Traitement du Signal Numérique
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- Devoir -à rendre pour le 10 mai 2010
On considère le signal analogique xA(t) de période
T = 1 ms
dont le développement en série de Fourier est le suivant :[ ]
∀ ∈− +
= 0 sinon
4
; 4
1 n
cn
1) Exprimer et représenter le signal xA(t) (sur 1 ou 2 périodes).
2) Exprimer et représenter le spectre XA( f) de xA(t).
3) On désire échantillonner le signal xA(t). Quelle est la condition à respecter au niveau de la fréquence d'échantillonnage ?
4) On échantillonne le signal xA(t) à la fréquence
Fe = 16 kHz
. Calculer les 16 échantillons d'une période du signalx (n )
ainsi obtenu.5) Lors de l'échantillonnage, le signal est approximé par des états de quantification multiples de
q = 0 . 5
. Calculer les 16 échantillons d'une période du signal xq(n) ainsi obtenu.6) Calculer la puissance de l’erreur de quantification ainsi que le rapport signal à bruit en linéaire puis en décibels.
7) Calculer la Transformée de Fourier Discrète (TFD) Xq(k) du signal xq(n).
8) Pour améliorer le rapport signal à bruit, on décide d’opérer un filtrage en fréquence en mettant à zéro les échantillons de Xq(k) correspondant aux fréquences supérieures à 2 fmax ( fmaxest la fréquence maximale contenue dans le signal initial xA(t)). Donner le spectre Xp(k) du signal ainsi obtenu.
9) Calculer le signal xp(n) ainsi obtenu par Transformée de Fourier Discrète Inverse (TFD-1) du spectre Xp(k).
10) Calculer la puissance résiduelle de l’erreur de quantification ainsi que le rapport signal à bruit en linéaire puis en décibels.
11) Exprimer l’amélioration du rapport signal à bruit qui peut être ainsi obtenu par filtrage en fonction du rapport entre la fréquence d’échantillonnage utilisée et la bande de fréquence occupée par le signal initial.
12) On désire réduire la fréquence d’échantillonnage du signal final. Supprimer pour cela les fréquences hautes mises à zéro dans Xp(k) (tout ou partie) puis effectuer la TFD-1 du spectre
) (k
Xr ainsi obtenu. Représenter le signal xr(n) obtenu.
13) Réaliser une simulation sous MATLAB (ou sous un autre environnement) pour vérifier les rapports signal à bruit des questions 6 et 10 et l’interpolation de la question 12 puis pour préciser la validité de la généralisation proposée à la question 12 (en faisant varier la
fréquence d’échantillonnage ainsi que le pas de quantification initial). Joindre le code Matlab.
