Traitement du Signal Numérique EI3

Devoir Surveillé N° 2 Durée 2h 30mn avec documents

Les exercices I et II portent sur la réalisation d’un filtre passe-bas dont la réponse en fréquence finale sera la suivante :

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

I – On commence par réaliser un filtre passe-bas à réponse impulsionnelle finie (coefficients réels) qui annule parfaitement les fréquences ^F₄^e , ³₈^Fe et ^F₂^e .

1. Exprimer les zéros de la fonction de transfert correspondants à ces trois fréquences et les représenter dans le plan complexe.

2. On considère le filtre possédant ces seuls zéros. Quel est l’ordre de ce filtre ? Calculer la fonction de transfert en Zde telle sorte que le filtre soit causal. Vérifier que la réponse en fréquence est nulle aux trois fréquences ^F₄^e , ³₈^Fe et ^F₂^e .

3. On considère maintenant le filtre dont la fonction de transfert est la suivante : H₁(Z)=0.0732+0.1768Z⁻¹+0.25Z⁻²+0.25Z⁻³+0.1768Z⁻⁴+0.0732Z⁻⁵

Montrer qu’elle a été obtenue en modifiant celle calculée précédemment de façon que la réponse au continu soit l’unité.

4. Donner la réponse impulsionnelle de ce filtre puis l’équation permettant de calculer le signal de sortie y(n) à partir du signal d’entrée x(n).

5. Ce filtre est-il à phase linéaire ? Si oui, quel est le retard introduit par ce filtre ? Sinon, pourquoi ?

6. Exprimer la réponse en fréquence du filtre de la façon suivante :

H₁(f)=R(f).e^jα.f où R(f) est une fonction réelle positive ou négative.

7. Calculer les valeurs de R(f)aux fréquences ^F₈^e , ⁵₁₆^Fe et ⁷₁₆^Fe .

8. Grâce aux résultats acquis, représenter l’allure du module de H₁(f) et de sa phase ϕ(f). 9. L’amplitude des ondulations en bande atténuée est-elle constante ? Si oui, pourquoi ?

Sinon, comment faudrait-il modifier la position du zéro en ³₈^Fe pour qu’elle le devienne ? Quelle est la méthode de synthèse qui produit des filtres à ondulations constante.

) ( ).

( )

( _{1 2}

3Z H Z H Z

H =

avec _{2 1 2}

7 . 0 65 . 0 1 ) 1

( _{− −}

+

= −

Z Z Z

H

1. Calculer la réponse au continu ainsi que celle à ^F₂^e du filtre H₂.

2. La réponse en fréquenceH₂(f) présente-t-elle une fréquence f₀ de résonance ? Si oui, calculer H_m=H₂(f₀) .

3. Déterminer les racines du dénominateur de H₂(Z). Ce filtre est-il stable ? Pourquoi ? 4. Grâce aux résultats acquis, représenter l’allure de H₂(f).

5. Grâce aux résultats établis en cours, donner la réponse impulsionnelle du filtre H₂

puis la représenter sommairement.

6. S’agit-il d’un filtre à phase linéaire (justifier la réponse) ?

7. Donner la relation de récurrence permettant de calculer le signal de sortie y(n) (on nommera le signal d’entrée x(n)) .

On considère maintenant le filtre définitif :

₃ ^{1 2} ₁ ³ ₂ ^{4 5}

7 . 0 65 . 0 1

0732 . 0 1768 . 0 25 . 0 25 . 0 1768 . 0 0732 . ) 0

( ^{− −} ₋ ⁻ ₋ ^{− −}

+

−

+ +

+ +

= +

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z H

8. S’agit-il d’un filtre récursif ? Pourquoi ? 9. Ce filtre est-il à phase linéaire ? Pourquoi ?

10. Indiquer la quantité de calcul nécessaire à chaque instant d’échantillonnage (type d’opération (addition-soustraction, multiplication, division) et nombre). On indiquera l’équation à mettre en œuvre.

III–1 Soient les deux filtres de fonctions de transfert : H₁(Z)=1+Z⁻¹

H₂(Z)=1+2⋅Z⁻¹+Z⁻²

1. Quelles sont les réponses impulsionnelles h₁(n) et h₂(n)de ces deux filtres ?

2. Calculer la fonction de transfert H(Z) du filtre obtenu par la mise en cascade des deux filtres précédents.

3. Calculer la réponse impulsionnelle globale h(n) du filtre résultant par deux méthodes.

4. Exprimer le module et la phase de la réponse en fréquence de ce filtre sous la forme

)

) (

( )

(f Rf e ^{j f}

H = ⋅^−θ où R(f) est une fonction réelle

5. Calculer sa réponse y(n) au signal ^x(n)=A⋅cos

( )

III–2 On considère la TFD à N échantillons comme un banc de N filtres associés chacun à une sortie X(k) (k = 0 à N-1).

