog<sup>0</sup>=1, par s a d´eriv ´ee :(zlog<sup>0</sup>)<sup>0</sup>=0. Il es t b ien clair q ue cette dern i`ere n ’impliq ue pas la pr´ec´eden te et q ue l’on in troduit ain s i des s olution s “ paras ites ” , comme par exemple les con s tan tes , q ui v ´erifi en t zlog⁰=0. M ais le fait de s ’ ˆetre ramen ´e `a un prob l`eme lin ´eaire com- porte des av an tages q ui compen s en t largemen t cet in con v ´en ien t. O n con s id`erera don c l’ ´eq uation diff ´eren tielle lin ´eaire an aly tiq ue s calaire d’ordre 2 (ouf) :

(1.2 .0.2 ) z f⁰⁰(z) +f⁰(z) =0.A in s i,Σ={0}etX⁰=C^∗.

O n n otera en coreF le fais ceau s urX⁰des s olution s de (1.2 .0.2 ) : don c un fais ceau deC-es paces v ectoriels . S oien tz₀∈C^∗etU:=D(z^◦ 0,|z0|). La s ´erie en ti`ere :

ln

1+z−z0

z₀

=

∑

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹ n

z−z₀ z₀

n

d´efi n it un e s olution f_z0de (1.2 .0.2 ) n on triv iale s urU, et l’on peut v ´erifi er q ue c’es t b ien la s olution ln(z/z0)d´efi n ie `a partir du logarithme n ´ep´erien . (S iz∈U, on a b ien z/z0∈D(1,<sup>◦</sup> 1).) O n peut alors d´emon trer q ueF<sub>(U) =V ect(1,</sub>f<sub>z0</sub>), o`u l’on a ab us iv emen t n ot´e 1 la fon ction con s tan te 1 s urU.

P lus pr´ecis ´emen t, la famille(1,f_z0)es t un e b as e deF(U). O n peut alors n oterV_z0:=C\z₀R₋(un plan fen du) et v ´erifi er q ue l’un iq ue fon ction deF_(Vz0)q ui s e res trein t en f_z0s urU_z0es t d´efi n ie par g_z0(z):=ln(z/z0); et leC-es pace v ectorielF_(Vz0)admet pour b as e la famille(1,g_z0).

P our recommen cer le jeu du prolon gemen t par res triction -d´eres triction , on repren d les mˆemes dis q ues ouv ertsU_{`</sub>et les mˆemes plan s fen dusV<sub>`}q ue pr´ec´edemmen t. LeC-es pace v ectorielF_(V`)

admet pour base la famille(1,g`), o`u l’on n oteg_{`</sub>:=g<sub>i</sub>`. P our d´etermin er c ompl`etemen t l’isomor- ph isme deF<sub>(V`)}surF<sub>(V`+1</sub>), il suffi t d’ex plic iter son effet sur un e base, c ’est- `a-dire de trouv er un e matric eA_`∈G L ₂(C)telle q ue :

(1,g`) = (1,g<sub>`+1</sub>)A`,

c ette ´eg alit´e abusiv e sig n ifi an t en fait q ue les deux membres c o¨ın c iden t sur l’ouv ert in tersec tion . L a premi`ere c olon n e deA<sub>`</sub>est ´ev idemmen t

1 0

. L a deux i`eme admet pour c oeffi c ien ts des sc alaires a,b∈Ctels q ue :

g_{`</sub>=a+bg<sub>`+1},

l’ ´eg alit´e ay an t le mˆeme sen s q u’auparav an t. D e la d´efi n ition de ln par module et arg umen t et de l’ ´eg alit´eg<sub>`</sub>(z) =ln(z/i<sup>`</sup>), le lec teur d´eduira san s pein e la relation suiv an te :

a=g<sub>`</sub> i<sup>`+1</sup>

=ln(i) =iπ 2· D ’autre part, en d´eriv an t, on v oit q ue :

g⁰_{`</sub>=bg<sup>0</sup><sub>`+1}=⇒b=1, puisq ueg⁰_{`</sub>=g<sup>0</sup><sub>`+1}=1

z. L a matric e de prolon g emen t deF_(V`)`aF_{(V`+1)</sub>est don c : A<sub>`}=

1 iπ/2

0 1

.

L a matric e de l’automorph isme de prolon g emen t deF_(V0)dan s la base(1,ln)est don c : A=A₃A₂A₁A₀=

1 2iπ

0 1

.

E x e r c ic e 1 .2 .1 E n d´eduire q ue les seuls ´el´emen ts deF_(V0)q ui prov ien n en t d’un e solution g lobale son t les c on stan tes. (C e son t les poin ts fi x es de l’automorph isme de prolon g emen t.)

1 .3 R e to u r a u fo r m a lis m e g ´en ´er a l

1 .3 .1 L e p r in c ip e d e m o n o d r o m ie

O n repart du sy st`eme loc alF de 1.1.2. O n v eut pouv oir parler de solution s au v oisin ag e d’un poin tz<sub>0</sub>∈X<sup>0</sup>san s av oir `a pr´ec iser c e poin t. pour c ela, on in troduit la n otion dege r m e d e s o lu tio n en z₀: c ’est, par d´efi n ition , un e c lasse d’ ´eq uiv alen c e de c ouple(f,U), o`uUest un v oisin ag e ouv ert dez<sub>0</sub>dan sX<sup>0</sup>et o`u f ∈F_(U), la relation d’ ´eq uiv alen c e ´etan t d´efi n ie c omme suit :

(f,U)∼(g,V)⇐ ⇒ ∃ W ⊂U∩V : z₀∈W etf_|W =g_|W.

C es g ermes formen t, de man i`ere n aturelle, un C-espac e v ec torielF<sub>z0</sub>et l’on a, pour tout v oisin ag e ouv ertU dez<sub>0</sub> un e applic ation lin ´eaire deF<sub>(U)</sub>dan sF<sub>z0</sub>, q ui, `a f ∈F(U), assoc ie son g erme, i.e .la c lasse de(f,U)dan sF_z0.

L es propri´et´es ´en um´er´ees en 1.1.2 se traduisen t alors ain si :

1. SiUes t u n v o is in a g e o u v ertc o n n ex edez₀da n s X⁰, l’a p p lic a tio n lin ´ea ire deF_{(U)da n s} F_z0 es t in jec tiv e.

2 . SiUes t u n v o is in a g e o u v ert n o n v ides imp lemen t c o n n ex edez₀da n s X⁰, c ette a p p lic a tio n lin ´ea ire es t b ijec tiv e.

