Lycée Vauvenargues - Physique-Chimie - PTSI 2 - 2021-2022
Contenu du programme officiel :
Notions et contenus Capacités exigibles
Signaux périodiques. Analyser la décomposition fournie d’un signal périodique en une somme de fonctions sinusoïdales.
Définir la valeur moyenne et la valeur efficace d’un signal.
Établir par le calcul la valeur efficace d’un signal sinusoïdal.
Interpréter le fait que le carré de la valeur efficace d’un signal périodique est égal à la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques.
Fonction de transfert harmonique. Diagramme de Bode.
Tracer le diagramme de Bode (amplitude et phase) associé à une fonction de transfert d’ordre 1.
Utiliser une fonction de transfert donnée d’ordre 1 ou 2 (ou ses représen- tations graphiques) pour étudier la réponse d’un système linéaire à une excitation sinusoïdale, à une somme finie d’excitations sinusoïdales, à un signal périodique.
Utiliser les échelles logarithmiques et interpréter les zones rectilignes des diagrammes de Bode en amplitude d’après l’expression de la fonction de transfert.
Mettre en œuvre un dispositif expérimental illustrant l’utilité des fonctions de transfert pour un système linéaire à un ou plu- sieurs étages.
Modèles de filtres passifs : passe-bas et passe- haut d’ordre 1, passe-bas et passe-bande d’ordre 2.
Choisir un modèle de filtre en fonction d’un cahier des charges.
Expliciter les conditions d’utilisation d’un filtre en tant que moyenneur, intégrateur, ou dérivateur. Expliquer l’intérêt, pour garantir leur fonction- nement lors de mises en cascade, de réaliser des filtres de tension de faible impédance de sortie et forte impédance d’entrée.
Expliquer la nature du filtrage introduit par un dispositif mécanique (sis- momètre, amortisseur, accéléromètre, etc.).
Étudier le filtrage linéaire d’un signal non sinusoïdal à partir d’une analyse spectrale.
Détecter le caractère non linéaire d’un système par l’apparition de nouvelles fréquences.
Capacité numérique : simuler, à l’aide d’un langage de programma- tion, l’action d’un filtre sur un signal périodique dont le spectre est fourni.
Mettre en évidence l’influence des caractéristiques du filtre sur l’opération de filtrage.
En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Table des matières
1 Rappels sur les signaux périodiques 2
1.1 Définitions . . . 2 1.2 Théorème de Fourier . . . 2
2 Le filtre passe-bas du premier ordre 3
2.1 Position du problème et visualisation expérimentale . . . 3 2.2 Fonction de transfert et gain . . . 4 2.3 Le filtre passe-bas du premier ordre . . . 5
3 Le filtrage linéaire 7
4 Le filtre passe-haut du premier ordre 8
5 Deux filtres du second ordre 10
5.1 Le filtre passe-bas du second ordre . . . 10 5.2 Le filtre passe-bande du second ordre . . . 11
6 Associations de filtres 12
Dans le chapitre précédent, nous avons étudié la réponse d’un système à une oscillation forcée. Nous avons vu que l’amplitude de la réponse dépendait de la fonction de transfert. Ainsi, certaines fréquences d’entrée ne donnent quasiment aucun signal de sortie, tandis que d’autres fréquences sont amplifiées. Ce phénomène peut être utilisé avec un objectif de filtrage, c’est-à-dire de couper certaines fréquences. Par exemple, lorsque l’on écoute la radio, on ne veut garder qu’une seule fréquence et couper les autres. De même, dans le cas mécanique d’un amortisseur de voiture, on souhaite que les petites oscillations de la route soient « filtrées » par l’amortisseur pour ne pas être ressenties par les passagers.
1 Rappels sur les signaux périodiques
1.1 Définitions
Définition. Un signals(t) estpériodique si et seulement si il existe une périodeT minimale telle que, pour tout instantt, on a
s(t+T) =s(t). Par exemple, le signal s(t) =asinωtest de période T = 2π
ω .
