Dr. Mustapha ABARKAN
Filière Science de la Matière Physique: Option Electronique Module Traitement du signal
Edition 2017-2018
Traitement du signal
Royaume du Maroc
Ministère de l’Éducation Nationale, de la Formation Professionnelle, de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Universite Sidi Mohamed Ben Abdellah, Faculté Polydisciplinaire de Taza
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Sommaire
A. Introduction au traitement du signal
Classification des signaux
Energie et puissance –Notion de corrélation
B. Outils mathématiques pour l’étude des signaux et systèmes Rappels sur les systèmes linéaires continus.
L’impulsion de Dirac.
La convolution.
Transformée de Fourier Transformée de Laplace
C. Signaux à temps continu
Description mathématique des signaux analogiques.
Signaux de base.
Représentation vectorielle des signaux
D. Du continu au numérique Échantillonnage idéal
Échantillonnage Réel Blocage
Quantification
Les convertisseurs CAN et CNA
E. Signaux Discrets
Représentation des signaux & systèmes discrets.
Transformée en Z.
Transformée de Fourier Discrète.
F. Filtrage des signaux
Filtrage analogique Filtrage numérique
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Chapitre I
Introduction au traitement du signal
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Quelques définitions
Qu’est ce qu’un signal ?
C’est une représentation physique d’une information.
C’est une variation dans le temps, ou dans n’importe quel autre espace, d’une grandeur physique.
Où rencontre - t – on les signaux?
Les domaines d'applications sont nombreux et variés: Vie quotidienne, dans les laboratoires et dans tous les domaines des Génies,…
Exemples: RADAR, Télécommunication, Reconnaissance des formes, Optique, Acoustique, Biomédical, Vision Artificielle...
A quoi sert un signal ?
Le signal est le support d’information émise par une source et destinée à un récepteur: C’est un véhicule de l’intelligence dans les systèmes.
Source : Un émetteur, une parole, une chaleur,….
Destination : Un récepteur, une antenne, des oreilles, …
Le signal transporte les ordres dans les équipements de contrôle et de télécommande et achemine l’information sur les réseaux d’information, la parole et l’image.
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Un signal digital (discret, ou numérique) varie par sauts discrets dans son espace de représentation.
Exemples: télégraphe, signaux numériques dans un PC,…
Un signal analogique est un signal qui varie de manière continue dans son espace de représentation (temps).
Exemples: la voie (parole), l’image optique, la température,…etc.
Remarque : Certains signaux sont discrets par nature.
Qu’est ce que le Traitement du Signal ?
C’est l’ensemble des techniques permettant l’analyse, la transformation, le stockage, l'accès ou la combinaison des informations (données) , en vue de les exploiter.
Le TS a pour but:
1. D’extraire de l’information.
2. De modifier le message transporté.
3. D’adapter le message aux moyens de transmission.
Le Traitement Numérique du Signal (TNS) désigne l’ensemble des opérations, calculs arithmétiques et manipulations des nombres qui sont effectuées sur un signal à traiter, représenté par une suite de nombres, en vue de fournir une autre suite de nombre qui représentera le signal traité.
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Dans le cas général, les systèmes de traitements des signaux sont des systèmes électronique et informatique.
Exemple de chaîne de communication
Procédé
physique
InformationCréation du signal (codage, modulation,…etc.)
Système de transmission
Système
d’exploitation
Information Récepteur (détection, décodage,démodulation,..)Signal
Signal
Traitement de l’information et du signal
Traitement de l’information et du signal Traitement du signal (Source d’information)
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Bruits
Le bruit est tout phénomène perturbateur gênant la perception ou l’interprétation d’un signal.
LLa parole chuchotée entre deux élèves porte des informations d’un certain niveau d’importance pour les élèves. Cette parole est un bruit pour le reste des élèves de la même classe.
