Traitement du Signal Numérique 1

(1)

- Devoir 2 –

- Filtrage Multicadence –

On considère comme dans le devoir 1 un signal analogique x_A(t) périodique dont le développement en série de Fourier est le suivant :

[ ]



 ∀ ∈ − +

= 0 sinon

4

; 4

1 n

c_n

Mais on ne connaît pas exactement la période de répétition du signal. On sait tout au plus que ms

T ≥1.2 . Dans la suite du devoir, on fera les calculs avec T =1.25ms

1) On échantillonne toujours le signal à la fréquence Fe=16kHz. Calculer les 16 premiers échantillons du signal x(n) ainsi obtenu. Représenter x_A(t) et x(n).

2) Expliquer pourquoi la méthode suivie dans le devoir 1 pour améliorer le rapport signal à bruit de quantification n'est pas valable dans le cas présent. Quelle propriété doit posséder

) (t

x_A pour que la méthode fonctionne correctement ? Quelle valeur de N faudrait-il adopter pour que la méthode fonctionne correctement dans le cas où T =1.25mspuis dans le cas où

ms

T =1.3 . Valider les explications et résultats obtenus grâce à un programme Matlab : - Calculer la TFD X(k) de x(n) pour N=16.

- En déduire la version filtrée X_p(k) de X(k) en mettant à zéro les composantes fréquentielles relatives aux fréquences supérieures à f_max.

- Calculer la TFD Inverse x_p(n) de X_p(k). Représenter x_p(n) et x_A(t).

- Calculer et représenter le signal analogique x_pA(n) présentant les échantillons x_p(n). Le comparer au signal x_A(t). Que se passe-t-il dans le cas où aucun filtrage n'est appliqué (X_p(k)=X(k)^{) ?}

3) Pour palier les inconvénients du filtrage par TFD, on décide de filtrer directement dans le domaine temporel avec un filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF). Quelle doit être la bande passante minimale du filtre ?

4) On décide de mettre en œuvre un filtre demi-bande ; c'est-à-dire qui coupe à partir de 4

/

Fe (ce genre de filtre présente l'avantage d'avoir la moitié des coefficients nuls). Déterminer l'expression donnant les coefficients du filtre par la méthode directe (série de Fourier Inverse de H( f)). On supposera pour cela que H( f) vaut 1 dans la bande passante et 0 dans la bande affaiblie.

5) Calculer grâce à cette expression les N =11 coefficients d'un filtre causal et à phase linéaire )

(n

h . Calculer sa réponse en fréquence (module et phase) et la représenter.

6) On utilise désormais le filtre à ondulations réparties suivant :







 − −

= 0.0537↑ 0 0.0916 0 0.3131 0.5 0.3131 0 0.0916 0 0.0537 )

(n h

Donner l'expression du signal y(n) en sortie du filtre lorsque le signal x(n) est appliqué en entrée. Le filtre altère-t-il le signal ?

(2)

8) On sous-échantillonne le signal y₁(n) en sortie du filtre d'un facteur 2 : x₂(n)= y₁(2n). Toujours sous l'hypothèse que le bruit de quantification est initialement blanc, exprimer la densité spectrale de puissance P₂(f) du bruit au niveau de x₂(n). Quelle propriété devrait présenter le filtre pour que ce bruit soit à nouveau blanc ?

9) On cherche maintenant à augmenter le gain de rapport signal à bruit en renouvelant K fois l'opération de filtrage-sous-échantillonnage. Comment doit être choisie la fréquence

d'échantillonnage initiale en fonction de f_max, la fréquence maximale contenue dans le signal initial x_A(t) ?

10) Quelle est alors la réponse en fréquence du système vis-à-vis du signal (dans la bande

[

− fmax; fmax

]

). Quel est le retard apporté au signal ? Quelle est la réponse en fréquence que devrait avoir un filtre correcteur.

11) Réaliser une simulation Matlab pour valider l'approche. Joindre le programme. Dans cette simulation, on cherchera à se passer de l'hypothèse de blancheur du bruit de quantification initial. On mesurera plutôt les puissances successives du bruit de quantification résiduel en filtrant réellement les signaux grâce à la fonction filter().

