n g' g' u et u' g' u et u' n g g ( x )=[ u ( x )] u

(1)

Chapitre n°4 : Dérivées (compléments) Objectifs :

Niveau a eca n

C4.a ¹ Calculer la dérivée de [u]^n

C4.b 1 Savoir dériver une fonction composée de racine carrée C4.c ¹ Savoir dériver une fonction composée

C4.d ¹ Savoir déterminer la parité et la périodicité d’une fonction

C4.e ² Savoir étudier les variations d'une fonction trigonométrique

Activité d'approche n°1 : Dérivée de u puissance n

On définit une famille de fonctions g

n

par g

n

(x)=[u(x)]

ⁿ

, où u est une fonction dérivable sur l'intervalle étudié, et n est un entier naturel positif.

1. Déterminer g'

2

en fonction de u et u' . /.

/.

2. Déterminer g'

3

en fonction de u et u' . /.

/.

3. Conjecturer g'

n

. /.

/.

4. Démontrer la conjecture.

/.

5. Comment généraliser la formule pour n entier relatif ?

/.

(2)

/.

Cours n°1 : Dérivée de u puissance n Rappel (Propriété n°0) :

1. Réviser les formules de dérivation (→ Mathenpoche, livre...)

2. Soit f une fonction dérivable, c

f

sa courbe représentative. Une équation de la tangente à c

f

au point d'abscisse a est donnée par :

y= ... . (  vaut .…...……...….)

3. Le taux d'accroissement est /f{...…...…...….…....… ;...} et sa limite quand h tend vers 0 est la ...…... de f en a .

I) Dérivée de $ ( u(x) )^n $ Propriété n°1

Soit n un nombre entier relatif et u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction u

ⁿ

est dérivable sur I et sa dérivée vaut …...

Démonstration: cf activité 1.

Exemple n°1 :

Dériver la fonction f définie par $ ( /f{2x-4;x^2 -1} )^5 $ /.

/.

(3)

/i{E:\Docus\newdocs\TS\TS_2017_CHAP4_Setester_1_NG.odt}

Interrogation n°1 Objectifs

C4.a_Niv1 :Calculer la dérivée de [u(x)]^n Exercice n°1

Ex.5 p.84 Exercice n°2

Ex.7 p.84

Activité d'approche n°2 : Dérivée de racine carrée de u Soit u(x) une fonction dérivable et positive sur un intervalle I. On définit la fonction f par f(x)= $/rc{u(x)}$.

1. Exprimer le taux d'accroissement  (h) de f en a . /.

/.

2. En multipliant par la quantité adéquate, démontrer que :

 (h) = $ /f{u(a+h)-u(a);h} × /f{1;/rc{u(a+h)}+/rc{u(a)}} $

/.

3. En déduire la dérivée de f.

/.

Cours n°2 : Dérivée de racine carrée de u II) Dérivée de $ /rc{u} $

Propriété n°2

Soit u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I, ne s'annulant pas sur cet intervalle. La fonction $/rc{u}$ est dérivable et sa dérivée vaut

…...

Démonstration: cf activité 2.

Remarque : en considérant que $/rc{u(x)}$ = (u(x))

^1/2

, on « retombe » sur la formule du cours n°1.

Exemple n°2 :

(4)

Dériver la fonction f définie par $ /rc{/f{2x-4;x^2-1}} $.

/.

(5)

/i{E:\Docus\newdocs\TS\TS_2017_CHAP4_Setester_2_NG.odt}

Interrogation n°2 Objectifs

C4.b_Niv1 :savoir dériver une fonction composée de racine carrée Exercice n°3

Ex.3 p.84 Exercice n°4

Ex.4 p.84

Cours n°3 : Dérivée de la fonction d’une fonction affine III) Dérivée de x → f ( ax+b )

Propriété n°2

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction g définie par g(x)=f(x+  )

est dérivable et sa dérivée vaut...

Démonstration :

Le taux d'accroissement de g en a est donné par : /.

/.

Ce qui donne : /.

/.

En posant T=  a+  et H=  h :

/.

D'où : /.

/.

Exemple n°3 :

Dériver la fonction f définie par f(x)=(2x – 4)² – 3(2x – 4) . /.

/.

(6)

Propriété n°3 (admise)

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I . Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I) . La fonction g définie par g(x)=f(u(x)) est dérivable sur I et sa dérivée vaut...

Exemple n°4 :

Dériver la fonction f

n

définie par f

n

(x) = /f{1; ( /rc{x} ) ^n}.

/.

(7)

/i{E:\Docus\newdocs\TS\TS_2017_CHAP4_Setester_3_NG.odt}

Interrogation n°3 Objectifs

C4.c_Niv1 :savoir dériver une fonction composée.

Exercice n°5*

Ex.53 p.86

Activité d'approche n°3 : Dérivée de Sinus et Cosinus Dérivabilité de sinus et de cosinus.

On travaille sur l'intervalle ]0 ; /f{%pi;2}[ . a. Que peut-on dire de /lim{x;0;/f{sinx;x}} ?