CCertains phénomènes électromagnétiques d’origine galactique captés par les antennes des radios astronautes sont rares et constituent des signaux d’une haute importance. Ces mêmes signaux ne sont que des bruits pour les ingénieurs en télécommunications qui se forceront à les éliminer.
Rapport Signal Sur Bruit (RSB)
C’est une mesure du degré de contamination du signal par un bruit.
RSB=Puissance du signal / Puissance du bruit Ou en décibel,
RSBdB=10 log10(RSB)
RS/B=26 dB R =0 dB
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Classification des signaux
Classification selon la nature des signaux
Classification morphologique
Classification spectrale
Classification énergétique
Différents modes de classification sont possibles. Les modes sont définis sur des bases théoriques, ou par simple commodité pratique.
Classification selon la nature des signaux Signal périodique
Signal pour lequel on peut déterminer l'amplitude pour toute valeur du temps grâce à une description mathématique ou un graphique.
Signal déterministe:
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Signal Apériodique:
Non périodique + support non borné Signal transitoire:
Non périodique + support borné
Le signal réel représente une grandeur physique. Son modèle mathématique est une fonction réelle.
Le signal complexe est une représentation complexe (a+jb) de deux informations réelles a et b.
Signal réel, Signal complexe:
Signaux aléatoires
Signal dont l'évolution est imprévisible et dont on ne peut pas prédire l'amplitude à un temps t. Dans certains cas, on connaît les propriétés statistiques.
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Signaux physiques
Signaux déterministes
Non Périodiques Périodiques
Sinusoïdaux Périodiques
Complexes
Pseudo périodiques Transitoires
Signaux aléatoires
Stationnaires Non Stationnaires
Ergodiques Non Ergodiques
Un signal aléatoire est dit ergodique si les moyennes temporelles existent et sont
indépendantes de l'échantillon.
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Amplitude A
Temps (t)
Signal analogique
Numérisation d’un signal analogique Amplitude (k A0)
Temps (t)
Signal quantifié Amplitude A
Temps (k t)
Signal échantillonné
Amplitude (k A0)
Temps (k t)
Signal numérique Classification morphologique
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Classification spectrale
La classification se fait en comparant le spectre du signal avec le domaine fréquentiel dans lequel se situe le signal. On distinguera:
Hz
f f
F
max
min
Définitions:
Spectre: C’est la distribution de l’énergie ou de la puissance en fonction de la fréquence.
Largeur de bande: C’est le domaine f occupé par le spectre du signal:
C’est une caractéristique absolue.
1. Signaux à bande large (caractéristique relatif):
2. Signaux à bande étroite (caractéristique relatif):
) f f
( f
F
moy max
min
) f f
( f
F
moy max
min
2 f f
moyf
max
min
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Classification énergétique
Inégalité de Cauchy – Schwartz :
y x 2
xy
E E
E
Puissance instantanée
de x(t)
Energie de x(t) sur T0 =[t1, t2]
E
xPuissance moyenne de x(t)
sur T0 =[t1, t2]
Energie instantanée d’interaction
de x(t) et y(t)
Energie d’interaction entre x(t) et y(t) sur T0
=[t1, t2]
E
xy) t ( x ) t (
x
*
tt12*
( t ) dt x
) t (
x
21
t
t
* 1
2
dt ) t ( x ) t ( t x
t
1 x ( t ) y
*( t ) ) t ( x ) t (
y
*
tt12*
( t ) dt y
) t ( x
Toute transmission d'information est liée à un transfert d'énergie.
Comment calcule - t - on l'énergie d'un signal?
Énergie et Puissance des signaux: Interactions entre 2 signaux
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14 Energie totale de x(t)
sur
T0 =[t1, t2]= [- + ].
Puissance moyenne totale de x(t)
sur T0 =[t1, t2]= [- + ].
Puissance d’un signal x(t) PERIODIQUE de période T.