(3)

Correction :

1) x (t) c e ² 1 2cos(2 ¹t) 2cos(2 ²t) 2cos(2 ³t) 2cos(2 ⁴t)

T T

n

t j n

A ^T

n π π π π

π = + + + +

=

∑

^+∞

−∞

=

^x⁽ⁿ⁾⁼^xA⁽^nTe⁾⁼

{

⁹ ⁶^.³¹ ¹ ⁻¹^.⁹⁶ ⁻¹ ¹ ¹ ⁻⁰^.⁵¹ ⁻¹ ⁰^.¹⁶ ¹ ⁰^.¹⁶ ⁻¹ ⁻⁰^.⁵¹ ¹ ¹ ^K

}

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10^-3 -5

0 5 10

2) La TFD suppose que les N échantillons sont ceux d'un signal périodique en NT_e représenté ici en rouge :

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10^-3 -5

0 5 10

Les deux signaux présentent les mêmes échantillons mais pas le même spectre :

-80000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 1

2

Pour "passer" par les échantillons du signal initial (bleu), le signal périodique en NT_e (rouge) utilise des hautes fréquences (4000-8000hz).

Le filtrage fréquentiel consiste à supprimer les composantes fréquentielles situé dans la partie du spectre inoccupée par le signal initial (≤ f_max f hz

T 3333

min

max= 4 = ) :

1 2

(4)

Or, les composantes du signal périodique en NTe (rouge) ainsi supprimées étaient utiles pour faire passer le signal par les mêmes échantillons que ceux du signal initial. Leur suppression détruit la coïncidence des échantillons.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10^-3 -5

0 5 10

On en conclut que cette méthode, suivie dans le devoir 1 pour améliorer le rapport signal à bruit de quantification n'est pas valable dans le cas présent car même en absence de bruit de quantification, elle dégrade le signal.

Pour que la méthode fonctionne dans le cas présent, il faudrait connaître exactement la période du signal et faire en sorte que le nombre N d'échantillons corresponde à un nombre entier de périodes. Si T =1.25ms, il faut que N soit au minimum de 20 car 20Te=1.25ms. Dans le cas où T =1.3ms, il faut que N soit au minimum de 104 car

104 Te = 5 T

^{. Si}

Te

T n'est pas un nombre rationnel, la méthode ne peut pas être appliquée.

3) La bande passante du filtre doit être

[

− fmax ; + fmax

]

avec f hz

T 3333

min

max = 4 = .

4) S'agissant d'un filtre numérique, H( f) est périodique en Fe. La réponse impulsionnelle )

h(n qui est l'expression duale de H( f) dans le domaine temporel peut être obtenue en calculant la série de Fourier (inverse) de H( f) :

∫

⁻

= Fe

fnTe

j df

e f Fe H

n

h 1 ( ). ²^π

) (

On veut réaliser un filtre demie-bande. Donc :

( )

2

2 sin 2

. 2 1 1 )

( ⁴

4 pi

pi fnTe

j

n Fe n df Fe e

n h

Fe

Fe =

=

∫

₋⁺ ⁻ ^π

5) Pour que le filtre soit à phase linéaire, il faut que sa réponse impulsionnelle soit symétrique.

Or l'expression obtenue pour h(n) est paire. Il faut donc conserver les 11 coefficients centraux de h(n). On veut d'autre part que le filtre soit causal. Il faut donc "retarder" la réponse

impulsionnelle tronquée pour qu'elle ne commence qu'a l'instant 0 :







 − −

= 0.0637↑ 0 0.1061 0 0.3183 0.5 0.3183 0 0.1061 0 0.0637 )

(n h

La réponse en fréquence est alors la suivante :

(

₁₄₄₄₄₄₄₄₄₄₄₄₄₄₄₄₂₄₄₄₄₄₄₄₄₄₄₄₄₄₄₄₃

)

₁₄₂₄₃

Te retard

Te f j f

R

e fTe fTe

fTe f

H

5 5 2 )

(

) 10 cos(

2 0637 . 0 ) 6 cos(

2 1061 . 0 ) 2 cos(

2 3183 . 0 5 . 0 )

( = + × π − × π + × π ⁻ ^π

(5)

-80000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 1

2

-8000-5 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 0

5

6)

∑ ∑

^+∞

−∞

= +∞ −

−∞

=

×

=

×

=

n

T Te n t j n n

T t n j

n

e H c e R

c n

y

^T

n T

n

) ( )

( )

(

²^π ²^π ⁽ ⁵ ⁾

95 . 0 )) 5 ( 2 cos(

2 04 . 1 )) 5 ( 2 cos(

2 96 . 0 )) 5 ( 2 cos(

2 99 . 0 )) 5 ( 2 cos(

2 05 . 1 1 )

(n = × + ¹ t− Te × + ² t− Te × + ³ t− Te × + ⁴ t− Te ×

y πT πT πT πT

Oui, le filtre altère légèrement le signal puisque les différentes composantes fréquentielles ne subissent pas un gain strictement égal à 1. D'autre part, le signal est retardé.