L e jeu du p ro lo n g em en t p eu t a lo rs s e tra du ire a in s i. O n s e do n n e deu x p o in ts z₀,z₁∈X⁰et u n c h em in γrelia n t c es deu x p o in ts da n sX⁰. P o u r s im p lifi er, o n n o tera en c o reγl’im a g e c e c e c h em in (do n c u n c o m p a c t c o n n ex e deX⁰). O n p eu t a lo rs rec o u v rir γp a r des dis q u es o u v erts n o n v ides D₁, . . . ,D_min c lu s da n s X⁰, c en tr ´es en des p o in ts deγ, et tels q u e :

1. D₁es t c en tr ´e en z₀etD_mes t c en tr ´e en z₁.

2 . P o u r`=1, . . . ,m−1, le dis q u eD`ren c o n treD_`+1.

O n o b tien t a in s i des is o m o rp h is m es de res tric tio n -d´eres tric tio n F_{(D`)</sub>→F<sub>(D`+1}), p u is , en c o m - p o s a n t, u n is o m o rp h is m eF_(D1)→F_(Dm), s o it en c o re, en v ertu des p ro p ri´et´es de s y s t`em e lo c a l

´en u m ´er ´ees p lu s h a u t, u n is o m o rp h is m e deF_{z0s u r}F_z1. O u tre les a ffi rm a tio n s ra p ides q u i p r ´ec `eden t, le lec teu r p ro u v era s a n s tro p de p ein e q u e l’is o mo r p h is me a in s i o b ten u n e d ´ep en d p a s d u c h o ix d es d is q u es D<sub>`</sub>. Il n e d´ep en d do n c q u e du c h em in γ, et n o u s le n o tero n s (p ro v is o irem en t) :

Φ_γ:F_z0→F_z1. O n p a rle dep r o lo n g emen t a n a ly tiq u e le lo n g d u c h emin γ.

E n r ´ea lit´e, l’is o m o rp h is m eΦ_γd´ep en d d’en c o re b ien m o in s q u e c ela . Si l’o n d´efo rm e c o n tin ˆum en t γen u n c h em in γ⁰s a n s b o u g er s es ex tr ´em it´es , o n o b tien t le m ˆem e p ro lo n g em en t a n a ly tiq u e : Th´eo r `em e 1 .3 .1 (P r in c ip e d e m o n o d r o m ie ) Si les cheminsγetγ⁰d ’o rig inez₀et d ’ex tr ´emit´ez₁ so nt ho mo to p es, a lo rsΦ_γ=Φ_γ⁰.

Il s ’a g it ic i (et p a rto u t da n s la s u ite) d’h o m o to p ie da n sX⁰. C e th ´eo r `em e es t d´em o n tr ´e da n s [1, 8 .1.5 ]. N o ta n t[γ]la c la s s e d’h o m o to p ie du c h em in γ, o n es t do n c fo n d´e `a p o s er :

Φ_[γ]:=Φ_γ.

E n p a rtic u lier, s iz₁=z₀, a u trem en t dit, s iγes t u n la c et de b a s ez₀, a lo rs o n o b tien t u n e a p p lic a tio n [γ]7→Φ_[γ] de l’en s em b leπ₁(X⁰,z₀)des c la s s es d’h o m o to p ie de la c ets de b a s ez₀ da n s le g ro u p e lin ´ea ire G L (F_z0).

E x e r c ic e 1 .3 .2 M o n trer q u e le la c et c o n s ta n t en z₀ a p o u r im a g e l’a u to m o rp h is m e iden tit´e et en d´edu ire q u e le p ro lo n g em en t a n a ly tiq u e le lo n g d’u n la c eth o mo to p iq u emen t tr iv ia l(i.e.h o m o to p e a u la c et c o n s ta n t) es t triv ia l (i.e.c ’es t l’a u to m o rp h is m e iden tit´e).

E x e m p le 1 .3 .3 D a n s le c a s deX⁰:=C^∗etz₀:=1, les deu x ex em p les de 1.2 c o n c ern a ien t le “ la c et fo n da m en ta l” γ:t7→e^{2 iπt}. D a n s c h a q u e c a s , l’a u to m o rp h is m e de p ro lo n g em en t a n a ly tiq u eΦ_[γ]

´eta it n o n triv ia l, m a n ifes ta n t le fa it q u e le la c etγn ’es t p a s h o m o to p iq u em en t triv ia l.

R e m a r q u e 1 .3 .4 L e p rin c ip e de m o n o dro m ie es t a in s i a p p el´e p a rc e q u ’il dit q u e div ers c h em in s (“ dro m ” ) do n n en t lieu `a u n s eu l (“ m o n o ” ) p ro lo n g em en t. P o u rta n t, l’effet du p ro lo n g em en t le lo n g d’u n c h em in n o n h o m o to p iq u em en t triv ia l a fi n i p a r ˆetre a p p el´e m o n o dro m ie, a lo rs q u ’il s e tra du it p a r ex em p le p a r la mu ltip lic it´edes d´eterm in a tio n s dez^αo u du lo g a rith m e. Il y a do n c eu d´eriv e du s en s ´ety m o lo g iq u e ...

1.3.2 La repr´es en tatio n d e m o n o d ro m ie

Si l’on compose les cheminsγ1d ’originez0et d ’ex tr ´emit´ez1etγ2d ’originez1et d ’ex tr ´emit´e z₂, on ob tient un chemin d ’originez₀et d ’ex tr ´emit´ez₂. N otonsγ₁.γ₂ce chemin compos´e². Il est alors ´ev id ent q ue :

Φ_γ1.γ2=Φ_γ2◦Φ_γ1.

P ar ailleurs, la relation d ’homotopie est compatib le av ec la composition d es chemins, et, si l’on pose[γ1].[γ2]:= [γ1.γ₂], on d ´efi nit le compos´e d e d eux classes d ’homotopie et l’on a :

Φ_[γ1].[γ2]=Φ_[γ2]◦Φ_[γ1].

D ans le cas d e lacets b as´es en un point z₂ =z₁ =z₀, on sait q ue l’op´eration ci-d essus fait d e π₁(X⁰,z₀)un groupe, appel´eg r o u p e fo n d a m en ta loug r o u p e d e P o in c a r ´e. L a d iscussion ci-d essus est r ´esum´ee par le

T h ´eo r`em e 1.3.5 L’application [γ]7→Φ_[γ] e s t u n antihomomorphisme d e groupes d e π₁(X⁰,z₀) d ans G L(F_z0).