2 2
*( ) ) ( lim
To
To Tox t x t dt
E
2 2
*( ) ) 1 (
lim
To
To Tox t x t dt
P To
2
2
*( ) )
1 (
T
T
dt t x t T x
P
Valeur efficace d’un signal: P
L’énergie et la puissance d’un signal peuvent être calculées par des expressions similaires en utilisant des expressions fréquentielles.
Si X(f)=TF(x(t)) est la TF du signal x(t), alors on peut écrire:
Le spectre:
L’énergie totale:
L’énergie dans une bande f centrée sur f0: )
f ( X ) f (
X *
X ( f ) X ( f ) df
E
x *
f f/22 / f f
* 0
0
0
df ) f ( X ) f ( X )
f , f ( E
Remarque:
Les signaux à énergie finie:
Exp.: grandeurs physiques à support borné,
signaux transitoires, signaux périodiques.
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*( t ) dt
Les signaux à puissance moyenne finie non nulle :
Exp.: Signaux aléatoires permanent.
T/2 2 / T
* T x(t)x (t)dt
T lim 1 0
Remarques :
Il existe des signaux qui n’appartiennent à aucune de ces deux classes comme l’exponentielle exp(at), l’impulsion de Dirac,..
Autocorrélation & Intercorrélation
L’autocorrélation est une fonction qui traduit la similitude entre un signal x(t) et lui-même.
Elle réalise une comparaison entre le signal et ses copies retardées. (Caractérise la mémoire (la prédictibilité) d’un signal).
L'intercorrélation est une fonction qui mesure l’énergie d’interaction entre un signal x(t) et un signal y(t) retardée de .
) 0 ( C )
(
C
xx
xx
x t x t dt Cxx() ( ) *( )
x t y t dt
Cxy() ( ) *( )
C
xy( ) C
*yx( )
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16 Signal à énergie finie : Signal à puissance
moyenne finie non nulle .
Signal périodique de période T
Autocorrélation Cxx()
x (t )dt )
t (
x *
2 / T
2 / T
*
T x(t)x (t )dt
T
lim 1
2 / T
2 / T
*(t )dt x
) t ( T x
1
Interprétation de Cxx(0)
C’est l'énergie de x(t) C’est la puissance moyenne C’est la puissance moyenne
Intercorrélation
Cxy()
y (t )dt )
t (
x *
T/2
2 / T
*
T x(t)y (t )dt T
lim1
2 / T
2 / T
*(t )dt y
) t ( T x
1
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Chapitre II
Outils mathématiques pour l’étude des signaux et systèmes
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Tout système peut être vu comme une ’’boite’’ ayant des entrées et des sorties.
Lorsqu’on ne dispose pas de connaissances physiques détaillées sur le système, cette boite et dite
‘’ noire’’.
Systèmes linéaires continus
Modélisation comportementale et/ou de reconnaissance.
Système continu
Sorties y(t) Entrées x(t)
Ou X(t)=[x
1(t),…,x
n(t)]
Ou Y(t)=[y
1(t),…,y
m(t)]
Y(t) est fonction de l’entrée ET de ’’l’état’’
du système.
Notion de Système
Un système est un ensemble isolé de dispositifs orientés, qui établit un lien de cause à effet entre des signaux d’entrée (excitations) et des signaux de sorties (réponses).L’étude d’un système revient à caractériser sa sortie et à étudier ses caractéristiques.
