Programmation de cristaux dopés en ions terres rares pour le traitement du signal : application au renversement temporel et à l'analyse spectrale large bande instantanée de signaux RF

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pour le traitement du signal : application au

renversement temporel et à l’analyse spectrale large

bande instantanée de signaux RF

Heloïse Linget

To cite this version:

Heloïse Linget. Programmation de cristaux dopés en ions terres rares pour le traitement du signal : application au renversement temporel et à l’analyse spectrale large bande instantanée de signaux RF. Optique [physics.optics]. Université Paris Saclay (COmUE), 2017. Français. �NNT : 2017SACLS132�. �tel-01563997�

NNT : 2017SACLS132

Thèse de doctorat

de l'Université Paris-Saclay

préparée à l'Université Paris-Sud

Ecole doctorale n

₅₇₂

Ecole Doctorale Ondes et Matière

Spécialité de doctorat : Optique, Optoélectronique, Microondes

par

Héloïse LINGET

Programmation de cristaux dopés en ions terres rares pour le

traitement du signal : application au renversement temporel et à

l'analyse spectrale large bande instantanée de signaux RF

Mme Isabelle Zaquine Professeur (Présidente)

Telecom Paris

M. Hugues Guillet de Chatellus Chargé de Recherche (Rapporteur)

LIPhy, Grenoble

M. Sylvain Gigan Professeur (Rapporteur)

Laboratoire Kastler Brossel, Paris

M. Philippe Goldner Directeur de Recherche (Examinateur)

ENSCP, Paris

M. Thierry Chanelière Chargé de Recherche (Directeur)

Remerciements

Curieux exercice que d’écrire les remerciements de sa thèse... Déjà parce que rédiger à la première personne n’est pas chose facile pour qui a l’habitude de rester en retrait derrière un "on". Et aussi parce qu’après y avoir consacré vacances, week-ends et nuits, ce manuscrit s’achève enfin, et il s’achève par ces quelques mots. Plus que quelques lignes et une page qui semblait intournable va réellement se tourner.

Je commence ces remerciements par les membres de mon jury, tout particulièrement Hugues Guillet de Chatellus et Sylvain Gigan d’avoir accepté d’être mes rapporteurs et d’avoir lu mon manuscrit avec autant de soin. Ecrire ce manuscrit a été un exercice long et solitaire où il m’arrivait de douter de l’intérêt d’y consacrer tant de temps et d’énergie : lire vos rapports et échanger sur ce travail durant la séance de questions m’a permis de réaliser que tout ceci en avait valu la peine. Je remercie de même Philippe Goldner et Isabelle Zaquine, tant pour vos questions que pour votre bienveillance durant la soutenance.

Deux époques ont composé cette thèse : une première, passée au sein du laboratoire avec Jean-Louis Le Gouët comme directeur de thèse, et une seconde à Orléans, à jongler entre activité profes-sionnelle et rédaction du manuscrit encadrée à distance par Thierry Chanelière.

En ce qui concerne la première partie, impossible de commencer ces remerciements par quelqu’un d’autre que par Jean-Louis Le Gouët... C’est par lui que je suis arrivée au laboratoire Aimé Cotton, au détour d’un après-midi passé à purger une machine à froid à Thales Research & Technology. Je souhaite le remercier pour beaucoup de raisons. J’ai appris et surtout j’ai grandi à son contact. Ce qu’il m’a transmis ne se résume pas à des connaissances : au fil des discussions, c’est sa vision de la physique qui apparaissait, une vision pleine de conviction mais aussi d’humilité. Dans mon cas, je pense que c’est en essayant de voir ce que lui voyait que je me suis construite scientifiquement. Pour citer un des thésards du groupe : " le Jean-Louis est une espèce à part ". Je confirme et je suis contente d’avoir pu en côtoyer un de près pendant quelque temps...

Puisque je viens de mentionner TRT, je remercie toute leur équipe, et plus particulièrement Daniel Dolfi et Loïc Morvan. Daniel parce que c’est lui qui m’a expliqué le principe de l’analyseur arc-en-ciel lors de ma première visite à TRT, et qu’il a si bien vendu son sujet que j’ai signé pour un stage, pour un M2 et enfin pour une thèse... Loïc pour nous avoir fourni l’idée du renversement temporel bien sûr, mais aussi et surtout pour son encadrement durant mon stage à TRT. Vu sa charge de travail, je me suis rapidement retrouvée seule en salle de manip. Et une fois plongée dans le grand

change pas le résultat d’une expérience : elle ne fait que le retarder. Merci donc de m’avoir appris l’autonomie et ainsi de m’avoir fait apprécier la recherche en physique : cette thèse n’aurait pas eu lieu si nos chemins ne s’étaient pas croisés. Une pensée particulière pour Pascale Nouchi pour sa gentillesse et son humanité que je n’ai pas oubliées.

Je remercie également mon encadrante Anne Chauvet pour ces longues heures passées à deux en salle de manip, et pour les résultats scientifiques qui en sont ressortis. Je te remercie également pour avoir été ouverte à mes suggestions de manip. Alors oui, il fallait argumenter, mais d’une part ça m’obligeait à préciser les idées que j’avais eues, et d’autre part, tu n’étais au fond pas réticente à être convaincue. Donc merci pour avoir su ne pas instaurer de hiérarchie entre nous, et pour avoir su me faire confiance scientifiquement. Je remercie également Florencia Pascual-Winter pour sa douceur et sa gentillesse : je te suis de loin, je n’apprends que de bonnes nouvelles à ton sujet, et je suis juste heureuse de te savoir heureuse.

Il me faudrait remercier encore beaucoup de monde, mais ces remerciements ne peuvent pas faire la taille d’un chapitre non plus... Je me contenterai donc de remercier tous ceux qui me souriaient en retour quand je les croisais dans les couloirs du laboratoire.

Parmi eux il me faut remercier tout particulièrement mes collègues de bureau Nadia Bouloufa et Pierre Billaud. Nadia tout simplement pour la personne qu’elle est : droite, pleine de convictions et pleine d’humanité. Un immense merci pour le soutien et la considération que tu m’auras apportés. Merci également à Pierre pour sa bonne humeur à toute épreuve, pour ses sourires si communicatifs, et surtout pour m’avoir réconciliée avec le Coca rouge, incontestablement le meilleur ...

Je n’oublie pas non plus Jérôme Leygnier. Déjà pour son super poly d’optique, annoté et stabiloté plus que de raison, que je conserve depuis toutes ces années et qui m’a bien servi durant la rédaction. Et aussi pour les enseignements de monitorat qu’il m’a confiés, tout particulièrement celui de chimie organique pour le CAPES : merci de m’avoir fait confiance en attribuant cet enseignement à une ex-chimiste certes devenue physicienne mais restée fidèle à ses premières amours.

Vient à présent la deuxième partie de ma thèse, en tête-à-tête avec LaTeX qui aura rudement bien résisté avant de se laisser apprivoiser...

Je remercie tout d’abord Thierry Chanelière pour avoir accepté de prendre le relais de Jean-Louis. Merci en particulier pour l’immense aide technique (encore et toujours ce satané LaTeX ...), pour avoir lu et annoté le pavé de plus de 200 pages que je t’ai envoyé, mais aussi m’avoir évité les "sorties de piste" lors des répétitions pré-soutenance. Je voulais également te remercier de m’avoir maintenue sous pression pendant cette dernière année : je ne te cache pas que je t’ai maudit pendant toutes ces nuits blanches, mais à l’heure où j’écris ces remerciements, je te suis reconnaissante. Pour le dénouement de cette thèse bien sûr, mais aussi parce qu’en me poussant dans mes derniers retranchements, tu m’as permis de réaliser que je pouvais plus que je ne m’en croyais capable.

Il me faut aussi remercier Matthieu Bonarota pour tout ce qu’il aura fait pour moi depuis que l’on se connaît. Et si nos échanges furent souvent houleux, il faut reconnaître que quelques bonnes choses en sont ressorties : je maîtrise désormais l’accent belge, je sais qu’entendre "you need more minerals" est le signal pour éteindre sa box, et surtout j’ai compris que ne pas connaître les chevaliers du Zodiaque était une grave défaillance culturelle de ma part (à ce sujet, il m’est impossible de ne pas revenir sur ton chevalier du Poisson dont la spécificité guerrière est de lancer des roses sur ses

Plus sérieusement, un grand merci pour toutes les fois où tu m’auras épaulée et pour m’avoir aidée du mieux que tu le pouvais tout au long de cette thèse.