Définition. On définit lavaleur moyennedu signal périodique s(t) par la relation
< s(t)>= 1 T
ˆ T
0
s(t)dt .
Par exemple, le signal s(t) =asinωtest de valeur moyenne nulle.
Définition. On définit lavaleur efficace d’un signal périodiques(t) par la relation seff =q< s2(t)>=
s1 T
ˆ T
0
s2(t)dt . On peut montrer pour un signal sinusoïdal s(t) =asinωtque seff =a/√
2.
La valeur efficace est importante physiquement. En effet, la grandeur physique pertinente n’est pas l’amplitude des signaux, mais leur énergie et la valeur moyenne de l’énergie. Or l’énergie dépend des signaux mis au carré. Ainsi, un signal de valeur moyenne nulle transporte une énergie proportionnelle à s2eff.
1.2 Théorème de Fourier
Théorème. Tout signal périodique se décompose comme une somme de fonctions sinusoïdales. Ainsi, un signal s(t) de fréquencef s’écrit
s(t) =c0+
+∞
X
i=1
cisin(2πif t+ϕi)
avec c0 la valeur moyenne du signal (ou composante continue), ci et ϕi des coefficients dépendant du signal.
Les différents coefficientsci représentent le spectre du signal.
Par exemple, les trois premières composantes sur signal créneau sont représentées figure 2. Sur la figure 1, la représentation temporelle de la somme de ces harmoniques. On pourra manipuler l’animation[1] pour construire des signaux périodiques quelconques.
t s1(t)
a
t s2(t)
a
t s3(t)
a
Fig. 1– Décomposition de Fourier d’un créneau avec les premières harmoniques
Fréquence Amplitude des harmoniques
0 f0 3f0 5f0
Fondamentale
Premières harmoniques c1
c3 c5
Fig. 2 – Premières harmoniques d’un signal créneau
On peut montrer mathématiquement que : D
s2E=c20+ 1 2
+∞
X
i=1
c2i.
De plus, on rappelle ques2est, pour la majorité des signaux, proportionnel à l’énergie totale portée par le signal.
Propriété.L’énergie totale portée par le signal se répartit dans les différentes harmoniques de Fourier de celui-ci, proportionnellement au carré de l’amplitude de l’harmonique.
Autrement dit, chaque signal peut se décomposer sur des harmoniques et, plus l’harmonique est d’am- plitude élevée, plus elle porte de l’énergie.
2 Le filtre passe-bas du premier ordre
2.1 Position du problème et visualisation expérimentale On étudie à nouveau le circuit RC détaillé figure 3.
Expérience 1 : FiltreRC avec signal créneau en entrée.
•
R i(t)
C
•
e(t) s(t)
Fig. 3 – Le filtreRC.
Expérimentalement, on observe pour un signal de
. « basse fréquence », le signal de sortie semblent être identique au signal d’entrée ; . « haute fréquence », le signal de sortie est d’amplitude faible et est un signal créneau.
Les termes « basse » et « haute » fréquence seront définis par rapport aux caractéristiques du filtre que nous verrons par la suite.
Cette même observation peut se traduire sur le spectre du signal, observable directement sur l’oscillo- scope numérique. Ainsi, pour un signal de
. « basse fréquence », le spectre de sortie est très similaire au spectre d’entrée
. « haute fréquence », les composantes du spectre d’entrée sont toujours présentes dans le spectre de sortie, mais leur amplitude est beaucoup plus faible.
Remarque : Nous avions déjà fait cette expérience lorsque nous avons étudié la charge et la décharge du condensateur, sauf que nous l’avions interprété différemment. Nous avions vu le signal créneau comme une succession de tensions constantes, alors que nous regardons main- tenant le signal créneau comme une fonction périodique, et donc nous regardons le circuitRC comme un oscillateur forcé par toutes les composantes périodiques du signal créneau.