D it autrement, c’est un morphisme d u groupeπ₁(X⁰,z₀)^◦(groupeo p p o s ´eau groupe fond amen- tal) d ans G L (F_z0). U n morphisme d ’un groupeGd ans un groupe lin´eaire est appel´er ep r ´es en ta tio n (lin ´ea ir e) d eG(chapitre 3 ), et nous v enons d e d ´efi nir lar ep r ´es en ta tio n d e m o n o d r o m ieenz₀at- tach´ee `a l’´eq uation (1.1.0.1). O n appelleg r o u p e d e m o n o d r o m ied e cette ´eq uation enz₀l’image d e cette repr ´esentation.

E x em ple 1.3.6 D ans le cas d es ´eq uations (1.2.0.1) et (1.2.0.2), X⁰ =C^∗, et le groupe fond a- mentalπ1(X⁰,1)est isomorphe `aZ, la classe d u lacet fond amentalt7→e<sup>2iπt</sup> ´etant l’un d es d eux g´en´erateurs. L ’image d ansZd e la classe d u lacet[γ]s’ob tient en calculant l’uniq ue entier k∈Z tel q ueγest homotope `akfois le lacet fond amental :kest d onc l’in d ic ed eγtel q u’on le d ´efi nit en analy se complex e ou en topologie alg´eb riq ue.

U n morphisme ou un antihomomorphisme d eZd ans G L(F₁₎est d e la formek7→Φ^k₀, o`uΦ<sub>0</sub>∈ G L (F<sub>1)</sub>est l’automorphisme d e prolongement analy tiq ue le long d u lacet fond amental, q ui d ´etermine d onc compl`etement la repr ´esentation d e monod romie.

E x em ple 1.3.7 D ans le cas d e l’´eq uation (1.2.0.1), F₁ est une d roite v ectorielle et le groupe lin´eaire G L (F₁₎s’id entifi e canoniq uement (i.e.sans choix d e b ase) `aC<sup>∗</sup>. O n a v u q ueΦ<sub>0</sub>∈G L (F<sub>1)</sub> s’id entifi e `ae^2iπα∈C^∗, et d onc q ue la repr ´esentation d e monod romie env oie le g´en´erateur 1∈Z sure^2iπα∈C^∗. C ’est d onc, mod ulo cette id entifi cation, l’applicationk7→e^2iπkα.

E n particulier, le groupe d e monod romie est {e^2iπkα|k∈Z} ⊂ C^∗. Il est triv ial (resp. fi ni) si, et seulement si,α∈Z(resp.α∈Q).

E x em ple 1.3.8 D ans le cas d e l’´eq uation (1.2.0.2), d imCF_{1 =}2 et le groupe lin´eaire G L(F₁₎ s’id entifi e `a G L ₂(C), mais il faut pour cela choisir une b ase. N ous prend rons b ien entend u la b ase (1,ln)(i.e.form´ee par les germes au point 1 d e ces d eux fonctions).

D ans ce cas, on a v u q ueΦ₀∈G L (F₁₎s’id entifi e `a la matriceA=

1 2iπ

0 1

. A insi, la repr ´esentation d e monod romie (mod ulo ces id entifi cations) est l’applicationk7→A^k.

2. C ette notation, trad itionnelle, entraine d e petites complications alg´eb riq ues aux q uelles il faut b ien se faire ...

En particulier, le groupe de monodromie est le sous-groupe de GL(F₁₎q ui correspond, dans la b ase donn´ee, au sous-groupe{A^k|k∈Z} ⊂ C^∗de GL₂(C). C e groupe est infi ni.

R e m a r q u e 1 .3 .9 D´ecrire “ la repr´esentation de monodromie” attach ´ee `a une ´eq uation diff ´erentielle pr´esuppose le ch oix d’un point de b asez<sub>0</sub>∈X<sup>0</sup>; et, si l’on tient `a une description matricielle, le ch oix d’une b ase deF_z0. C ependant, toutes les r´ealisations possib les du groupe de monodromie dans GL_n(C)sont conjugu´ees entre elles. En ce q ui concerne l’effet du ch oix d’une b ase deF_z0, c’est ´ev ident (alg`eb re lin´eaire ´el´ementaire). En ce q ui concerne le ch oix d’un point b ase, cela d´ecoule du fait q ueX⁰est connex e par arcs.

E x e r c ic e 1 .3 .1 0 Ex pliciter l’effet du ch oix d’un point b ase.

1 .4 L a th ´eo r ie d e G a lo is d iff ´er e n tie lle

Le lecteur pourra compl´eter les maigres renseignements h istoriq ues q ui suiv ent par la lecture de [2] et [3 ].

C ’est R iemann q ui, dans [18 ] et [19 ], a montr´e l’importance de la monodromie dans l’ ´etude des ´eq uations diff ´erentielles dans le ch amp complex e ; c’est ensuite H ilb ert q ui en a donn´e la formalisation en termes de groupes et d’action lin´eaires (v oir, dans [12], ce q ui concerne le 21^e prob l`eme). Lac o r r e s p o nd a nc e d e R ie m a nn-H ilb e r test un th `eme essentiel en math ´ematiq ues.

C e th `eme est dans l’esprit de la th ´eorie de Galois : comprendre les ´eq uations mˆeme sans sav oir les r´esoudre, `a partir d’un groupe op´erant sur leurs solutions ; comprendre les solutions elles- mˆemes `a partir du groupe attach ´e `a l’ ´eq uation.

Les “ solutions” q ue l’on peut esp´erer comprendre grˆace `a la correspondance de R iemann- H ilb ert sont lesfo nc tio ns s p ´ec ia le s (v oir par ex emple [24 ]). Le ty pe d’application q ue l’on peut esp´erer se laisse dev iner `a partir de deux ex emples simples : si le groupe de monodromie est triv ial, toutes les solutions se prolongent `a X<sup>0</sup>; dans le cas d’ ´eq uations `a coeffi cients poly no- miaux , le groupe de monodromie est fi ni si, et seulement si, toutes les solutions sont des fonctions alg´eb riq ues.

E x e r c ic e 1 .4 .1 V´erifi er ces deux derniers ´enonc´es sur nos ex emples.

