TRAITEMENT NUMÉRIQUE DU SIGNAL

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Cours Thème V

TRAITEMENT NUMÉRIQUE DU SIGNAL

I- EXEMPLE D'UNE CHAÎNE DE TRAITEMENT NUMÉRIQUE DU SIGNAL

Une chaîne de traitement numérique du signal a la structure suivante :

Rôle des filtres :

Filtre anti-repliement : Il élimine les fréquences indésirables ( parasites, bruits …)qui ne respectent pas la condition de Shanon.

Le filtre élimine les fréquences supérieures à FE / 2 ( FE = 1/TE) Filtre de lissage : le signal yB(t) en sortie du CNA est un signal échantillonné

bloqué ( en "marches d'escalier" ). Le filtre de lissage permet d'atténuer ces "marches" et de restituer un signal lissé.

Rôle du calculateur : L'unité de traitement numérique ou calculateur réalise des opérations sur les séquences d'entrée {xn} et de sortie {yn-1} pour générer la séquence de sortie {yn}.

Ce sont des opérations d'addition, de soustraction, de multiplication par une constante et de retard.

Un exemple d'opérations est représenté ci-dessous : yn = 2xn – 3xn-1 + 1,5yn-1 .

Remarque : La valeur du signal x(t) à l'instant t = k.TE se note x(k.TE). Pour des raisons de commodité on notera xk = x(k.TE).

On note {xn}, l'ensemble des valeurs xk pour 0 ≤ k ≤ n.

II- LA TRANSFORMATION EN z

1- Définition

La transformée en z est la transformée de Laplace du signal échantillonné {xn}.

L [x(t)] =

∫

₀^∞x(t.)e^−ptdt ( x(t) est un signal analogique ).

L {xn} = ^pnTE

0 n^∞xn.e⁻

∑

= ^{( {xn}} est le résultat de la numérisation de x(t) à la période d'échantillonnage TE ).

⇒ Z {x_n} = ⁿ

0 n^∞xn.z⁻

∑

= ^{avec z=epTE}

2- Transformées en z de séquences {xn} simples c Séquence impulsion unité {δn}

Z {δn} = ⁿ

0 n^∞ n.z⁻

∑

= ^{δ = δ0 = 1 ⇒ Z {δn} = 1} Traitement

numérique Echantillonneur

bloqueur CAN Calculateur CNA

Acquisition Restitution

x (t) XB (t) {Xn} {yn} yB (t) y(t)

Filtre anti-

repliement Filtre de

lissage

Signal échantillonné bloqué

t xB(t)

0 TE2TE kTE

Séquence d'entrée

n xn

TE

0 2TE kTE

Signal échantillonné bloqué

t y^B(t)

0 TE2TE kTE Séquence de sortie

n yn

TE

0 2TE kTE

Signal analogique d'entrée

t x(t)

0

Signal analogique de sortie

t y(t)

0

-1 0 1 2 3 4

{δn}

n

1 δn = 1 pour n = 0

δn = 0 pour n ≠ 0

TS IRIS ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES Page 2 sur 4 Traitement numérique du signal -1 0 1 2 3 4

{δn}

n 1

5 6

-1 0 1 2 3 4 {Γ_n}

n 1

5 6

-1 0 1 2 3 4 {e^{-nTE /τ} }

n 1

5 6

-1 0 1 2 3 4 {1-e^{-nTE /τ} }

n 1

5 6 -1 0 1 2 3 4

{anTE}

n a.TE

5 6

d Séquence échelon unité {Γ_n}

Z {Γ_n} = ⁿ

0 n^∞ n.z⁻

∑

= ^{Γ = z0 + z-1 + z-2 + z-3 + … =} _z^z₁

z 1

1

1 = −

− ⁻

⇒ Z {Γn} = 1 z

z

− 3- Propriétés

De part sa définition, la transformée en z aura les mêmes propriétés que la transformée de Laplace.

c Linéarité : Z [α{xn}+ β{y_n}] = αX(z) + βY(z) d Théorème du retard : Z {xn-k} = z^-k X(z)

e Théorème de la valeur initiale : x(0) lim X(z) z→∞

=

f Théorème de la valeur finale : lim x lim(z 1)X(z) 1

n z

n = −

→

∞

→

Exemple 1 : 5limz

1 z ) z 1 z ( lim 5 . 5

lim n z 1 z 1

n→∞ → = →

− −

=

Γ = 5 .