Je remercie également l’inrésumable Robert-Christopher Tongning pour être toujours tellement impliqué, pour ne pas avoir changé au fil des années, et pour toujours toujours répondre présent... Merci en particulier d’avoir tant insisté pour relire mon manuscrit et merci pour toutes les choses gentilles que tu en as dit, ça m’a vraiment touchée.

Une dédicace spéciale à Guillaume Mondet et Mickaël Vandevraye pour les années passées en-semble au labo, mais aussi pour être ceux qui maintiennent sans faillir la cohésion de notre groupe d’ex-thésards malgré les années qui passent et les distances qui nous séparent. Une pensée aussi pour Julian Dajczgewand qui après avoir fini 100 % de ses coups de fil par "je passe sous un tunnel", a fini par réellement en prendre un pour s’installer outre-Manche.

Il me faut également remercier les personnes entrées dans ma vie depuis mon arrivée sur Orléans. Avec Cécile et FX en pole-position :) Merci de m’avoir motivée et mise dans les meilleures conditions possibles pour me relancer dans la rédaction du manuscrit, merci pour toutes les petites attentions que vous m’avez témoignées depuis que je vous connais (ah les petits Pélardons ... ), et merci d’avoir été si présents pour moi quelque soit le contexte.

Je remercie également Céline et Jean-Michel, pour avoir pris de mes nouvelles au fur et à mesure que la rédaction avançait, et pour m’avoir remplacée quand je devais m’absenter pour la thèse.

Un grand merci à Adeline pour avoir été, malgré la distance, à mes côtés cette année. Merci pour tes messages d’encouragement, pour les fleurs, pour le trèfle irlandais, pour les petits gâteaux... En un mot merci pour ton immense gentillesse.

Et bien sûr, il y a tous mes étudiants depuis 3 ans maintenant... Parce que eux aussi, à leur manière, se sont intéressés à cette thèse et m’ont donné le courage d’aller au bout de la démarche. Et aussi parce que, pour dire la vérité, en dépit de toutes les fois où je ronchonne après eux, ils m’apportent beaucoup plus que je ne veux bien leur montrer ...

Une dédicace particulière à mon auguste quasi-homonyme pour avoir suivi l’avancée de ma thèse avec la même implication en sup comme en spé, et aussi pour avoir mis un point d’honneur à m’approvisionner en chocolats : ils sont certes arrivés un an trop tôt, mais j’ai fini par les mériter :)

Je finirai ces remerciements par mes amis proches et ma famille.

Merci à Benjamin, Florian et Yohan, pour être restés présents dans ma vie, chacun à votre manière, en dépit de la distance et de vos vies respectives.

Merci à Nicole et Michel pour les belles personnes que vous êtes et pour avoir contribué à faire de moi la personne que je suis aujourd’hui.

Merci à mes sœurs. Christine, pour ses gentils mails d’encouragement. Et Juliette bien sûr, pour être celle de nous deux qui appelle l’autre, pour ne pas me tenir trop rigueur d’être un peu sauvage, et enfin pour toute la fierté que j’ai pu voir dans ses yeux le 20 avril dernier...

Merci enfin à mes parents qui croient en moi sans que j’ai besoin de leur prouver quoi que ce soit, et qui dans les bons comme dans les mauvais moments ne m’ont jamais lâchée.

Table des matières

A Renversement Temporel 19

I Focalisation et Renversement Temporel 21

I.1 Position du problème . . . 22

I.1.1 Modèle d’Huygens Fresnel de la propagation . . . 22

I.1.2 Réalisation de la focalisation . . . 22

I.1.3 Méthode des retards adaptatifs (time delay focusing technique) . . . 23

a Principe . . . 23

b Limitations de la méthode des retards adaptatifs . . . 24

I.2 Principe du Renversement Temporel . . . 26

I.2.1 Introduction au Renversement Temporel sur un exemple . . . 26

I.2.2 Cas général : équation de propagation . . . 27

I.2.3 Lien avec notre problématique de focalisation . . . 28

I.2.4 Validité de la solution renversée temporellement . . . 29

a Caractère causal de la solution renversée temporellement . . . 29

b Durée de validité de la solution renversée temporellement . . . 29

c Contrainte sur la rapidité de l’opération de renversement temporel . . 29

I.3 Protocole de Focalisation par Renversement Temporel (PFRT) . . . 31

I.3.1 Etapes du Protocole de Focalisation par Renversement Temporel . . . 31

I.3.2 Interprétation du PFRT en terme de filtre adapté . . . 32

II.1 Applications du Renversement Temporel . . . 36

II.1.1 Applications médicales . . . 36

a Lithotripsie . . . 36

b High Intensity Focused Ultrasound (HIFU) . . . 38

II.1.2 Application aux télécommunications . . . 40

a Exemple des télécommunications sous-marines . . . 40

b Protocole de communication par Renversement Temporel . . . 43

II.1.3 Application à la génération d’impulsions de haute énergie . . . 44

a Interférences électromagnétiques intentionnelles (IEMI) . . . 44

b Technologies existantes et limitations . . . 45

c Apports du renversement temporel . . . 46

II.2 Réalisation pratique du Renversement Temporel . . . 48

II.2.1 Approche numérique . . . 48

a Signal analogique vs. signal numérique . . . 48

b Conversion analogique → numérique (CAN) . . . 48

c Conversion numérique → analogique (CNA) . . . 49

d Protocole numérique de renversement temporel . . . 50

II.2.2 Approche analogique . . . 52

a Logique de l’approche . . . 52

b Passage du domaine RF au domaine optique . . . 53

c Traitement optique . . . 55

d Passage du domaine optique au domaine RF . . . 55

e Protocole analogique complet de renversement temporel . . . 56

III Optique temporelle 57 III.1 Dualité espace-temps . . . 58

III.1.1 Effet de la propagation . . . 58

a Principe d’Huygens et formule de Fresnel-Kirchhoff . . . 58

b Approximation paraxiale . . . 59

c Analogie temporelle . . . 61

d Sens physique de l’analogie espace-temps . . . 61

III.1.2 Effet de lentille . . . 62

III.2 Renversement temporel par imagerie temporelle exacte . . . 65

III.2.1 Imagerie spatiale . . . 65

III.2.2 Imagerie temporelle . . . 66

III.2.3 Comparatif imagerie spatiale/imagerie temporelle . . . 67

III.2.4 Exemple de réalisation en optique temporelle exacte . . . 68

III.3 Renversement temporel par imagerie temporelle approchée . . . 69

III.3.1 Difficultés de l’imagerie temporelle exacte . . . 69

III.3.2 Suppression de la première étape de propagation . . . 69

III.3.3 Lien avec la diffraction de Fraunhofer en optique spatiale . . . 71

III.3.4 Intérêt de l’imagerie approchée . . . 73

III.3.5 Exemple de réalisation expérimentale . . . 74

IV Milieu dispersif 77 IV.1 Description physique du milieu dispersif choisi . . . 79

