Filtrage linéaire

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FILTRAGE LINEAIRE

I Filtre passe-bas du premier ordre

L’interrupteur est fermé et nous remplaçons le générateur de f.e.m constante par une source idéale de tension de f.e.m 𝑒(𝑡) = 𝐸√2𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) où w représente la pulsation du générateur et E la tension efficace. On associe le complexe 𝑢 = 𝑈√2𝑒!(#$%&)= 𝑈𝑒^!#$ à la tension 𝑢(𝑡) = 𝑈√2𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) où 𝑈 = 𝑈√2𝑒^!&. De même, 𝐸 = 𝐸√2.

1) La fonction de transfert 𝐻 =⁽₎ s’écrit sous la forme 𝐻 =

*_!

+%!#/#_! avec 𝐻_-=⁺_. et 𝜔_-=_/0^.. Préciser le module H et le déphasage j.

2) Établir l’expression littérale de la fréquence de coupure 𝑓1 en fonction de R et C.

3) Nous traçons le diagramme de Bode en fonction de la fréquence f en échelle semi-log.

a) On obtient le graphe ci-dessous. Déterminer graphiquement la valeur de 𝑓₁ en précisant la méthode utilisée.

b) En déduire la valeur de la capacité C si 𝑅 = 1,0𝑘Ω.

Réponse :𝐻 = 𝐻_-91 +^#_#^"

!":^2+/3 ; 𝜑 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛_#^#

! ; 𝑓₁ =_34/0^. ≈ 200𝐻𝑧 ; 𝐶 ≈ 2,4𝜇𝐹.

II Circuit RLC série

Le circuit RLC série suivant est réalisé avec un condensateur de capacité C = 240 nF, un résistor de résistance R = 25 W et une bobine inconnue d’inductance L et de résistance de bobinage R_L. On note u_b(t) la tension aux bornes de cette bobine (voir figure ci-dessous).

Ce circuit est alimenté par un GBF de f.e.m. e(t) = e_m cos (wt). En notation complexe, la fonction de transfert de ce filtre est H = u_b/e.

1) En justifiant, déterminer rapidement la nature de ce filtre.

2) Lorsque la pulsation du générateur est égale à la pulsation propre w_o = (LC)^-1/2, quelle est la valeur du module de H ? 3) L’amplitude la tension u_R passe par un maximum lorsque la fréquence f = 1050 Hz. En déduire la valeur de L.

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4) On observe sur un oscilloscope (voir figure ci-dessus) les tensions e(t) et uR(t) à une fréquence f₁ supérieure à 1050 Hz. Une demi-période du signal du générateur occupe 9 carreaux de l’axe horizontal. Le calibre vertical est le même sur les deux voies : 1 carreau = 2V. Quel est le déphasage f de u_R par rapport à e ?

5) Déduire de f la valeur de RL.

6) Sachant que f1 = 1080 Hz, déterminer la valeur du facteur de qualité Q de ce circuit.

Réponse : passe-haut ; 𝐻 =^5/#

"%6^"#_!^"

/%/_# ; L = 96 mH ; f = - 45 ° ; R_L = 10 W ; Q = 18.

III Boîte noire

1) Rappeler les expressions des impédances d’un condensateur et d’une bobine. Rappeler et justifier les comportements limites de ces composants en continu puis en très haute fréquence.

2) On étudie le montage constitué de deux dipôles (D₁) et (D₂), disposés comme l’indique la figure ci-dessous. Ces dipôles ont été formés à partir d’une résistance R, d’un condensateur de capacité C et d’une bobine d’inductance L selon un assemblage inconnu.

Seules les bornes d’entrée où l’on applique e(t) et de sortie où l’on mesure s(t) sont accessibles à l’expérimentateur.

On réalise les mesures suivantes en sortie ouverte (D₁ et D₂ sont donc en série) :

• On relie l’entrée à une pile de f.é.m. constante e(t) = E₀ et de résistance interne nulle. On mesure, en régime établi, un courant d’entrée d’intensité i(t) = i₀.

• On remplace la pile précédente par un générateur de tension sinusoïdale e(t) = E0cos(ωt), et on effectue une étude en fréquence de la réponse s(t) du système. L’expérience montre qu’il s’agit d’un filtre passe-bande dont le gain passe par sa valeur maximale pour la fréquence f0, et dont la bande passante vaut Δf.

a) Comment établiriez-vous expérimentalement la courbe donnant la réponse en fréquence du montage (évolution de l’amplitude de s(t) avec la fréquence f = ω/(2π)). On précisera les branchements et mesures à effectuer.

b) Expliquer, avec les résultats de la question 1), pourquoi les trois composants ne sont pas en série.

e(t)

uR(t)

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c) Parmi les quatre montages (A), (B) (C) et (D) proposés, expliquer pourquoi seul le montage (C) convient ?

d) La fonction de transfert de ce montage 𝐻(𝑗𝜔) =₈⁷ où s et e sont les amplitudes complexes associées à s(t) et e(t) en régime sinusoïdal peut se mettre sous la forme 𝐻(𝑗𝜔) = ^*!

+%!9:_$!^$2^$!_$; avec 𝜔_-= ⁺

√60 et 𝑄 = 𝑅H⁰₆.

On a alors affaire à un filtre passe bande de fréquence de résonance 𝑓_-=^#₃₄^! et dont la bande passante est donnée par Δ𝑓 =⁼₉^!. Déduire des données numériques les valeurs numériques de R, de L et de C.

Données numériques : E₀= 15,0 V ; i₀= 15,0 mA ; f₀ = 1,16 kHz ; Δf = 0,34 kHz.

Réponse : R = 1,00 kW ; C = 468 nF ; L = 40,2 mH.

IV Générateur et oscilloscope

On s’intéresse à quelques caractéristiques de ces deux appareils essentiels.

1) On dispose d’un voltmètre de très grande résistance interne (considérée infinie), d’un générateur de tension (GBF) et de boîtes de résistances réglables. La force électromotrice du générateur étant fixée (en continu), on effectue entre ses bornes les deux mesures suivantes :

mesure (1) : on mesure une tension U = 6 V pour une résistance de charge infinie ; mesure (2) : on mesure une tension de 3 V pour une charge égale à 50 W.

Déduire de ces mesures la résistance interne R_g et la force électromotrice E du générateur étudié.

2) On alimente désormais par ce générateur une association R-C série, en régime sinusoïdal de pulsation w réglable. Quelle sera, en module, l’impédance de charge minimale du générateur ? A quelle condition (qualitative) pourra-t-on considérer le générateur comme idéal ?

On supposera cette condition remplie dans la suite avec R = 4,7 kW et C = 22 nF.

3) En l’absence d’oscilloscope branché sur le circuit, déterminer la fonction de transfert complexe en tension H si la grandeur de sortie est la tension aux bornes du condensateur ; quel est le filtrage ainsi réalisé ? Comment définit-on la pulsation du coupure wc

d’un filtre de cette nature et comment s’exprime-t-elle ici ? Application numérique : calculer la fréquence de coupure du filtre.

4) On utilise un oscilloscope dont les caractéristiques d’entrée sont indiquées : « 1 MW, 25 pF » ; dans la suite, on désigne par R_o et C_o la résistance et la capacité correspondantes. Cet appareil, branché sur le filtre précédent, correspond ainsi au circuit suivant :

Déterminer simplement le gain en tension à basse fréquence, noté H_o.

5) Exprimer l’admittance complexe Y. Quelle est la limite à basse fréquence du déphasage de la tension s par rapport à l’intensité i parcourant le dipôle équivalent d’admittance Y ?

6) Déterminer la nouvelle fonction de transfert H’ = s / e sous la forme ^*!

+%!_$!^$ (on pourra s’aider du calcul de Y).

7) Comparer H_o et la nouvelle fréquence de coupure aux valeurs précédentes (question 3)), et conclure quant à l’utilisation de l’oscilloscope pour étudier le filtre RC.

Réponse : E = 6 V et Rg = 50 W ; J𝑍1>?@A8J_BCD= 𝑅 ; générateur idéal si Rg << R ; 𝐻 =_+%!/0#⁺ passe-bas ; 𝜔1=_/0⁺ ; Ho = 0,995 ; 𝑌 =_/⁺

!+ 𝑗(𝐶 + 𝐶_-)𝜔 ; 𝜔_-=_//^/%/!

!(0%0_!). V Filtre de Colpitts

On considère le quadripôle ci-dessous. Il est utilisé en RSF en sortie ouverte.

1) Étudier qualitativement le comportement de ce quadripôle en basse fréquence et en haute fréquence.

De quel type de filtre s’agit-il ?

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2) La fonction de transfert s’écrit : 𝐻 =^E_E^%

&= ^F

+%!9:_$!^$2^$!_$;= ^!

'

($

$!

+2^$"

$!"%₍^)$

$!

Avec 𝐴 =⁺_G, 𝜔_-= ³

√.60 et 𝑄 =^/√.0_3√6.

Le diagramme de Bode a été relevé pour Q = 10 et f₀ = 1,0.10³ rad.s^-1 avec 𝑥 =_#^#

! :

Justifier l’allure des parties rectilignes.

3) Déduire du diagramme la valeur de la fréquence de résonance f_r ainsi que des fréquences de coupure f₁ et f₂. 4) Un circuit multiplieur fournit le signal d’entrée u_e(t) = 2B cos(w₃t) cos (w₄t) avec w₃ = 100 w₀ et w₄ = 101 w₀. Écrire u_e(t) sous la forme d’une somme de cosinus. En déduire le signal obtenu à la sortie de ce filtre.

Réponse : f_r = 1 kHz ; f₁ = 0,95 kHz et f₂ = 1,1 kHz ; 𝑢7(𝑡) =^H

G𝑐𝑜𝑠(𝜔-𝑡).

VI Filtre pour accéléromètre.

A. Présentation.

Les accéléromètres sont des composants électroniques conçus pour délivrer une tension u(t) proportionnelle à l’accélération a(t) qu’ils subissent. On peut en trouver dans de nombreux appareils, tels que les smartphones ou certaines manettes de jeu vidéo notamment.

La fonction de transfert T(jω) relie la tension u(t) délivrée par ce capteur à l’accélération a(t) et décrit sa réponse fréquentielle, à un facteur constant K près :

u = K. T(jω). a

Le facteur K traduit la conversion de l’accélération en une tension.

K a une valeur typique de 300 mV pour 1 g (1 g = 9,81 m.s^-2), en mesure statique, soit donc :

K = 3,06.10^-2 V.m^-1.s

²

^.

La courbe de gain correspondant à T(jω) présente l’allure ci-contre.

1) La réponse fréquentielle du capteur présente un phénomène de résonance. Pour quelle fréquence f_r a-t-elle lieu ? Quelle serait la valeur d’amplitude de tension U enregistrée pour une accélération d’amplitude A = 0,01 m.s^-2 qui serait appliquée à cette fréquence f_r au capteur ?

2) Ce phénomène posera-t-il problème dans les conditions usuelles d’utilisation ?

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B. Réduction du bruit thermique.

Le phénomène de bruit thermique consiste en l’existence de termes de tensions électriques parasites naissant au niveau des jonctions entre matériaux conducteurs, donc notamment au niveau des soudures reliant le composant au reste du circuit. Ces tensions sont de valeur aléatoire, fluctuant sur une faible amplitude avec une assez grande fréquence et viennent donc bruiter le signal censé être délivré par le capteur.

Le constructeur du composant accéléromètre précise dans sa notice que le bruit thermique a une valeur efficace dépendant de la bande passante d’utilisation du composant.

1) Rappeler la définition de la valeur efficace d’une grandeur variable v(t).

2) L’implantation du composant dans le circuit se réalise en plaçant en sortie un filtre passe-bas selon le schéma ci-dessous, où R_s est la résistance de sortie du capteur et C la capacité d’un condensateur connecté entre cette sortie et la masse de l’alimentation.

Déterminer l’expression de la fonction de transfert complexe H₁(jω) = u₁ / u reliant les tensions u(t) et u1(t) représentées par leurs grandeurs complexes associées u et u₁.

3) Définir, puis exprimer en fonction de R_S et C la fréquence de coupure du filtre de transfert H₁(jω). Calculer numériquement la fréquence de coupure f_c obtenue pour C = 3,0 nF, avec R_S = 32 kΩ.

4) La notice du constructeur précise que la valeur RMS du bruit thermique, répond à l’expression : 𝑉_/IJ= 𝑉_KLX1,6. 𝑓0

où la densité de bruit 𝑉_KL = 8,5𝜇𝑉. √𝐻𝑧²⁺ et où f_c représente la largeur de bande-passante imposée par l’implantation du capteur.

a) Évaluer un ordre de grandeur des fluctuations attendues pour la tension u1(t) liée au bruit thermique, avec une sortie de résistance R_S = 32 kΩ sur un condensateur de capacité C = 3,0 nF.

b) En déduire le niveau de précision attendu pour les mesures d’accélération fournies par le capteur lorsqu’il est utilisé selon l’implantation étudiée.

C. Suppression de la composante continue.

Les composants électroniques ont un comportement qui varie légèrement avec la température, ce qui fait que la plupart des appareils de mesure ont une légère composante continue, ou basse fréquence, qui ne reflète pas nécessairement le signal à étudier (ici l’accélération) mais traduit la dérive due aux effets thermiques.

L’échelle de temps typique pour ces variations indésirables est de l’ordre de 50 s au moins, soit des fréquences inférieures à 0,02 Hz.

Pour éliminer ce problème, on traite le signal en le faisant passer par un filtre de fréquence de coupure f_c de l’ordre de 1 Hz.

Accéléromètre

C u

1

(t)

u(t)

)

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1. On propose ci-dessus le tracé asymptotique des courbes de gain en diagramme de Bode relative à trois filtres (a), (b) et (c).

Lequel correspond le mieux à l’utilisation souhaitée ? Justifier.

2. On considère le signal représenté ci-dessous à gauche (signal d’entrée) appliqué en entrée des différents filtres ainsi que les trois signaux de sorties obtenus, dans le désordre.

On donne aussi les quatre spectres de pulsation correspondants à ces signaux (à nouveau dans le désordre).

Indiquer en expliquant brièvement votre choix, à quel signal (entrée, 1, 2 et 3) correspond quel spectre (α, β, γ, δ). On synthétisera ces choix dans un tableau, (qui servira aussi à la question suivante) :

o

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3. On considère toujours le signal d’entrée proposé ci-dessus. Indiquer, en expliquant brièvement votre choix, à quel signal de sortie (1, 2 et 3) correspond quel filtre (a, b et c). On rassemblera les réponses dans le tableau précédent.

4. On propose de réaliser le filtrage souhaité au moyen du dispositif ci-contre :

a) Déterminer l’expression de la fonction de transfert complexe reliant la tension de sortie u_s(t) à la tension d’entrée u(t) : H(jω) = u_s / u.

b) Calculer la valeur de capacité C à choisir pour obtenir une fréquence de coupure f_c = 1,00 Hz en employant une résistance R = 100 kΩ.

c) Dans ces conditions, quelle sera la valeur du gain en décibels pour une fréquence de 0,02 Hz ?

5. a) Le cahier des charges stipule que l’amplitude d’un signal de fréquence 0,01 Hz doit être atténuée d’un facteur 100 par rapport à celle d’un signal de fréquence 0,1 Hz. Le circuit précédent convient-il ?

b) On propose une fonction de transfert H_n(jω) correspondant à un filtre d’ordre n, de forme :

𝐻D(jω) = 𝐻_- 9𝑗 𝜔 𝜔0:^D 91 + 𝑗 𝜔

𝜔0:^D= 𝐻-

\𝑗𝑓 𝑓0]^D

\1 + 𝑗𝑓 𝑓0]^D

Pour le filtre choisi, f_c = 1,0 Hz. Déterminer l’ordre n convenable.

On pourra justifier en s’appuyant sur l’expression asymptotique de la fonction de transfert.

D. Mise en cascade.

On considère le montage représenté ci-dessous, appelé montage suiveur. Le composant représenté par un rectangle est un amplificateur linéaire intégré (A.L.I.) qui possède les propriétés suivantes :

- Les courants i+ et i- entrant respectivement dans les bornes notées (+) et (-) sont nuls ;

- les potentiels électriques V+ et V- des bornes (+) et (-) sont égaux, c’est à dire que la différence de potentiel entre les borne (+) et (-) est nulle ;

- le courant de sortie IS délivré par l’A.L.I. assure son fonctionnement et s’adapte pour que les conditions précédentes soient vérifiées.

1. Établir la fonction de transfert H_s = u_s1 / u_e1 du montage suiveur et vérifier qu’elle est indépendante de la fréquence.

Pourquoi le montage suiveur est-il nommé ainsi ?

2. En se référant aux propriétés énoncées quant aux courants d’entrée et de sortie de l’A.L.I., quel est l’intérêt du montage suiveur ?

R C

u

s

(t) u(t)

)

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3. On réalise le circuit ci-dessous. Déterminer sa fonction de transfert H(jω) = u_s / u. Conclure en relation avec la question 5. partie C.

Réponse : 20 kHz ; U = 7,7.10^-4V ; 𝐻₊=_+%!/0#⁺ ; 𝑓₀ =_34/0⁺ ; V_RMS = 0,44 mV ; Da = 1,5.10^-2 m.s^-2; filtre b ; entrée = g ; 1 = a = b ; 2 = d = a ; 3 = b = c ; 𝐻 =_+%!/0#^!/0# ; C = 1,59 µF ; - 34 dB ; n = 2 ; 𝐻J= 1 ; 𝐻 = 9_+%!/0#^!/0# :³.

VII Détecteur pyroélectrique

Bien que l’effet pyroélectrique soit connu depuis les travaux de Brewster (1824), il n’est exploité qu’à partir de 1970 pour équiper des capteurs très sensibles et très robustes de flux lumineux modulé (qui varie légèrement autour d’une valeur moyenne). Son principe de fonctionnement est détaillé ci-après.

Un flux lumineux (grandeur d’entrée) excite le matériau, un film très fin, ce qui modifie sa température. Or une température variable au sein de ce type de matériau produit un courant, dit de polarisation (effet pyroélectrique). Ce courant d’intensité i peut être considéré comme provenant d’un générateur de courant idéal en parallèle sur un condensateur de capacité C. Pour constituer le détecteur proprement dit, on lui associe en parallèle un résistor de résistance R très élevée et on détecte la tension à ses bornes (grandeur de sortie du dispositif). Ainsi, un flux lumineux présentant des variations, ici sinusoïdales, autour d’une valeur moyenne, force en cascade l’ensemble du système qui produit en sortie une tension sinusoïdale de même fréquence, et dont l’amplitude dépend de la fréquence du flux lumineux.

Les équations différentielles qui régissent les deux blocs du système, F₁ et F₂, sont les suivantes : 𝜏₊^MN_M$+ 𝜃 =₁^O*

+,𝜑_?(𝑡) (1)

𝑖(𝑡) = 𝑆_P^MN_M$ (2)

où * j_a(t) = ϕ_m.cos(ωt) donne les variations du flux lumineux autour de la valeur moyenne ϕ₀ ;

* θ(t) est la variation de température du film autour de sa valeur moyenne T₀ ;

* i(t) est l’intensité du courant de polarisation qui apparaît dans le film ;

* S est la surface du détecteur ;

* p est un coefficient caractéristique du matériau appelé paramètre pyroélectrique ;

* τ₁ est un temps caractéristique des échanges thermiques dans le matériau ;

* cth est la capacité thermique du film.

Le détecteur proprement dit, noté F3, correspond au circuit ci-dessous dans lequel l’entrée i(t) est le courant de polarisation et où l’on mesure la tension de sortie u(t).

R C R

u

s

(t) u(t)

)

R C

montage suiveur

i'

C R u (t)

i (t)

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* τ₃ = RC est le temps caractéristique (ou constante de temps) du détecteur.

Données : S = 4,00 mm² ; c_th = 3,10.10^-4 J.K^-1 ; p = 17,0.10^-5C.m².K^-1 ; R = 24,0.10⁹Ω ; τ₁ = 0,159 s ; τ₃ = 1,49 s.

1) En utilisant la notation complexe habituelle pour toutes les grandeurs variables de façon sinusoïdale dans le temps, établir les équations complexes (1’) et (2’) associées aux équations différentielles (1) et (2) reliant les grandeurs ja(t), θ(t) et i(t).

2) Établir l’expression de la fonction de transfert H3 du détecteur F3 reliant u(t) à i(t) dans laquelle on introduira τ3 = RC le temps caractéristique du détecteur. Quelle est la nature de ce filtre (on pourra utiliser une forme canonique si on le souhaite) ? 3) Montrer que l’ensemble du système peut être considéré comme la mise en cascade de trois filtres successifs F₁, F₂ et F₃. On

précisera pour chacun les grandeurs d’entrée et de sortie sur un « schéma-bloc » du dispositif.

4) Exprimer la fonction de transfert H1 de F1 à l’aide de l’équation (1’) et déterminer la nature de ce filtre (on pourra utiliser une forme canonique si on le souhaite).

5) Exprimer la fonction de transfert H₂ de

F

2 à l’aide de l’équation (2’) et déterminer la nature de ce filtre (on pourra utiliser une forme canonique si on le souhaite).

6) A l’aide des résultats précédents, établir la fonction de transfert H de l’ensemble du dispositif et montrer qu’elle se met sous la forme (A) qui conduit à la forme canonique (B) :

𝐻 =_&^E

-=^/PJ₁

+, O_* O_*%O_.

+

*

)$(0*10.)%+%_(0*10.)^)$0*0. (A) 𝐻 = ^*!

+%!9:Q2^*₃; (B) avec 𝑥 =_#^#

!=₌⁼

!

où f est la fréquence de modulation du flux lumineux.

Exprimer H0, f0 et Q en fonction des paramètres du problème. Quelle est la nature du filtre complet ? Justifier.

7) On donne ci-dessous la courbe de gain du diagramme de Bode fournie par le fabricant. Quelle fréquence donne la réponse maximale ? Comparer à la valeur attendue d’après le modèle. Déterminer H₀ et comparer à la valeur attendue.

8) Tracer les asymptotes et déterminer leur pente. Comparer à la valeur attendue. En utilisant l’intersection des asymptotes, déterminer graphiquement le facteur de qualité et comparer à la valeur attendue. Commenter.

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Réponse du capteur pyroélectrique pour une amplitude du flux lumineux ϕm = 1 µW En abscisse logarithmique : fréquence f de modulation du flux lumineux

En ordonnée logarithmique : J𝐻J Réponse : 𝑗𝜔𝜏₊𝜃 + 𝜃 =₁^O*

+,𝜑_? et 𝑖 = 𝑗𝑆𝑝𝜔𝜃 ; 𝐻_.=_+%!/0#^/ ; 𝐻_-=^/JP₁

+, O_*

O_*%O_. ; 𝑄 =^RO_O ^*O.

*%O_. ; 𝜔_-= ⁺

RO_*O_. ; (𝑓_-)_8QP= 0,30 𝐻𝑧 ; (𝑓_-)_$>= 0,33 𝐻𝑧; (𝐻_-)_8QP = 5,0. 10^.; (𝐻_-)_$>= 5,1. 10^.; (𝐻_-)_8QP= 5,0. 10^.; (𝑝𝑒𝑛𝑡𝑒)_8QP= ±19,7 𝑑𝐵/𝑑é𝑐𝑎𝑑𝑒;

(𝑝𝑒𝑛𝑡𝑒)_$>= ±20 𝑑𝐵/𝑑é𝑐𝑎𝑑𝑒; (𝑄)_8Q= 0,50 ; (𝑄)_$>= 0,30.

VIII Accordeur de guitare

Nous allons étudier quelques aspects d’un accordeur de guitare. La problématique est la suivante.

— La guitare comporte six cordes : Mi grave, La, Ré, Sol, Si, Mi aigu.

— Les fréquences fondamentales théoriques de vibration de ces cordes, notées 𝑓𝑎𝑐 sont données dans le tableau 1.

Corde Fréquence (f_ac) en Hz

Mi grave 82,4

La 110,0

Ré 146,8

Sol 196

Si 246,9

Mi aigu 329,6

Tableau 1 Fréquences fondamentales de vibration des cordes de guitare

— On souhaite accorder une corde légèrement désaccordée : on notera 𝑓𝑐𝑜 la fréquence fondamentale de vibration de la corde en question.

Principe de l’accordeur

— Sélection de la corde à accorder (donc 𝑓𝑎𝑐 est fixée).

— Création d’un signal carré de référence de fréquence 𝑓𝑎𝑐 avec un oscillateur de type astable.

— Enregistrement du signal 𝑢𝑒(𝑡) provenant de l’excitation de la corde à accorder : signal quelconque, d’amplitude assez faible, de fréquence 𝑓𝑐𝑜.

— Amplification et filtrage de ce signal.

— Extraction de la fondamentale du signal : obtention d’un signal sinusoïdal de fréquence 𝑓𝑐𝑜 par l’utilisation d’un filtre à fréquence caractéristique réglable par le signal extérieur de référence.

— Mise en forme de ce signal : obtention d’un signal carré de fréquence 𝑓𝑐𝑜.

— On a donc à disposition deux signaux carrés (signaux logiques) de fréquences respectives 𝑓𝑎𝑐 et 𝑓𝑐𝑜. Dans les accordeurs récents le traitement est numérique : les signaux sont envoyés dans un calculateur numérique intégré qui calcule l’écart de fréquence et indique à l’utilisateur quand la corde est accordée, c’est-à-dire quand 𝑓𝑐𝑜 = 𝑓𝑎𝑐.

Ce principe général est schématisé sur la figure 1.

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Figure 1 Principe de fonctionnement de l’accordeur de guitare Ce problème s’intéresse au traitement du signal venant de la corde.

I.A – Le signal

La figure 2 montre un exemple de signal électrique à la sortie du micro d’une guitare électrique.

Figure 2 Signal de la guitare Q 1. Donner une valeur approchée de la valeur moyenne de ce signal.

Q 2. Donner une estimation de la valeur de la fréquence de ce signal (on peut supposer qu’en première approximation le signal est périodique).

Q 3. De quelle corde de guitare s’agit-il ?

Q 4. L’analyse spectrale de ce signal fera-t-elle apparaitre des harmoniques ? Justifier.

I.B – Premier filtre

Avant toute chose, le signal électrique provenant du micro de la guitare est envoyé sur le filtre de la figure 3 (filtre (𝐹𝑎)).

Q 5. En supposant l’entrée sinusoïdale, définir et exprimer la fonction de transfert 𝐻1(𝑗𝜔) de ce filtre en fonction de 𝑅₁, 𝐶₁ et de la pulsation 𝜔 du signal.

Q 6. De quel type de filtre s’agit-il ? Faire apparaître une pulsation caractéristique 𝜔₁ en fonction de 𝑅1 et 𝐶1 et préciser sa signification.

Q 7. Tracer sans calcul l’allure du diagramme de Bode asymptotique relatif au gain.

Q 8. On a choisi 𝑅1 = 100 kΩ et 𝐶1 = 100 nF. Calculer la fréquence de coupure 𝑓1 à −3 dB de ce filtre. Au vu de l’allure du signal de la figure 2, quel est le rôle de ce premier filtre ? I.C – Deuxième filtre

Dans cette sous-partie, les signaux sont sinusoïdaux et les amplificateurs linéaires intégrés (ALI) sont supposés idéaux et fonctionnent en régime linéaire. On rappelle qu’alors les courants d’entrée sont nuls (i₊ = i_- = 0) et que les potentiels des deux entrées sont égaux (V+ = V- = 0).

I.C.1) Préambule

Soit le filtre de la figure 4(a).

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Figure 4 Deux filtres

Q 9. Montrer que sa fonction de transfert 𝐻 s’écrit en fonction de 𝑍 et 𝑍′ sous la forme : 𝐻 = 1 +^ST_S.

On remarquera qu’écrire l'égalité des potentiels sur les entrées non inverseuse et inverseuse (V₊ = V_-) permet d'en déduire une relation entre la tension d'entrée et la tension de sortie du montage.

Q 10. Que devient 𝐻 si 𝑍 et 𝑍′ sont des résistances (𝑍 = 𝑅, 𝑍′ = 𝑅′) ? Quel est, dans ce cas, l’intérêt du montage ?

I.C.2) Amplification (légèrement) sélective

En sortie du filtre de la figure 3 le signal 𝑢1(𝑡) est envoyé sur le filtre de la figure 4(b) (filtre (𝐹𝑏)).

Q 11. Quelle est l’impédance 𝑍eq de la branche constituée par 𝑅2 en parallèle avec 𝐶2 ?

Q 12. Déduire de la question 9 l’expression de la fonction de transfert 𝐻₂ de ce filtre en fonction de 𝑅₂, 𝑅₃ et 𝐶₂. Q 13. Mettre 𝐻₂ sous la forme 𝐻₃= 1 +_+%!^U!$

$"

et donner les expressions de 𝐺₀ et 𝜔₂. Q 14. Quelle est la limite de ∣𝐻₂∣ en basse fréquence ? en haute fréquence ?

Q 15. Calculer numériquement la fréquence caractéristique 𝑓₂ correspondant à 𝜔₂ si 𝑅₂ = 680 kΩ, 𝑅₃ = 6,00 kΩ et 𝐶₂ = 470 pF ainsi que son gain 𝐺₀. Expliquer quel est le rôle de ce second filtre.

I.D – Filtrage (très) sélectif commandé

On souhaite maintenant sélectionner la fréquence fondamentale 𝑓𝑐𝑜 du signal 𝑢₂, dont la valeur est à priori voisine de celle de la fréquence fondamentale théorique de vibration de la corde sélectionnée sur l’accordeur (𝑓𝑎𝑐) (on suppose que la corde est légèrement désaccordée). On suppose pour la suite que c’est la corde Mi aigu que l’on souhaite accorder.

Le principe du filtre (𝐹𝑐) est que sa fréquence caractéristique soit réglée par le signal de référence de fréquence 𝑓𝑎𝑐. Ce type de commande (à capacité commutée) sera précisé dans la sous-partie I.E.

I.D.1) Diagramme de Bode

La figure 5 représente le diagramme de Bode relatif au gain du filtre (𝐹𝑐) tracé à deux échelles différentes.

Figure 5 Diagramme de Bode en gain du filtre (𝐹𝑐)

Q 16. Dire, en le justifiant rapidement, de quel type de filtre il s’agit. Quelle est sa fréquence centrale caractéristique ? Q 17. Donner une estimation de sa bande-passante à −3 dB après l’avoir définie.

Q 18. Si la corde est désaccordée à 𝑓𝑐𝑜 = 315 Hz, estimer, en le justifiant, de quel facteur est atténuée sa composante spectrale fondamentale en sortie de ce filtre.

2021 – 2022 13/22

I.D.2) Analyse spectrale

La figure 6 correspond au spectre du signal d’entrée 𝑢𝑒 représenté sur la figure 2.

Q 19. Justifier qu’il est parfaitement cohérent qu’il s’agisse du spectre du signal de la figure 2.

Q 20. En le justifiant soigneusement, dire quel spectre de la figure 7 correspond à la sortie du premier filtre (𝐹𝑎).

Q 21. Même question, pour la sortie du filtre (𝐹𝑏).

Q 22. Tracer l’allure du spectre du signal en sortie du filtre (𝐹𝑐). Tracer l’allure du signal (temporel) correspondant.

Figure 6 Spectre du signal d’entrée

Figure 7 Spectres

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I.E – Retour sur le filtre sélectif commandé

Regardons plus en détails la manière de fabriquer le filtre (𝐹𝑐) dont la fréquence centrale est commandée par un signal carré externe.

On utilise pour cela un filtre à capacité commutée.

I.E.1) Capacité commutée

Soit un condensateur de capacité 𝐶 aux bornes duquel on applique une tension 𝑢𝐶.

Q 23. Rappeler l’expression de la charge 𝑞 transférée au condensateur en fonction de 𝐶 et 𝑢𝑐. On précisera, à l’aide d’un schéma, les conventions utilisées.

On monte maintenant le condensateur de capacité 𝐶𝑘 entre deux interrupteurs commandés notés 𝐾𝐴 et 𝐾𝐵, comme l’indique la figure 8.

Figure 8 Capacité commutée On fait les hypothèses suivantes.

— Les interrupteurs sont idéaux (d’impédance infinie quand ils sont ouverts et nulle quand ils sont fermés).

— Ils sont toujours dans des états complémentaires : si 𝐾𝐴 est ouvert, alors 𝐾𝐵 est fermé, et inversement.

— Ils sont commandés de manière périodique par un signal extérieur (signal 𝑢_ref carré périodique de fréquence 𝑓𝑘 (période 𝑇𝑘)) de telle sorte que :

• sur l’intervalle [0, 𝑇𝑘/2] : 𝐾𝐴 est fermé et 𝐾𝐵 ouvert ;

• sur l’intervalle [𝑇𝑘/2, 𝑇𝑘] : 𝐾𝐴 est ouvert et 𝐾𝐵 fermé.

— Les condensateurs ont le temps de se charger/décharger sur chaque intervalle de temps.

— La période 𝑇𝑘 est faible devant tous les autres temps caractéristiques.

Q 24. Donner les expressions de 𝑞₁ et 𝑞₂, les charges portées par l’armature du condensateur reliée directement au point 𝐵 respectivement sur l’intervalle [0, 𝑇𝑘/2] et [𝑇𝑘/2, 𝑇𝑘]. On précisera les conventions utilisées.

On en déduit 𝛿𝑞 = 𝑞₁ – 𝑞₂ la charge transférée de l’entrée vers la sortie en une période.

Q 25. À quoi est alors égale la charge totale 𝑄 transférée de l’entrée vers la sortie en un temps 𝑡 ≫ 𝑇𝑘 ?

Q 26. En déduire l’expression de l’intensité moyenne 𝐼𝑚 associée à ce transfert en fonction de 𝑉𝐴, 𝑉𝐵, 𝐶𝑘 et 𝑓𝑘.

Q 27. Pourquoi peut-on en conclure que ce dipôle 𝐴𝐵 se comporte comme une résistance 𝑅𝑘 ? Donner l’expression de cette résistance en fonction de 𝑓𝑘 et 𝐶𝑘.

La capacité commutée se comporte donc comme une résistance 𝑅𝑘 dont la valeur est commandée par un signal extérieur et plus exactement par la fréquence 𝑓𝑘 de ce signal.

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I.E.2) Filtre à capacité commutée

Q 28. Expliquer qualitativement comment utiliser cette capacité commutée pour créer des filtres dont la fréquence caractéristique est réglée par le signal de référence 𝑢ref et, en particulier, un filtre du type recherché pour (𝐹𝑐).

Réponse : 10 mV ; 330 Hz ; Mi aigu ; 𝐻+= ⁺

+% ^* 45*6*$

passe-haut de pulsation de coupure à – 3 dB : 𝜔+=_/⁺

*0_* ; f1 = 15,9 Hz ; G0 = R2/R3 et 𝜔3=_/⁺

"0_" ; G0 = 113 et f2 = 498 Hz ; passe-bande de fréquence de résonance 330 Hz et de bande passante 17 Hz ;

f_C0 atténuée d’un facteur 2 ; sortie de (F_a) : a ; sortie de (F_b) : d ; sortie de (Fc) : sinus d’amplitude 900 m et de fréquence 315 Hz ; 𝑅V=₀⁺

7=₇.

IX Utilisations d’un matériau piézoélectrique

Les matériaux piézoélectriques ont la capacité de voir apparaitre une différence de potentiel entre leurs faces lorsqu’on exerce sur elles une contrainte (effet direct) mais également de pouvoir se déformer sous l’action d’une différence de potentiel imposée (effet inverse), ce qui en fait des matériaux très intéressants sur le plan des applications. On propose ici d’étudier différentes utilisations de ces matériaux.

Les quatre parties de ce problème sont indépendantes.

Partie A - Utilisation en capteur de forces

Mesure de l’intensité d’une force s’exerçant sur une lame piézoélectrique

On suppose qu’une force 𝐹

!⃗

régulièrement répartie est exercée sur la face de la lame, celle-ci entrainant l’apparition d’une tension Ve à ses bornes et de deux charges opposées +q et -q sur les faces de la lame. La charge q est liée à Ve ainsi qu’à la force 𝐹

!⃗

exercée de sorte que q = C.V_e = K.F où C, K et F représentent respectivement une capacité, une constante de proportionnalité et l’intensité de la force F.

On utilise pour amplifier V_e le montage de la figure 1 qui contient un amplificateur linéaire intégré (ALI) supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire.

Figure 1

1) Après avoir rappelé le modèle de l’amplificateur linéaire intégré, montrer que la tension V_e s’exprime en fonction de e1, Vs et des résistances R₂ et R₃ par la relation : 𝑉_𝑒 =^{𝑅2𝑒1+𝑅3𝑉𝑠}

𝑅₂+𝑅₃ . Application numérique

2) On donne : R2 = 6,5 kΩ, R3 = 1,0 kΩ et e1 = 100 mV. On mesure Vs = 6,50 V, en déduire Ve.

3) Sachant que C = 8,0.10^-13 F et que K = 1,0.10^-12 C.N^-1, déterminer l’intensité de la force F s’exerçant sur la lame.

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Mesure de la fréquence d’une force excitatrice sinusoïdale s’exerçant sur une lame

On considère que la lame est soumise à une action mécanique variant sinusoïdalement dans le temps à la fréquence f, fréquence que l’on se propose de déterminer à l’aide du montage de la figure 2.

Figure 2

4) Déterminer l’expression de la fonction de transfert du filtre de la figure 2 et la mettre sous la forme : 𝐻

(

𝑗𝜔

)

= − 𝐴

1 + 𝑗

%

_𝜔^𝜔

1−𝜔₂ 𝜔

&

en précisant les expressions de A, w1 et w2 en fonction de R1, R2, C1 et C2.

5) Indiquer quelle est la nature de ce filtre en justifiant à partir d’une étude de H(jw) en basse fréquence et en haute fréquence.

6) Montrer que le gain passe par un maximum pour une pulsation w_r que l’on exprimera en fonction de w1 et w2. On ajuste à présent la résistance R1 de manière à ce que les signaux d’entrée et de sortie soient en opposition de phase.

7) Comment peut-on vérifier expérimentalement que les deux signaux sont en opposition de phase ? Indiquer quel matériel peut être utilisé pour cette opération et comment le relier au montage.

8) Déterminer la fréquence f_r de la contrainte s’exerçant sur la lame.

Calculer sa valeur numérique sachant que R2 = 1,0.10² kΩ, C1 = 50 nF, C2 = 5,0 nF et qu’il a fallu régler R1 à 10 kΩ de manière à ce que les deux signaux soient en opposition de phase.

Partie B - Utilisation d’un matériau piézoélectrique dans un airbag

On se propose dans cette partie d’analyser le principe de détection d’un choc, conduisant au gonflage d’un airbag, à l’aide d’un matériau piézoélectrique.

Principe d’un accéléromètre

On considère une masse m susceptible de se déplacer par rapport à une voiture ; lors d’une phase de freinage, le référentiel lié à la voiture est non galiléen. L’ensemble est modélisé en figure 3.

Figure 3

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La masse m se déplace horizontalement et sans frottement solide sur un support lié à la voiture. Le ressort a pour constante de raideur k et pour longueur à vide L0. L’amortisseur exerce une force de frottement fluide sur la masse, son expression étant 𝑓

⃗

_{= −𝛼𝑉}

!⃗

où 𝑉

!⃗

représente la vitesse de la masse dans le référentiel lié à la voiture.

Le vecteur unitaire de l’axe des x, orienté dans le sens des x positifs, est noté 𝑢

!⃗

_𝑥. Le référentiel lié à la voiture est animé de l’accélération 𝑎

⃗

= −𝑎𝑢

!⃗

_𝑥 avec a > 0 par rapport au référentiel terrestre considéré quant à lui comme galiléen.

9) Effectuer le bilan des différentes forces s’exerçant sur la masse m. Pour tenir compte du caractère non galiléen du référentiel lié à la voiture, on admet que, dans l’application du principe fondamental de la dynamique dans le référentiel lié à la voiture, il est nécessaire d’introduire une force supplémentaire, nommée force d’inertie d’entrainement, d’expression 𝑚𝑎𝑢‚⃗_Q.