N aturellement, le cas o`uX<sup>0</sup>=C<sup>∗</sup>et le cas o`un=1 sont particuli`erement simples parce q u’alors le groupe de monodromie est ab ´elien. Le premier cas non triv ial est celui o`u X⁰=C\Σav ec card Σ=2, et o`u n=2 : c’est celui des ´eq u a tio ns h y p e r g ´eo m ´etr iq u e s, sur leq uel R iemann a d´emontr´e la puissance de sa m´eth ode.

1 .4 .1 L a th ´eo r ie d e P ic a r d -V e s s io t

Le calcul du groupe de monodromie d’une ´eq uation diff ´erentielle est, par nature, transcen- dant : il faut calculer une b ase de solutions, puis prolonger analy tiq uement ces derni`eres le long des lacets. La th ´eorie de P icard-Vessiot v ise `a d´efi nir et calculer un groupe attach ´e `a une ´eq uation diff ´erentielle par des v oies purement alg´eb riq ues et, autant q ue possib le, `a partir de l’ ´eq uation elle-mˆeme. C omme on v a le v oir, elle s’inspire de la th ´eorie de Galois, et le domaine auq uel elle a

donn´e na is s a nc e es t d’a illeurs a p p el´eth´eo r ie d e G a lo is d iff´er e n tie lle.

L ’id´ee de b a s e es t la s uiv a nte. L e p rolong em ent a na ly tiq ue le long d’un c h em in p r ´es erv e les rela tions a lg ´eb riq ues . E n fa it, c h a q ueΦ_[γ]es t un m orp h is m e d’es p a c es v ec toriels , m a is ´eg a lem ent un m orp h is m e p our la m ultip lic a tion ( `a c ondition de l’ ´etendre, a u del`a des g erm es de s olutions ,

`a toutes les fonc tions a na ly tiq ues s us c ep tib les de p rolong em ent). D ’a utre p a rt, la ra is on p our la - q uelle une s olution es t tra ns form ´ee en une s olution es t q ueΦ_[γ]es t c om p a tib le a v ec la d´eriv a tion :

Φ_[γ](f⁰) = Φ_[γ](f)0

.

O n dit a us s i q ueΦ_[γ] c o m m u te `a la d ´er iv a tio n. O n v a donc c h erc h er `a c a ra c t´eris er les ´el´em ents du g roup e de m onodrom ie c om m e ´el´em ents de G L (F_z0)q ui p r ´es erv ent les rela tions a lg ´eb riq ues et les rela tions diff ´erentielles . (L a c ontrep a rtie en th ´eorie de G a lois c la s s iq ue es t de rec h erc h er les

´el´em ents du g roup e de p erm uta tion des ra c ines q ui p r ´es erv ent les rela tions a lg ´eb riq ues .)

C om m e p our la form e “ m oderne” (c ’es t- `a-dire da ta nt du d´eb ut du X X <sup>e</sup>s i`ec le) de la th ´eorie de G a lois , on c om m enc e p a r tra duire c ela en term es d’a utom orp h is m es p our une s truc ture donn´ee.

Ic i, on introduit le c orp s Keng endr ´e p a r les fonc tions q ui s erv ent de c oeffi c ients (p a r ex em p le les fonc tions ra tionnelles ) a ins i q ue les s olutions de l’ ´eq ua tion et toutes leurs d´eriv ´ees . (L a c ontrep a r- tie en th ´eorie de G a lois c la s s iq ue es t le c orp s eng endr ´e p a r les ´el´em ents q ui s erv ent de c oeffi c ients , p a r ex em p le les nom b res ra tionnels , et p a r les s olutions de l’ ´eq ua tion.)

E nfi n, on d´efi nit leg r o u pe d e G a lo is d e l’ ´equ a tio n d iff´er e n tie lle c om m e le g roup e des a uto- m orp h is m es du c orp s Kq ui c om m utent `a la d´eriv a tion et q ui induis ent l’identit´e s ur le s ous -c orp s K₀des c oeffi c ients .

Exemple 1.4.2 O n rep rend l’ex em p le des c a ra c t`eres . S oitM_(U0)le c orp s des fonc tions m ´erom orp h es s urU₀. S oit f₀une b a s e deF_(U0), p a r ex em p lez^α. O n p rend p ourKle s ous -c orp s deM_(U0)en- g endr ´e p a r le c orp s des c oeffi c ients K₀=C(z)(c orp s des fra c tions ra tionnelles ) et p a r f₀: c om m e

f₀⁰=α

z f₀, les d´eriv ´ees v iennent a v ec ! O n c h erc h e les a utom orp h is m esφdu c orp s Kq ui s ont tri- v ia ux s urC(z)et tels q ueφ(f⁰) = φ(f)0

p our tout f. S oit f :=φ(f₀), q ui n’es t donc p a s nul. O n a :

f⁰

f =φ(f₀)⁰

φ(f₀) =φ(f₀⁰) φ(f₀)=φ

f₀⁰ f₀

=φ

α

z

=α z;

c ette derni`ere ´eg a lit´e v ient de l’h y p oth `es e q ueφes t triv ia l s urK₀=C(z). A ins i, f es t une s olution de (1 .2 .0.1 ), donc de la form e f =λf₀p our un c erta inλ∈C^∗.

Il es t c la ir q ue φes t tota lem ent d´eterm in´e p a r λ et q ue l’a p p lic a tionφ7→λes t un m orp h is m e injec tif du g roup e de G a lois de (1 .2 .0.1 ) da ns C^∗. M a is c e m orp h is m e es t-il s urjec tif, a utrem ent dit, toutλ∈C^∗d´efi nit-il un a utom orp h is m eφc onv ena b le ?

D a ns le c a s o`uα∈Q, s oitα=p/q(fra c tion irr ´educ tib le), on a f₀^q=z^p∈K₀, donc f₀^q=φ(f₀^q) =f^q, donc λ^q=1 etλ∈µ_q, g roup e des ra c ines q^esde l’unit´e. R ´ec ip roq uem ent, tout telλc onv ient, et le g roup e de G a lois es t donc µ_q⊂C^∗da ns c e c a s .

D a ns le c a s o`uα6∈Q, on v ´erifi e fa c ilem ent q uez^αes t tra ns c enda nt s ur Qet toutλc onv ient. L e g roup e de G a lois es t donc C^∗da ns c e c a s .

Dans tous les cas, les automorphismes de monodromie sont bien l`a : ce sont des “ automorphismes g aloisiens” .