…...

b. Exprimer IT en fonction de sinx et cosx .

...

…...

c. Ranger par ordre croissant les aires du secteur angu- laire OIM , du triangle OTI et du triangle OIM .

...

…...

d. En déduire que sin x  x  /f{sin x ; cos x} , puis que cos x  /f{sin x ; x} 1.

/.

e. En déduire /lim{x;0;/f{sinx;x}}.

/.

f. En déduire la dérivée de sinus en 0 . /.

/.

g. Démontrer que /f{(cos h) – 1;h}=/f{sin h;h} × /f{-sin h;(cos h) +1}.

/.

h. En déduire la dérivée de cosinus en 0 .

/.

i. Démontrer que /f{sin(a+h)-sin a;h} = sin a × /f{(cos h)-1;h} +cos a × /f{sin h ;h}

/.

I x

J M

O Sin x

cos x

T

(8)

k. En déduire la dérivée de sinus en tout point.

/.

On déterminerait ensuite de façon similaire la dérivée de cosinus (en utilisant cos x = sin (x + /f{%pi;2} ) et cos (x + /f{%pi;2}) = – sin (x ). )

Cours n°4 : Dérivée de Sinus et Cosinus IV) Dérivées de sinus et cosinus

Remarque :

Revoir les formules d'addition, de duplication, et autres relations trigonométriques de première, ainsi que les valeurs particulières.

Rappel :

f est une fonction paire si f (……) = f (……) f est une fonction impaire si f (……) = f (……)

f est une fonction périodique de période T si f (………...) = f (……) Propriété n°4

(sin x)'=... et (cos x)'= …...

Démonstration : cf activité d'approche n°3 Propriété n°5

/lim{x;0 ;/f{sin x;x}}=... et /lim{x;0 ;/f{(cos x) -1;x}}=...

Démonstration : cf activité d'approche n°3

Propriété n°6

La fonction sinus est impaire : sin (-x) = …...

La fonction sinus est périodique de période 2 : sin (x+ 2) = …...

La fonction cosinus est paire : cos (-x) = …...

La fonction cosinus est périodique de période 2 : cos (x+ 2) =…...…

(9)

Propriété n°7

La fonction f définie par f(x) = sin (ax + b) est périodique de période /f{ ……. ;…}

La fonction f définie par f(x) = cos (ax + b) est périodique de période /f{ ……. ;…}

Démonstration /.

/.

Exemple n°4

1. Soit g la fonction définie par g(x) = /f{cos(2x);2x} . g est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .

/.

2. Soit f la fonction définie par f(x) = /f{sin(3x);3x} . f est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .

/.

(10)

/.

3. Soit h la fonction définie par h(x) =cos (4x) + 4x . h est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .

/.

Exemple n°5

1. Soit f la fonction définie par f(x)=cos(2x). Quelle est sa périodicité ? /.

/.

2. f est-elle paire ? Impaire ? Justifier . /.

/.

3. Déduire des deux réponses précédentes sur quel intervalle il suffit d'étudier f .

/.

4. Calculer la dérivée de f et étudier son signe.

/.

5.Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur [-;].

/.

(11)

/i{E:\Docus\newdocs\TS\TS_2017_CHAP4_Setester_4_NG.odt}

Interrogation n°4 Objectifs

C4.d_Niv1 : Savoir déterminer la parité et la périodicité d’une fonction C4.e_Niv2 : Savoir étudier les variations d'une fonction trigonométrique Exercice n°6

Ex.68 p.87 Exercice n°7

Ex.87 p.88 Exercice n°8**

Ex.107 p.89 Exercice n°9**

Sujet A p.97 Exercice n°10***

Sujet D p.98 Exercice n°11***

Ex.143 p.99

(12)

(13)

Résultats ou indices

Exercice n°1 -Ex.5 p.84- f ' (x)=2(x+1) et g' (x)=3(x+1)

²

Exercice n°2 -Ex.7 p.84- f ' (x)=6(2x+1)

²

et g' (x)=4(2x+1)(x

²

+x)

³

Exercice n°3 -Ex.3 p.84- f ' (x)= /f{1;/rc{2x+1}} et g' (x)=/f{3x;/rc{3x^2+1}}

Exercice n°4 -Ex.4 p.84- f ' (x)= /f{x;/rc{x^2+1}} et g' (x)= /f{3x;/rc{3x^2+1}}

**Exercice n°5* -Ex.53 p.86- 1.** f '(x)= 2v'(x)(2x–1) , g'(x)= – 3v'(x)(–3x) , et h'(x)= –v'(x)(5 – x). 2. f'(x)=/f{1;2x^2-2x+1} , g' (x)=/f{-3;(-3x)^2+1}et h' (x)=/f{-1;(5-x)^2+1}

Exercice n°6 -Ex.68 p.87- f ' (x)= –2cos x + 2xsin x et g' (x)= 2xsin x + x

²

cos x.

