Traitement du Signal Numérique 1

Traitement du Signal Numérique

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- Devoir 2 –

- Filtrage Multicadence –

On considère comme dans le devoir 1 un signal analogique x_A(t) périodique dont le développement en série de Fourier est le suivant :

[ ]



 ∀ ∈ − +

= 0 sinon

4

; 4

1 n

c_n

Mais on ne connaît pas exactement la période de répétition du signal. On sait tout au plus que ms

T ≥1.2 . Dans la suite du devoir, on fera les calculs avec T =1.25ms

1) On échantillonne toujours le signal à la fréquence Fe=16kHz. Calculer les 16 premiers échantillons du signal x(n) ainsi obtenu. Représenter x_A(t) et x(n).

2) Expliquer pourquoi la méthode suivie dans le devoir 1 pour améliorer le rapport signal à bruit de quantification n'est pas valable dans le cas présent. Quelle propriété doit posséder

) (t

x_A pour que la méthode fonctionne correctement ? Quelle valeur de N faudrait-il adopter pour que la méthode fonctionne correctement dans le cas où T =1.25mspuis dans le cas où

ms

T =1.3 . Valider les explications et résultats obtenus grâce à un programme Matlab : - Calculer la TFD X(k) de x(n) pour N=16.

- En déduire la version filtrée X_p(k) de X(k) en mettant à zéro les composantes fréquentielles relatives aux fréquences supérieures à f_max.

- Calculer la TFD Inverse x_p(n) de X_p(k). Représenter x_p(n) et x_A(t).

- Calculer et représenter le signal analogique x_pA(n) présentant les échantillons x_p(n). Le comparer au signal x_A(t). Que se passe-t-il dans le cas où aucun filtrage n'est appliqué (X_p(k)=X(k)^{) ?}

3) Pour palier les inconvénients du filtrage par TFD, on décide de filtrer directement dans le domaine temporel avec un filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF). Quelle doit être la bande passante minimale du filtre ?

4) On décide de mettre en œuvre un filtre demi-bande ; c'est-à-dire qui coupe à partir de 4

/

Fe (ce genre de filtre présente l'avantage d'avoir la moitié des coefficients nuls). Déterminer l'expression donnant les coefficients du filtre par la méthode directe (série de Fourier Inverse de H( f)). On supposera pour cela que H( f) vaut 1 dans la bande passante et 0 dans la bande affaiblie.

5) Calculer grâce à cette expression les N =11 coefficients d'un filtre causal et à phase linéaire )

(n

h . Calculer sa réponse en fréquence (module et phase) et la représenter.

6) On utilise désormais le filtre à ondulations réparties suivant :







 − −

= 0.0537↑ 0 0.0916 0 0.3131 0.5 0.3131 0 0.0916 0 0.0537 )

(n h

Donner l'expression du signal y(n) en sortie du filtre lorsque le signal x(n) est appliqué en entrée. Le filtre altère-t-il le signal ?

7) On filtre maintenant le signal x₁(n) obtenu en quantifiant le signal x(n) comme dans le devoir 1 avec des états de quantification multiples de q=0.5. En supposant que le bruit de quantification est blanc, calculer la puissance du bruit en sortie du filtre. En déduire

l’amélioration du rapport signal à bruit apportée par le filtrage.

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9) On sous-échantillonne le signal y₁(n) en sortie du filtre d'un facteur 2 : x₂(n)= y₁(2n). Toujours sous l'hypothèse que le bruit de quantification est initialement blanc, exprimer la densité spectrale de puissance P₂(f) du bruit au niveau de x₂(n). Quelle propriété devrait présenter le filtre pour que ce bruit soit à nouveau blanc ?

10) On cherche maintenant à augmenter le gain de rapport signal à bruit en renouvelant K fois l'opération de filtrage-sous-échantillonnage. Comment doit être choisie la fréquence d'échantillonnage initiale en fonction de f_max, la fréquence maximale contenue dans le signal initial x_A(t) ?

11) Quelle est alors la réponse en fréquence du système vis-à-vis du signal (dans la bande

[

]

12) Réaliser une simulation Matlab pour valider l'approche. Joindre le programme. Dans cette simulation, on cherchera à se passer de l'hypothèse de blancheur du bruit de quantification initial. On mesurera plutôt les puissances successives du bruit de quantification résiduel en filtrant réellement les signaux grâce à la fonction filter().