Sup PCSI1 - Exercices de physique Filtrage linéaire
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Filtrage linéaire
1. Filtrage d’un signal bruité :
Un capteur, bruité, délivre le signal incident donné dans la première courbe.
On interpose un filtre du premier ordre en sortie. Ce filtre comporte une association série R-C, où R = 10 kΩ. Proposer une valeur vraisemblable pour C, vue la tension obtenue en sortie de filtre.
Quel élément supplémentaire intervient-il dans ce filtre ?
2. Circuits RC en cascade : Soient les circuits suivants :
1°) Déterminer l'expression du transfert H1(jω) = u1/ue pour le circuit (A), en fonction de ω et τ = RC.
Que devient ce transfert si l'on change R en a.R et C en C/a ? 2°) On interpose un montage suiveur entre deux cellules RC.
Le dispositif interposé entre les deux cellules RC est un amplificateur opérationnel.
Ce circuit intégré impose dans ces conditions de fonctionnement une différence de potentiel nulle entre ses bornes d’entrées indiquées (+) et (-).
Les courants d’entrées i+ et i- sont négligeables (valeur typique 10-12A) tandis que le composant, branché sur une alimentation non représentée sur le schéma, peut délivrer en sortie le courant iSAO nécessaire au fonctionnement de l’ensemble du circuit.
Exprimer la fonction de transfert de l'ensemble : H(jω) = vs / ve.
3°) Déterminer la fonction de transfert H(jω) = us/ue pour le montage (B) en fonction de ω, τ = RC et le coefficient sans dimension a(a est une constante positive). Discuter l'influence de a sur cette fonction de transfert H(jω).Calculer la quantité [H1(jω)]². Conclusions?
3. Etude d'un filtre de Wien.
1. On alimente le circuit suivant par une tension alternative ve(t) d'amplitude constante et de pulsation ω variable.
On posera x = RCω = ω / ωo
a) Exprimer H(jω) = Vs / Ve et le mettre sous la forme 1 / (X + j.Y).
b) Calculer le gain et le déphasage de Vs par rapport à Ve en fonction de x.
c) Quel est le gain maximum du montage et le déphasage correspondant ? ve
R
C -
+
R
C vs
i+
i_
iSAO R
C
R aR
C/a
ue u1 ue C u1 us
Circuit (A) Circuit (B)
ve R vs
R C
C
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2 d) Déterminer les fréquences de coupure et en déduire la bande passante du circuit. Calculer le déphasage correspondant à ces fréquences de coupure. Applications numériques : R = 15 kΩ et C = 4,7 nF.
2.Le diagramme de Bode de ce circuit est donné ci-dessous.
a) Vérifier la cohérence des résultats du (1.) avec ce diagramme.
b) Le circuit est alimenté par une tension ue(t) triangulaire, c’est à dire formée d’une succession de rampe linéaires de pente ± a avec a = 4.E.f où E est l’amplitude de cette tension d’entrée et f sa fréquence.
E= 1,0 V.
b-1. Représenter ue(t)
b-2 La fréquence f étant de valeur f = 10 Hz, le signal de sortie us(t) obtenu est une tension créneau.
Interpréter cette observation, et évaluer l’amplitude S de ce créneau.
Comment peut-on qualifier le comportement du circuit dans ce domaine ?
b-3 La fréquence f est maintenant réglée à la valeur f = 50 kHz. Quel est alors le comportement du circuit dans ce domaine de fréquence ? Proposer une allure du signal us(t) obtenu.
4. Circuits "en T chargé", filtres de Butterworth :
1) Calculer la fonction de transfert du montage ci-contre, après avoir prévu sans calcul la nature de ce filtre. R étant fixée, déterminer les valeurs de L1, L2 et C permettant d'identifier cette fonction de transfert à l'expression :
3
2 ( )
) ( 2 2 1 ) 1
(jx jx jx jx
HB
+ +
= + où jx = jω/ωo ,ωo étant fixé et ω étant la pulsation du signal d’entrée ve(t).
Calculer le module du transfert H(x).La courbe de gain en diagramme de Bode de ce circuit présente une pente à - 60 dB/décade pour les fréquences élevées. Interpréter ce comportement. Quel est le gain en basse fréquence ? Calculer la fréquence de coupure fcpb de ce filtre.
2) On envisage maintenant le montage obtenu en remplaçant C par une inductance L et les inductances L1 et L2 par des capacités C1 et C2. Quelles sont les caractéristiques de ce filtre ? Moyennant un choix adapté des valeurs de L, C1 et C2 on obtient une fonction des transfert :
3 2 3
) ( ) ( 2 2 1
) ) (
( jx jx jx
j jx HH
+ +
= +
ω .
Tracer une allure de la courbe de gain correspondante.
Calculer la fréquence de coupure fcph de ce filtre.
3) La séparation des voies d’une enceinte de chaîne hi-fi, permettant de transmettre les graves et les aigus à des haut- parleurs de caractéristiques adaptées est schématisée ci-contre.