2.2 Fonction de transfert et gain
Définition. La fonction de transfertd’un filtre est la grandeur complexe H(ω) = s(t)
e(t)
avec s(t) le signal de sortie complexe ete(t) le signal d’entrée complexe du filtre.
Nous avons vu au chapitre précédent qu’un signal excitateur d’amplitudeAet de pulsationωsortait d’un système forcé sous la forme d’un signal de sortie toujours de pulsationω mais d’amplitudeA|H(ω)|. Ainsi, chaque composante sinusoïdale d’un signal périodique quelconque va subir cette dilatation d’amplitude. La fonction de transfert permet donc de connaître l’effet d’un filtre sur un signal périodique.
Toutefois, le module de la fonction de transfert connaît de grandes variations d’amplitudes. Pour pouvoir les observer, on étudie la fonction de transfert sous une échelle logarithmique.
Remarque : Le logarithme décimal correspond à l’opération log 10x = x, il correspond à la mesure de la puissance de 10 d’un nombre. Ainsi, un variation de 1 pour un logarithme décimal correspond à une multiplication ou une division par 10.
Définition. Legain d’un filtre est la grandeur sans dimension G(ω) =|H(ω)| . Legain en décibel d’un filtre est la grandeur sans dimension
GdB(ω) = 20 logG(ω) = 20 log|H(ω)|
avec log le logarithme décimal. Le gain en décibel s’exprime en décibels(dB).
On choisit un facteur multiplication de 20 car
. le gain est multiplié par 10 pour manipuler des chiffres usuels ;
. on multiplie ensuite par 2 car 20 log|H(ω)|= 10 log|H(ω)|2, or les grandeurs énergétiques sont liées au carré du module de la fonction de transfert, et ce sont ces grandeurs énergétiques qui nous intéressent.
Propriété.Lorsque le gain diminue de 20 décibels, l’amplitude du signal de sortie est divisée par 10.
2.3 Le filtre passe-bas du premier ordre
IPrévision du caractère passe-bas
Nous étudions le circuit de la figure 3 en régime sinusoïdal forcé.
. à « basses fréquences », le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert, la tension de sortie est égale à la tension d’entrée ;
. à « hautes fréquences », le condensateur est équivalent à un fil, la tension de sortie donc nulle.
Ainsi, en basse fréquences le signal n’est pas modifiée alors qu’en haute fréquence le signal de sortie est nul. Il s’agit bien d’un filtre passe-bas.
ICalcul de la fonction de transfert
La fonction de transfert du système se trouve en faisant directement un pont diviseur de tension en utilisant les grandeurs complexes. Ainsi, à partir de la figure 3, il vient
s(t) = ZC
ZR+ZCe(t) = 1/(jCω)
R+ 1/(jCω)e(t).
Propriété.La fonction de transfert d’un filtre passe-bas du premier ordreest H(ω) = s(t)
e(t) = K 1 +j ω
ω0
avec ω0 lapulsation de coupure du filtre etK une constante.
On reconnaît pour le filtre RC la pulsation de coupure ω0= 1
RC . IciK= 1.
Le filtre est dit du premier ordre car les polynômes en jω du numérateur et du dénominateur de la fonction de transfert sont d’ordres 1 au maximum.
ILe diagramme de Bode
Définition. Lediagramme de Boded’un filtre est le double tracé de . le gain en décibelsdu filtre ;
. la phasede la fonction de transfert.
Ces deux tracés sont réalisés en fonction du logarithme de la pulsation.
On trace la pulsation sous échelle logarithmique car celle permet de décrire rapidement une grande gamme de valeur possible, tout en donnant une importance égale à chaque décade de pulsation.
Le diagramme de Bode du filtre passe-bas d’ordre 1 est donné figure 4.
10−2 10−1 100 101 102 0
−3
−10
−20
x= ω ω0 GdB(dB)
10−2 10−1 100 101 102
−1.5
−1
−0.5 0
x= ω ω0
ϕ(rad)
−π 2
−π 4
Fig. 4 – Diagramme de Bode du filtre passe-bas d’ordre 1.
