On se placera en régime sinusoïdal établi dans l’ARQS.
On cherchera à utiliser de préférence les associations d’impédances, les montages en pont divi- seurs.
Exercices d’application : Circuit bouchon, filtre RC chargé, équation différentielle Culture en sciences physiques : filtre chargé, construction de filtres, opération ma-
thématique, analyse spectrale,filtrage et spectre
Corrigés en TD : filtre chargé, construction, bouchon, opération mathématique, ana- lyse spectrale
Exercice 1 : Filtre RC chargé
On considère le filtre RC passe-bas vu en cours. La résistanceRest variable et la capacité vautC=10 nF.
1. Tracer son diagramme de Bode (on noteraωc= RC1 ).
2. On choisitR=3 kΩ. Déterminer la bande passante à−3 dB du filtre.
3. Ce filtre est chargé par une résistanceRcbranchée aux bornes du condensateur, modélisant l’utilisation d’un filtre passe-bas RC en sortie non-ouverte.
(a) Quel est l’effet de cette charge sur le gain maximal, sur la bande passante du filtre et sur le produit gain maximal×bande passante ?
(b) On choisitRc = 2R=6 kΩ. Déterminer le gain maximal (en dB) et la bande passante à−3 dB de ce filtre chargé.
Exercice 2 : Construction de filtres
1. (a) Construire un filtre passe-bas d’ordre 1 de fréquence de coupurefc =1,5 kHz et d’impédance d’entrée 1 kΩ en bande passante, à l’aide d’une résistance et d’une bobine.
(b) Tracer son diagramme de Bode asymptotique.
2. Mêmes questions pour un filtre passe-bande d’ordre 2 réalisé avec un condensateur, une bobine et un résistor, de bande passante à -3 dB[20 Hz,20 kHz]et d’impédance d’entrée à résonance de 1 kΩ.
Exercice 3 : Circuit bouchon
On utilise un circuit RLC en filtre comme indiqué sur la figure ci-contre. La sortie est ouverte.
1. Déterminer sans calculs les régimes asymptotiques de ce quadripôle. En déduire la nature du filtre qu’il réalise.
2. Déterminer sa fonction de transfert. On la mettre sous la forme :
H= 1
1 +jQ(u−1/u),
en utilisant la pulsation réduiteu=ω/ω0, après avoir intro- duit une pulsation caractéristiqueω0et un facteur de qualité Q.
I
eR
C L U
sI
s= 0
U
e3. (a) Déterminer les pulsations de coupureωc1etωc2à−3 dB et la bande passanteωc2−ωc1. (b) Déterminer les équations des asymptotes (on utiliserax=logy) et tracer le diagramme de Bode
pourQ= 5etQ=12. On calculera en particulier la valeur du gain en dB à la pulsationω0. (c) Comment choisirQpour que ce filtre ne transmette que les fréquences proches deω0? Comparer
la variation deQavecRau cas du passe-bande du RLC série.
Exercice 4 : Opération mathématique
Proposer un quadripôle permettant de réaliser l’opération représentée sur la figure ci-dessous. L’entrée est sur la voie 1 (CH1), la sortie sur la voie 2 (CH2). On précisera la nature de l’opération mathématique réalisée et on justifiera que la filtre choisi non seulement réalise l’opération voulue mais donne aussi l’amplitude du signal de sortie.
On présente sur la figure ci-dessous l’entrée et la sortie du filtrage réalisé par un quadripôle.
1. Quelle est l’opération mathématique réalisée ? Quel quadripôle passif permet de la réaliser ? Donner en particulier la relation entre la tension de sortieus(t)et la tension d’entréeue(t).
2. Proposer des valeurs des composants permettant d’obtenir le comportement observé. On vérifiera en particulier :
• que la fréquence du signal d’entrée se trouve bien dans le bon domaine par rapport à la pul- sation de coupure du filtre,
• que l’amplitude du signal de sortie est compa- tible avec la pente du signal d’entrée.