IV.1.1 Matrice cristalline : orthosilicate d’yttrium Y2SiO5 . . . 79

IV.1.2 Ion dopant : erbium Er3+ . . . 80

a Présentation de l’erbium . . . 80

b Effet de bouclier des orbitales 5s et 5p sur les orbitales 4f . . . 80

c Spectroscopie de l’ion erbium . . . 82

IV.1.3 Cristal dopé : Er3+: Y 2SiO5 . . . 84

a Dopage . . . 84

b Conséquences spectroscopiques . . . 84

c Transition optique d’intérêt . . . 84

d Largeur homogène et largeur inhomogène . . . 86

e Paramètres influant sur Γh . . . 88

f Paramètres influant sur Γinh . . . 91

IV.2 Caractère dispersif de l’Er :YSO . . . 93

IV.2.1 Phénomène de dispersion . . . 93

IV.2.2 Lien entre profil d’absorption et indice de réfraction . . . 93

IV.2.3 Restauration du pouvoir dispersif par le Spectral Hole Burning . . . 94

IV.3 Caractère dispersif d’un réseau spectral . . . 95

IV.3.1 Réseau de pas fixe . . . 95

b Lecture d’un réseau spectral . . . 96

c Comparaison au cas du réseau spatial . . . 97

IV.3.2 Réseau de pas variable . . . 97

a Lien entre renversement temporel et réseau de pas variable - approche intuitive . . . 97

b Calcul du facteur de transmission d’un profil spectral de pas variable 99 c Interprétation physique . . . 102

d Application au Renversement Temporel . . . 104

IV.4 Gravure d’un réseau spectral de pas variable . . . 107

V Aspect expérimental 109 V.1 Dispositif expérimental . . . 110 V.1.1 Présentation générale . . . 110 V.1.2 Bloc source . . . 111 a Laser Coccinelle . . . 111 b Asservissement du laser . . . 113 c Amplification du laser . . . 114

V.1.3 Propagation en espace libre . . . 114

V.1.4 Bloc cryostat & champ magnétique . . . 115

a Cryostat à hélium liquide . . . 115

b Champ magnétique . . . 116

V.1.5 Détection . . . 118

V.2 Caractérisation des échantillons . . . 119

V.2.1 Détermination de Γinh par spectroscopie d’absorption . . . 119

V.2.2 Détermination du T1 par spectroscopie de Hole Burning . . . 121

V.2.3 Détermination du T1, du T2 et caractérisation de la diffusion spectrale par l’écho de photon à 3 impulsions . . . 124

a Séquences d’écho de photons à 3 impulsions . . . 124

b Variation de TW et détermination de T1 . . . 125

c Variation de t12et détermination de T2 . . . 126

V.3 Renversement temporel de signaux RF . . . 128

V.3.1 Séquence de renversement temporel . . . 128

V.3.3 Signaux renversés temporellement . . . 130

V.3.4 Etude de la bande passante du dispositif ∆νBP . . . 134

V.3.5 Efficacité du renversement temporel . . . 135

V.3.6 Résumé des performances de notre protocole analogique . . . 136

V.4 Interprétation du renversement temporel en terme d’écho de photon . . . 137

V.5 Publications relatives au renversement temporel . . . 139

B Analyse Spectrale Large Bande Instantanée 163 I Présentation et réalisations de l’Analyse Spectrale Large Bande Instantanée 165 I.1 Présentation de l’analyse spectrale . . . 167

I.1.1 Description . . . 167

I.1.2 Analyse spectrale large bande instantanée . . . 167

a Caractéristiques d’un analyseur spectral . . . 167

b Cas de l’analyse des signaux RF . . . 168

I.1.3 Applications de l’analyse spectrale . . . 168

a Guerre électronique . . . 168

b Astrophysique . . . 169

I.2 Réalisations électroniques . . . 170

I.2.1 Analyseurs à glissement de fréquence . . . 170

I.2.2 Analyseurs en temps réel . . . 171

I.2.3 Conclusion sur l’approche électronique . . . 171

I.3 Apport de l’optoélectronique : l’analyseur "arc-en-ciel" . . . 172

I.3.1 Optoélectronique et milieux sélectifs en fréquence . . . 172

I.3.2 Présentation de l’analyseur arc-en-ciel . . . 172

a Principe . . . 172

b Performances attendues . . . 174

I.3.3 Réseau spatial versus réseau spectral : lien avec le renversement temporel . . . 174

I.3.4 Un réseau spatial et spectral . . . 175

a Interprétation en terme d’holographie spatiale . . . 175

b Transposition dans le domaine temporel . . . 176

d Avantages d’un réseau spectro-spatial . . . 177

e Réseau spectral, réseau spatial et réseau spectro-spatial . . . 178

I.4 Approche adoptée dans cette thèse . . . 179

I.4.1 Liens avec les travaux précédemment menés par l’équipe . . . 179

I.4.2 Présentation de l’AFC . . . 180

I.4.3 Objectifs des travaux menés durant la thèse . . . 181

II Optimisation du pompage optique 183 II.1 Présentation du Tm3+ :YAG . . . 185

II.2 Pompage en schéma standard : Tm :YAG sans champ magnétique . . . 188

II.2.1 Présentation du schéma standard . . . 188

II.2.2 Effet sur le profil d’absorption α(ν) . . . 189

a Condition de champ faible . . . 189

b Evolution des populations d’atomes et lien avec le coefficient d’ab-sorption α . . . 189

c Effets de l’élargissement homogène Γh et inhomogène Γinh de la tran-sition . . . 190

d Effet de la puissance de gravure . . . 190

II.2.3 Réalisation d’un réseau spectro-spatial . . . 191

a Pompage par une paire d’impulsions . . . 191

b Passage au réseau spectro-spatial : notion de phase spectro-spectrale . 192 c Etude du profil d’absorption normalisé αRSS α0 . . . 193

II.2.4 Contrainte sur la puissance de pompe . . . 194

II.2.5 Pompage standard du Tm :YAG . . . 194

II.2.6 Conclusion sur le pompage standard . . . 195

II.3 Pompage optique en schéma ISG : schéma simplifié du Tm :YAG sous champ magnétique196 II.3.1 Description du système à 3 niveaux dans le schéma ISG . . . 196

II.3.2 Effet sur le profil d’absorption α(ν) . . . 196

II.3.3 Réalisation d’un réseau spectro-spatial . . . 198

a Choix du rapport ∆g/∆ . . . 198

b Passage au réseau spectro-spatial . . . 200

II.3.4 Étendue spectrale du réseau gravé . . . 201

II.4.1 Description du système réel du Tm :YAG . . . 202

II.4.2 Contrainte sur la puissance de pompe . . . 203

II.4.3 Effet sur le profil d’absorption α(ν) . . . 203

II.4.4 Conclusion sur l’optimisation du pompage optique . . . 204

II.5 Effet de la propagation sur un réseau spectro-spatial . . . 205

II.5.1 Position du problème . . . 205

II.5.2 Condition d’accord de phase . . . 205

II.5.3 Effet sur le réseau spectro-spatial gravé . . . 206

III Aspect expérimental 207 III.1 Dispositif expérimental . . . 208

III.1.1 Laser . . . 208

a Spécifications . . . 208

b Description de la source laser . . . 208

c Pré-amplification et amplification . . . 209

III.1.2 Mise en forme temporelle des faisceaux . . . 210

III.1.3 Mise en forme spatiale des faisceaux . . . 210

III.1.4 Contrôle de la polarisation des faisceaux . . . 211

III.1.5 Cryostat et champ magnétique . . . 212

III.1.6 Détection . . . 214

III.2 Réseau spatial . . . 215

III.3 Réseau spectro-spatial en schéma standard . . . 217

III.3.1 Du réseau spatial au réseau spectro-spatial . . . 217

III.3.2 Egalisation des pulsations de Rabi des deux faisceaux . . . 217

III.3.3 Dépendance du réseau spectral vis-à-vis des paramètres TW et t12 . . . 218

III.3.4 Conclusion sur ce schéma de pompage . . . 219

III.4 Asservissement de l’interféromètre . . . 220

III.4.1 Nécessité de l’asservissement . . . 220

III.4.2 Dispositif d’asservissement ou lock . . . 220

III.4.3 Contraintes liées au lock . . . 221

III.5 Réseau spectro-spatial en schéma ISG . . . 224

III.5.1 Passage au schéma ISG . . . 224

III.5.3 Effet de l’asservissement sur le signal d’écho . . . 226

III.5.4 Mesure de l’efficacité de diffraction en schéma ISG . . . 227

III.5.5 Etude du réseau spectro-spatial à petit et grand angle . . . 227

III.6 Publication relative à l’ASLBI . . . 229

Conclusion 243

A Règles de sélection 251

B Influence de l’environnement sur la largeur homogène 255

C Hypothèses effectuées lors du calcul du réseau à pas variable 259

D Asservissement du laser Coccinelle 261

E Echo de photon 265

F Saturation 273

Préambule

Le terme de traitement du signal est couramment utilisé dans de nombreux domaines, par exemple en sciences de l’ingénieur, en physique expérimentale ou encore en mathématiques. Néan-moins, malgré l’apparente universalité de ce terme, les contours de ce qu’est le traitement du signal demeurent flous, et il est difficile d’en donner une définition précise.