Exemple 2 : Exprimons la transformée en z de la séquence {xn} ci-dessous :

Z {xn} = 10.Z {Γ_n – z^-5 Γ_n} = _^ _^

− −

− ⁻ z 1 z z 1 z

10 z ⁵ =

1 z

z 10z ⁴

−

− ⁻ .

4- Table des transformées en z

Dans le tableau ci-dessous, on note X(z) la transformée en z de la séquence { xn }.

{ xn } X (z)

{ δn } 1

{ Γ_n }

1 z

z

−

{ a n TE } ^E

(

z 1

)

²

aT z

−

{ e^-nTE/τ } _{− τ}

−e ^TE/ z

z

{ 1 - e^-nTE/τ }

) e z )(

1 z (

) e 1 ( z

/ T / T

E E

τ

− τ

−

−

−

−

Remarque : Dans les deux dernières séquences, il ne faut pas confondre TE et τ. Dans la pratique, on a TE << τ .

-1 0 1 2 3 4

{Γ_n}

n

1 Γn = 1 pour n ≥ 0

Γn = 0 pour n < 0

-1 0 1 2 3 4

{xn}

n

10

5 6 -1 0 1 2 3 4

10{Γ_n}

n

10

5 6 -1 0 1 2 3 4

z^-5.10{Γn} n

10

5 6

TS IRIS ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES Page 3 sur 4 Traitement numérique du signal 0 TE 2TE

s^*(t)

t

2

3TE

1 3 4

Filtre numérique

{xn} {yn}

H(z)

X(z) Y(z)

Z[ ] 5- Transformée en z inverse

On connaît la transformée inverse d'un signal et on désire retrouver les échantillons temporels.

Méthode 1 : Utilisation de la table.

Méthode 2 : Méthode de la division

Exemple : ₁ ¹ ₂

z 5 , 0 z 5 , 1

1 2z

) 5 , 0 z )(

1 z ( 2z )

z (

s ₋ ⁻ ₋

+

= −

−

= −

Effectuons une division Euclidienne de 2z^-1 sur 1 - 1,5z^-1 + 0,5z^-2

2z^-1 1 -1,5z^-1 +0,5z^-2

3z^-2 -z^-3 2z^-1 +3z^-2 +3,5z^-3

3,5z^-2 –1,5z^-4

Les échantillons sont : s (TE) = 2 ; s (2TE) = 3 ; s (3TE) = 3,5 ; … Pour calculer d'autres échantillons, il faut continuer la division.

III- FILTRAGE NUMÉRIQUE

1- Transmittance en z d'un filtre numérique

Avec H(z)= _X^Y₍⁽_z^z₎⁾ transmittance en z du filtre numérique.

Exemple : Soit H(z)= _(z−₂⁴₎₍^z_z−₁₎ .

Déterminons Y(z) sachant que {xn} est la séquence d'un échelon d'amplitude 2.

Solution :

2 z 3 z 4

z 8z

1 z2z ) 1 z )(

2 z ( 4z )

z ( X ) z ( H ) z (

Y _{3 2} ²

+ +

= −

× −

−

= −

=

Pour finir, on peut déterminer les échantillons {yn} par la méthode de la division.

2- Passage de la transformée en z à l'équation de récurrence

Le filtre numérique exécute un programme traduisant une équation de récurrence entre les échantillons du signal d'entrée {xn} et les échantillons du signal de sortie {yn}.

L'objet de ce chapitre est de trouver cette équation de récurrence à partir de H(z).