1. Calculer la TFD X(k) du signal x(n)=e^j2π⋅nfTe. 2. Montrer que le module peut s’écrire sous la forme :

) sin(

) ) sin(

( k e

e kf T N

NT k f

X ₌ ππ avec f NTk f

k= e−

3. Tracer, pour k donné, le module de la « fonction de filtrage » ainsi obtenue en fonction de f.

4. Quelles sont les valeurs particulières de f ne donnant qu’une sortie X(k) non nulle ?

Correction exercice I

1. fe=1;

fz=[fe/4 -fe/4 3*fe/8 -3*fe/8 fe/2];

z=exp(j*2*pi*fz/fe);

% z=[ -j +j 0.707*(1+j) 0.707*(1-j) -1]

2. 5 zéros Î ordre 5.

5 4 3

2 5 1

1

1 1 2.4142 3.4142 3.4142 2.4142 .

1 )

( ^{− − − − −}

=

−= + + + + +

−

=

∏

Z H

i i

3. H(f=0)=H(Z=1)=1+2.4142+3.4142+3.4142+2.4142+1=13.6569 )

Z ( H . ) Z ( . H ) Z (

H 00732

6569 13 1

1 = =

4. ⁼

∑

n

Z n h Z

H( ) ( ). ¹Î







=

↑ 0.17680.250.250.17680.0732 0732

. 0 ) (n h

5. Oui, c’est un filtre à phase linéaire car la réponse impulsionnelle est symétrique. Il introduit un retard égal à la demi longueur de la réponse impulsionnelle :

N T_e T_e 25 2−1 =

6. ^e ( e) e e ^{j fTe}

N n

fnT

j fT fT fT e

e n h f

H ^{1 π} π π π ^5π

0

2 2 0.25.cos( 2 0.1768.cos(3 ) 2 0.0732.cos(5 ).

).

( )

( ⁻

−

=

− = × + × + ×

=

∑

7. (F8^e)=0.5412

R ; 16) 0.0405 (5F^e =−

R ; 16) 0.0228 (7F^e = R

8.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 |H(f)|

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-200 -100 0 100

200 phi(f)

9. L’amplitude des ondulations en bande affaiblie n’est pas constante. Pour qu’elle le devienne, il faudrait déplacer légèrement les zeros en ±³₈^Fe vers les basses

fréquences. La méthode de synthèse en question est la méthode de Remez qui conduit à des filtres RIF equiripple (ondulations constantes).

7 . 0 65 . 0

2 1

2 − +

2. Condition de résonnance : 1 4

1

2 2

1 + ≤

− b

) b (

b .

Ici 03946

7 0 4

7 0 1 65 0 4

1

2 2

1 .

. x

) . ( . b

) b (

b + = + =

− . Donc, il existe une fréquence de résonnance.

Celle-ci est telle que cos(2πf₀T_e)=0.3946 Î f₀ =0.1854F_e

Et 3.7123

4 4 1 1

)

( ₂

1 2

2

0 2 =

− −

=

= b b

b f b

H H_m

3. p =0.325+0.771j j p^* = 0.325−0.771

Le filtre est stable car les pôles sont à l’intérieur du cercle unité (leur module est inférieur à 1.

4. Allure de H₂(f) :

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 1 2 3 4

5. sin( )

) 1 sin((

)

2(n = r nθ+ θ

h ⁿ avec





=

= ) arg(p

p r θ Ici :





°

=

=

142 . 67

8367 . 0 θ

r

6. Il ne s’agit pas d’un filtre à phase linéaire car c’est un filtre récursif (RII). Seuls, les filtres RIF peuvent être à phase linéaire. Leur réponse impulsionnelle est alors symétrique (ou antisymétrique). Ici, la réponse impulsionnelle h₂(n) ne présente aucunne symétrie.

7. y(n) = x(n) +0.65y(n−1) −0.7x(n−2)

8. Le filtre H₃(Z) est un filtre récursif du fait de H₂(Z). 9. Idem question 6 .

10. L’équation de récurrence est la suivante : )

2 ( 7 . 0 ) 1 ( 65 . 0

) 5 ( 0732 . 0 ) 4 ( 1768 . 0 ) 3 ( 25 . 0 ) 2 ( 25 . 0 ) 1 ( 1768 . 0 ) ( 0732 . 0 ) (

−

−

−

+

− +

− +

− +

− +

− +

=

n x n

y

n x n

x n

x n

x n

x n

x n

y

Î 8 multiplications-additions.

1 Fe/4

-Fe/4

Fe/2 0

0 5 10 15 20

-1 -0.5 0 0.5 1

)

2(n h