1 2 22 o 1 2 22
o dt
x b d
dt b dx x
dt b y a d
dt a dy y
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aAutres notations utilisées:
1 dx ) x (
0 x 0
) x ( ) x (
Quelques Propriétés
C’est un opérateur d’échantillonnage: (de dimension inverse de celle de la variable t)
Notation (incorrecte) : (t ) (t t0)
0
) x 1 (
lim )
x
( 0
)
t a ( ) 1 at
(
) t t ( ) t ( x ) t t ( ) t (
x o o o
t t
) t 1 (
)
t ( x dt ) t t ( ) t (
x 0 0
(Opération définit entre - et +)
Réponses d’un système La distribution de Dirac est définie par :
On l'appelle aussi Impulsion de Dirac
) 0 ( dt
) t ( ) t ( ,
)
(
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20
Autres formes de fonctions impulsionnelles
-T/2 T/2 1/T
t
T 1/T
t
-T T 1/T
t
t t t
1(t)
2(t)
3(t)
4(t)
5(t)
6(t)
) t ( ) T / t Texp(
1
21 exp(12(t/T)2) 1 T2Tt2Points communs à ces différentes formes:
Et on a toujours:
0 t
1
0 t
) 0 t ( lim
T 1
dt ) t (
0 i T
i
T
; i )
t ( lim )
t
(
i0
T
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21
Notion de Convolution
Comment calculer la sortie du système avec un signal d’entrée quelconque?
Notion de convolution
Définition :
Le produit de convolution entre 2 fonctions f(t) et g(t) est défini par:
g t f g t d
f ( ) ( ) ( ).
n
) n k ( g ) n ( f )
k )(
g
* f ( Pour deux fonctions discrètes, on a:
Calcul pratique de la convolution
y t x y t d
x )( ) ( ) ( ).
(
0 0A chaque instant t0 on doit:
1.
Calculer y(t0-): Inversion du signal puis décalage de t0.2.
Réaliser le produit x()y(t0 -).3.
Intégrer la variable entre – et +.www.al3abkari-pro.com
22
Quelques propriétés de la convolution
Elément neutre (impulsion de Dirac) :
Translation temporelle:
Commutativité :
Associativité :
Distributivité par rapport à l'addition :
Théorème de Plancherel: (f(t) et g(t) deux fonctions sommables)) t ( h )]
t ( g ) t ( f [ )]
t ( h ) t ( g [ ) t ( f )
t ( h ) t ( g ) t (
f
) t ( h ) t ( f ) t ( g ) t ( f )]
t ( h ) t ( g [ ) t (
f
) t ( f ) t ( g ) t ( g ) t (
f
x t( )( )t x t( ) x t( ) (t ) x t( )
) f ( F
* ) f ( G ))
t ( f ( TF ))
t ( g ( TF ))
t ( g ) t ( f ( TF
) f ( F ) f ( G ))
t ( f ( TF ))
t ( g ( TF ))
t ( g ) t ( f ( TF
Linéarité :
si x(t) = A.x1(t) + B.x2(t) alors y(t) = A.S[x1(t)] + B.S[x2(t)]
La réponse du système à une combinaison de signaux est égale à la même combinaison des réponses individuelles.
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Causalité (Principe de l’action et de la réaction)La réponse du système à un instant donné est indépendante des valeurs futures de l’excitation.
C’est-à-dire que la réponse ne peut pas se produire avant l'excitation qui l'engendre.
si x(t) = 0 pour t < t0 alors y(t) = 0 pour t < t0
Invariance temporelle :
La réponse du système à une même excitation est la même quelque soit l’instant d’excitation.
Un décalage temporelle en entrée le même décalage en sortie
si y(t) =S[x(t)] alors y(t-T) = S[x(t-T)]
Réponse impulsionnelle
Avantages de la réponse impulsionnelle :
• Caractérisation complète du système.
• Permet de calculer la sortie du système (linéaire invariant) pour d’autres signaux d’entrée !