Exercice 5 : Analyse spectrale
1. On envoie le signal périodique représenté ci-contre (ue) sur un filtre du premier ordre. On y a repré- senté également la sortie du filtreus.
(a) Interpréter ces signaux comme une somme de deux sinusoïdes dont on précisera les am- plitudeA1 etA2, les fréquencesf1 etf2 et les phasesϕ1 etϕ2. En déduire l’allure de son spectre de Fourier. On utilisera une re- présentation semi-logarithmique pour repré- senter20log(Ai)en fonction de la fréquence (comme sur la figure 1b).
(b) Identifier la nature du filtre et déterminer sa pulsation de coupure. Vérifier également l’ac- cord avec les déphasages observés entre les composantes de l’entrée et de la sortie.
0 1 2 3
·10−3
−1 0 1
t(s)
u(V)
ue
us
2. On envoie un signal créneau (voir la figure 1a) sur un filtre dont le gain en dB est représenté sur la figure 1c. Le spectre de Fourier du signal d’entréeueest représenté sur la figure 1b. On a arbitrairement translaté l’axe des ordonnées pour que la composante prépondérante ait une valeur nulle en dB et on a éliminé du spectre les composantes de poids négligeable.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
·10−2 0
0,5 1
t(s)
u(V)
ue
(a) Signal d’entrée : évolution tempo- relle.
0 5 10 15 20 25 30
·100 0
−10
−20
−30
f(Hz) 20log(Um/Uref)
ue
(b) Signal d’entrée : spectre de Fourier.
101 102 103 104 30
20 10 0
−10
−20
−30
f(Hz) GdB
(c) Diagramme de Bode du filtre.
Fig. 1 : Filtrage d’un signal créneau.
(a) Identifier et justifier les valeurs des fréquences des composantes de Fourier. Que représente la composante de fréquence nulle ?
(b) Utiliser le diagramme de Bode pour déterminer le spectre de Fourier du signal de sortie du filtre.
En déduire l’allure de son évolution.
Exercice 6 : Conception d’un filtre
On donne ci-dessous la décomposition en série de Fourier d’une fonction triangle ayant l’allure représentée ci-contre :
y(t) = 8 π2
∞
X
n=0
(−1)n (2n+ 1)2sin
(2n+ 1)πt τ
− 1 1
t
0t y
1. (a) Déterminer une valeur de l’instantt0défini sur la courbe,ieun instant où le signal est maximal.
(b) Déterminer l’expression de la périodeνdey(t)en fonction de la constanteτ.
2. Déterminer le spectre dey(t).
• on mettra l’expression sous la forme :
y(t) =
∞
X
p=0
apcos(2πνpt+ϕp)
en précisant les expressions des constantesap(qu’on choisira positive) etϕp∀pet de la fréquence ν,
• on tracera l’allure deap/a1en fonction de la fréquencefpourν=400 Hz.
3. On filtre le signaly(t)par un passe bas d’ordre1, de gain en bande passante de 2 et de fréquence de coupure 1,00 kHz.
(a) Déterminer l’amplitude et la phase des 3 premières composantes de Fourier non nulles du signal filtré.
(b) En déduire son allure (utiliser une calculatrice, ou python ou Wolfram Alpha™…)
4. On souhaite désormais extraire la cinquième harmonique dey(t), de telle sorte que l’amplitude des autres composantes ne dépasse pas1% de l’amplitude de la composante extraite. Proposer un filtre, en précisant les caractéristiques nécessaires : fréquence caractéristique, facteur de qualité.
Exercice 7 : Filtrage et spectre
La figure ci-contre représente les spectres de Fourier du signal de commande envoyé par un générateur basse fréquence (GBF) à un émetteur d’ultrasons (grande amplitude, gris foncé) et de celui recueilli par un récepteur placé quelques dizaines de centimètre plus loin (faible ampli- tude, gris clair).
1. Quelle est la nature du filtrage réalisé entre le signal du GBF et sa réception ?
2. Donner sa fréquence caractéristique et estimer la finesse du filtre. En déduire le facteur de qualité en admettant qu’il s’agit d’un passe-bande d’ordre 2.
3. Identifier les différentes étapes de transformation/propagation du signal. À votre avis, où se produit le filtrage observé ?
Exercice 8 : Impédance complexe et équation différentielle
Établir, en utilisant les impédances complexes, l’équa- tion différentielle reliant la tensionus(t)à la tension ue(t)dans le circuit de Wien ci-contre.
R C
C u
su
eR
Exercice 9 : Caractère pseudo-intégrateur d’un passe-bas d’ordre 1 E
On étudie la réponse d’un filtre passif passe-bas d’ordre1 (le circuit RC vu en cours) à un signal créneau. L’entrée e(t) du filtre est un signal de périodeT = 2π/ω défini sur une période par : (e(t) = +U0pourt∈[−T/4, T/4]
e(t) =−U0pourt∈[T/4,3T/4]. On donne à titre indicatif les premiers termes du développement en série de Fourier de cette fonction :
e(t)'Uπ0 cosωt−13cos3ωt+15cos5ωt−17cos7ωt .
-2 -1 0 1 2
-1 -0,5 0 0,5 1
t/T e/U0
1. Rappeler le schéma du passe-bas du 1erordre et donner sa pulsation de coupureωcen fonction deRet C.
2. On considère le cas oùωcω.
(a) Quel est l’effet du filtre sur chacune des composantes de Fourier dee(t)? En déduire le signal (forme, période, amplitude)s(t)en sortie du filtre.
(b) Interpréter en termes de charge du condensateur.
3. On considère maintenant le casωcω.
(a) Quel est l’effet du filtre sur les premières composantes de Fourier dee(t)? En déduire une ap- proximation du signal (forme, période, amplitude)s(t)en sortie de filtre.
(b) Interpréter en termes de charge du condensateur.
Correction de l’exercice 1
1. La fonction de transfert estH = 1+j1ω
ωc, avecωc= 1/(RC). Le diagramme de Bode est celui vu en cours.
2. La bande passante à−3 dB est l’intervalle de pulsationsω ∈ [0, ωc]. Exprimée en fréquence, on a
∆f= 1/(2πRC)'5,3 kHz.
3. (a) Un pont diviseur de tension montre que la fonction de transfert devient :
H=
Rc 1+jRcCω
R+1+jRRc
cCω
= Rc
Rc+R+jRRcCω=
1 1+R/Rc
1 +jω1+R/RRC
c
,
de la formeH=H0/(1 +jω/ω00), avecH0= 1/(1 +R/Rc)etω00 = (1 +R/Rc)ω0: on a toujours un filtre du premier ordre. Le gain maximal est divisé par1 +R/Rcet la bande passante augmen- tée du même facteur. Le produit du gain (exprimé en échelle linéaire) par la bande passante est inchangé.
(b) PourRc= 2R=6 kΩ, on obtientG0max(dB) =−3,52 dB et∆f0=7,96 kHz.
Correction de l’exercice 2
1. (a) On part du RC d’ordre 1 en pont dans lequel on remplace le résistor par une bobine d’inductance Let le condensateur par une résistanceR. On vérifie que la pulsation de coupure estωc=R/L, soitfc =R/(2πL). En bande passante, soit pourf fc, la bobine est équivalente à un fil et la tension d’entrée est appliquée au borne du résistor qui constitue donc l’impédance d’entrée. Les conditions imposent doncR=1 kΩ etR/(2πL) =1,5 kHz, soitL=1,1·102mH.
(b) Son diagramme de Bode est celui vu en cours.
2. Il suffit de prendre la tension aux bornes du résistor d’un dipôle RLC série. Son impédance estjLω− j/(Cω) +R. Sa pulsation de résonance estωc = 1/√
LCet sa finesseF, égale au quotient de sa fréquence de résonance par sa bande passante[f1, f2], vaut son facteur de qualitéQ = p
L/C/R.
De plus la fréquence de résonance est équidistante en échelle log des deux fréquences de coupure (on peut également le vérifier sur les expressions def1etf2vues en cours). On la détermine donc selon logfc= (logf1+logf2)/2, soitfc=√
f1f2, et on sait par ailleurs quefc= 1/(2π√
LC). On doit donc résoudre :
R=1 kΩ fc= 1 2π√
LC =p
f1f2=6,3·102Hz fc
f2−f1
=3,2·10−2=Q= 1 R
rL C. On calcule alors :
L=8,0 mH C=7,9 µF.
Correction de l’exercice 3
1. • Pourω→0, la bobine est équivalente à un interrupteur fermée et la tension à ses bornes, égale à us, est nulle.
• Pourω→ ∞, c’est maintenant le condensateur qui se comporte comme un interrupteur fermé.
Pour les mêmes raisons,us= 0.
L’amplitude passera donc par un maximum pour une fréquence non nulle finie : on a vraisemblable- ment affaire à un passe-bande.
2. L’association parallèle du condensateur et de la bobine a pour impédanceZe+ =jLω/(1−LCω2).
Comme la sortie est ouverte, on utilise un pont diviseur de tension : Us
Ue
= Ze
Ze+R= 1
1 +R1−LCωjLω 2 = 1
1 +jR Cω−Lω1 = 1 1 +jQ
ω ω0−ωω0, en utilisant la forme canonique du passe-bande du deuxième ordre. On identifie ensuite :
RC= Q ω0
R
L =Qω0→Q2=R2C
L ω20= 1 LC. 3. (a) Sous la forme :H= 1+jQ(y−1/y)1 , on aGdB =−10log
1 +Q2(y−1/y)2
est maximal pour y= 1, soitω=ω0, où il vautGdB,0= 0. Le gain vaut alorsGdB,0−3pourQ2(y−1/y)2= 1, soity1,2 = ωω1,2
0 = 2Q1 p
1 + 4Q2±1
, on retrouve bien sûr les calculs de la finesse de la résonance en intensité. La bande passante vautω2−ω1=ω0/Q.
(b) On reprend l’expression du gain :GdB = −10log
1 +Q2(y−1/y)2
dont les expressions asymptotiques sont, en utilisantx = logy:
(x→ −∞ :GdB'20 (x−logQ)
x→ ∞ :GdB' −20 (x+logQ) : ces deux asymptotes sont sécantes enx = 1GdB = −20logQ. Contrairement aux circuits du premier ordre, leur position dépend d’un paramètre supplémentaire, le facteur de qualité. Les pentes en revanche sont toujours de±20dB/décade. Ces courbes sont représentées sur la figure ci-dessous, où on a également représenté la bande passante∆y=ω2ω−ω1
0 .
L’expression précédente de H permet également d’exprimer la phase du filtre : ϕ =
−arctan(Q(y−1/y)), représentée également ci-dessous. Seule la « raideur » des courbes dépend du facteur de qualité.
-1 -0,5 0 0,5 1
-40 -30 -20 -10 0 -3
Q=5 Q=.5
0,1 1 10
0,1 1 10
GdB
log(ω/ω0) ω/ω0
∆y
-2 -1 0 1 2
-π/2 0 π/2
Q=5 Q=.5
0,01 0,1 1 10 100
0,01 0,1 1 10 100
φ
log(ω/ω0) ω/ω0
On aGdB(α) =−10log
1 +Q2 10x−10−x2
, doncGdB(−x) =GdB(x): la courbe est sy- métrique par rapport à l’axex= 0. On montre de même que la courbeϕ(x)est symétrique par rapport au point (x= 0;ϕ(0)).
(c) Le filtre sera d’autant plus sélectif que son facteur de qualité sera élevé. Contrairement au RLC série, il faudra dans ce cas avoir une grande valeur de la résistanceR.
Correction de l’exercice 4
Le signal d’entrée est un signal triangle symétrique (fonction affine par morceaux), de périodeT =10 ms.
Il s’agit donc d’un signal de fréquencef=T1 =1,0·102Hz.