7) x₁(n)=x(n)+b(n)

{ {

B S

n b n y n

y₁( )= ( )+ '( )

' b

y

P P B S =

(

¹×¹^.⁰⁵

) (

²+ ²×⁰^.⁹⁹

)

²×₂¹+

(

²×⁰^.⁹⁶

)

²×₂¹+

(

²×¹^.⁰⁴

)

²×₂¹+

(

²×⁰^.⁹⁵

)

²×₂¹ =⁸

y=

P P_y=8.86

[ ]

²

' Eb'(n)

P_b = . Or

∑

⁻

=

−

= ¹

0

) ( ) ( ) ( '

N

i

i n b i h n

b . Donc :

[ ]

∑ ∑

∑

⁻

=

−

=

−

=

−

=

−

=





























−

×











 −

= ¹

0 1

0

' () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( )

N

i N

j N

i

b E hibn i h jbn j hih jEbn ibn j

P

On suppose que le bruit est blanc. Sa fonction d'autocorrélation vaut donc

[

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

]

⁽ ⁾

)

(p Ebnbn p P p

r_bb = − = _bδ . Et donc : ^E

[

^b⁽ⁿ−ⁱ⁾^b⁽ⁿ−^j⁾

]

=^Pbδ⁽ⁱ− ^j⁾.

En définitive

∑

⁻

=

= ¹

0 2

' ( )

N

i b

b P h i

P _{. Or,} ₀_.₀₂₀₈

12

2 =

=q

P_b et ¹ ₍₎ ₀_.₄₆₈₆

0 2=

∑

⁻

= N

i

h P_b_'=0.0097

Le rapport signal à bruit initial était :

12

2

9

b q x

x P

P B

S = =



 





Celui en sortie du filtre est

∑

⁻

=



 





1

0 2 12

' ( )

82 . 8

2 N

i b q

y

y P h i

P B

S _.

L'amélioration du rapport signal à bruit vaut donc : ₂_.₁ ) ( 1 )

( 9

82 . 8

1 2 1

2

=

≅

=

∆

∑

⁻

=

−

=

N SB N

i h i

h

; soit ₃_.₂_dB

(6)

2 '(f) P(f) H(f)

P_b = _b × . Lors de l'opération de sous-échantillonnage conduisant à x₂(n), la densité spectrale de puissance du bruit est "repliée" : P_b₂(f)=P_b_'(f)+P_b_'(^Fe₂ − f)^.

Pour que le nouveau bruit soit à nouveau blanc il faudrait donc que H( f) soit telle que : cte

f H f

H + ^Fe2 − ²=

2 ( )

) (

9) La fréquence d'échantillonnage finale Fe doit être telle que le théorème de l'échantillonnage soit respecté : Fe>2 f_max. D'autre part, la fréquence d'échantillonnage est divisée par 2 à chaque opération de filtrage-souséchantillonnage. Si nous voulons répéter K fois l'opération, il faut donc que la fréquence d'échantillonnage initiale soit : Fe₀=Fe×2^K. A chaque étape k (k allant de 0 à K−1) : Fe_k =Fe×2^K⁻^k et à terme Fe_K₋₁=Fe×2^K⁻^K⁺¹=2Fe ou encore après sous- échantillonnage : _Fe_K ₌_Fe_×₂^K⁻^K ₌_Fe.

10) Soit H_r( f), la réponse en fréquence réduite (Fe=1) du filtre demi-bande. A chaque étape k, chaque composante fréquentielle f du signal subit la réponse en fréquence _



 





Fek

f

Hr ; où Fek est la fréquence d'échantillonnage à l'étape k; soit : Fe_k =Fe×2^K⁻^k . En définitive, à l'issue de K opérations de filtrage-souséchantillonnage, la réponse en fréquence subit par une composante fréquentielle f du signal vaut :

∏

=

−

= ×

−

= × 



 



= 



 



= 



 



=  ₋ ^K

k

k Fe

f r K

k Fe

f r K

k Fe

f

r H H

H f

G _K _k _k

1

1 2

1

0 2 2

) (

A chaque étape le filtre à phase linéaire retarde le signal de 5 instants d'échantillonnage (avant sous-echantillonnage). Le retard global est donc :













−

× −

=











 −

−

× −

=

×

=

×

× =

×

= ⁺

=

−

=

∑ ∑

∑

⁵ ² ⁵ ⁰^.⁵ ⁵ ¹₁⁰^.₀⁵_.₅ ¹ ⁵ ⁰^.⁵¹₁ ⁰₀^.⁵_.₅

2 5 1

1 1

K K K

k k K

k

k K

k

k Te Te Te Te

τ Fe

Le filtre correcteur devrait présenter une réponse en fréquence inverse de G( f) accompagné cependant d'une phase linéaire (retard>τ) pour assurer la causalité :

2 2

) ( ) 1

( e ^j ^π^f^τ

f f G

C = ⁻