C’est la réponse d'un système à une impulsion de Dirac (t):
h t ( ) S ( ) t
t
Système Représentation graphique de (t)
y(t)=e(t)*h(t)= (t)*h(t)=h(t)
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Etude d’un système linéaire Invariant
Pour un système linéaire Invariant, la réponse du système à x(t) s'écrira:
x( ) (t )d )
t ( x
d ) t ( ) ( x S )]
t ( x [ S ) t ( y
Linéarité =>
x( )S (t ) d )]
t ( x [ S
Invariance =>
S [ ( t )] h ( t )
y(t) S[x(t)]
x()h(t).d (x*h)(t)
Partant d’une propriété de l'impulsion de Dirac, pour toute fonction ou signal x(t), on a :
d’où:
La sortie d’un système linéaire peut être exprimé à partir de la réponse impulsionnelle par:
Conclusion sur la sortie d’un système linéaire
(x*h)(t) x( )h(t ).d )
t ( y
Système L ( h(t) )
Entrée: x(t) Sortie: y(t)
Pour les systèmes discrets, la convolution discrète s’écrit:
n
) n k
( h ) n ( x )
k )(
h
* x ( ) k (
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yStabilité des systèmes
Définition 1: Un système est stable si à une entrée bornée on a une sortie bornée.
Définition 2: Un système est stable si la réponse libre du système tend à s’annuler lorsque le temps tend à l’infini.
Réponse libre: S’obtient lorsqu’on écarte le système de sa position d’équilibre et analyser sa réponse. On distinguera:
Un système stable a tendance à revenir vers sa position d’équilibre.
Un système instable a tendance à s’écarter de sa position d’équilibre.
Un système juste stable (à la limite de la stabilité) ne revient pas vers sa position d’équilibre mais ne s’en écarte pas.
la fonction de transfert
La fonction de transfert est un rapport de deux polynômes en p. Selon les racines du dénominateur, on la décomposera en éléments simples selon la forme:
n n 1
1 0
o
n n 2
2 1
1 0
o
p b p
b p
b
p a p
a p
a p
a )
p ( E
) p ( ) S
p (
F
i
2 i 2
i
i i
i i
i
b a
p
B p
A c
p C )
p ( E
) p ( ) S
p ( F
(Pôles réels, pôles complexes (a+j b))
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Réponse temporelle
i
i i
t a i
t c
ie e sin(b t )
C )
t ( f ) p (
F i i
On abandonne le système avec une condition initiale non nulle. Ceci revient à le soumettre à l’instant t=0 à une impulsion (t), de TL((t))= 1.
La réponse est alors:
Si TOUTES les parties réelles des pôles sont négatives, les exponentielles seront amorties et la réponse f(t) sera nulle à l’infinie: Le système revient à sa position d’équilibre; il est stable.
Dans l’autre cas, le système est instable: La sortie divergera selon un mode exponentiel (si pôle réel positif) ou oscillatoire (si la partie réelle d’un pôle complexe est positive).
Condition de stabilité: Un système est stable si, et seulement si, la fonction de transfert (en boucle fermée) n’a pas de pôle à partie réelle positive ou nulle.
Critères de stabilité
1.
Critères algébriques:Le plus connu est le critère de Routh. Il donne le signe des racines d’un polynôme (les pôles) sans avoir à les calculer.
2.
Critères graphiques:Ils permettent d’étudier la stabilité d’un système à partir de l’étude fréquentielle de la fonction de transfert dans un plan donnée (de Nyquist , de Black, de Bode,…) et par rapport à un point critique du plan considéré.
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Stabilité et réponse impulsionnelle
Cas d’un système linéaire: Les deux définitions de stabilité sont équivalentes.
Quelle est la condition sur h(t) pour que la sortie y(t) soit bornée ?
Un système est stable si sa réponse impulsionnelle est intégrable
x( )h(t ).d h( )x(t ).d )
t ( y
h(u) x(t u)du supx(u) h(u)du )
t ( y
IR u
Réponse d’un système discret
Le réponse d’un système discret de réponse impulsionnelle h(k) a une entrée x(k) est:
Si le système est causal:
Si l’entrée est causale
n
) n k ( h ) n ( x )
k )(
h
* x ( ) k ( y
0 n
) n k
( x ) n ( h )
k ( y
k
0 n
) n k
( x ) n ( h )
k ( y
n
) n k ( x ) n ( h )
k )(
x
* h ( ) k ( y
k
n
) n k
( h ) n ( x )
k ( y
k
0 n
) n k
( h ) n ( x )
k (
y
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28
Transformée de FOURIER Transformée de LAPLACE Représentation fréquentielle des signaux
Décomposition en Série de Fourier
Principe: Exprimer un signal x(t) de période To comme une combinaison linéaire de signaux sinusoïdaux.