Ce paradoxe est lié au fait que le traitement du signal relève davantage de la notion que du

concept. Si ces deux mots sont dans le langage courant considérés comme synonymes, ils s’opposent

pourtant au niveau du degré de précision avec lequel le domaine qu’ils décrivent est circonscrit. En effet, le terme de notion se réfère à une idée plutôt vague, aux contours suffisamment imprécis pour qu’elle soit comprise par le plus grand nombre. Une notion sera donc construite empiriquement, par accumulation d’expériences et d’exemples. En revanche, dès qu’il s’agit non plus de percevoir mais de

concevoir, ie d’extraire les caractéristiques intrinsèques d’une idée afin de s’en faire une représentation

mentale abstraite, l’utilisation du terme de concept - du latin concipere "contenir intégralement, engendrer" - sera plus adaptée [1].

Revenons à la problématique du traitement du signal. Si l’on cherche à expliquer à quelqu’un ce qu’est le traitement du signal, on aura plutôt tendance à l’illustrer en multipliant les exemples, et non à le définir. Autrement dit, notre explication est une description empirique et non une définition aux contours précis, ce qui justifie de considérer le traitement du signal comme une notion et non comme un concept.

Ainsi, en intitulant ce premier chapitre "Notion de Traitement du Signal", l’objectif n’est pas d’en brosser un portrait exhaustif, mais simplement d’en présenter les grandes lignes, notamment en définissant ce que l’on entend par le terme de signal.

Objet d’étude : le signal

La description de notre environnement extérieur passe par l’utilisation d’une multitude de

gran-deurs physiques. Parmi ces grandeurs physiques, les plus familières sont celles que nos sens sont

directement capables de percevoir : ainsi le sens du toucher nous donne une évaluation grossière de la température de ce qui nous environne, tandis que la vue nous rend sensible à la valeur moyenne du champ électrique de certaines ondes électromagnétiques.

Si la connaissance d’une grandeur physique est intéressante en soi, ce sont ses variations qui lui confèrent son caractère informatif. Ces variations peuvent être de nature temporelle ou spatiale principalement. Prenons l’exemple du son : ce sont des variations temporelles de pression qui mettent en vibration le tympan, et sont interprétées par notre cerveau comme étant un son, ie comme une information.

Par la suite, nous nous restreindrons aux cas où le contenu informatif associé à une grandeur physique s est encodé dans ses variations temporelles. On la notera alors s(t) et on qualifiera cette fonction mathématique de signal.

Émission, propagation, réception et traitement d’un signal

Supposons que l’on souhaite transmettre un signal d’un point A à un point B. Quatre étapes vont se succéder :

– la génération du signal : celle-ci se fait au moyen d’un dispositif appelé émetteur dont le rôle est d’encoder l’information à transmettre sous la forme de la variation temporelle s(t) d’une grandeur physique s. Dans le cas du son, on peut donner comme exemple le marteau qui vient percuter la corde d’un piano et mettre celle-ci en vibration.

– la propagation : afin de traduire la dépendance spatiale (point M de l’espace) en plus de la dépendance temporelle, on notera s(M, t) et on qualifiera d’onde un signal qui se propage. Les phénomènes à l’origine de la propagation du signal sont divers et dépendent de la nature de celui-ci (succession de compression-dilatation des couches d’air pour une onde sonore, couplage entre champ électrique et champ magnétique décrit par les équations de Maxwell pour une onde électromagnétique, ...).

– la réception : au niveau du point B, un dispositif appelé récepteur capte la valeur de l’onde

s(B, t) en ce point et délivre un signal sous une forme qui pourra ensuite être traitée. C’est par

exemple le cas de l’oreille qui convertit des variations de pression incompréhensibles par notre cerveau en un signal électrique qu’il sera capable d’interpréter.

– le traitement : son but est non seulement d’extraire l’information contenue dans le signal, mais également de la traiter pour n’en considérer que la fraction réellement intéressante. Nous reviendrons sur cette étape dans les paragraphes suivants.

Figure 1 – Exemple d’un signal sonore : (a) chaque touche du piano est reliée à un marteau qui vient

frapper une corde et la met en vibration, (b) la vibration de la corde est transmise aux couches d’air situées à proximité, donnant naissance à une onde de pression qui se propage de proche en proche, (c) l’onde de pression est communiquée au tympan, continue sa propagation dans l’oreille moyenne puis est convertie en signal électrique au niveau de la cochlée, (d) le nerf auditif conduit le signal vers le lobe temporal du cerveau où le signal électrique reçu est analysé et l’information qu’il contient interprétée.

Retour sur le contenu informatif d’un signal

Comme mentionné précédemment, un signal est porteur d’information. Toutefois, ce contenu informatif n’est pas nécessairement présent dès l’émission du signal, il peut également se constituer

lors de la phase de propagation.

Commençons par le cas où le signal émis est porteur de l’information. C’est la situation typiquement rencontrée en télécommunication. On peut citer par exemple le cas où A est un confé-rencier qui émet un signal sonore en direction de l’un de ses auditeurs B, ou encore celui où A est une étoile située dans une galaxie lointaine et B le radiotélescope d’un astrophysicien qui reçoit les radiations électromagnétiques émises par l’astre. Dans ces deux cas, B a tout intérêt à ce que le signal soit aussi peu altéré que possible pendant la propagation de A à B.

Il peut toutefois arriver que ce soit justement l’altération du signal pendant la

propaga-tion qui constitue le contenu informatif. Dans ce cas, l’idée est d’émettre comme signal une

impulsion composée d’une large gamme de fréquences, et d’analyser à la réception en B l’effet qu’a

eu le milieu traversé sur chacune des fréquences du signal initial. Le contenu informatif est ici lié

aux caractéristiques du milieu séparant A de B. C’est sur ce principe qu’est basée la technique de l’échographie : A et B sont confondus, des ondes ultrasonores sont émises par une sonde et réfléchies par les différentes interfaces rencontrées pendant la propagation. Ces réflexions sont collectées par la sonde, ce qui permet d’accéder à la cartographie de la réflectivité sonore du milieu (figure 2).

Pourquoi traiter le signal ?

Durant son transfert de A à B, le signal peut voir son contenu informatif compromis, que celui-ci porte sur le signal émis ou sur les caractéristiques du milieu traversé.

Figure 2 – Principe de construction d’une image échographique : (a) la sonde émet une impulsion

ultraso-nore qui se propage à travers le corps du patient et est réfléchie par les interfaces rencontrées (gel/peau, tissu homogène/organe) (b) les différentes réflexions sont enregistrées sur l’échographe sur lequel on peut distinguer deux contributions : des signaux intenses (en rouge) correspondant aux interfaces et un signal de plus basse intensité (en noir) correspondant à la structure microscopique des tissus traversés ,(c) représentation en ni-veaux de gris de l’échographe,(d) l’image échographique est obtenue en juxtaposant les échographes de plusieurs sondes (extrait de [2]).

le cas où B est un auditeur situé au fond de la salle, le signal en provenance du conférencier A sera moins intense que si l’auditeur était situé au premier rang. La situation sera encore pire pour B si, arrivé en retard, il écoute la conférence à travers une porte fermée qui absorbe le signal sonore. Dans ce cas l’atténuation est liée aux obstacles rencontrés durant la propagation de A à B. Il en est de même dans le cas de l’échographie. Une interface tissu mou/os va ainsi être particulièrement réfléchissante (40 %) et donc fortement atténuer le faisceau transmis. Il en est de même pour une interface tissu mou/air pour laquelle la quasi-totalité de l’énergie acoustique est réfléchie. Etant donné qu’il subsiste toujours une fine pellicule d’air entre la peau du patient (tissu mou) et la sonde, cela oblige le praticien à interposer un gel ayant une impédance acoustique intermédiaire entre celle de la peau et celle de l’air. Enfin, l’atténuation peut aussi être liée à la faible étendue spatiale du récepteur. C’est le cas des rayonnements émis par une étoile A : en considérant ceux-ci grossièrement isotropes, le radiotélescope B de notre astrophysicien, situé plusieurs années-lumières de là, ne couvrira qu’un angle solide restreint et n’en captera qu’une infime fraction.

