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Texte intégral

(1)

Licence Ingénierie : Probabilités

Feuille de TD n°4 Année 2000/2001

Exercice 1 : Etudier la convergence presque sûre, en probabilité, dans L 1 et en loi des suites de variables aléatoires ! " X n n!1 suivantes :

1. X n # u n 1 & X" $ 0,1/ n % ' où X est une v.a. suivant une loi uniforme sur 0,1 $ % et ! " u n n!1 est une

suite de réels quelconques.

2. Les X n sont des v.a. indépendantes de même loi donnée par P X ! n # 1 " # 1 # P X ! n # 0 " # 1

n .

3. X n # # X où X est une v.a. normale centrée réduite et l’on étudie la convergence de X n vers X .

Exercice 2 : Montrer les propriétés suivantes :

1. Soit ! " X n n! 0 , ! " Y n n!0 deux suites indépendantes de v.a. convergeant en probabilité respectivement vers X et Y . Alors ! X n ( Y n " converge en probabilité vers X ( Y .

2. Soit ! " X n n ! 0 une suite convergeant en probabilité vers une constante a et f une fonction continue en a. Montrer que ! f X ! " n " n !0 converge en probabilité vers f a ! " .

3. Soit ! " X n n! 0 une suite convergeant en probabilité vers une v.a. réelle X et ! " a n une suite de réels convergeant vers a. Montrer que ! a n X n " converge en probabilité vers aX .

Exercice 3 : Soit ! " X n n! 0 une suite de v.a. réelles indépendantes de même loi uniforme sur

$ 0,1 % . On note I n # inf

i #1,..., n X i et S n # sup

i#1,...,n X i .

1. Etudier la convergence en loi, en probabilité et en moyenne quadratique de I n . 2. Etudier la convergence en loi de Y n # n ! 1 # S n " .

Exercice 4 : Soit f une fonction continue sur 0,1 $ % , positive et telle que sup

x" $ % 0,1

f ( x) # m ) 1.

On pose p # f (x)dx

0 1

$ . Soit Z i # ! X i ,Y i " , i # 1,...,n , n v.a.i. définies sur ! % , ,P " et de loi uniforme sur 0,1 $ % 2 . Soit D # & ! " x, y " $ % 0,1 2 , y & f (x) ' . On pose pour tout ' " % et pour tout

i " & 0,1,...,n ' , T i ! " ' # 1 si Z i ! " ' " D 0 sinon (* )*

** .

1. Soit U n # 1 n T i

i # 1 n

+ . Déterminer la loi de U n , puis E ! " U n et Var ! " U n .

2. Montrer que U n

n ,(-

, ps p et que U n

n,(- L

2

, p .

(2)

3. Donner une majoration de p ! 1 # p " pour tout p " $ % 0,1 . Utiliser l’inégalité de Bienaymé- Tchebychev pour déterminer la valeur minimale n 0 de n telle que

P ! U n # p ! 0,01 " & 0,005 .

Exercice 5 : Soit ! " X n n! 0 une suite de v.a. réelles telles que, pour tout n ! 1, X n suit une loi normale N (0, 1

n 2 ) .

1. Etudier la convergence en loi de cette suite ; on notera X sa limite.

2. Peut-on dire que lim

n, (- P ! X n # 0 " # P ! X # 0 " ?

Exercice 6 : Soit, pour tout entier n ! 1, X n une v.a. sur ! %, ,P " de loi de Poisson de paramètre n.. On pose Z n # X n # n

n . Calculer la fonction caractéristique de Z n . Démontrer que Z n converge en loi vers une v.a. normale de moyenne 0 et de variance 1. En déduire que

n lim ,(- e # n n k

k #0 k!

n

+ # 1 2 .

Exercice 7 : Soit X, X 1 ,..., X n des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de loi de Bernoulli P ! X # 1 " # P ! X # #1 " # 1

2 . 1. Montrer que E ! " e . X & e

.

2

2 . En déduire E ! " e . S

n

& e

n .

2

2 . 2. En déduire en utilisant l’inégalité de Markov que P S n

n + / 0*

1* 2*

3* & e

# n /

2

2 pour tout n et tout / positif. Comparer avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

3. Donner un équivalent pour n grand de P S n n + 3

2 n 0*

1*

2*

3* (On pourra utiliser le théorème central limite).

4. Comparer numériquement les trois approximations obtenues. (On donne F( 3

2 ) # 0.9332

où F est la fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite.)

Références

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