Exercice n°7 -Ex.87 p.88- /lim{x;+ ∞ ;f(x)=- ∞ } /lim{x;- ∞ ;f(x)= + ∞ }

Exercice n°8 -Ex.107 p.89- 1.a. f(-x)=f(x) et f(x + )=f(x). 1.b. c**

f

est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et on peut compléter la courbe par translation de vecteur k2.f ' (x)=2sin x cos x 3. Sur [0 ; ], f ' (x)0. 4.

Exercice n°9 -Sujet A p.97- 1.** x ∈ [0;1[ 2. A(x) = /f{(2+2x)/rc{1-x²};2} et

V(x)=2(1+x)/rc{1+x^2} 3. V’(x)=2 × /f{1-x-2x² ;/rc{1-x^2}} 4. x=0,5.

Exercice n°10* -Sujet D p.98- 1.a.**

1.b. f ' (x)= – cos x .

1.c. 1,89<x

0

<1,90

2.a. T=sin  cos  . 2.b. S =  – sin  cos  . 2.c.

 =x

0

.

(14)

Exercice n°12* -Ex.143 p.99- 1.a. '(t) =** /f{2%pi;T} 

0

cos(/f{2%pi;T}t + ). 1.b. =2.a.(t) = /f{%pi;36}sin(t +/f{%pi;2}) 2.b.  a pour période 2.

2.c. Si t ∈ [0;1], '(t)0, si t ∈ [1;2], '(t)0. 2.d.

3. 4.a.  (0,5) ≈0 :

équilibre, 4.b.

 (1) ≈ –0,09 rad : -5° de sa position d'équilibre.

4.c. (1,5) ≈0 :

équilibre, 4.d.

 (2) ≈ 0,09 rad : 5° de sa

position

d'équilibre. 4.e . (3) ≈ -0,09 rad : -5° de sa position d'équilibre.

(15)

(16)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester C. : ex.n° : … / … / … / … / …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester C. : ex.n° : … / … / … / … / …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester C. : ex.n° : … / … / … / … / …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester C. : ex.n° : … / … / … / … / …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester C. : ex.n° : … / … / … / … / …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...

Se tester C. : ex.n° : … / … / … / … / …

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C. ;C. ;C. ;C.

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

n g' g' u et u' g' u et u' n g g ( x )=[ u ( x )] u

Chapitre n°4 : Dérivées (compléments) Objectifs :

Niveau a eca n

C4.a 1 Calculer la dérivée de [u]^n

C4.b 1 Savoir dériver une fonction composée de racine carrée C4.c 1 Savoir dériver une fonction composée

C4.d 1 Savoir déterminer la parité et la périodicité d’une fonction

C4.e 2 Savoir étudier les variations d'une fonction trigonométrique

Activité d'approche n°1 : Dérivée de u puissance n

On définit une famille de fonctions g

par g

(x)=[u(x)]

, où u est une fonction dérivable sur l'intervalle étudié, et n est un entier naturel positif.

1. Déterminer g'

en fonction de u et u' . /.

/.

/.

/.

/.

/.

2. Déterminer g'

en fonction de u et u' . /.

/.

/.

/.

/.

/.

3. Conjecturer g'

. /.

/.

/.

4. Démontrer la conjecture.

/.

/.

/.

/.

/.

/.

/.

/.

/.

/.

/.

/.

5. Comment généraliser la formule pour n entier relatif ?

/.

/.

/.

/.

/.

/.

Cours n°1 : Dérivée de u puissance n Rappel (Propriété n°0) :

1. Réviser les formules de dérivation (→ Mathenpoche, livre...)

2. Soit f une fonction dérivable, c

sa courbe représentative. Une équation de la tangente à c

au point d'abscisse a est donnée par :

y= ... . (  vaut .…...……...….)

3. Le taux d'accroissement est /f{...…...…...….…....… ;...} et sa limite quand h tend vers 0 est la ...…... de f en a .

I) Dérivée de $ ( u(x) )^n $ Propriété n°1

Soit n un nombre entier relatif et u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction u

est dérivable sur I et sa dérivée vaut …...

Démonstration: cf activité 1.

Exemple n°1 :

Dériver la fonction f définie par $ ( /f{2x-4;x^2 -1} )^5 $ /.

/.

/.

/.

/.

/.

/i{E:\Docus\newdocs\TS\TS_2017_CHAP4_Setester_1_NG.odt}

Interrogation n°1 Objectifs

C4.a_Niv1 :Calculer la dérivée de [u(x)]^n Exercice n°1

Ex.5 p.84 Exercice n°2

Ex.7 p.84

Activité d'approche n°2 : Dérivée de racine carrée de u Soit u(x) une fonction dérivable et positive sur un intervalle I. On définit la fonction f par f(x)= $/rc{u(x)}$.

1. Exprimer le taux d'accroissement  (h) de f en a . /.

/.

/.

/.

/.

/.

C4.a ¹ Calculer la dérivée de [u]^n

C4.b 1 Savoir dériver une fonction composée de racine carrée C4.c ¹ Savoir dériver une fonction composée

C4.d ¹ Savoir déterminer la parité et la périodicité d’une fonction

C4.e ² Savoir étudier les variations d'une fonction trigonométrique