Une seconde difficulté est liée à la présence de bruits parasites venant masquer le signal. Cela va par exemple être le cas pour notre auditeur si ses voisins discutent pendant la conférence, ou encore pour notre astrophysicien qui va capter également les signaux émis par les satellites orbitant autour de la Terre. On peut noter que le problème du bruit est d’autant plus critique que le signal d’intérêt est peu intense (intrinsèquement ou bien du fait de l’atténuation pendant la propagation). Ces différents exemples montrent qu’il y a modification du signal pendant son trajet de A à B, d’où la nécessité de traiter le signal pour soit compenser cette modification, soit au contraire l’étudier et en extraire la fraction informative intéressante [3].

Enjeux de cette thèse

Nature des signaux à traiter

Les signaux que nous avons cherché à traiter durant cette thèse sont des signaux électromagné-tiques appartenant au domaine radio-fréquence (RF).

Nous verrons dans le corps du manuscrit que les protocoles de traitement du signal mis en œuvre s’adressent à des signaux optiques appartenant donc à un autre domaine que celui des signaux RF. Pour réaliser ce traitement optique, les signaux RF doivent donc au préalable être transférés sur une porteuse optique (figure 3).

Figure 3 – Spectre électromagnétique : en gris est représenté le domaine des fréquences RF que l’on souhaite

traiter, en jaune et en rouge le domaine optique où l’on se propose d’effectuer le traitement du signal.

Cette thèse s’inscrit donc dans le domaine de l’optoélectronique : le traitement de signaux RF, relevant du domaine de l’électronique, est mené, après transfert sur une porteuse, dans le domaine

optique.

Opérations de traitement du signal étudiées

Durant cette thèse, nos efforts se sont portés sur la réalisation de deux opérations de traitement du signal, à savoir :

– le renversement temporel développé en partie A du manuscrit,

Opération n°1 : le renversement temporel

Description de l’opération :

La première opération étudiée a pour but de précorriger l’effet de la propagation de manière à transmettre à B un message qu’il n’aura plus besoin de traiter.

Dans ce cas, le traitement se fait en amont : connaissant l’effet que le canal de propagation va avoir sur le signal (étalement spatial et temporel dégradant considérablement la focalisation sur B, cf. figure 4.a), l’idée est d’envoyer un signal préalablement modelé pour pré-compenser les effets de la propagation (figure 4.b).

Figure 4 – Première opération de traitement du signal considérée : (a) modification du signal lors de la

propagation, (b) précompensation de la propagation par A.

Nous verrons dans la première partie de ce manuscrit que l’opération réalisée par A est celle de

renversement temporel, c’est-à-dire la génération du signal s(-t) à partir du signal s(t).

Contraintes sur l’opération de renversement temporel :

– temps de latence du protocole de renversement temporel :

Comme nous le détaillerons au chapitre I (cf. page 30), le signal renversé temporellement

s(−t) (en bleu sur la figure I.9) doit être généré en une durée τlatence faible devant la durée

caractéristique des variations du milieu dans lequel s’effectue la propagation. On voit ainsi apparaître une contrainte sur la rapidité du protocole de renversement temporel.

Figure 5 – Signal avant et après l’opération de renversement temporel.

– renversement temporel en régime microseconde :

En effet, générer le signal s(−t) revient à commencer par émettre la fin du signal s(t). Il est donc impératif que la totalité du signal s(t) puisse être traitée par le protocole de renversement temporel considéré.

Relions ceci au cas des signaux RF étudiés dans ce manuscrit. Supposons que l’on envoie depuis le point A une impulsion RF de durée τA(figure 6). Lors de sa propagation vers B, cette impulsion se retrouve réfléchie à de multiples reprises par les obstacles qu’elle rencontre, ce qui fait que le signal reçu par B - appelé signal de coda - a une durée τB nettement plus importante que τA.

Figure 6 – Etalement temporel du signal émis lors de la propagation de A vers B.

Estimons l’ordre de grandeur de τB. On considère pour cela une impulsion très brève (τA 

τB) qui se propage dans l’air (vitesse de propagation vRF ≈ 3.108 m.s−1_{) en rencontrant des}

obstacles. Dans le cas d’une ville, on peut estimer l’écart entre deux obstacles à une centaine de mètres (écart approximatif entre deux immeubles). On obtient alors un τB de l’ordre de la

microseconde.

– bande passante du renversement temporel :

Nous nous intéressons dans ce manuscrit aux signaux RF large bande, ie présentant une bande passante comprise entre le MHz et le GHz.

– produit temps-bande passante P :

Le produit temps-bande passante P regroupe les deux contraintes précédentes en évaluant le produit de la durée du signal τB par la bande passante BP du dispositif1 :

P = τB· BP (1)

Atteindre le régime microseconde avec une bande passante de 0.1 GHz correspond à un produit temps-bande passante P de l’ordre de 100.

Réalisation :

Nous proposons dans ce manuscrit un protocole permettant le renversement temporel de

signaux de 6 µsavec une bande passante de 10 MHz (soit un produit temps-BP P de 60).

Si la bande passante est en-deçà de ce que nous souhaitons, le régime microseconde est bien atteint, ce qui constitue un gain de 3 ordres de grandeur par rapport à la littérature.

1. En constatant que la bande passante du signal correspond approximativement à 1/τA, on peut relier P au rapport

Opération n°2 : l’analyse spectrale large bande instantanée

Domaine temporel versus domaine spectral :

Nous avons jusqu’à présent décrit le signal en nous focalisant sur ses variations temporelles s(t). Il est également possible de décrire le signal en s’intéressant à son contenu spectral.

Ceci repose sur le formalisme de la transformée de Fourier (TF) qui décrit le signal s(t) en le décomposant sur la base des exponentielles complexes 

eiωt ω : s(t) = 1 2π Z +∞ −∞ dωsg(ω) eiωt (2)

Le coefficient sg(ω) porte le nom de transformée de Fourier de s(t), et est défini par la

transfor-mation inverse : g s(ω) = T F [s(t)] (ω) = Z +∞ −∞ dt s(t) e −iωt ₍₃₎ Description de l’opération :

La deuxième opération de traitement du signal réalisée a pour objectif d’accéder au contenu fréquentiel du signal reçu, ie à accéder à la grandeur sg(ω) (figure 7).

Figure 7 – Deuxième opération de traitement du signal considérée : principe de l’analyse spectrale.

L’opération de traitement du signal consiste donc à réaliser l’opération mathématique de trans-formée de Fourier, ie à accéder à la valeur de l’intégrale R+∞

−∞dt s(t) e−iωt : on parle d’analyse spectrale du signal.

Les difficultés de cette opération apparaissent dès lors que l’on exige :

– que l’analyse spectrale soit réalisable sur une plage étendue de fréquences (bande passante de l’analyseur) : on parle d’analyse large bande,

– que l’intégralité de cette bande passante soit instantanément accessible, d’où le qualificatif de

bande instantanée(par opposition aux analyseurs les plus répandus reposant sur le principe

d’une fenêtre d’acquisition balayée en fréquence au cours du temps).

Réalisation :

L’objectif ici est de réaliser un analyseur large bande, typiquement 10-20 GHz avec plusieurs centaines de canaux (résolution de 10-50 MHz). L’originalité tient au caractère instantané de la bande qui est un point important pour les applications en radar. Le travail présenté dans ce manuscrit porte plus spécifiquement sur l’optimisation d’un canal de cet analyseur.

