ELE102 - Traitement Numérique du Signal 2009-2010
1
-
Devoir Surveillé –
- 2h 30 –Un signal est modélisé de la manière suivante :
(
f t)
t
xA()=α+βcos2π0 α et β sont inconnus. On sait seulement que f0 =1kHz.
On désire estimer les paramètres α et β par traitement numérique.
Exercice 1 : Echantillonnage
On commence par échantillonner le signal.
1) Quelle est la fréquence d'échantillonnage minimale ?
2) On adopte Fe=8kHz. Donner l'expression du signal échantillonné x(n) puis calculer les échantillons d'une période lorsque α =β =1.
3) Exprimer puis représenter le spectre XA( f) du signal xA(t).
4) En déduire l'expression du spectre X( f) du signal échantillonné x(n). Représenter X( f). 5) Le pas de quantification q du convertisseur Analogique-Numérique vaut
256
1 . Donner une estimation de la puissance Pb du bruit de quantification entachant le signal quantifié xq(n). 6) En déduire le rapport signal à bruit de quantification en fonction de α et β (en linéaire).
Exercice 2 : TFD
1) Donner l'expression de la Transformée de Fourier discrète des 8 premiers échantillons du signal échantillonné x(n) (ne pas faire le calcul).
2) Quel échantillon X(k) de la TFD faudrait-il calculer pour obtenir une estimation de α ? 3) Quel échantillon X(k) de la TFD correspond à la fréquence f0 ?
4) S'agissant d'une cosinusoïde, comment faudrait-il procéder à partir de la TFD pour obtenir une estimation de β?
Exercice 3 : Filtrage RIF
Pour estimer α , on cherche à supprimer la composante à la fréquence f0 avec un filtre à Réponse Impulsionnelle Finie.
1) Quels doivent être les zéros du filtre pour supprimer complètement la composante f0 ? 2) Quelle est la fonction de transfert H1(Z) du filtre ayant ces zéros et présentant une réponse
unité envers le continu ?
3) On utilise désormais le filtre suivant :
=
↑.5 0 0 0 0.5 0
) (n h
S'agit-il d'un filtre à phase linéaire ? Sinon, pourquoi ? Si oui, quel est le retard ?
ELE102 - Traitement Numérique du Signal 2009-2010
2
4) Calculer la réponse au continu du filtre ainsi que celle en 8 Fe.
5) En déduire l'expression du signal de sortie y(n) en fonction de α et β lorsque le signal )
(n
x est appliqué en entrée (hors bruit de quantification). Le signal y(n) constitue-t-il une bonne estimation de α ?
6) Quelle est la puissance du bruit Pb' entachant le signal yq(n) en sortie du filtre lorsque le signal quantifié xq(n) est appliqué en entrée (on supposera que le bruit de quantification est blanc et de puissance Pb) ?
7) Comment faudrait-il traiter yq(n) pour améliorer l'estimation de α ?
Exercice 4 : Filtrage RII
Pour estimer β, on met en œuvre le filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie suivant :
2 1 0.98 4
. 1 1 ) 1
( = − − + −
Z Z
Z H
1) Montrer que ce filtre est stable.
2) Montrer que ce filtre possède une fréquence de résonance.
3) Calculer cette fréquence de résonance ainsi que la hauteur de la réponse à la résonance.
4) Calculer la réponse au continu du filtre ainsi que celle en 8
Fe (module et phase).
5) En déduire l'expression du signal de sortie y(n) en fonction de α et β lorsque le signal )
(n
x est appliqué en entrée (hors bruit de quantification).
6) Pour améliorer l'estimation de β, on utilise désormais le filtre
2 1
1 2 1 1.4 0.98
) 1
( − −
−
+
−
= −
Z Z
Z Z H
Quelle est l'expression du signal de sortie y2(n) obtenu ? 7) Donner l'expression de la puissance du signal y2(n).