1
n n 1
0 n
0 n
o n
n
o t a a cos 2 f nt b sin 2 f nt
To n 2 sin b
Tot n 2 cos a
a ) t ( x
To/2
2 / To
o x(t)dt To
a 2
1 n dt To t
2 cos n ) t ( To x
a 2
2 / To
2 / To
n
1 n dt To t
2 sin n ) t ( To x
b 2
2 / To
2 / To
n
0 bo
Définition: Un signal x(t) périodique de fréquence f0 =1/T0, s'exprime sous certaines conditions, comme une somme de fonctions sinusoïdales de fréquences fn multiples de f0 (dite fréquence fondamentale):
Avec:
Les coefficients an et bn sont les coefficients de la série de Fourier.
(Valeur moyenne ou composante continue)
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29
Décomposition en harmoniques
1 n
n 0
n
o
C cos 2 nf t
a )
t (
x
n n n
2 n 2
n n
a artg b
b a
C
La série de Fourier peut être écrite sous la forme d’un développement en fréquences harmoniques (fréquences fn =nf0 )
Avec:
Spectre en fréquence: Il est donné par les amplitudes de l’ensemble des fréquences (fondamentale et harmoniques).
C’est un spectre de raies dont l’écart est de f0.
0 f0 2f0 3f0 4f0 fréquences c1 c4
a0 c2 c3 Spectre
Le spectre d’un signal continu, de période T0, est un spectre de discontinu.
Décomposition en Série de Fourier: Forme complexe:
On exprime le signal périodique x(t) comme une combinaison linéaire de signaux exponentiels complexes:
) t f 2 j
exp( o
To/2x(t)exp( j2 nfot)dt To
Xn 1 Avec
n
o n
exp( j 2 nf t ) X
) t (
x
Harmoniques négatives!?www.al3abkari-pro.com
30
Relation entre les coefficients :
2 jb ) a
nf ( X
Xn 0 n n
Dans le cas d’un signal réel, on a: et an an bn bn
) nf ( X ) nf (
X 0 * 0
n n n
2 n 2
n n
a artg b
b a
C
Interprétation spectrale:
Les coefficients de Fourier de x(t), ’’ Xn’’ de la série de Fourier forment une représentation fréquentielle de x(t).
X(nf0) est interprété comme la nième composante fréquentielle de x(t).
Le spectre en fréquence de x(t) est un spectre de raies.
L’écart minimum est la fréquence fondamental, f0.
) nf (
X 0
a ) ( b arctg )
kf (
k k
0
))
kf ( j exp(
) kf ( X )
kf (
X
0
0
0•Spectre d’amplitude
•Spectre de Puissance
•Spectre de phase
2 0) nf ( X Spectres d’amplitude, de puissance et de phase:
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Transformée de Fourier
Définition: Pour un signal x(t), non périodique, La TF de x(t) , si elle existe, est donnée par:
TF(x(t)) x(t)e dt )
f (
X j2 ft
X(f) est un nombre complexe qui admet donc une amplitude spectrale A(f) et une phase spectrale F(f).
Formule d'inversion:
TF (X(f)) X(f)e df )
t (
x 1 j2 ft
Par rapport à la pulsation, 2f
) x(t)e dt (
X j t
X( )e d 2
) 1 t (
x j t
La TF et la TF inverse ne sont pas toujours définies
dt ) t (
x x(t) continue par morceaux et admet un
nombre de discontinuités et d'extrema fini.
dt ) t ( x 2
Conditions nécessaires pour l'existence:
x(t) doit être borné, d’énergie finie (sommable) et ayant un nombre de discontinuités et d’extrema fini.