Ve(t) Passe-haut
Passe-bas
C
L2
R vs
ve
L1
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3 Les filtres employés sont ceux étudiés précédemment, la résistance de charge R correspondant à l’impédance d’entrée de chacun des deux haut-parleurs. On teste la sélectivité des voies en appliquant en entrée un signal :
) . 10 cos(
. ) . 1 , 0 cos(
. )
(t E t E t
Ve =
ω
o +ω
oQuelles sont les tensions appliquées à chaque voie ? (on ne demande pas un calcul explicite de leur phase). Donner, en décibels, la valeur du rapport des tensions efficaces des deux harmoniques du signal de sortie.
5. filtrage passe-bande :
Un filtre répond à la fonction de transfert : On note fo = ωo / 2π sa fréquence de résonance.
Son diagramme de Bode est donné ci- contre.
On applique à l’entrée du filtre une tension créneau e(t), d’amplitude A = 1,0 V, de fréquence f réglable (soit de pulsationω), que l’on peut représenter par sa
décomposition de Fourier :
( )
∑
∞=
+ +
−
=
0
).
1 2 ( cos ) 1 2 ( ) 2 1 ( ) (
p
p p t
p t A
e ω
π
Qu’observe-t-on en sortie de filtre lorsque l’on fait varier progressivement la fréquence f de 100 Hz à 2,0 kHz ? Examiner en particulier les cas :
f = 200Hz ; f = 333 Hz ; f = fo = 1,0 kHz et f = 2,0 kHz. On suppose Q = 50.
6. Gabarit pour un filtrage passe-bas : On souhaite respecter le gabarit suivant :
- les fréquences jusqu’à 2,0 kHz doivent être transmises sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de 3 dB ; - les fréquences supérieures à 6,2 kHz doivent être filtrées en étant atténuées d’au moins 15 dB.
a) Représenter le gabarit de filtrage. Combien y a-t-il de décades dans la zone de transition entre les fréquences transmises et les fréquences filtrées ? Un filtre du premier ordre peut-il répondre au problème ?
b)La question précédente a montré qu’il fallait un filtre présentant une section rectiligne de pente inférieure à -30 dB par décade : justifier cette valeur.
On propose un filtre dont le transfert a pour expression : Quelle valeur choisir pour ωo ?
Le filtre est-il convenable en choisissant = 1/√2 ? On prend fo = ωo/2π = 2,3 kHz ; justifier ce dernier choix.
− +
=
ω ω ω
ω ω
o o
jQ j
H
1 ) 1 (
2
. 2 . 1 ) 1 (
+ +
=
o o
j z
j j
H
ω ω ω
ω ω
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4 7. Filtre déphaseur :
1°) Le dispositif situé en amont des points A, B et O est un transformateur à point milieu. Aucune connaissance n’est nécessaire sur ce dispositif.
Les tensions UAO(t) et UOB(t) sont égales à ue(t)= ualim(t)/2 à chaque instant et sinusoïdales de pulsation ω.
Etablir l’expression complexe du rapport des tensions efficaces complexes US /Ue.
En déduire l’expression du module et de l’argument de ce rapport. Quelle est la fonction de ce montage ?
8. Coupe-bande :
Le signal généré par un amplificateur hi-fi peut être bruité par un terme de tension sinusoïdale correspondant à la tension d’alimentation, de fréquence f = 50 Hz. Pour remédier à cela, on interpose un filtre coupe-bande correspondant au schéma proposé.
Le filtre étant ensuite branché sur l’entrée d’un amplificateur de grande impédance d’entrée, on peut le considérer comme fonctionnant en sortie ouverte.
1. Etudier la réponse de ce filtre en basse fréquence et en haute fréquence, et justifier qu’il s’agit bien d’un filtre coupe-bande.
2. La fonction de transfert du filtre s’écrit sous la forme :
(son calcul n’est pas demandé) avec Q = 1/4.
Elle conduit au diagramme de Bode ci- contre.
La résistance R est fixée à 68 kΩ. Quelle valeur choisir pour C ?
La sélectivité du filtre est déterminée par le paramètre Q.
On peut ici écrire Q = fo/ ∆f
où fo est la fréquence centrale de la bande coupée et ∆f est la largeur de
l’intervalle de fréquences pour lesquels le gain est inférieur à -3 dB.
Déterminer numériquement Q. Discuter la courbe de gain et la courbe de phase fournies, obtenues à partir d’une simulation numérique. On examinera en particulier les valeurs situées au voisinage de la fréquence f = 50 Hz.
3. Un signal comportant trois termes de même amplitude 1,0 V et de fréquences respectives 50 Hz, 100 Hz et 1000 Hz est appliqué à l’entrée du filtre. Déterminer les amplitudes et déphasages obtenus en sortie.
ualim
R
ue
ue
O
B A
C us
S
2C C
R
vs ve
C R/2
R
( )
22
. 1
) ( ) 1
(
ω ω ω ω
Q jRC j RC j jRC
H
+ +
= +