La méthode repose sur le principe suivant : multiplier par z^-1 revient à retarder de TE ( théorème du retard ).

Exemple : Soit

2 z 3 zz 3z )

z (

H ₂ ²

+

−−

= .

c Multiplication du numérateur et du dénominateur Par z^-2 pour n'avoir que des puissances négatives :

) z ( X(z) Y z 2 z 3 1 1 3z z

z 2 z 3 zz 3z )

z (

H ₂ ^{2 2}_{2 1} ¹ ₂ =

+

− −

× =

× +

−−

= ₋⁻ ₋ ⁻ ₋ .

d Produit en croix :

^Y(z)

(

^{1−3z−1+2z−2}

)

^=X(z)

(

^1−3z−1

)

^.

e Utilisation du théorème du retard : yn – 3yn-1 + 2yn-2 = xn – 3xn-1

⇒ yn = xn – 3xn-1 + 3yn-1 – 2 yn-2

C'est l'équation de récurrence.

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0 1 1 2 2 3 3 4

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xn

n yn

n xn yn

-1 0 0,000

0 3 0,750

1 3 1,313

2 3 1,734

3 3 2,051

4 3 2,288

5 3 2,466

6 3 2,600

7 3 2,700

8 3 2,775

9 3 2,831

10 3 2,873

3- Passage de l'équation de récurrence à la transformée en z Exemple : Soit l'équation de récurrence d'un filtre numérique

yn = 2xn + yn-1 - 6yn-2

c On groupe les yi et les xi

yn – yn-1 + 6yn-2 = 2xn

d On appliqué le théorème du retard Y(z) – z^-1Y(z) + 6z^-2Y(z) = 2X(z) e Détermination de H(z)

Y(z) [ 1 – z^-1 + 6z^-2 ] = 2X(z)

⇒ z 2zz 6

z 6 z

1 2

) z ( X(z) ) Y z (

H _{1 2 2} ²

+

= − +

= −

= _{− −} .

4- Calcul de {yn} à partir de {xn} et de l'équation de récurrence Exemple : Soit l'équation de récurrence d'un filtre numérique

n 1 n n 43y 14x

y = ₋ +

On applique à l'entrée du filtre, une suite d'échantillons

{xn} = 3{Γn} correspondant à un échelon d'amplitude 3.

La détermination des échantillons de sortie débute par le calcul de y0

43 4 3 0 1 43 4x y 1 43

y₀ = ₀₋₁+ ₀ = × + × = 313 , 1 4 3 75 1 , 4 0 x 3 14 4y

y₁= 3 ₀+ ₁= × + × ≈

734 , 1 4 3 313 1 , 4 1 x 3 41 4y

y₂ = 3 ₁+ ₂ = × + × ≈

051 , 2 4 3 734 1 , 4 1 x 3 41 4y

y₃= 3 ₂+ ₃= × + × ≈

………..

Les échantillons yn pour n variant de 0 à 10 sont représentés dans le tableau et le graphe ci-dessous :

5- Types de filtres numériques

a- Filtres à réponse impulsionnelle finie ( RIF )

Ce sont des filtres non récursifs car la sortie ne dépend que des valeurs d'entrée.

L'équation de récurrence a la forme générale suivante : yn = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + akxn-k

Ce qui donne la transmittance : H(z) = a0 + a1z^-1 + a2z^-2 + … + akz^-k. Ces filtres sont toujours stables.

b- Filtres à réponse impulsionnelle infinie ( RII )

Ce sont des filtres non récursifs car la sortie ne dépend que des valeurs d'entrée.

L'équation de récurrence a la forme générale suivante :

yn = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + akxn-k – b1yn-1 - b2yn-2 - … - b_l yn-l

Ce qui donne la transmittance :

l −l

−

−

−

−

−

+ + + +

+ + +

= +

z b ...

z b z b 1

z a ...

z a z a ) a

z (

H ₂

1 2 1

k k 2 2

1 1

0 .

Ces filtres peuvent être instables.