Diagramme de phase : le diagramme de phase se déduit de : ϕ(ω) = argH(ω) =−arg1 + j ω
ω0
=−arctan ω ω0,
car on rappelle que la tangente de l’argument d’un nombre complexe est égal au rapport de sa partie imaginaire sur sa partie réelle.
Le diagramme de gain est donc une fonction x7→ −arctan(x) décroissante de 0 à −π/2. On rappelle de plus que arctan(1) =π/4.
Diagramme de gain : calculons l’expression deGdB(ω), il vient GdB(ω) = 20 log 1
s
1 +ω ω0
2 =−20 log s
1 +ω ω0
2
=−10 log 1 +ω ω0
2! .
. Pourω <10ω0, on constate que le diagramme de Bode est à peu près constant. En effet, on a dans cette zone G(ω)≈1 car (ω/ω0)2 1 et donc on néglige (ω/ω0)2 devant 1, soit un gain en décibels constant et nul.
. Pour ω >10ω0, on constate que le diagramme de Bode est une droite décroissante dont la pente vaut - 20 dB par décade. En effet, dans cette zone, on aGdB ≈ −20 log(ω/ω0) car (ω/ω0)2 1 et donc on néglige 1 devant (ω/ω0)2. On retrouve bien la valeur numérique d’une pente de −20 décibels par décades en traçant GdB en fonction de ω en échelle logarithmique dans le diagramme de Bode.
Pour tracer le diagramme, on trace ces deux asymptotes. On constate numériquement que pour ω = 10ω0, GdB ≈ −20.04 dB et que pour ω = ω0/10, GdB ≈ −0.04 dB. Ainsi, la courbe réelle du gain en décibel est égale à ses asymptotes en dehors de la gamme comprise entreω0/10 et 10ω0. Pour cette gamme intermédiaire, il suffit de relier les asymptotes en constatant queGdB(ω0) =−3 dB.
ILa bande passante
On rappelle qu’une pulsation est dans la bande passante d’un oscillateur forcé si la relation ci-dessous est vérifiée :
G(ω) =|H(ω)|> H√max
2 ⇒ G(ω) = 20 log|H(ω)|>20 logH√max
2 = 20 logHmax−10 log 2. Numériquement, on a 10 log 2≈3.
Définition. La bande passante d’un filtre à 3 décibelsest l’ensemble des pulsations tels que le gain en décibel soit compris entre le gain maximal GdB,max etGdB,max− 3 dB.
On rappelle que la bande passante correspond à un transfert d’au moins 50% de l’énergie entre le signal d’entrée et le signal de sortie. Ainsi, pour une pulsation comprise dans la bande passante, on supposera qu’elle traversera effectivement le filtre.
Pour le filtreRC, la bande passante est donnée pourω < ω0. En effet, on constate figure 4 que le gain est une fonction décroissante et queGdB,max= 0. De plus, pourω=ω0, on aG(ω0) =|H(ω0)|=
1 1 +j
= √1
2. IUtilisation du diagramme de Bode
On veut connaître précisément la réponse du filtre à un signal d’entrée e1(t) = e1sin(ω1t) avec ω1 = ω0/10.
Graphiquement, on lit pour logω1
ω0 =−1, un gain de 0 et une phase ϕ1 ≈ −0.1 rad. Ainsi, le signal de sortie vaut s(t) =e1100/20sin(ω1t+ϕ) =e1sin(ω1t+ϕ).
Application 1 : Quelle est la réponse du filtre pour e2(t) = e2sin(ω2t) avec ω2 = 10ω0? Et pour e1(t) +e2(t)?
IEffet moyenneur
Prenons un signal périodique de moyenne non nulle. D’un point de vue analyse de Fourier, la moyenne du signal correspond à la composante continue, soit la contribution au spectre pour ω = 0. Notons ω1
la pulsation fondamentale du signal considéré. Si le signal passe dans un filtre passe-bas de pulsation de coupure inférieure à ω1, il ne restera que la composante continue du signal, toutes les composantes harmoniques auront été coupées.
Propriété.Un signal périodique de pulsation fondamentaleω1filtré par un filtre passe-bas de pulsation de coupureω0 telle queω0 ω1 estmoyenné. La sortie du filtre sera la valeur moyenne du signal d’entrée.
IEffet intégrateur
Considérons un filtre passe-bas d’ordre 1 de pulsation de coupure ω0. Cette fois un signal périodique de pulsation ω1 ω0 est filtré.
Dans ce cas, on a H(ω) = 1 1 +jω
ω0
≈ ω0
jω. Ainsi, on as=ω0
e
jω. En revenant en notation temporelle, on a ds(t)
dt =ω0e(t).
Propriété.Un signal périodique de pulsation fondamentale ω1 filtré par un filtre passe-bas d’ordre 1 de pulsation de coupureω0telle queω0ω1 estintégré. La sortie du filtre sera l’intégrale du signal d’entrée multipliée par la constante ω0.
Remarque :Ce n’est pas contradictoire avec le fait que le signal soit filtré. En effet, l’amplitude du signal de sortie est très faible par rapport à celle d’entrée, ce qui est bien le cas lorsque l’on intègre la fonctioncosωt. L’amplitude de l’intégrale dépend bien de 1/ω qui est faible si ω est grand.
3 Le filtrage linéaire
Les observations sur le filtreRC permettent de comprendre les principes généraux d’un filtre, que l’on peut voir comme un oscillateur forcé. Ainsi, on peut intellectuellement voir le filtre comme
1. un signal périodique quelconque est une somme de signaux sinusoïdaux,
2. chaque signal sinusoïdal est étudié comme une excitation d’un oscillateur forcé ;
3. au vu des résultats du chapitre précédent, la réponse à un signal sinusoïdal est d’amplitude différente et déphasé par rapport au signal excitateur ;
4. le signal de sortie du filtre est la somme de toutes les réponses à chaque signal sinusoïdal.
Excitatione(t)
e(t) =e0+P+∞k=0ekejωkt
Décomposition en série de Fourier
s(t) =e0+P+∞k=0ekH(ωk) ej(ωkt+φ(ωk)) S
Action du système linéaire sur chaque composante
spectrale
Réponses(t) =<(s(t))
Cela n’est possible que grâce à la propriété de linéaritédu filtre. En effet, les différentes harmoniques restent séparées les unes des autres et ne se « mélangent » pas. Ce phénomène arrive dans les systèmes non linéaires comme les multiplieurs de signaux par exemple.
Les utilités du filtrage sont multiples, on peut par exemple citer : . la sélection de fréquence (radio) ;
. l’annulation de la composante continue (augmentation du contraste) ;
. augmenter ou baisser certaines composantes fréquentielles (« augmenter les basses » en audio)...
Le filtrage est une des bases de l’électronique de commande moderne.
Une activité numérique est disponible sous forme d’un Google Colab pour simuler cela. Elle est dispo- nible en suivant ce lien[2].
4 Le filtre passe-haut du premier ordre
Définition. Un filtre passe-haut coupe les basses fréquences et n’agit pas sur les hautes fréquences.
IRéalisation électronique
Les façon de réaliser un filtre passe-haut sont nombreuses. Par exemple, le circuit de la figure 5 permet cette opération.
En effet, on remarque que
. aux « basses fréquences », le condensateur est un interrupteur ouvert, la tension de sortie est nulle ; . aux « hautes fréquences », le condensateur est un fil, la tension de sortie est égale à celle d’entrée.
•
C i(t)
R
•
e(t) s(t)
Fig. 5 – Exemple de filtre passe-haut d’ordre 1.
À l’aide d’un pont diviseur de tension, on a H(ω) = ZR
ZC +ZR = R
1/(jCω) +R .