1 2 3
1 2 3
Quelles sont les conditions d’existence de la TF(x(t))?
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32
TF d’un signal réel
x(t)e dt x(t) cos(2 ft) jsin(2 ft) dt )
f (
X j2 ft
dt ft t
x f
X ag
dt ft t
x f
X Réel
) 2 sin(
) ( )
( Im
) 2 cos(
) ( )
(
X ( f ) j Im ag X ( f )
Réel )
f (
X
)) f ( j exp(
) f ( X )
f (
X
x Spectre d’amplitudeSpectre de phase Pour un signal réel;
Le spectre d’amplitude est une fonction paire.
Le spectre de phase est une fonction impaire.
Théorème de Wiener-Kintchine:
) (
) (
) (
) (
* ) (
) ( )
( )
(
*
* 2 *
t C
d t x
x
t x
t x
f X
f X TFI f
X TFI
xx
( )
) ( )
( )
( f X f 2 C t e 2 dt TF C t
Sxx
xx j ft xx
C (t)e dt )
f (
Sx y x y j2 ft
Généralisation:
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Théorème de Bernstein
Ce théorème permet de relier le support en fréquence et la variation d'un signal :
M f
dt 2 ) t ( dx
max
et 2 f M
dt ) t ( x
d
pp max
p
Interprétation: Les variations d'un signal (dérivées) sont bornées.
Conséquence: Un signal présentant des discontinuités est un signal à support en fréquence non borné.
Énonce: Si x(t) est borné et à support borné en fréquence (fmax), alors on a toujours:
,t x ( t ) M
f f
max, X ( f ) 0
Rappels:
Un signal ne peut pas varier arbitrairement vite.
Extension de la TF:
Cas des signaux à énergie infinie
Les signaux à énergie infinie (puissance moyenne finie et non nulle) ne vérifient pas les conditions d’existence de la TF.
Ces signaux ne satisfont pas les critères de convergence habituels. Pour calculer leur TF, on applique la théorie des distributions
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) f ( ) 1 (
TF
•Quelle est la TF de la distribution associée à 1 ?
1, ( ) 0 (0) ,
,
1 TF TF f df TFI t
TF
) f ( Const Const
•Quelle est la TF de la distribution associée à Const = Constante ? )
f ( 1
On a Grâce à la linéarité de la TF, on peut écrire que:
Exercice: Calcul de la TF de sin(t) ou cos (t)
Calculer la TF du signal:
x ( t ) A cos( 2 f
ot )
TF d'un signal périodique
Toute fonction périodique f(t) de période T peut s'écrire comme une somme infinie de cosinus et de sinus (décomposition en Série de Fourier.):
en utilisant la linéarité de la TF
1 n
n n
o
t
T n 2 sin b T t
n 2 cos a
a ) t ( f
La TF d'un signal périodique est divergente, mais elle peut être calculer au sens des distributions.
) f n f 2 (
ib ) a
f n f 2 (
ib ) a
f ( a )]
t ( f [
TF
o1 n
n n
o 1
n
n n
o
Le résultat correspond à un spectre de raie.
T f0 1
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TF d'un Peigne de Dirac
k
O
T(t) (t kT )
n
o o
T(t) f f nf
F La TF d'un peigne de Dirac est un peigne de Dirac
Réponse fréquentielle des systèmes
ft 2
e
i) t (
x
La réponse fréquentielle est obtenue en excitant le système par un signal exponentiel complexe:
La sortie s’exprimera alors par:
ft 2 j
ft 2 j f
2 j
) t ( f 2 j ft 2 j
e ) f ( H
e d e
) ( h
d e
) ( h
) t )(
e h (
) t )(
x h ( )]
t ( x [ S
ft 2 j ft
2
j
H ( f ) e
e ) t (
h
soit, en définitif:
