Filtrage linéaire

Filtrage linéaire

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

vendredi 10 janvier 2020

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

I Tout signal (électrique, sonore…) peut être altéré, déformé lors de son émission, propagation, lecture.

I Pour les phénomènes linéaire il s’agit d’une modification d’amplitude et de phase de chacun des harmoniques, qui ne dépend que sa pulsationω, et pas de son amplitude.

I Le système physique réalise unfiltrage linéaire, caractérisé par une fonction de transfert

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

I Tout signal (électrique, sonore…) peut être altéré, déformé lors de son émission, propagation, lecture.

I Pour les phénomènes linéaire il s’agit d’une modification d’amplitude et de phase de chacun des harmoniques, qui ne dépend que sa pulsationω, et pas de son amplitude.

I Le système physique réalise unfiltrage linéaire, caractérisé par une fonction de transfert

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

I Tout signal (électrique, sonore…) peut être altéré, déformé lors de son émission, propagation, lecture.

I Pour les phénomènes linéaire il s’agit d’une modification d’amplitude et de phase de chacun des harmoniques, qui ne dépend que sa pulsationω, et pas de son amplitude.

I Le système physique réalise unfiltrage linéaire, caractérisé par une fonction de transfert

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Filtrage recherché par construction I Le réglage graves/aigus/

(karaoke ?) d’un amplificateur de hifi correspond à une amplification sélective des fréquences basses ou élevées,

I Lecircuit d’accordd’un poste de radio permet de sélectionner par filtrage un domaine de fréquence très étroit correspondant à une seule station émettrice sans être gêné par les autres stations.

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Défauts non contrôlés I le son est différemment atténué au cours de la traversée d’un mur : les aigus sont filtrés.

I un haut-parleur mécanique est incapable de

reproduire fidèlement des sons très aigus, tout comme l’oreille est incapable de les percevoir.

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Spectre

Filtrage par un quadripole

1. Transformation d’un signal

2. Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire 3. Diagramme de Bode d’un filtre

4. Filtres du 1^erordre

5. Exemples de filtres du 2^eordre

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Spectre

Filtrage par un quadripole

1. Transformation d’un signal 1.1 Spectre

1.2 Filtrage par un quadripole

2. Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire 3. Diagramme de Bode d’un filtre

4. Filtres du 1^erordre

5. Exemples de filtres du 2^eordre

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Spectre

Filtrage par un quadripole

Décomposition de Fourier : rappels

I un signals(t)périodiquequelconquede pulsationωpeut s’exprimer comme la somme de sinusoïdes de pulsationspω, avecpentier :

s(t) =

∞

X

p=0

A_pcos(pωt+ϕ_p)

I chaquecomposante de Fourier/harmoniqueest caractérisé par son amplitudeApet sa phaseϕ_p(on aϕ₀= 0par convention)

I A0est lacomposante continue(stationnaire) du signal,iesa valeur moyenne :

<s>=A0

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Spectre

Filtrage par un quadripole

Décomposition de Fourier : rappels

I un signals(t)périodiquequelconquede pulsationωpeut s’exprimer comme la somme de sinusoïdes de pulsationspω, avecpentier :

s(t) =

∞

X

p=0

A_pcos(pωt+ϕ_p)

I chaquecomposante de Fourier/harmoniqueest caractérisé par son amplitudeApet sa phaseϕ_p(on aϕ₀= 0par convention)

I A0est lacomposante continue(stationnaire) du signal,iesa valeur moyenne :

<s>=A0

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Spectre

Filtrage par un quadripole

Décomposition de Fourier : rappels

I un signals(t)périodiquequelconquede pulsationωpeut s’exprimer comme la somme de sinusoïdes de pulsationspω, avecpentier :

s(t) =

∞

X

p=0

A_pcos(pωt+ϕ_p)

I chaquecomposante de Fourier/harmoniqueest caractérisé par son amplitudeApet sa phaseϕ_p(on aϕ₀= 0par convention)

I A0est lacomposante continue(stationnaire) du signal,iesa valeur moyenne :

<s>=A

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Spectre

Filtrage par un quadripole

Exemple

Exemple (Spectre d’une corde de guitare)

10² 10³ 10⁴

−100

−80

−60

−40

f(Hz)