Exemple 1.4.3 O n reprend l’ex emple du log arithme. A v ec les mˆemes notations q ue ci-dessus,K est ici le sous-corps deM_(U0)eng endr´e parK₀=C(z)et par ln ; comme ln⁰=1/z, les d´eriv ´ees v iennent av ec. P our tout automorphisme g aloisienφ, notant f :=φ(ln), on a :

f⁰= φ(ln)0

=φ(ln⁰) =φ(1/z) =1/z,

d’o`uφ(ln) =ln+apour une certaine constantea∈C. Il est facile de v ´erifi er q ue ln est transcendant surK0et q ue toutaconv ient, et d’en d´eduire q ue le g roupe de G alois est ici isomorphe `aC.

P our y retrouv er les automorphismes de monodromie, il faut se rappeler q ue ces derniers laissent inv ariant 1∈K0 et q u’ils env oient ln sur ln+2iπk. E n fait, en identifi ant le g roupe de G alois Cau g roupe des matrices

1 a

0 1

(ce sont bien des g roupes isomorphes), on retrouv e bien les automorphismes de monodromie comme cas particuliers d’automorphismes g aloisiens.

L a lec¸on `a tirer de nos calculs est q ue la th´eorie de G alois donne un g roupe q ui contient le g roupe de monodromie, mais q ui peut ˆetre plus g ros. E n fait, on se retrouv e dans une situation de la forme :

M⊂G⊂G L n(C),

et l’on se demande q uelle relation (autre q ue l’inclusion) relie le g roupe de monodromieM au g roupe de G aloisG. R ´esumons les cas observ ´es :

1. ´E q uation (1.2.0.1) av ecα=p/q; N otanthgile g roupe eng endr´e parg: M ⊂ G ⊂ G L 1(C)

q q q

e^2iπα

=µ_q ⊂ µ_q ⊂ C^∗ 2. ´E q uation (1.2.0.1) av ecα6∈Q:

M ⊂ G ⊂ G L 1(C)

q q q

e^2iπα

⊂ C^∗ ⊂ C^∗ L ’inclusionM⊂Gest ici stricte.

3 . ´E q uation (1.2.0.2) :

M ⊂ G ⊂ G L 2(C)

q q q

hAi ⊂ { A^a|a∈C} ⊂ G L 2(C)

L a matriceA´etant unipotente, la puissanceA^aest bien d´efi nie. L ’inclusionM⊂Gest encore stricte.

O n constate q ue, dans chaq ue cas, le sous-ensembleGde G Ln(C)peut ˆetre caract´eris´e par des

´eq uations alg ´ebriq ues :X^q=1 dans le premier cas, aucune ´eq uation dans le deux i`eme cas,X<sub>1,1</sub>− 1=X<sub>2,2</sub>−1=X<sub>1,2</sub>=0 dans le troisi`eme cas. O n dit q ueGest uns o u s -ens em b le alg´eb r iqu ede G L n(C).

O n constate aussi dans chaq ue cas (mais c’est un peu moins ´ev ident) q ueGest le plus petit sous-ensemble alg ´ebriq ue de G Ln(C)contenantM.

Exercice 1.4.4 Le v´erifi er dan s c h aq ue c as .

C o m m e o n le verra (m ais c ’es t fac ile `a d´em o n trer), l’as s ertio n “G es t le p lus p etit s o us - en s em b le alg ´eb riq ue de G L<sub>n</sub>(C) c o n ten an t M” es t ´eq uivalen te `a la s uivan te : “ to ute fo n c tio n ratio n n elle s ur M at_n(C)d´efi n ie s ur G L_n(C)et n ulle s urM es t n ulle s urG” . C ela s ’ap p aren te `a un e p ro p ri´et´e de den s it´e, et l’o n dit en effet q ueMes tZ a r is k i-d e ns e dan s G.

E n fait, c ’es t un th ´eo r`em e dˆu `a S c h les in g er q ue, p o ur un e ´eq uatio n diff ´eren tielle do n t les s in g u- larit´es s o n t “ rais o n n ab les ” , le g ro up e de G alo is es t to ujo urs le p lus p etit s o us -en s em b le alg ´eb riq ue du g ro up e lin ´eaire c o n ten an t le g ro up e de m o n o dro m ie ; autrem en t dit, le g ro up e de m o n o dro m ie es t Z aris k i-den s e dan s le g ro up e de G alo is . N o us n e d´efi n iro n s p as “ rais o n n ab le” , m ais le lec - teur in t´eres s ´e p eut reg arder dan s [1] o u dan s d’autres o uvrag es c e q ui c o n c ern e les “ s in g ularti´es r´eg uli`eres ” o u les “ ´eq uatio n s fuc h s ien n es ” .

Exercice 1.4.5 V´erifi er q ue c ’es t faux p o ur l’ ´eq uatio n f⁰= f. (Le g ro up e de m o n o dro m ie es t trivial, le g ro up e de G alo is es t ´eg al `a G L<sub>1</sub>(C) =C<sup>∗</sup>.) La rais o n en es t q ue c ette ´eq uatio n adm et un e s in g ularit´e “ d´erais o n n ab le” `a l’in fi n i !

C e q ui es t vrai s an s res tric tio n , c ’es t q ue le g ro up e de G alo is d’un e ´eq uatio n diff ´eren tielle lin ´eaire s e r´ealis e to ujo urs c o m m e s o us -en s em b le alg ´eb riq ue (et s o us -g ro up e) du g ro up e lin ´eaire, d’o `u l’in t´erˆet d’ ´etudier de tels g ro up es : c e s o n t les g r o u p e s a lg ´eb r iqu e s lin´ea ir e s.

1.4.2 L a d u a lit ´e t a n n a k ien n e

E n th ´eo rie de G alo is c las iq ue, le g ro up e de G alo is n e p o rte q u’un e in fo rm atio n p artielle. C e q ui es t vraim en t im p o rtan t, c ’es t l’ac tio n de c e g ro up e s ur les rac in es o u s ur un c o rp s . D e la m ˆem e m an i`ere, dan s la th ´eo rie de R iem an n -H ilb ert, le g ro up e de m o n o dro m ie n e p o rte q u’un e in fo rm atio n p artielle, c e q ui es t vraim en t im p o rtan t, c ’es t la rep r´es en tatio n de m o n o dro m ie. D e la m ˆem e m an i`ere, en th ´eo rie de G a- lo is diff ´eren tielle, c ’es t l’ac tio n du g ro up e de G alo is q ui n o us in t´eres s e ; o n verra q ue c ’es t en c o re un e rep r´es en tatio n lin ´eaire, et m ˆem e “ ratio n n elle” (c ette p ro p ri´et´e m et en jeu la s truc ture de g ro up e alg ´eb riq ue).

E n fait, o n a p ro uv´e (c f.p ar ex em p le [8 ]) q ue l’o n p o uvait c alc uler le g ro up e de G alo is `a p artir de la c las s e de to utes s es rep r´es en tatio n s ; c e p o in t de vue a d’ailleurs ´et´e ap p liq u´e `a la th ´eo rie de G alo is c las s iq ue, et a p erm is de lui do n n er un e allure g ´eo m ´etriq ue en l’un ifi an t avec la th ´eo rie des revˆetem en ts en to p o lo g ie alg ´eb riq ue (c f.p ar ex em p le [9 ]). C ette m ´eth o de a un e c h an c e de fo n c tio n n er p arc e q u’il arrive q ue l’o n s ac h e d’avan c e q u’un e c ertain e “ c at´eg o rie” d’o b jets (le m o t s era d´efi n i p lus lo in ) s ’iden tifi e `a la c at´eg o rie des rep r´es en tatio n s ratio n n elles d’un c ertain g ro up e alg ´eb riq ue, q ue l’o n p eut alo rs d´efi n ir ex p lic item en t.

U n e telle c at´eg o rie es t dite “ tan n ak ien n e” . N o us n e les ´etudiero n s c ep en dan t p as en to ute g ´en ´eralit´e. D an s n o tre c as , c ’es t la c at´eg o rie des rep r´es en tatio n s deMq ui s ’iden tifi e la c at´eg o rie des rep r´es en tatio n s ratio n - n elles deG, et n o us verro n s c o m m en t en d´eduireG.

S ig n alo n s en fi n q ue le b ut n ’es t p as s eulem en t de dis p o s er d’un e altern ative `a la th ´eo rie de P ic ard- Ves s io t. D ’ab o rd, la m ´eth o de tan n ak ien n e ap p o rte p lus d’in fo rm atio n s s ur le g ro up e de G alo is (p ar ex em p le, s o n c o m p o rtem en t q uan d o n c h an g e le c o rp s de b as e) ; en s uite, elle s ’ap p liq ue dan s des do m ain es o `u la th ´eo rie de P ic ard-Ves s io t a ´ec h o u´e (th ´eo rie de G alo is tran s c en dan te des ´eq uatio n s aux q-diff ´eren c es ). E n c o n trep artie (m ais p eut- ˆetre es t-c e un avan tag e ? ), elle ex ig e d’in ves tir dan s des tec h n iq ues vari´ees .

Chapitre 2

Cat´eg o ries , fo n c teu rs , ´eq u iv alen c es , lim ites , pro d u it ten s o riel

Ce chapitre a pour but d’introduire le langage des cat´egories et des foncteurs, indispensable pour toutes les th´eories q ui utilisent la g´eom ´etrie alg´ebriq ue (et bien d’autres). Il y a surtout du v ocabulaire et des ´enonc´es ´el´em entaires, entrecoup´es d’ex em ples destin´es `a faciliter la digestion.

L ’essentiel de la th´eorie se trouv e dans le classiq ue [1 5 ]. P our usage ult´erieur, et com m e ex em ple de propri´et´e univ erselle, nous rappelons rapidem ent ce q ui aurait dˆu ˆetre v u en M 1 (o`u, sinon ? ) sur le produit tensoriel ; un ex pos´e com plet fi gure dans [1 4 ].

2.1 Cat´eg o ries et fo n c teu rs

2.1 .1 Cat´eg o ries

L a th´eorie des cat´egories perm et par ex em ple de parler de la cat´egorie des ensem bles. Com m e le lecteur sait, ou dev rait sav oir, q u’il n’y a pas d’ensem ble de tous les ensem bles, il est clair q ue l’on ne peut pas form uler cette th´eorie dans le cadre habituel de la th´eorie des ensem bles. P our ne pas noy er ce q ui nous im porte dans du form alism e (il y en aura d´ej`a bien assez ), nous ´eluderons ce genre de diffi cult´e et utiliserons le m ot “ classe” dans les cas douteux .

D´efi n itio n 2.1 .1 (Cat´eg o ries ) U necat´ego r ieCest la donn´ee : – d’une “ classe” d’o b jets, not´ee O b(C_);

– d’une “ classe” dem o r p h ism es (o u fl `ech es)not´ee M orC;

– pour chaq ue f ∈M orC, d’une so u r ce (ou so u r ce) s(f)∈O b(C_{) et d’un}b u t (ou tar get) t(f)∈O b(C₎: on dit q ue f v a deXdansY et l’on ´ecrit f :X→Y;

– pour chaq ue objetX∈O b(C_{), d’un}m o r p h ism e id en tit´eIdX∈M orC de source et butX; – pour chaq ue couple de fl `eches f,g∈M orC telles q uet(f) = s(g), d’uneco m p o s´eenot´ee

g◦f∈M orC, telle q ues(g◦f) = s(f)ett(g◦f) = t(g).

Ces donn´ees sont assujetties aux ax iom es suiv ants :

– P our tous X,Y ∈O b(C), les fl `eches f ∈M orC telles q ues(f) = X ett(f) = Y form ent un ensem ble not´e M orC(X,Y), ou M or(X,Y), ou H om C(X,Y), ou encore H om (X,Y); ces ensem bles sont donc deux `a deux disjoints, IdX ∈M orC(X,X)et (f,g)7→g◦f est une application (dited e co m p o sitio n) de M orC(X,Y)×M orC(Y,Z)dans M orC(X,Z).

– chaque IdX∈M o rC(X,X)es t “ n eutre `a g auche et `a dro ite” ,i.e .les ´eg alit´es ci-des s o us s o n t v´erifi ´ees chaque fo is qu’elles o n t un s en s :

f◦IdX=f et IdX◦g=g.

– L a “ lo i de co m p o s itio n p artielle” es t as s o ciative,i.e .l’ ´eg alit´e ci-des s o us es t v´erifi ´ee chaque fo is qu’elle a un s en s :

h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.

Terminologie.

1. U n e n d o m o rp his m e deX es t un m o rp his m e deX dan s X. Ils fo rm en t l’en s em b le E n d(X).

2 . U n is o m o rp his m e deX s urY es t un e fl `eche deX dan s Y in vers ib le `a dro ite et `a g auche ; autrem en t dit, f∈M o rC(X,Y)es t telle qu’il ex is te f⁰,f⁰⁰∈M o rC(Y,X)tels quef⁰◦f=IdX

et f◦f⁰⁰=IdY. Ils fo rm en t l’en s em b le Is o(X).