10) En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel lié à la voiture, montrer que l’équation différentielle du mouvement en X(t) = x(t) – L₀ peut être mise sous la forme

𝑑²𝑋 𝑑𝑡² +𝜔₀

𝑄 𝑑𝑋

𝑑𝑡+ 𝜔₀²𝑋 = 𝑎 en exprimant Q et w0 en fonction de m, k et a.

Résolution

On suppose que la phase de freinage commence à t = 0 et on note t0 l’instant correspondant à l’arrêt complet de la voiture. On suppose qu’avant la phase de freinage, le ressort a une longueur égale à L0.

11) Quelle est l’expression de X(t) pour t < 0 ?

12) On s’intéresse au cas où le facteur de qualité Q est égal à 1/2. Indiquer en justifiant à quel type de régime cela correspond-t-il ? Représenter l’allure des variations de X(t) pour tout t, en supposant que le régime permanent a le temps de s’établir entre t = 0 et t0. On précisera en particulier une durée caractéristique d’accès de X(t) au régime permanent, l’expression approchée de X(t) à t = t0 ainsi que sa valeur si t tend vers l’infini (mais le calcul complet de X(t) n’est en aucun cas demandé).

Utilisation du matériau piézoélectrique

L’idée générale est que le matériau doit permettre la mesure de l’accélération d’une voiture qui va, au cours d’un choc, varier brutalement. On ne considèrera dans cette partie qu’un mouvement de translation rectiligne de la voiture.

Figure 4

Lors d’une variation de vitesse de la voiture, la masse mobile, soumise à la force d’inertie d’entrainement, va plus ou moins comprimer le cristal entrainant l’apparition d’une différence de potentiel entre ses deux faces.

Le problème est de différencier un freinage brutal d’un choc. On va considérer deux cas avec l’hypothèse simplificatrice consistant à considérer que l’accélération de la voiture reste constante jusqu’à son arrêt complet.

Cas numéro 1 : Freinage brutal

La voiture roule à vitesse constante V = 90 km⋅h^–1 soit 25 m⋅s⁻¹. On suppose que la voiture s’arrête totalement après Dt = 2,5 s.

13) Calculer la valeur numérique de l’accélération moyenne a_m durant la phase d’arrêt de la voiture.

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Cas numéro 2 : Arrêt suite à un choc

On néglige la déformation de la voiture de sorte que l’ensemble de celui-ci est animé de la même vitesse par rapport au sol à un instant donné. La voiture roule à la vitesse constante V = 90 km⋅h^–1 et on suppose qu’elle s’arrête totalement en Dt = 0,15 s.

14) Calculer la valeur numérique de l’accélération moyenne durant la phase d’arrêt de la voiture.

Le cristal de quartz utilisé a pour masse m = 2,81 g. Il est caractérisé par la quantité c correspondant au rapport entre la tension apparaissant à ses bornes et l’intensité de la force à laquelle il est soumis. On donne ici : c = 6,0 V⋅N^–1.

15) Déterminer, dans les deux cas précédents, la valeur numérique de l’intensité de la force d’inertie d’entrainement.

16) Déterminer, dans les deux cas précédents, la valeur numérique de la différence de potentiel U qui apparait aux bornes du cristal de quartz. La différence vous semble-t-elle décelable ?

17) Les variations de la tension aux bornes de la lame sont analogues à celles de X(t) obtenues à la question 12), le facteur de qualité étant égal à 1/2. Justifier le choix de ce coefficient et préciser quel serait le problème si le régime permanent n’était pas atteint entre t = 0 et t₀.

Détecteur de tension

On dispose d’une diode électroluminescente (LED). On désire réaliser un dispositif qui permettrait de faire briller la LED lorsque la tension aux bornes du quartz devient supérieure à une valeur limite, cette dernière permettant de différencier le cas d’un freinage brusque d’un choc.

La LED a une tension à ses bornes égale à Ud = 1,9 V lorsqu’elle éclaire. On supposera de plus que sa résistance interne est négligeable. On donne ci-dessous son symbole et sa caractéristique, en convention récepteur.

On dispose de plus d’un comparateur, réalisé à l’aide d’un ALI (amplificateur linéaire intégré), dans lequel il n’entre aucun courant et pour lequel Vs = + 15 V si e > 0 et Vs = -15 V si e < 0.

Figure 5 18) Expliquer le fonctionnement du montage de la figure 5.

En utilisant les résultats de la question 16), indiquer comment choisir la valeur de V_ref ?

Lame Vref

R V_s Comparateur e

0 0

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Partie C - Microgénérateur piézoélectrique

Un élément piézoélectrique est collé à une « poutre », qui se met en mouvement sous l’effet de vibrations extérieures. L’élément piézoélectrique transforme l’énergie récupérée en énergie électrique, ce qui constitue une source autonome de puissance.

Figure 6

On appelle 𝐹

!⃗

_𝐸 la force excitatrice ambiante, supposée sinusoïdale : 𝐹

!⃗

_𝐸= 𝐹_𝐸𝑢

!⃗

𝑧 = 𝐹₀𝑐𝑜𝑠

(

𝜔𝑡

)

𝑢

!⃗

𝑧. On travaille dans un référentiel terrestre. On se place en régime sinusoïdal forcé.

Le déplacement vertical du centre d’inertie de la poutre peut être modélisé par l’équation mécanique 𝑀𝑑³𝑧

𝑑𝑡³+ 𝛼𝑑𝑧

𝑑𝑡+ 𝑘𝑧 = 𝐹)

19) Que représente le terme 𝑀^M_M$^"a_" ?

20) Indiquer à quel type de forces correspondent −𝑘𝑧 et −𝛼^Ma_M$ (expliquer qualitativement quelles caractéristiques de la poutre sont modélisées par ces forces).

21) On pose z(t) = Re (Z_m eⁱwt). Exprimer Zm, amplitude complexe de la vibration mécanique suivant l’axe vertical (𝑂𝑧).

Dans toute la suite de cette partie C on se place à la pulsation 𝝎_𝟎 =

'

^𝒌

𝑴. 22) Décrire, à cette pulsation, le mouvement du centre d’inertie de la poutre.

23) Déduire de ce qui précède l’expression de la vitesse de déplacement vertical vz du centre d’inertie de la poutre en fonction de F0, a, w0 et du temps.

La partie électrique du dispositif peut être modélisée de la façon suivante : une source de courant d’intensité b.vz est disposée en parallèle avec un condensateur de capacité C0 et une résistance d’utilisation R. Soit V la tension aux bornes de R. On veut montrer que la puissance moyenne récupérée par le dipôle d’utilisation est proportionnelle au carré de F0.

Figure 7 24) Que représente la capacité C0 ?