Propriété.La fonction de transfert d’un filtre passe-haut du premier ordre est
H(ω) = s(t) e(t) =K
j ω ω0
1 +jω ω0
avec ω0 lapulsation de coupure du filtre etK une constante.
À nouveau, on a ici ω0 = 1
RC . Ici, K = 1.
IDiagramme de Bode
Le diagramme de Bode correspondant est tracé figure 6.
10−2 10−1 100 101 102
0
−3
−10
−20
x= ω ω0
GdB(dB)
10−2 10−1 100 101 102
0 0.5 1 1.5
x= ω ω0
ϕ(rad)
π 2
π 4
Fig. 6 – Diagramme de Bode du filtre passe-haut d’ordre 1
Application 2 : À l’aide de la fonction de transfert, justifier la valeur de la bande passante, le plateau aux hautes fréquences et la valeur de la pente aux basses fréquences.
Diagramme de phase : le diagramme de phase se déduit de : ϕ(ω) = argH(ω) = argjω
ω0
−arg1 + jω ω0
= π
2 −arctan ω ω0
,
car on rappelle que la tangente de l’argument d’un nombre complexe est égale au rapport de sa partie imaginaire sur sa partie réelle (voir chapitre précédent).
Le diagramme de gain est donc une fonction x7→π/2−arctanx décroissante de π/2 à 0. Pour x= 1, cette fonction vautπ/4.
Diagramme de gain : calculons le gain en décibels, il vient GdB(ω) = 20 log
ω/ω0 q1 + (ω/ω0)2
= 20 logω ω0
−20 log s
1 +ω ω0
2
= 20 logω ω0
−10 log 1 +ω ω0
2! .
. Pourω >10ω0, on constate que le diagramme de Bode est à peu près constant. En effet, on a dans cette zone G(ω)≈1 car (ω/ω0)2 1 et donc on néglige 1 devant (ω/ω0)2 soit un gain en décibels constant et nul.
. Pour ω <10ω0, on constate que le diagramme de Bode est une droite croissante. On constante la pente vaut +20 dB par décade. En effet, dans cette zone, on a : GdB ≈ +20 log(ω/ω0) car (ω/ω0)2 1 et donc on néglige (ω/ω0)2 devant 1. On retrouve bien la valeur numérique d’une pente de +20 décibels par décades en traçant GdB en fonction de log (ω/ω0) dans le diagramme de Bode.
Pour tracer le diagramme, on trace ces deux asymptotes. On constate numériquement que pour ω = ω0/10, GdB ≈ −20.04 dB et que pour ω = 10ω0, GdB ≈ −0.04 dB. Ainsi, la courbe réelle du gain en décibel est égale à ses asymptotes en dehors de la gamme comprise entreω0/10 et 10ω0. Pour cette gamme intermédiaire, il suffit de relier les asymptotes en constatant queGdB(ω0) =−3 dB.
IEffet dérivateur
Considérons un filtre passe-haut d’ordre 1 de pulsation de coupure ω0. Cette fois un signal périodique de pulsation ω1 ω0 est filtré.
Dans ce cas, on a H(ω) = j ω ω0
1 +j ω ω0
≈j ω
ω0. Ainsi, on a s=j ω
ω0e. En revenant en notation temporelle, on aω0s(t) = de(t)
dt .
Propriété.Un signal périodique de pulsation fondamentaleω1 filtré par un filtre passe-haut d’ordre 1 de pulsation de coupureω0 telle queω0 ω1 estdérivé. La sortie du filtre sera la dérivée du signal d’entrée divisée par la constante ω0.
Remarque :Ce n’est pas contradictoire avec le fait que le signal soit filtré. En effet, l’amplitude du signal de sortie est très faible par rapport à celle d’entrée, ce qui est bien le cas lorsque l’on dérive la fonction cosωt. L’amplitude de l’intégrale dépend bien de ω qui est faible si ω est faible.
5 Deux filtres du second ordre
Étudions maintenant le circuit RLC de la figure 7. Selon la tension de sortie que nous étudierons, le filtre sera soit passe-bas, soit passe-bande.
•
L i(t)
C R
•
e(t) sPBande(t)
sPBas(t)
Fig. 7– Filtres d’ordre 2. La tension aux bornes de la résistance donne le filtre passe-bande tandis que celle aux bornes du condensateur donne le filtre passe-bas.
5.1 Le filtre passe-bas du second ordre
IComportement asymptotique du filtre
Sur le montage de la figure 7, on choisit de prendre comme tension de sortie la tension aux bornes du condensateur.
Application 3 : Vérifier que ce choix conduit bien à un filtre passe-bas.
IFonction de transfert
Propriété.La fonction de transfert d’un filtre passe-bas du second ordre est H(ω) = s(t)
e(t) = K 1−ω2
ω02 +j1 Q
ω ω0
avec ω0 lapulsation de coupure du filtre etQlefacteur de qualité du filtre et K une constante.
Il s’agit d’un filtre du second ordre car le dénominateur est un polynôme d’ordre 2 en jω. Ici, K= 1.
Application 4 : Vérifier que la fonction de transfert du filtre de la figure 7 a bien cette forme.
ILe diagramme de Bode
Le diagramme de Bode de ce filtre est tracé figure 8. On constate que selon la valeur du facteur de qualité, on observe ou non un pic dans la fonction de transfert. C’est la marque de la présence, ou non, d’une résonance étudiée dans le chapitre précédent. Plus le facteur de qualité sera élevé, plus la résonance sera présente. Si le facteur de qualité est trop élevé, la bande passante devient très faible et resserrée autour du filtre. On se rapproche alors d’un filtre passe-bande du paragraphe suivant.
On constate que l’asymptote du gain aux hautes fréquences est de - 40 décibels par décade. C’est une marque des filtres passe-bas (ou passe-haut) du second ordre. Cela se justifie car, en hautes fréquences, 1−ω2
ω02+j1 Q
ω ω0
≈ −ω2
ω02 soit bien GdB≈ −40 log ω
ω0. Cette pente plus forte permet de couper de façon plus efficace les hautes fréquences, le filtre d’ordre 2 est donc plus sélectif qu’un filtre d’ordre 1.
Application 5 : Pour le cas Q = 5, quelle est la réponse du filtre pour e(t) = e0sin(ω0t) + e1sin(ω1t) + e2sin(ω2t) avec ω1 = ω0/10 et ω2 = 10ω0? Le représenter qualitativement sur un spectre. Que se passe-t-il pourQ= 0.5?
Existe-t-il des effets moyenneurs, dérivateurs ou intégrateurs avec ce filtre ?
10−1 100 101
10 0
−10
−20
−30
Q= 0,5
Q= 5
x= ω ω0 GdB(dB)
10−2 10−1 100 101 102
0
−1
−2
−3
x= ω ω0
ϕ(rad)
−π
−π 2
Fig. 8 – Diagramme de Bode du filtre passe-bas d’ordre 2.
5.2 Le filtre passe-bande du second ordre
Définition. Un filtre passe-bande coupe les basses fréquences et les hautes fréquences mais n’agit pas sur une bande de fréquences intermédiaires. Il s’agit de la bande passantedu filtre.
IComportement asymptotique du filtre
Sur le montage de la figure 7, on choisit de prendre comme tension de sortie la tension aux bornes de la résistance.
Application 6 : Vérifier que ce choix conduit bien à un filtre passe-bande.
IFonction de transfert
Propriété.La fonction de transfert d’un filtre passe-bande du second ordre est H(ω) = s(t)
e(t) = K 1 +jQ
ω ω0 −ω0
ω
avec ω0 lapulsation de coupure du filtre etQlefacteur de qualité du filtre et K une constante.
Il s’agit d’un filtre du second ordre car le dénominateur est un polynôme d’ordre 2 en jω. Ici, K= 1.
Remarque :Les filtres passe-bandes sont toujours au moins d’ordre 2.
Application 7 : Vérifier que la fonction de transfert du filtre de la figure 7 a bien cette forme.
ILe diagramme de Bode
Le diagramme de Bode de ce filtre est tracé figure 9. On constate que selon la valeur du facteur de qualité, la bande passante est plus ou moins fine. Ce résultat est à relier à l’acuité de la résonance selon la valeur du facteur de qualité. On rappelle que dans ce cas, la largeur de la bande passante est donnée par ∆ω =ω0/Q. Ainsi, plus le facteur de qualité est élevé, plus la bande passante est fine, donc plus le filtre est sélectif. D’un certain point de vue, plus Q est grand, plus le filtre est de bonne qualité, d’où la dénomination de Q.
Application 8 :À l’aide de la figure, déterminer la bande passante et vérifier les valeurs du facteur de qualité annoncées.
Application 9 : À l’aide de la fonction de transfert, justifier la valeur de pentes du gain en hautes et basse fréquences.
Existe-t-il des effets moyenneurs, dérivateurs ou intégrateurs avec ce filtre ?
10−2 10−1 100 101 102
0
−10
−20
−30
Q= 0,5 Q= 5
x= ω ω0 GdB(dB)
10−2 10−1 100 101 102
1
0
−1
x= ω ω0
ϕ(rad)
π 2
−π 2
Fig. 9 – Diagramme de Bode du filtre passe-bande d’ordre 2
6 Associations de filtres
On souhaite réaliser un filtre complexe en associant plusieurs filtres les uns derrière les autres. Pour que l’association des filtres soit réalisable, il est nécessaire que le comportement de chaque filtre ne doit pas être influencé par les filtres voisins.
Chaque filtre est modélisé un quadripôle : deux pôles pour la tension d’entrée et deux pour la tension de sortie. Il se modélise alors par une impédance d’entréeZe, une impédance de sortieZs et un générateur de tension en sortie délivrant la tension s(t) =H e(t). En première approximation, l’impédance d’entrée correspond à l’impédance entre le signal d’entrée et la masse tandis que l’impédance de sortie correspond à l’impédance mesurée entre la sortie du filtre et la masse.
Ze,2 Vs,1
Zs,1
Ve,1 Ze,1 Ve,2
Vs,2 Zs,2
Fig. 10– Impédances d’entrée et de sortie de quadripôles électroniques. Le fil inférieur représente le fil de masse du système.
Considérons les blocs de la figure 10.Ze etZs sont respectivement les impédances d’entrée et de sortie des blocs. En utilisant un pont diviseur de tension, on remarque que la tension d’entrée du second bloc vaut
Ve,2 = Ze,2
Ze,2+Zs,1Vs,1 .
Autrement dit, la tension reçue par le second bloc est influencée par la résistance de sortie du premier bloc.
Pour s’affranchir de ce problème, on a besoin d’avoir|Ze,2| |Zs,1|. Cette condition est indispensable pour traiter l’électronique par blocs.
Par exemple, la résistance de sortie d’un Générateur Basse Fréquence (GBF) vaut 50 W alors que la résistance d’entrée d’un multimètre vaut environ 10 MW et celle d’un oscilloscope 1 MW. De plus, bien souvent des capacités sont aussi à prendre en compte dans les impédances d’entrée, celle de l’oscilloscope valant typiquement quelques picofarads.
Dans ce cas, et uniquement dans ce cas, si Vs,1 =H1 Ve,1 etVs,2 =H2 Ve,2, alors Vs,2=H1 H2 Ve,1. Pour réaliser en pratique cette condition, on utilise bien souvent un montage suiveur, donc la fonction de transfert est égale à 1 mais qui a l’intérêt d’avoir une très faible impédance de sortie et une très grande impédance d’entrée. Le montage suiveur est alors intercalé entre les deux filtres.
Références
[1] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/general/synthese.php [2] https://bit.ly/3kPLsnx