I Abscisse = fréquence, ordonnée = amplitude

I les pulsations vont de0(continu/stationnaire) à l’infini, les amplitudesA_pdécroissent globalement quandp→ ∞

I on obtient ce spectre avec un oscilloscope numérique ou unanalyseur de spectre

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Spectre

Filtrage par un quadripole

Exemple

Exemple (Spectre d’une corde de guitare)

10² 10³ 10⁴

−100

−80

−60

−40

f(Hz)

I Abscisse = fréquence, ordonnée = amplitude

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Spectre

Filtrage par un quadripole

Égalité de Parseval

I la puissance moyenne associée à un signals(t)est proportionnelle au carré de la valeurefficacede l’amplitude du signal :

I <P>=RIeff² =GU²eff

I idem en acoustique ouPest proportionnelle au carré de la valeur efficace de la surpression

I on montre que :

Théorème (de Parseval)

Le carré de la valeur efficace d’un signals(t)périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques :

s²_eff =A²0+

∞

X

p=1

A²_p,eff =A²0+

∞

X

p=1

A²_p 2

la phaseϕ_pn’intervient pas

I la puissance d’un signal est donc la somme des puissances de chacun de ses harmoniques

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Spectre

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Égalité de Parseval

I la puissance moyenne associée à un signals(t)est proportionnelle au carré de la valeurefficacede l’amplitude du signal :

I <P>=RIeff² =GUeff²

I idem en acoustique ouPest proportionnelle au carré de la valeur efficace de la surpression

I on montre que :

Théorème (de Parseval)

Le carré de la valeur efficace d’un signals(t)périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques :

s²_eff =A²0+

∞

X

p=1

A²_p,eff =A²0+

∞

X

p=1

A²_p 2

la phaseϕ_pn’intervient pas

I la puissance d’un signal est donc la somme des puissances de chacun de ses harmoniques

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Spectre

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Égalité de Parseval

I la puissance moyenne associée à un signals(t)est proportionnelle au carré de la valeurefficacede l’amplitude du signal :

I <P>=RIeff² =GUeff²

I idem en acoustique ouPest proportionnelle au carré de la valeur efficace de la surpression

I on montre que :

Théorème (de Parseval)

Le carré de la valeur efficace d’un signals(t)périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques :

s²_eff =A²0+

∞

X

p=1

A²_p,eff =A²0+

∞

X

p=1

A²_p 2

la phaseϕ_pn’intervient pas

I la puissance d’un signal est donc la somme des puissances de chacun de ses harmoniques

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Égalité de Parseval

I la puissance moyenne associée à un signals(t)est proportionnelle au carré de la valeurefficacede l’amplitude du signal :

I <P>=RIeff² =GUeff²

I idem en acoustique ouPest proportionnelle au carré de la valeur efficace de la surpression

I on montre que :

Théorème (de Parseval)

Le carré de la valeur efficace d’un signals(t)périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques :

s²_eff =A²0+

∞

X

p=1

A²_p,eff =A²0+

∞

X

p=1

A²_p 2

la phaseϕ_pn’intervient pas

I la puissance d’un signal est donc la somme des puissances de chacun de ses harmoniques

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Égalité de Parseval

I la puissance moyenne associée à un signals(t)est proportionnelle au carré de la valeurefficacede l’amplitude du signal :

I <P>=RIeff² =GUeff²

I idem en acoustique ouPest proportionnelle au carré de la valeur efficace de la surpression

I on montre que : Théorème (de Parseval)

Le carré de la valeur efficace d’un signals(t)périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques :

s²_eff =A²0+

∞

X

p=1

A²_p,eff =A²0+

∞

X

p=1

A²_p 2

la phaseϕ_pn’intervient pas

I la puissance d’un signal est donc la somme des puissances de chacun de ses harmoniques

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Égalité de Parseval

I la puissance moyenne associée à un signals(t)est proportionnelle au carré de la valeurefficacede l’amplitude du signal :

I <P>=RIeff² =GUeff²

I idem en acoustique ouPest proportionnelle au carré de la valeur efficace de la surpression

I on montre que : Théorème (de Parseval)

Le carré de la valeur efficace d’un signals(t)périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques :

s²_eff =A²0+

∞

X

p=1

A²_p,eff =A²0+

∞

X

p=1

A²_p 2

la phaseϕ_pn’intervient pas

I la puissance d’un signal est donc la somme des puissances de chacun de ses harmoniques

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Spectre

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Égalité de Parseval

I la puissance moyenne associée à un signals(t)est proportionnelle au carré de la valeurefficacede l’amplitude du signal :

I <P>=RIeff² =GUeff²

I idem en acoustique ouPest proportionnelle au carré de la valeur efficace de la surpression

I on montre que : Théorème (de Parseval)

Le carré de la valeur efficace d’un signals(t)périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques :

s²_eff =A²0+

∞

X

p=1

A²_p,eff =A²0+

∞

X

p=1

A²_p 2

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Spectre

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1. Transformation d’un signal 1.1 Spectre

1.2 Filtrage par un quadripole

2. Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire 3. Diagramme de Bode d’un filtre

4. Filtres du 1^erordre

5. Exemples de filtres du 2^eordre

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Spectre

Filtrage par un quadripole

On étudie des composants modifiant : I l’amplitude

I la phase

des harmoniques pourfiltrerle signal

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Régimes établis

On travaillera uniquement en régimes établis : Régime stationnaire U=cste,I=cste Régime sinusoïdal établi U_m=cste,I_m=cste

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Schéma électronique d’un quadripôle

I le plus souvent :iA=−iB,(iC=−iD)

I on distingue une entrée (u_e,i_e) et une sortieu_s,i_s en régime établi :

Définition (Quadripôle linéaire)

Un quadripôle est ditlinéairesi les tensions d’entréeUemet de sortieUsm

s’expriment comme des combinaisons linéaires des intensités des courants d’entréeIemet de sortieIsm.

Un dipôle :

actif branché en entrée estune source, passif branché en sortie estune charge.

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Schéma électronique d’un quadripôle

I le plus souvent :iA=−iB,(iC=−iD)

I on distingue une entrée (u_e,i_e) et une sortieu_s,i_s

en régime établi :

Définition (Quadripôle linéaire)

Un quadripôle est ditlinéairesi les tensions d’entréeUemet de sortieUsm

s’expriment comme des combinaisons linéaires des intensités des courants d’entréeIemet de sortieIsm.

Un dipôle :

actif branché en entrée estune source, passif branché en sortie estune charge.

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Schéma électronique d’un quadripôle

I le plus souvent :iA=−iB,(iC=−iD)

I on distingue une entrée (u_e,i_e) et une sortieu_s,i_s

en régime établi :

Définition (Quadripôle linéaire)

Un quadripôle est ditlinéairesi les tensions d’entréeUemet de sortieUsm

s’expriment comme des combinaisons linéaires des intensités des courants d’entréeIemet de sortieIsm.

Un dipôle :

actif branché en entrée estune source, passif branché en sortie estune charge.

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Spectre

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Schéma électronique d’un quadripôle

en régime établi :

Définition (Quadripôle linéaire)

Un quadripôle est ditlinéairesi les tensions d’entréeUemet de sortieUsm

s’expriment comme des combinaisons linéaires des intensités des courants d’entréeIemet de sortieIsm.

Un dipôle :

actif branché en entrée estune source, passif branché en sortie estune charge.

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Spectre

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Impédances d’entrée et de sortie

pour les cas qu’on rencontrera :

I son entrée est modélisable comme une impédance, dite d’entrée, I sa sortie comme un générateur linéaire à source commandée,

d’impédance interne ditede sortie

Z_e= Uem

Iem Usm=E_s−Z_sIsm

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Impédances d’entrée et de sortie

pour les cas qu’on rencontrera :

I son entrée est modélisable comme une impédance, dite d’entrée, I sa sortie comme un générateur linéaire à source commandée,

d’impédance interne ditede sortie Z_e= Uem

Iem Usm=E_s−Z_sIsm

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Spectre

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Opérateurs idéaux

Définition (Opérateurs idéaux)

Dans les quadripôles fondamentaux, le signal de sortie estproportionnel au signal d’entrée. L’opérateur est ditidéalsi :

I le signal fourni par la source branchée en entréen’est pas perturbé par le quadripôle,

I le signal de sortie estindépendant des caractéristiques de la charge branchée en sortie.

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Spectre

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Amplificateurs et convertisseurs idéaux

Définition (Amplificateurs et convertisseurs idéaux) On distingue :

Amplificateur idéal de tension Usm=kUem:Y_e= 0;Z_s= 0, Convertisseur idéal tension→courant Ism=lUem:Y_e= 0;Y_s= 0, Convertisseur idéal courant→tension Usm=¹_lIem:Z_e= 0;Z_s= 0, Amplificateur idéal de courant Ism=kIem:Z_e= 0;Y_s= 0.

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Spectre

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Amplificateurs et convertisseurs idéaux

Définition (Amplificateurs et convertisseurs idéaux) On distingue :

Amplificateur idéal de tension Usm=kUem:Ye= 0;Z_s= 0, Convertisseur idéal tension→courant Ism=lUem:Y_e= 0;Y_s= 0, Convertisseur idéal courant→tension Usm=¹_lIem:Z_e= 0;Z_s= 0, Amplificateur idéal de courant Ism=kIem:Z_e= 0;Ys= 0.

I la constante de proportionnalité peut être complexe, traduisant un déphasage entre l’entrée et la sortie

I elle dépendra de la fréquence en RSE traduisant un comportement différent à haute et basse fréquence : on réalise unfiltragedu signal

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Spectre

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Amplificateurs et convertisseurs idéaux

Définition (Amplificateurs et convertisseurs idéaux) On distingue :

Amplificateur idéal de tension Usm=kUem:Ye= 0;Z_s= 0, Convertisseur idéal tension→courant Ism=lUem:Y_e= 0;Y_s= 0, Convertisseur idéal courant→tension Usm=¹_lIem:Z_e= 0;Z_s= 0, Amplificateur idéal de courant Ism=kIem:Z_e= 0;Ys= 0.

I la constante de proportionnalité peut être complexe, traduisant un déphasage entre l’entrée et la sortie

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Amplificateurs et convertisseurs idéaux

Définition (Amplificateurs et convertisseurs idéaux) On distingue :

Amplificateur idéal de tension Usm=kUem:Y_e= 0;Z_s= 0, Convertisseur idéal tension→courant Ism=lUem:Ye= 0;Ys= 0, Convertisseur idéal courant→tension Usm=¹_lIem:Z_e= 0;Z_s= 0, Amplificateur idéal de courant Ism=kIem:Z_e= 0;Ys= 0.

I la puissance est toujours nulle en entrée (Uem= 0ouIem= 0) I la puissance en sortie est arbitrairement grande (Usmindépendant de

Y_spar exemple)

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Quadripôle suiveur

Définition (Quadripôle suiveur)

Unquadripôle suiveurest un amplificateur idéal réalisantUsm=Uem: I en prélevant un courant nul de la source,

I en pouvant fournir un courant arbitrairement grand à la charge.

I c’est un cas particulier d’ampli de tension aveck= 1

I réalisé par un composantactif(montage à amplificateur opérationnel) I utilisé par exemple pour corriger les défauts de quadripôles plus

intéressants

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Spectre

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Quadripôle suiveur

Définition (Quadripôle suiveur)

Unquadripôle suiveurest un amplificateur idéal réalisantUsm=Uem: I en prélevant un courant nul de la source,

I en pouvant fournir un courant arbitrairement grand à la charge.

I c’est un cas particulier d’ampli de tension aveck= 1

I réalisé par un composantactif(montage à amplificateur opérationnel) I utilisé par exemple pour corriger les défauts de quadripôles plus

intéressants

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Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

1. Transformation d’un signal

2. Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire

3. Diagramme de Bode d’un filtre 4. Filtres du 1^erordre

5. Exemples de filtres du 2^eordre

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Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

1. Transformation d’un signal

2. Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire 2.1 Définition

2.2 Lien avec l’équation différentielle

2.3 Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

3. Diagramme de Bode d’un filtre 4. Filtres du 1^erordre

5. Exemples de filtres du 2^eordre

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Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

Fonction de transfert

Définition (Fonction de transfert)

On définit lafonction de transfertd’un quadripôle linéaire couplant une grandeurX_ed’entrée à une grandeur de sortieX_sen RSE à la pulsationω le quotient :H(jω) = ^X_X^sm

em.

dans toute la suite, amplificateur de tension par défaut

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Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

Fonction de transfert

dans toute la suite, amplificateur de tension par défaut

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Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

Théorème de superposition

I on étudie la sortie en fonction de l’entrée en RSE

I le théorème de superposition assure que pour une entrée en régime périodiquequelconque, la sortie sera la somme des sorties

correspondant à chacun des harmoniques séparément

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Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

Fraction rationnelle

La fonction de transfert d’un quadripole linéaire couplantX_eàX_sest une fraction rationnelle enjω:

H(jω) = Xsm

Xem

= Pne

p=0α_p(jω)^p Pns

p⁰=0α⁰_p0(jω)^p0. On nommeordre du quadripôleHle maximum de(ne,ns)

I la réponse (sortie/entrée) ne dépend que deω, pas de l’amplitude de l’entrée

I stable à haute fréquence pourn_s>n_e I stable à basse fréquence pourα⁰₀6= 0

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Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

Fraction rationnelle

La fonction de transfert d’un quadripole linéaire couplantX_eàX_sest une fraction rationnelle enjω:

H(jω) = Xsm

Xem

= Pne

p=0α_p(jω)^p Pns

p⁰=0α⁰_p0(jω)^p0. On nommeordre du quadripôleHle maximum de(ne,ns)

I la réponse (sortie/entrée) ne dépend que deω, pas de l’amplitude de l’entrée

I stable à haute fréquence pourn_s>n_e I stable à basse fréquence pourα⁰₀6= 0

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Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

Fraction rationnelle

La fonction de transfert d’un quadripole linéaire couplantX_eàX_sest une fraction rationnelle enjω:

H(jω) = Xsm

Xem

= Pne

p=0α_p(jω)^p Pns

p⁰=0α⁰_p0(jω)^p0. On nommeordre du quadripôleHle maximum de(ne,ns)

I la réponse (sortie/entrée) ne dépend que deω, pas de l’amplitude de l’entrée

I stable à haute fréquence pourn_s>n_e

I stable à basse fréquence pourα⁰₀6= 0

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Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

Fraction rationnelle

La fonction de transfert d’un quadripole linéaire couplantX_eàX_sest une fraction rationnelle enjω:

H(jω) = Xsm

Xem

= Pne

p=0α_p(jω)^p Pns

p⁰=0α⁰_p0(jω)^p0. On nommeordre du quadripôleHle maximum de(ne,ns)

I la réponse (sortie/entrée) ne dépend que deω, pas de l’amplitude de l’entrée

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Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

1. Transformation d’un signal

2. Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire 2.1 Définition

2.2 Lien avec l’équation différentielle

2.3 Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

3. Diagramme de Bode d’un filtre 4. Filtres du 1^erordre

5. Exemples de filtres du 2^eordre

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Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

Technique

Lien entre lecomportement fréquentiel(fonction de transfert) ettemporel (équation différentielle)

I Fonction de transfert facile à établir à l’aide des impédances complexes :

X_sm X_em =

Pne

p=0α_p(jω)^p Pns

p⁰=0α_p⁰0(jω)^p0 =H(jω)

I On retrouvera l’équation différentielle en remplaçant(jω)ⁿpar _dt^dnn :

ne

X

p=0

α_pd^px_e dt^p =

ns

X

p⁰=0

α⁰_p0

d^p0x_s dt^p0

I rigoureusement valable si on recherche des solutions périodiques I « fonctionne » également pour des solutions non-périodiques (régime

libre) si on n’a pas fait de simplifications de la forme : H=1 +jω/ω₀

1 +jω/ω0

F=F

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

Technique

Lien entre lecomportement fréquentiel(fonction de transfert) ettemporel (équation différentielle)

I Fonction de transfert facile à établir à l’aide des impédances complexes :

X_sm X_em =

Pne

p=0α_p(jω)^p Pns

p⁰=0α_p⁰0(jω)^p0 =H(jω)

I On retrouvera l’équation différentielle en remplaçant(jω)ⁿpar _dt^dnn :

ne

X

p=0

α_pd^px_e dt^p =

ns

X

p⁰=0

α⁰_p0

d^p0x_s dt^p0

I rigoureusement valable si on recherche des solutions périodiques I « fonctionne » également pour des solutions non-périodiques (régime

libre) si on n’a pas fait de simplifications de la forme : H=1 +jω/ω₀

1 +jω/ω0

F=F

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

Technique

Lien entre lecomportement fréquentiel(fonction de transfert) ettemporel (équation différentielle)

I Fonction de transfert facile à établir à l’aide des impédances complexes :

X_sm X_em =

Pne

p=0α_p(jω)^p Pns

p⁰=0α_p⁰0(jω)^p0 =H(jω)

I On retrouvera l’équation différentielle en remplaçant(jω)ⁿpar _dt^dnn :

ne

X

p=0

α_pd^px_e dt^p =

ns

X

p⁰=0

α⁰_p0

d^p0x_s dt^p0

I rigoureusement valable si on recherche des solutions périodiques I « fonctionne » également pour des solutions non-périodiques (régime

libre) si on n’a pas fait de simplifications de la forme : H=1 +jω/ω₀

1 +jω/ω0

F=F

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

Technique

I rigoureusement valable si on recherche des solutions périodiques I « fonctionne » également pour des solutions non-périodiques (régime

libre) si on n’a pas fait de simplifications de la forme : H= 1 +jω/ω₀

1 +jω/ω0

F=F

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

1. Transformation d’un signal

2. Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire 2.1 Définition

2.2 Lien avec l’équation différentielle

2.3 Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre 3. Diagramme de Bode d’un filtre

4. Filtres du 1^erordre

5. Exemples de filtres du 2^eordre

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

On réalise un amplificateur de tension à l’aide d’un circuit RLC série comme représenté ci-contre dans lequel par exempleUemreprésente l’amplitude complexe de la tension d’entrée en régime sinusoïdal permanent.

R I_em

L

C U_sm I_sm= 0

U_em

1 a Quel intérêt présente l’utilisation ensortie ouverte,ieIsm= 0? b L’entrée du quadripôle est-elle idéale ?

2 Déterminer l’expression de la fonction de transfertH(jω) = ^U_U^sm

em. On

utilisera la pulsation propreω0=^√1

LCet le facteur de qualitéQ vérifiantQ=^Lω_R⁰ = _RC¹_ω

0.

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

Définition

Lien avec l’équation différentielle Exercice : le circuit RLC série vu comme un filtre

Correction

En sortie ouverte : diviseur de tension : U_cm=

1 jCω

R+jLω+_jC¹_ωU_em→ Usm

Uem = 1

1 + (j_ω^ω

0)²+_ω^jω

0Q

→u_e(t) =u_s+ 1 ω₀Q

du_s dt + 1

ω²₀ du_s

dt

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

Fonctions d’un filtre Représentation

1. Transformation d’un signal

2. Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire 3. Diagramme de Bode d’un filtre

4. Filtres du 1^erordre

5. Exemples de filtres du 2^eordre

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

Fonctions d’un filtre Représentation

1. Transformation d’un signal

2. Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire 3. Diagramme de Bode d’un filtre

3.1 Fonctions d’un filtre 3.2 Représentation 4. Filtres du 1^erordre

5. Exemples de filtres du 2^eordre

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

Fonctions d’un filtre Représentation

Fonctions d’un filtre

Définition (Filtrage d’un signal, bandes passante et coupée)

Un quadripôle linéaire de fonction de transfertH(jω)réalise unfiltragedu signal d’entrée :

en l’amplifiant pour|H(jω)|>1, en l’atténuant pour|H(jω)|<1,

en le déphasant pourarg(H(jω))6= 0[2π]

en fonction de sa pulsationω, indépendamment de son amplitude.

On nomme :

Bande passante le domaine de pulsations que le filtre doit transmettre, Bande coupée le domaine de pulsations que le filtre doit éliminer (le reste).

le spectre de la sortie est alors différent du spectre en entrée

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

Fonctions d’un filtre Représentation

Fonctions d’un filtre

Définition (Filtrage d’un signal, bandes passante et coupée)

Un quadripôle linéaire de fonction de transfertH(jω)réalise unfiltragedu signal d’entrée :

en l’amplifiant pour|H(jω)|>1, en l’atténuant pour|H(jω)|<1,

en le déphasant pourarg(H(jω))6= 0[2π]

en fonction de sa pulsationω, indépendamment de son amplitude.

On nomme :

Bande passante le domaine de pulsations que le filtre doit transmettre, Bande coupée le domaine de pulsations que le filtre doit éliminer (le reste).

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

Fonctions d’un filtre Représentation

ω

|H(jω)|

coupée

passante

Filtre passe-haut

ω

|H(jω)|

passante

coupée Filtre passe-bas

ω

|H(jω)|

coupée

passante

coupée Filtre passe-bande

ω

|H(jω)|

passante

coupée

passante

Filtre coupe (réjecteur de) bande

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Fonctions d’un filtre Représentation

Filtres idéaux

Passe bas : les moyenne et haute fréquence sont coupéesPasse haut : les moyenne et basse fréquence sont coupées

Passe bande : seules les moyennes fréquences passent

Coupe bande : seules les moyennes fréquences sont

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Fonctions d’un filtre Représentation

1. Transformation d’un signal

2. Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire 3. Diagramme de Bode d’un filtre

3.1 Fonctions d’un filtre 3.2 Représentation 4. Filtres du 1^erordre

5. Exemples de filtres du 2^eordre

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Fonctions d’un filtre Représentation

Éléments

Définition (Gain)

On nommegain, notéH, d’un filtre le module de sa fonction de transfert : H(ω) =|H(jω)|. Legain en décibel, notéG_dBest défini par

G_dB= 20logH.

I Origine du dB : unité de rapport de puissance. Pour des tensions efficacesU_e(eff)etU_s(eff)branchées sur le même dipôle de conductanceg, les puissances actives reçues par le dipôle sont P_e=gU²_e(eff)etP_s=gU²_s(eff), de rapportP_s/P_e=_U

s(eff)

Ue(eff)

2

. I Gain en Bel en puissancelogP_s/P_e, gain en décibel

10logP_s/P_e= 20log^U_U^s(eff)

e(eff) =G_dBen tension.

I Intérêt : oreille et œil ont des sensibilité logarithmiques, et les lois de puissance donnent des droites en échelle logarithmique (cf. cinétique chimique)

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

Fonctions d’un filtre Représentation

Éléments

Définition (Gain)

On nommegain, notéH, d’un filtre le module de sa fonction de transfert : H(ω) =|H(jω)|. Legain en décibel, notéG_dBest défini par

G_dB= 20logH.

I Origine du dB : unité de rapport de puissance. Pour des tensions efficacesU_e(eff)etU_s(eff)branchées sur le même dipôle de conductanceg, les puissances actives reçues par le dipôle sont Pe=gU_e²_(eff)etPs=gU_s²_(eff), de rapportPs/Pe=_U

s(eff)

Ue(eff)

2

.

I Gain en Bel en puissancelogP_s/P_e, gain en décibel

10logP_s/P_e= 20log^U_U^s(eff)

e(eff) =G_dBen tension.

I Intérêt : oreille et œil ont des sensibilité logarithmiques, et les lois de puissance donnent des droites en échelle logarithmique (cf. cinétique chimique)

Transformation d’un signal Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Diagramme de Bode d’un filtre Filtres du 1erordre Exemples de filtres du 2eordre

Fonctions d’un filtre Représentation

Éléments

Définition (Gain)

On nommegain, notéH, d’un filtre le module de sa fonction de transfert : H(ω) =|H(jω)|. Legain en décibel, notéG_dBest défini par

G_dB= 20logH.

I Origine du dB : unité de rapport de puissance. Pour des tensions efficacesU_e(eff)etU_s(eff)branchées sur le même dipôle de conductanceg, les puissances actives reçues par le dipôle sont Pe=gU_e²_(eff)etPs=gU_s²_(eff), de rapportPs/Pe=_U

s(eff)

Ue(eff)

2

. I Gain en Bel en puissancelogP_s/P_e, gain en décibel

10logP/P = 20log^Us(eff) =G en tension.

I Intérêt : oreille et œil ont des sensibilité logarithmiques, et les lois de puissance donnent des droites en échelle logarithmique (cf. cinétique chimique)