ESCPI EI4 C
Traitement Numérique du Signal Aléatoire Partiel n°1
2 heures avec documents Lundi 3 juin 2003
Exercice n°1
On considère un signal numérique x(n) dont les échantillons sont constitués de la somme d'une constante notée α et d'une variable de bruit blanc b(n) gaussienne, centrée, de variance σ2. Le signal s'écrit donc :
) ( )
(n b n
x =α+ (par définition les b(n) sont indépendants les uns des autres)
On note rxx
( )
p la fonction d'autocorrélation du signal x(n). 1. calculez rxx( )
02. calculez rxx
( )
13. donnez une écriture générale de rxx
( )
p valable quelque soit p 4. le signal x(n) est-il blanc ? (justifiez brièvement)On cherche à estimer la valeur de la constante α en filtrant avec un filtre RIF à N coefficients le signal x(n). En notant ai les coefficients de ce filtre, on obtient un signal y(n) qui s'écrit :
∑
−=
−
=N 1
0
i aixn i n
y( ) ( )
On propose de prendre la même valeur N
1 pour tous les coefficients du filtre, c'est-à-dire i N ai = 1,∀
5. calculez l'espérance du signal y(n) que l'on notera E
[ ]
x(n) On note ryy( )
p la fonction d'autocorrélation du signal y(n). 6. calculez ryy( )
07. calculez ryy
( )
18. donnez une écriture générale de ryy
( )
p valable quelque soit p 9. le signal )y(n est-il blanc ? (justifiez brièvement)En considérant que le signal y(n) est constitué de la constante α qui représente la partie utile du signal et d'un terme de bruit additif,
10. calculez le rapport signal sur bruit du signal y(n)
D'un point de vue statistique, la variable aléatoire y(n) est une variable gaussienne de moyenne my et de variance σ2y.
11. calculez my (vous l'avez peut-être déjà calculée) 12. calculez σ2y (attention à la définition de la variance)
On multiplie par 2 le nombre de coefficients du filtre RIF,
13. est-ce que la constante est mieux estimée (justifiez votre réponse) ?
14. Donnez la réponse en fréquence (formule littérale et tracé à main levée du module) du filtre RIF utilisé pour estimer la constante.
15. Justifiez avec quelques arguments dans le domaine fréquentiel le choix qui a été fait pour le filtre RIF
On considère maintenant un cas de figure légèrement différent dans lequel on dispose de deux signaux x1(n) et )
(n
x2 définis de la manière suivante :
) ( ) ( )
(n s n b n
x1 = + 1
) ( ) ( )
(n sn b n
x2 = + 2
) (n
s représente un signal utile centré de puissance normalisée (c'est à dire E
[ ]
s(n) =0 et E[ ]
s2(n) =1)) (n
b1 et b2(n) représentent deux bruits blancs centrés indépendants l'un de l'autre mais avec des variances différentes notées σ12 pour b1(n) et σ22 pour b2(n)
) (n
s , b1(n) et b2(n) sont indépendants les uns des autres.
On fabrique une nouvelle variable z(n) définie de la manière suivante : ) ( ) ( )
(n x n ax n
z = 1 + 2
dans cette expression, a représente un coefficient multiplicateur.
16. Quelle valeur faut-il choisir pour le coefficient a pour avoir le meilleur rapport signal sur bruit sur le signal )
(n z Exercice n°2
Soit le signal y(n)= sin(2πf0nTe +ϕ) où ϕ est une phase aléatoire dont la densité de probabilité est constante dans l'intervalle
[
0;2π[
.1) Tracer la densité de probabilité fϕ(x) de ϕ en indiquant son amplitude.
2) Calculer E
[
y(n)]
ainsi que E[ ]
y(n)2 . Le signal aléatoirey(n) est-il stationnaire (au second ordre) ? Justifier la réponse.3) Calculer la moyenne temporelle d'une réalisation signal y(n). Recommencer pour y(n)2. Le signal aléatoirey(n) est-il ergodique ? Justifier la réponse.
4) On s'intéresse maintenant à la densité de probabilité fy(x) du signal aléatoire y(n). En exploitant le fait que θ
θ)≈
sin( pour les petits angles. Calculer fy(0).
5) Sans calcul, indiquer si la valeur fy(1) est plus grande ou plus faible que fy(0). Justifier la réponse.
6) Calculer ryy
( )
p la fonction d'autocorrélation du signal y(n). 7) En déduire la densité spectrale de puissance du signal y(n).8) Calculer la matrice d'autocorrélation d'ordre 3 (dimension) associée au signal y(n) dans le cas où 0 4 f = fe, puis son déterminant.