Première partie

Focalisation et Renversement

Temporel

Sommaire

I.1 Position du problème . . . . 22

I.1.1 Modèle d’Huygens Fresnel de la propagation . . . 22 I.1.2 Réalisation de la focalisation . . . 22 I.1.3 Méthode des retards adaptatifs (time delay focusing technique) . . . 23 a Principe . . . 23 b Limitations de la méthode des retards adaptatifs . . . 24

I.2 Principe du Renversement Temporel . . . . 26

I.2.1 Introduction au Renversement Temporel sur un exemple . . . 26 I.2.2 Cas général : équation de propagation . . . 27 I.2.3 Lien avec notre problématique de focalisation . . . 28 I.2.4 Validité de la solution renversée temporellement . . . 29 a Caractère causal de la solution renversée temporellement . . . 29 b Durée de validité de la solution renversée temporellement . . . 29 c Contrainte sur la rapidité de l’opération de renversement temporel . . . 29

I.3 Protocole de Focalisation par Renversement Temporel (PFRT) . . . . 31

I.3.1 Etapes du Protocole de Focalisation par Renversement Temporel . . . 31 I.3.2 Interprétation du PFRT en terme de filtre adapté . . . 32

Préambule

Pour ce premier exemple de traitement du signal, la théorie du Renversement Temporel (RT) va être introduite par le biais des ondes acoustiques, domaine où le principe a été mis en évidence par Matthias Fink dès 1992 [4].

I.1 Position du problème

Être capable de faire converger une onde à un instant précis et en un point donné d’un milieu est crucial dans de nombreuses applications. Nous allons voir dans cette section les raisons qui rendent cette focalisation temporelle et spatiale délicate à réaliser.

I.1.1 Modèle d’Huygens Fresnel de la propagation

Lors de l’émission d’un signal, une variable physique est modifiée au cours du temps, ceci donnant lieu à une perturbation de l’équilibre qui existait dans le milieu. Dans la théorie d’Huygens-Fresnel, chaque point du milieu atteint par cette perturbation se comporte comme une source secondaire et réémet une onde sphérique ayant même fréquence et même phase que l’onde associée à la perturbation incidente. En sommant les contributions de chacune de ces sources secondaires, on constate que cette somme n’est constructive et donc non nulle que sur une surface mobile au cours du temps : on la nomme front d’onde ou surface d’onde. C’est la vitesse de déplacement de cette surface qui va définir la vitesse de propagation de l’onde dans le milieu.

Lorsqu’un signal se propage en milieu homogène, chacune des sources secondaires réémet une onde ayant la même vitesse de propagation que l’onde incidente. En revanche, pour un milieu

inho-mogène, deux points voisins du milieu peuvent réémettre deux ondes se propageant à des vitesses différentes. Certaines zones du front d’onde vont donc se propager plus vite que d’autres, ceci se

traduisant macroscopiquement par une déformation du front d’onde.

I.1.2 Réalisation de la focalisation

Si l’on cherche à obtenir la focalisation spatiale et temporelle d’une onde dans un milieu homogène, il suffit de produire, via un réseau d’émetteurs, un front d’onde de forme cylindrique (cas 2D) ou

sphérique (cas 3D) (figure I.1.a) : les émetteurs en périphérie, étant plus loin de la cible que ceux du

centre, émettent leur impulsion avant ces derniers, ce qui permet l’arrivée de toutes les impulsions au point de focalisation au même instant.

Ce raisonnement n’est toutefois valable que dans l’hypothèse d’une vitesse de propagation iden-tique en tout point du milieu traversé. Si le milieu est inhomogène, la vitesse de chaque impulsion va varier au cours de sa propagation : le front d’onde, initialement cylindrique, va alors se déformer (fi-gure I.1.b).

Comme illustré sur la figure I.1.c, une mesure de la pression le long de l’axe Ox met en évidence une nette dégradation de la focalisation en milieu inhomogène [2].

Figure I.1 – (a) propagation d’un front d’onde cylindrique en milieu homogène, (b) propagation d’un front

d’onde cylindrique en milieu inhomogène contenant une zone qui induit des aberrations de phases (zone ha-churée rose), (c) mesure de la pression dans le plan du récepteur : la focalisation est de moins bonne qualité quand on passe d’un milieu homogène (en noir, largeur de 2 mm à -6 dB) à inhomogène (en rose, largeur de 1 cm à -6 dB avec un chute du contraste de 10 dB) (extrait de [2]).

I.1.3 Méthode des retards adaptatifs (time delay focusing technique)

a Principe

Pour réaliser le profil cylindrique considéré en figure I.1, il suffit d’appliquer un jeu de retard

approprié sur les différentes voies du réseau d’émetteurs, comme schématisé sur la figure I.2.

Figure I.2 – (a) les impulsions émises sur chaque voie du réseau sont synchrones : front d’onde plan, (b) on

applique un jeu de retards adapté (en bleu), (c) en retardant certaines impulsions plus que d’autres, on obtient un front d’onde cylindrique (inspiré de [5]).

Cette technique peut être utilisée pour améliorer la focalisation en milieu inhomogène. Pour cela, on reprend la configuration de la figure I.2, mais on intervertit les rôles d’émetteur et de récepteur (figure I.3). Une onde est alors émise au niveau du point où l’on souhaite obtenir la focalisation. Cette onde se propage à travers le milieu inhomogène et son front d’onde est enregistré par le réseau de récepteurs (figure I.3.a). Le front d’onde n’étant plus cylindrique, appliquer le premier jeu de retard

(en bleu, figure I.3.b) ne permet pas de récupérer une impulsion synchrone (figure I.3.c). Pour cela, on utilise un algorithme qui effectue des corrélations entre les signaux perçus par deux canaux voisins, ce qui permet d’estimer les retards existant entre ces deux voies. On obtient ainsi un deuxième jeu de retard (en vert, figure I.3.d) qui permet lui de récupérer le synchronisme entre les différents canaux (figure I.3.e).

Pour focaliser l’onde, il suffit de générer le front d’onde déformé représenté en (a) : les différents retards introduits par la propagation sont pré-compensés et la focalisation peut avoir lieu [5].

Figure I.3 – (a) le front d’onde après propagation est enregistré par un réseau de récepteurs, (b) un premier

jeu de retard (en bleu), adapté à un front d’onde cylindrique, est appliqué, (c) le front d’onde n’étant pas cylin-drique, la correction est inadaptée, (d) un deuxième jeu de retard (en vert) est appliqué, (e) les impulsions sont synchrones, - pour comparaison, en gris est représenté l’allure du front d’onde dans le cas d’une propagation en milieu homogène (inspiré de [5]).

b Limitations de la méthode des retards adaptatifs

La première limitation de cette méthode concerne le type de milieu inhomogène auquel elle peut s’appliquer :

– la structure du milieu inhomogène conditionne fortement l’efficacité de la méthode des retards adaptatifs : plus la zone d’aberration (en violet sur la figure I.3) est proche du point de focali-sation choisi, plus il est difficile d’en corriger les effets.

– cette technique n’est efficace que pour les milieux inhomogènes se comportant comme de simples

aberrateurs de phase : les impulsions reçues sur chaque canal sont plus ou moins retardées du fait

de l’inhomogénéité des vitesses de propagation (ie un effet sur la phase), mais leur amplitude et leur forme temporelle sont supposées inchangées. Ceci n’est pas le cas en règle générale. Certains milieux interagissent en effet avec l’onde acoustique et ne se contentent pas d’en altérer la phase. C’est par exemple le cas de la paroi crânienne : sur le front d’onde de la figure I.4.b, on constate que la traversée du crâne a non seulement déformé le front d’onde, mais l’a également atténué par endroit (figure I.4.b, repère 1). Il y a donc eu modification de l’amplitude lors de la traversée du milieu, ce que la méthode des retards adaptatifs ne peut compenser.

La seconde limitation est relative à l’étendue temporelle du signal reçu. En effet, à chaque fois que le front d’onde rencontre une interface, il y a génération d’un front d’onde réfléchi et d’un front d’onde transmis, en accord avec les lois de Snell-Descartes. Si le milieu contient un grand nombre d’interfaces de ce genre (ce qui est le cas des os poreux comme la diploë), le trajet en ligne

Figure I.4 – (a) Enregistrement après propagation dans de l’eau (milieu homogène) d’un front d’onde

initia-lement plan, (b) Enregistrement après propagation à travers la paroi crânienne (milieu inhomogène) d’un front d’onde initialement plan : on constate que certaines zones du crâne se sont révélées très absorbantes (repère 1) ou pas (repère 2), (c) Structure du crâne : deux parois d’os dense délimitent une zone d’os poreux appelée diploë dans laquelle la vitesse de propagation des ultrasons est moindre. La variation d’épaisseur de ces trois couches le long du crâne explique l’altération du front d’onde (extraits de [2,6]).

droite, qualifié de balistique, ne sera pas le seul permettant au signal de se propager de l’émetteur au récepteur. La multiplicité des chemins possibles va avoir pour conséquence de diviser temporellement

le front d’onde du signal : chaque récepteur ne recevra plus une impulsion courte de durée τinitial, mais un signal étendu temporellement de durée τsignal  τ_initial(déjà évoqué au chapitre introductif avec la nécessité d’atteindre le régime microseconde, cf page 16). Autrement dit, ce n’est pas une

surface d’onde qu’il faudrait traiter mais plutôt un volume d’onde (figure I.5). La méthode des

retards adaptatifs oblige à se restreindre à l’onde balistique et donc à perdre l’information et l’énergie associées aux trajets à réflexions multiples, ce qui la rend inadaptée dans de nombreuses situations.

Figure I.5 – Enregistrement d’un signal émis par une source ponctuelle : (a) après propagation à travers un

milieu homogène : le signal est suffisamment localisé temporellement pour qu’on puisse définir une surface d’onde (durée τinitial), (b) après propagation à travers un milieu inhomogène : le signal est étendu

I.2 Principe du Renversement Temporel

Dans ce qui précède, nous avons montré que la technique des retards adaptatifs présentait deux défauts majeurs :

– elle ne corrige que la phase, donc les déformations du signal, associées à une modification de l’amplitude des fréquences le composant, ne peuvent être compensées : c’est donc une technique

essentiellement monochromatique.

– elle ne considère que l’onde balistique et ignore les trajets à réflexions multiples : une partie du signal et de son contenu informatif est donc perdue.

C’est pour parer à ces limitations que nous allons introduire une autre technique de focalisation reposant sur le renversement temporel de l’intégralité du signal reçu.

I.2.1 Introduction au Renversement Temporel sur un exemple

Nous allons introduire le Renversement Temporel sur un cas particulier très simple, à savoir celui de la traversée d’une interface séparant deux milieux (indices optiques n1 et n2) par une onde

inci-dente. Cette interface est caractérisée par les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude notés (r, t) pour l’interface 1→2, et (r0_{, t}0) pour l’interface 2→1.

La situation est schématisée sur la figure I.6 : l’onde incidente (en rouge, amplitude unitaire) donne naissance à une onde réfléchie (en bleu, amplitude r) et à une onde transmise (en vert, amplitude t).

Figure I.6 – Réflexion et transmission d’une onde à une interface. Les angles i1et i2sont définis par rapport à

la normale à l’interface, et sont liés aux indices par la troisième loi de Snell-Descartes (n1sin(i1) = n2sin(i2)). En exploitant les relations de passage des composantes du champ électromagnétique, on montre que ces coefficients sont donnés par les relations de Fresnel [7] dans le cas de milieux linéaires, homogènes et isotropes : r= r1→2 = n1cos(i1) − n2cos(i2) n1cos(i1) + n2cos(i2) et r0 = r2→1 = n2cos(i2) − n1cos(i1) n1cos(i1) + n2cos(i2) t= t1→2 = 2n1cos(i1) n1cos(i1) + n2cos(i2) et t0 = t2→1 = 2n2cos(i2) n1cos(i1) + n2cos(i2)

Inverser le déroulement du temps revient à considérer deux ondes incidentes, d’amplitudes res-pectives r et t, qui se rejoignent au même instant sur un point de l’interface (figure I.7.a). À la traversée de l’interface, ces deux ondes incidentes engendrent chacune un faisceau transmis et un faisceau réfléchi, soit quatre faisceaux en tout. L’onde résultante émise dans le milieu 2 a alors une amplitude rt + tr0_{, et celle émise dans le milieu 1 une amplitude de r}2+ tt0_.

Figure I.7 – Effet du Renversement Temporel : (a) l’onde incidente d’amplitude r génère une onde réfléchie

et une onde transmise d’amplitudes respectives r2 et rt (en bleu), l’onde incidente d’amplitude t génère une

onde réfléchie et une onde transmise d’amplitudes respectives tr0 _{et tt}0 _{(en vert), (b) schéma équivalent compte}

tenu des relations de Stokes.

En exploitant les relations de Fresnel, on obtient les relations de Stokes :

r = −r0

1 − r2 _{= tt}0

c’est-à-dire :

rt+ tr0 = 0 r2+ tt0= 1

La figure I.7.b illustre ces résultats : solution renversée temporellement et solution

origi-nale empruntent les mêmes chemins, mais ont des sens de propagation opposés.

Il est à noter que cet exemple correspond au raisonnement inverse de celui établi par le physicien britannique Stokes (1819-1903) pour traiter le problème de la réflexion et de la transmission [8] : tandis que lui partait du principe de réversibilité pour en déduire les relations de Stokes, nous avons au contraire retrouvé les relations de Stokes afin d’en déduire le caractère réversible de la situation [9].

I.2.2 Cas général : équation de propagation

On considère à présent l’équation de propagation en milieu non dissipatif d’un champ de pression acoustique p(~r, t). Le milieu présente un caractère inhomogène modélisé par une compressibilité κ(~r) et une densité ρ(~r) dépendant de la variable spatiale ~r. En notant c(~r) = (ρ(~r)κ(~r))−1/2_{la vitesse de}

propagation locale des ondes sonores, on obtient l’équation I.1 :

→ ∇ ·   → ∇ p ρ  − 1 ρc2 · ∂2p ∂t2 = 0 (I.1)

Si l’on s’intéresse à la dépendance temporelle de cette équation, on remarque que seule une dérivée

seconde par rapport au temps apparaît : l’hypothèse sur le caractère non dissipatif du milieu a permis

d’annuler une dérivée temporelle du premier ordre. Par conséquent, si l’on effectue l’opération t 7→ −t, on constate que si p(→

r , t) est solution de l’équation de propagation, alors p(→r , −t) l’est également.

Illustrons les implications de ceci sur l’exemple d’une onde progressive monochromatique de vecteur d’onde →k , de type p(~r, t) = p(~k · ~r − ωt). L’onde renversée temporellement associée sera p(~r, −t) = p(~k · ~r + ωt), c’est-à-dire une onde régressive se propageant en sens inverse de son

homo-logue progressive.

Ainsi, mathématiquement parlant, la seule différence entre une onde et son renversé temporel se situe au niveau du sens de propagation.

I.2.3 Lien avec notre problématique de focalisation

Le principe du Renversement Temporel peut être mis à profit pour focaliser en milieu inhomo-gène : si l’onde p(~r, t) est une onde sphérique, émise par une source S ponctuelle et donc divergente (figure I.8.a), son renversé temporel sera une onde sphérique qui va par conséquent converger vers la source S (figure I.8.b).

Figure I.8 – (a) propagation de l’onde incidente (en rouge) émise à t = 0 par une source située en S, (b)

propagation de l’onde renversée temporellement (en bleu), générée à t = T en dehors de la zone représentée et convergeant à t = 2T au point S.

I.2.4 Validité de la solution renversée temporellement

a Caractère causal de la solution renversée temporellement

Supposons que l’on place un capteur au point→

r, et qu’il y capte le signal p(~r, t).

La solution renversée temporellement discutée jusqu’ici, à savoir p(~r, −t), n’a en fait aucune réalité expérimentale : puisque le signal p(~r, t) que l’on veut renverser (en rouge sur la figure I.9) n’existe que pour t > 0, il est alors inconnu aux temps t < 0. On dit que le signal p(~r, −t) (en vert sur la figure I.9) viole le principe de causalité, puisque qu’il existe avant celui dont il est issu.

Figure I.9 – Signaux p(~r, t), p(~r, −t) et p(→r ,2T −t), avec T choisie supérieure à la durée du signal à renverser temporellement. La région temporelle grisée correspond à la zone interdite du fait de la causalité.

Considérons à présent le signal p(→

r , 2T − t) (en bleu sur la figure I.9) : celui-ci possède les mêmes

propriétés de propagation que p(~r, −t) (la variable t est toujours précédée du signe -), mais il est décalé temporellement d’une durée 2T par rapport à son homologue non causal. Ainsi, si l’on choisit

T supérieure à la durée du signal à renverser temporellement, on obtient une solution causale de l’équation de propagation. C’est donc ce signal que nous considérerons désormais quand nous

parlerons de signal renversé temporellement. Toutefois, pour ne pas alourdir inutilement le propos, nous continuerons à le désigner sous sa forme non causale à l’issue de ce chapitre.

b Durée de validité de la solution renversée temporellement

Un point essentiel à considérer est la durée de validité de la solution renversée temporellement. En effet, si l’on attend trop longtemps, le milieu dans lequel le signal incident s’est propagé risque d’avoir changé. Les constantes κ(~r) et ρ(~r) étant alors différentes, c’est une nouvelle équation de

propagation qui régira le milieu : le signal p(~r, 2T − t) n’en sera plus solution et ne convergera par

conséquent plus au point source.

c Contrainte sur la rapidité de l’opération de renversement temporel

Du fait de la causalité, le signal renversé temporellement à considérer prend fin 2T après le début du signal incident. Cette durée peut se décomposer en :

2T = 2τsignal + τlatence

où τlatence désigne le temps nécessaire pour réaliser l’opération de renversement temporel du signal incident (figure I.10).

Figure I.10 – Signaux p(~r, t) et p(~r, 2T − t), de durée τsignal. Le délai entre la fin du signal reçu (en rouge)

et le début du signal renversé temporellement (en bleu) est noté τlatence.

Si on désigne par τmilieul’échelle de temps caractéristique des variations du milieu, le renversement temporel ne pourra être utilisé comme protocole de focalisation qu’à la condition :

2T = 2τsignal + τlatence ≤ τ_milieu (I.2)

La durée τsignal dépend de la structure du milieu : plus celui-ci sera complexe, plus les réflexions seront nombreuses, et la durée du signal allongée (trajet balistique et trajets à réflexions multiples). Cette durée pouvant être considérée comme incompressible, il est fondamental de choisir un

pro-tocole de renversement temporel présentant un temps τlatence aussi réduit que possible: si le protocole retenu est trop lent, il faudra compenser en "rognant" sur τsignal, ce qui dégradera la qualité de la focalisation.

Nous reviendrons sur ce point quand nous comparerons les différents protocoles de renversement temporel (en particulier les approches numérique et analogique, cf. chapitre II page 48).

I.3 Protocole de Focalisation par Renversement Temporel (PFRT)

par Renversement Temporel (PFRT) de la réalisation pratique du RT qui ne constitue que l’une des

étapes du PFRT. Cette section sera consacrée au PFRT, tandis que le chapitre suivant sera consacré aux différentes approches permettant la réalisation pratique du RT.

I.3.1 Etapes du Protocole de Focalisation par Renversement Temporel

On appelle cible la zone du milieu inhomogène où l’on souhaite focaliser le signal après propa-gation. On considère le cas simple où la cible est l’objet présentant la réflectivité acoustique la plus élevée au sein du milieu de propagation.

Le PFRT se décompose en quatre étapes schématisées sur la figure I.11 :

Figure I.11 – Etapes du PFRT.

– Etape a : une source émet un front d’onde progressif qui, durant sa propagation, illumine l’ensemble du milieu dont la cible.

– Etape b : les obstacles rencontrés pendant la propagation réfléchissent le signal incident (prin-cipe identique à celui de l’échographie évoquée au chapitre introductif). En faisant l’hypothèse que le front d’onde régressif réfléchi par la cible est le plus intense, on peut alors l’isoler dans le signal reçu : il constitue le champ de pression p(~r, t) qui va être renversé temporellement. – Etape c : le champ de pression renversé temporellement p(~r, 2T − t) est généré pendant un

temps τlatence qui va dépendre de la méthode retenue pour effectuer le RT. C’est cette étape qui a été étudiée au cours de cette thèse et sera développée dans les chapitres suivants. – Etape d : le signal renversé temporellement est réémis : il repasse par les mêmes chemins que

I.3.2 Interprétation du PFRT en terme de filtre adapté

Les différents éléments du problème seront paramétrés de la façon suivante (figure I.12) : – la cible : elle est située en →

r0. Après avoir été éclairée par une sonde, elle réfléchit un signal

qui se propage en direction d’un réseau de N transducteurs, en empruntant une multitude de chemins. On considère que cette impulsion s’écrit sous la forme d’un Dirac δ(t).

– les transducteurs : chaque transducteur i est désigné par l’abréviation T(i), et est situé

en →

ri (i ∈ [1, N]). Il est à noter que, quelles que soient les qualités d’un récepteur, il modi-fie toujours le signal qu’il reçoit. Ainsi, le signal délivré par chaque transducteur T(i) est le

produit de convolution du signal qu’il reçoit et de sa fonction d’appareil1 _h

T(i)(t) .

– les canaux de propagation : entre la cible et le transducteur T(i) en →_ri, le signal subit

une étape de propagation. On désigne par le terme de canal de propagation l’ensemble des chemins, qu’ils soient balistique ou à réflexions multiples, qui permettent de relier →

r0 à → ri. On considère que chaque canal peut être considéré comme un filtre, et on lui associe une fonction de transfert temporelle2de la forme h

canal(i)(

→ r0,

→

ri, t). Dans la mesure où le milieu a peu changé entre le trajet cible → transducteur i et le trajet transducteur i → cible, on considérera que

h_canal(i)( → r0, → ri, t) = hcanal(i)( → ri, →

r0, t) (fonction dite réciproque).

Figure I.12 – Protocole de focalisation par renversement temporel pour le transducteur Ti. Soit s(i)

inc(

→

r0, t) le signal incident reçu par le transducteur T(i), on a : s(i)_inc(r→0, t) = δ(t) ⊗ h_canal(i)(

→ r0,

→

ri, t) ⊗ h_T(i)(t)

s(i)_inc(r→0, t) = hcanal(i)(

→ r0,

→

ri, t) ⊗ hT(i)(t)

1. La fonction d’appareil est en fait la transformée de Fourier inverse de la fonction de transfert associée au trans-ducteur T(i)_{. Cette fonction de transfert opère dans le domaine spectral, ce qui explique le recours au produit de}

convolution dans le domaine temporel. 2. Voir remarque 1.

Pour alléger les notations, nous noteronsh(i)propagla fonction de transfert intégrant tous les événements se produisant entre A et B, à savoir la progression dans le canal i de propagation ainsi que le passage à travers le transducteur T(i). On a ainsi :

h(i)_propag(r→0, t) = hcanal(i)(

→ r0,

→

ri, t) ⊗ hT(i)(t)

Après renversement temporel, le signal est de la forme :

s(i)renv(→r0, t) = s(i)inc(

→

r0,2T − t) =h(i)propag(

→

r0,2T − t)

Il est alors modifié par la traversée du transducteur qui l’émet, puis par la propagation dans le canal i. Le signal, mesuré au point de focalisation →

r0, vaut alors : s(i)_{f oc}(→r0, t) = s(i)renv(

→ r0, t) | {z } h(i)propag( → r0,2T −t)

⊗ h_T(i)(t) ⊗ h_canal(i)(

→ ri, → r0, t) | {z } h(i)propag( → r0,t)

s(i)_{f oc}(r→0, t) =h(i)propag(

→

r0,2T − t) ⊗h(i)propag(

→

r0, t) (I.3)

Ainsi, le signal décrit par l’équation I.3 correspond à l’autocorrélation de la fonction de

transfert h(i)propag associée à la propagation dans le canal i. Celle-ci présente un maximum à l’instant t = 2T , ce quelque soit le transducteur i considéré. Ainsi le champ de pression mesuré en → r0

résulte d’une interférence constructive des signaux émis par les transducteurs. En revanche, si l’on s’éloigne du point →

r0, les signaux interfèrent destructivement.

Autrement dit, on a donc bien :

– focalisation temporelle à l’instant t = 2T de l’onde sonore, – focalisation spatiale en →

r0 de l’onde sonore.

On peut noter que le PFRT corrige des effets liés à la propagation en se comportant comme un

filtre adapté à la fonction de transfert associée à la propagation décrite par l’ensemble des fonctions

n

h(i)propag(r→0, t)

o