25) b est appelé facteur de force : c’est le rapport entre la force F_E appliquée à la lame piézoélectrique et la tension V aux bornes de celle-ci. Montrer que b.vz est homogène à l’intensité d’un courant électrique.

26) Exprimer Vm, amplitude complexe de la tension aux bornes de la résistance R d’utilisation en fonction de a, b, F0, R, C0 et w0.

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27) En déduire l’expression de la puissance moyenne récupérée 𝑃 =^e_3/^<" par la résistance R d’utilisation.

Partie D – Oscillateurs

On s’intéresse ici aux dispositifs résonateurs ou oscillateurs : ils sont capables de générer des oscillations à une fréquence qui leur est propre.

Dans le circuit électrique d’oscillation est ajouté une « contre-réaction » ; on va s’intéresser, dans un premier temps, au rôle de la contre-réaction. Le circuit étudié est représenté figure 8.

Figure 8

Le schéma du circuit peut prendre la forme de deux quadripôles de fonctions de transfert respectives H(jw) et K(jw) (définies comme le rapport des amplitudes complexes de la tension de sortie sur la tension d’entrée).

Donner les relations faisant intervenir les fonctions de transfert : 28) entre vs et ve ;

29) entre vs, ve et v₁.

30) En déduire la fonction de transfert globale du montage A(jw) = v_s/v₁ en fonction de H(jw) et K(jw).

À fréquence non nulle, l’ensemble représenté peut constituer un oscillateur si la tension de sortie est non nulle alors que la tension d’entrée est nulle. En effet, le montage est alors capable de générer seul des oscillations.

31) Montrer que la relation H(jw).K(jw) = -1 permet d’avoir un oscillateur.

En déduire deux relations :

32) entre les gains

(

𝐻

(

𝑗𝜔

)(

et

(

𝐾

(

𝑗𝜔

)(

notée relation (R₁) ; 33) entre les phases arg (H(jw)) et arg (K(jw)) notée relation (R₂).

Dans cette sous-partie, on étudie le filtre de Wien, dont on va voir après qu’il peut servir dans un montage oscillateur.

Le filtre utilisé en sortie ouverte est constitué de deux condensateurs identiques de capacités C et de deux conducteurs ohmiques identiques de résistances R. Le circuit correspondant est représenté sur la figure 9.

Figure 9

34) Déterminer la nature du filtre en utilisant des modèles BF et HF des composants.

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35) Montrer que la fonction de transfert K(jw) = u_s/u_e de ce filtre s’écrit : 𝐾

(

𝑗𝜔

)

= ¹

3+𝑗!𝑥−¹

𝑥" où x = RCw est la pulsation réduite.

Donner l’expression de la pulsation de résonance en fonction de R et de C. Que vaut le gain K à la résonance ?

36) On donne ci-dessous la courbe de gain du diagramme de Bode K(x) en échelles logarithmiques puis en échelles linéaires.

Déterminer :

* la pente de l’asymptote en haute fréquence en dB/décade (on précisera les points utilisés) ;

* le facteur de qualité Q = 1/Dx où Dx est la largeur de la bande passante à – 3 dB exprimée en pulsation réduite.

Le filtre de Wien est inséré dans un montage de la figure 10.

Figure 10

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On choisit de se placer à la pulsation 𝜔₀ = ¹

𝑅𝐶. Les notations employées ici sont volontairement similaires à celles de la figure 8.

37) Exprimer, uniquement en fonction de R, l’impédance complexe Z₁ de la branche où R et C sont en série.

38) Même question pour l’association de R et C en parallèle d’impédance Z2. 39) Que vaut le rapport

)

^𝑣

𝑣_𝑠

)

? Commenter par rapport au résultat de la question 35).

40) Exprimer la différence de potentiel v en fonction de ve, vs, R1 et R2. On rappelle que v_e = v₁ – v.

41) Déterminer l’expression de la fonction de transfert H(jw₀).

42) Donner la relation entre R1 et de R2 permettant à ce montage de fonctionner comme oscillateur.

De facteur de qualité beaucoup plus élevé, et donc de fréquence d’oscillation beaucoup plus précise que les oscillateurs électriques, une lame de quartz peut être utilisée à la place du filtre de Wien pour obtenir une résonance très aigue.

On donne fréquemment pour le quartz le modèle électrique de la figure 11 qui résume assez bien son comportement.

Figure 11

43) Étudier le comportement asymptotique du modèle : il s’agit, qualitativement, de trouver une représentation simplifiée du quartz pour les cas w → 0 et w → ∞ en examinant la valeur prise par son impédance Z_AB.

La courbe de la figure 12 représente l’allure de la partie imaginaire de l’impédance équivalente du modèle électrique du quartz : Im(ZAB) en fonction de la fréquence lorsque la résistance 𝑅 est négligeable.

Figure 12

44) Déterminer, en fonction de L, C et C₀, les pulsations remarquables pour R = 0 : pulsation wR de résonance lorsque Im(ZAB) est minimale, ici nulle, et pulsation wAR d’antirésonance lorsque Im(Z_AB) devient maximale, ici infinie.

45) Dans quel(s) intervalle(s) peut-on dire que le comportement du quartz est capacitif ? Réponse : 𝐴 =_5*⁺

5"%^6"

6*

; 𝜔+=^/_/^*0*%/"0"

*0_*/_"0_" ; 𝜔+=_/ ⁺

*0_*%/_"0_" ; 𝜔@= √𝜔+𝜔3 ; 𝜔-= H_B^V et 𝑄 =_k⁺√𝑘𝑚 ; 𝑋(𝑡 < 0) = 0 ; régime apériodique critique ; 𝑋(𝑡_-) =^B?_V ; 𝑋(∞) = 0 ; 0,17 V < V_ref < 2,8 V ; 𝑍_B=_V2I#^l_"^!_%!k# ; 𝑣_a=^l_k^!𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 ; 𝑉_B=_k(+%!/0^m/l!

!#_!) ; 𝑃 =_3k"[+%(/0^m"/

!#_!)^"]𝐹_-³ ; 𝑣₇= 𝐻𝑣₈ ; 𝑣₊− 𝑣₈= 𝐾𝑣₇ ; 𝐴 =_+%p*^* ; 𝐾𝐻 = −1 ; KH = 1 et arg(K) + arg (H) = p ; 𝜔_@87 =_/0⁺ ; 𝐾_@87=⁺_. ; - 20 dB/décade ; Q = 1/3 ; 𝑍₊= 𝑅(1 − 𝑗) ; 𝑍₃=_+%!^/ ; ˜_q^q

%˜ =⁺_. ; 𝑣 = 𝑣₇+^/_/^"

*𝑣₈ ; 𝐻 = −^.₃^/_/^"

* ; R₂ = 2 R1 ; 𝜔_/= ⁺

√60 ; 𝜔_F/= H^0%0₆₀₀^!

!.