3 . U n a u to m o rp his m e deXes t un is o m o rp his m e deXs urX. Ils fo rm en t l’en s em b le A ut(X).

4 . L a cat´eg o rieC⁰es t un es o u s -c a t´ego riede la cat´eg o rieCs i O b(C⁰)⊂O b(C)et s i M o r_C⁰(X,Y)⊂ M o rC(X,Y)p o ur to usX,Y ∈O b(C⁰).

5 . L a s o us -cat´eg o rieC⁰ deC es t ditep le in e s i M o rC⁰(X,Y) =M o rC(X,Y)p o ur to us X,Y ∈ O b(C⁰); elle es t ditee s s e n tie lle s i to ut o b jet deCes t is o m o rp he `a un o b jet deC⁰.

E x erc ic e 2 .1 .2 1. M un i de la co m p o s itio n , E n d(X)es t un m o n o ¨ıde de n eutre IdX.

2 . L ’in vers e `a g auche et l’in vers e `a dro ite d’un is o m o rp his m e f∈M o rC(X,Y)s o n t ´eg aux . O n n o tef⁻¹ce m o rp his m e, ap p el´ein ve rs e de f. C ’es t un is o m o rp his m e et s o n in vers e es t f. 3 . M un i de la co m p o s itio n , A ut(X)es t un g ro up e de n eutre Id_X; le s y m ´etrique d’un auto m o r-

p his m e es t s o n in vers e.

E x emp les 2 .1 .3 ( `a v ´erifi er s oigneu s ement) 1. L a cat´eg o rieEn s des en s em b les et des ap p li- catio n s : c’es t un e m an i`ere ab r ´eg ´ee de dire que O b(En s)es t la clas s e de to us les en s em b les , que M o rEn s(X,Y)es t l’en s em b le des ap p licatio n s de l’en s em b leX vers l’en s em b leY, que IdXd´es ig n e l’ap p licatio n iden tit´e deXet que la co m p o s itio n des m o rp his m es dan s En s es t la co m p o s itio n des ap p licatio n s .

2 . L a cat´eg o rieGrdes g ro up es et des m o rp his m es de g ro up es .

3 . L a cat´eg o rieTo p des es p aces to p o lo g iques et des ap p licatio n s co n tin ues .

4 . L a cat´eg o rie To p∗ des e s p a c e s to p o lo giq u e s p o in t´es. S es o b jets s o n t les co up les (X,x₀) fo rm ´es d’un es p ace to p o lo g iqueX et d’un p o in t x₀∈X; les m o rp his m es de(X,x₀)dan s (Y,y0)s o n t les ap p licatio n s co n tin ues f :X→Y telles quef(x0) =y₀.

5 . P o ur un an n eau A do n n ´e (n o n n ´eces s airem en t co m m utatif), la cat´eg o rie Mo d_A des A- m o dules `a g auche et des ap p licatio n s A-lin ´eaires . L o rs queA es t un co rp s co m m utatif K, o n ´ecrira p lut ˆotEv_K.

6 . P o ur un co rp s co m m utatifK, la cat´eg o rieEv f_KdesK-es p aces vecto riels de dim en s io n fi n ie et des ap p licatio n s K-lin ´eaires : do n c un e s o us -cat´eg o rie p lein e deEv_K.

7 . L a cat´eg o rieAn n des an n eaux co m m utatifs (s o us -en ten du : “ et des m o rp his m es d’an n eaux ” ).

Exercice 2.1.4 On se donne une cat´eg orieC. V ´erifi er q ue l’on ob tient b ien une cat´eg orieCend

(resp .Ca ut), en p renant p our ob jets les coup les(X,f), o`uX ∈Ob(C)et f ∈E nd(X)(resp . f ∈ A ut(X)) ; et p our m orp h ism es(X,f)→(Y,g)lesu∈M orC(X,Y)tels q ueg◦u=u◦f, ce q ue l’on traduit en disant q ue le diag ram m e ci-dessous est com m utatif :

X − − − − →^u Y

f



 y



 y

g

X − − − − →^u Y .

2.1.2 F o n cteu rs

U n foncteur cov ariant est un “ m orp h ism e de cat´eg ories” , un foncteur contrav ariant est un

“ antim orp h ism e de cat´eg ories” . P lus p r ´ecis´em ent :

D´efi n itio n 2.1.5 (F o n cteu rs ) S oientC etC⁰deux cat´eg ories.

(i) On ap p ellefo nc teur c o v a ria ntdeCdansC⁰la donn´ee d’une fonctionFde Ob(C)dans Ob(C⁰), ce q ue nous noteronsX F(X)ouX FX; et, p our tous ob jetsX,Y deC, d’une ap p lication

´eg alem ent not´eeFde M orC(X,Y)dans M or_C⁰(FX,FY); le tout, de telle sorte q ueF(IdX) =IdFX

et q ue, lorsq ue ces com p ositions sont d´efi nies, on aitF(g◦f) =F(g)◦F(f).

(ii) On ap p ellefo nc teur c o ntra v a ria ntdeC dansC⁰ la donn´ee d’une fonctionF de Ob(C)dans Ob(C⁰)et, p our tous ob jetsX,Y deC, d’une ap p lication ´eg alem ent not´eeFde M orC(X,Y)dans M or_C⁰(FY,FX), de telle sorte q ueF(IdX) =IdFX et q ue, lorsq ue ces com p ositions sont d´efi nies, on aitF(g◦f) =F(f)◦F(g).

L orsq ue l’on p arlera de foncteur sans autre p r ´ecision, il s’ag ira d’un foncteur cov ariant. On d´ecrit souv ent un foncteur p ar son seul effet sur les ob jets, le contex te p erm ettant de dev iner sans am b ig ¨uit´e q uel est l’effet sur les m orp h ism es. L a notationX FX, p lutˆot q ueX 7→FX, a p our b ut de nous rap p eler q ue Ob(C)et Ob(C⁰)ne sont p as des ensem b les et q ue la fonctionFsur les ob jets n’est donc p as une ap p lication.

Exem p les 2.1.6 ( `a v ´erifi er s o ig n eu s em en t) 1 . D ans toute cat´eg orie, il y a un foncteur (cov a- riant) identit´e dont l’effet sur les ob jets estX Xet l’effet sur les m orp h ism es est f 7→f. 2 . On d´efi nit desfo nc teurs (c o v a ria nts ) o ub lisp artant resp ectiv em ent deGr, deTo p, deTo p_∗,

deMo d_A, deEv f_Ket deAnn, et arriv ant dansEns, p ar “ oub li de structure” : `a un ob jet, ils associent l’ensem b le sous-jacent ; et, `a un m orp h ism e, l’ap p lication sous-jacente.

3 . On d´efi nit de m ˆem e des foncteurs d’oub li p artiel de structure : deTo p∗dansTo p, deMo d_A dansGr, deAnndansGr, etc.

4 . S oitAun anneau com m utatif. L e foncteur de dualit´e de Mo d_Adans elle-m ˆem e associe `a toutA-m oduleM son dual M^∗:=H om A(M,A) (av ec sa structure naturelle deA-m odule

`a g auch e, dˆue `a la com m utativ it´e deA), et, `a tout m orp h ism e f :M→N, son transp os´e

tf:N^∗→M^∗d´efi ni p ar^tf(u):=u◦f. C ’est un foncteur contrav ariant. D e m ˆem e, il y a un foncteur de dualit´e deEv f_Kdans elle-m ˆem e.

5 . P lus g ´en´eralem ent, en associant aux A-m odulesM,NleA-m odule H om _A(M,N), on d´efi nit unb ifo nc teurdeMo d_Adans elle-m ˆem e ; il est contrav ariant enMet cov ariant enN.

6 . L e foncteurA S p(A)est contrav ariant deAnndansTo p.

Exercice 2.1.7 D´efi n ir la c at´eg o rieCatd es c at´eg o ries et d es fo n c teu rs .

P ro p o s itio n 2.1.8 SiF e s t u n fo n c te u r (c o v a ria n t o u c o n tra v a ria n t) e t f u n is o m o rp h is m e , a lo rs F f e s t u n is o m o rp h is m e e t(F f)⁻¹=F f⁻¹

.

P re u v e . - S o it f:X→Y u n is o m o rp h is m e et s o itgl’in v ers e d e f. A lo rs , d an s le c as c o v arian t : F(g)◦F(f) =F(g◦f) =F(IdX) =Id_FXetF(f)◦F(g) =F(f◦g) =F(IdY) =Id_FY, etF(f)ad m etF(g)p o u r in v ers e. Dan s le c as c o n trav arian t :

F(g)◦F(f) =F(f◦g) =F(IdY) =Id_FY etF(f)◦F(g) =F(g◦f) =F(IdX) =Id_FX, etF(f)ad m et en c o reF(g)p o u r in v ers e.

Exem p le 2.1.9 ( `a v ´erifi er s o ig n eu s em en t) O n d ´efi n it u n fo n c teu r c o v arian t d eTo p<sub>∗</sub>d an s Gren as s o c ian t `a to u t es p ac e p o in t´e (X,x₀) le g ro u p e fo n d am en tal π1(X,x₀). S o n effet s u r les m o r- p h is m es es t le s u iv an t : s i f :(X,x₀)→(Y,y₀)es t u n e ap p lic atio n c o n tin u e telle q u e f(x0) =y₀, alo rs l’ap p lic atio n γ7→ f◦γtran s fo rm e les lac ets d an s X b as ´es en x0 en lac ets d an s Y b as ´es en y₀, elle es t c o m p atib le av ec les h o m o to p ies , et p as s e au q u o tien t en u n m o rp h is m e d e g ro u p es d e π1(X,x₀)d an s π1(Y,y₀). P ar ailleu rs , s iX⊂Rⁿ es t u n en s em b le ´eto il´e en x₀, le g ro u p eπ1(X,x₀) es t triv ial ; et, s iY =C^∗, s o n g ro u p e fo n d am en tal b as ´e en n ’im p o rte q u el p o in t es t is o m o rp h e `aZ.

Il d ´ec o u le alo rs d e la p ro p o s itio n q u eC^∗n ’es t h o m ´eo m o rp h e `a au c u n e p artie ´eto il´ee d ’u n Rⁿ. E t m ain ten an t, u n o b jet v raim en t ´etran g e : le m o rp h is m e en tre fo n c teu rs .

D´efi n itio n 2.1.10 (T ra n s fo rm a tio n n a tu relle) U n etrans fo rm atio n nature lle φ:F→Gen tre d eu x fo n c teu rs to u s d eu x c o v arian ts o u to u s d eu x c o n trav arian ts d eC d an s C⁰es t la d o n n ´ee, p o u r to u t o b jetX d eC, d ’u n m o rp h is m eφX:FX→GX(c ’es t d o n c u n e fl `ec h e d an s C⁰), d e telle s o rte q u e, p o u r to u s o b jets X,Yd eC, o n aitφY◦F(f) =G(f)◦φX. E n term es d e d iag ram m es c o m m u tatifs :

FX −−−−^F(f→⁾ FY

φX



 y



 y^φY

GX −−−−^G(f→⁾ GY

Exem p le 2.1.11 ( `a v ´erifi er s o ig n eu s em en t) F ix o n s u n an n eau c o m m u tatifA. P o u r to u tA-m o d u le M, n o to n s F_Mle fo n c teu r c o v arian tN H o m _A(M,N)d eMo d_Ad an s elle-m ˆem e. A lo rs to u t m o r- p h is m eu:M→M⁰fo u rn it u n e tran s fo rm atio n n atu relleφd eF_M⁰ d an s F_M : p o u r to u t m o d u leN, o n d ´efi n itφN:F_M⁰(N)→F_M(N)en p o s an tφN(f):=f◦u.

U n is o m o rp h is m e φ:F→Gen tre d eu x fo n c teu rs to u s d eu x c o v arian ts o u to u s d eu x c o n trav a- rian ts d eC d an s C⁰es t u n e tran s fo rm atio n n atu relle telle q u e c h aq u e m o rp h is m eφX:FX →GX es t u n is o m o rp h is m e d an s C⁰. L ’inv e rs e d e c et is o m o rp h is m e es t alo rs la tran s fo rm atio n n atu relle ψ:G→F o b ten u e en p o s an tψX:=φ⁻_X¹; o n la n o teφ⁻¹. L e lec teu r v ´erifi era q u e c ’es t b ien u n e tran s fo rm atio n n atu relle. De m ˆem e, o n p eu t c o m p o s er d eu x tran s fo rm atio n s n atu relles φ:F→G etψ:G→H, etc .

Exercice 2.1.12 L es c at´eg o ries CetC⁰´etan t fi x ´ees , d ´efi n ir la c at´eg o rie d es fo n c teu rs C^→C⁰.