Le signal de sortie se rapproche de la dérivée du signal d’entrée (fonction constante par morceaux). On cherche donc à réaliser une opération de dérivation du signal d’entrée. Pour cela, il suffit de réaliser un filtre passe-haut du premier ordre et de l’utiliser à basses fréquences. On souhaite donc en particulier que ffc, soitTτ.
Une réalisation simple d’un filtre passe-haut du premier ordre consiste à réaliser le montage en pont vu en cours. Pourffcsa fonction de transfert est approximativementjω/ωc: il réalise donc :
us(t) = 1 ωc
due
dt .
On mesure doncωccomme le quotient de la pente deueet de la valeur constante deussur une demi-période par exemple. On calcule alors :
ωc= due
dt us
=2,06 V/5 ms
95 mV =4,34 radian/s→fc=6,9·102Hz.
Il suffit alors de choisir les valeurs deRet deCde telle sorte queRC = 1/(ωc) =2,3·10−4ms. La capture d’écran a été réalisée avecR=2,3 kΩ etC=100 nF.
AAttention à ne surtout pas écrire que le quotient des amplitudes de la sortie et de l’entrée est égal au gain du filtre calculé à la fréquence de ces signaux. Ils ne sont en effet pas sinusoïdaux et ce gain est différent pour chacun de leurs harmoniques. En revanche, la relation mathématique de dérivation reste valable sur chaque harmonique et doncisur le signal total.
Correction de l’exercice 5
1. (a) Chacun des signaux est la somme d’une sinusoïde deux sinusoïdes d’amplitude et de fréquence différentes. On a :
ue=A1cos(ω1t+ϕ1) +A2cos(ω2t+ϕ2) us=B1cos(ω1t+ψ1) +B2cos(ω2t+ψ2). Les deux fréquencesω1 etω2, communes aux deux signaux sontf1 =500 Hz etf2 =5 kHz.
Les amplitudes des composantes du signal d’en- trée sont respectivement :A1 = 1 V etA2 = 0,5 V. Celles du signal de sortie sontB1 =0,9 V etB2 = 1·10−1V. On donne ci-contre l’allure du spectre de Fourier correspondant.
1 2 3 4 5
·1000
−20
−10 0
f(Hz) 20log(Um)
entrée sortie
iEn admettant qu’on peut intervertir l’opération de dérivation et celle de sommation de série de Fourier, ce qui est correct pour un grand nombre de fonctions dont celles considérées et de toute façon exact si on ne considère qu’un nombre fini d’harmoniques.
(b) On observe que la composante de fréquence élevée est davantage atténuée : le filtre est donc un passe-bas. On peut vérifier que les composantes basse fréquences de l’entrée sont en phase. En revanche, la composante haute de fréquence de la sortie est en quadrature retard par rapport à l’entrée, comme il se doit pour un passe bas du premier ordre.
On utilise l’amplitude du signal à haute fréquence pour déterminer la fréquence de coupure. Pour un filtre du premier ordre, on a en effetH ' ωc/ω = fc/fen bande coupée. Ici le signal à 5 kHz voit son amplitude multipliée par1/5. En supposant sa fréquence suffisamment grande par rapport àfcpour que l’approximation précédente soit justifiée, on a1/5 =fc/f, soitfc=1,0 kHz.
On vérifie a posteriori qu’on a bienf=5 kHzfc=1 kHz.
Remarquons qu’on peut également vérifier la valeur du signal basse fréquence en sortie. On a ici f = 500 Hz =fc/2, trop proche defcpour utiliser le modèle asymptotique. On calcule donc H= 1/
q
1 + (f/fc)2=0,9, en accord avec l’amplitude mesurée en sortie.
2. (a) Le signal est périodique de période 5·10−3s, donc de fréquence fondamentalef1 =200 Hz. On observe, outre la composante à fréquence nulle, des composantes de Fourier à 200 Hz, 600 Hz, 1 kHz…distantes de 400 Hz. En effet les harmoniques de rang pair (300 Hz, 500 Hz …) sont nulles pour un créneau.
La composante de fréquence nulle correspond à la valeur constante non nulle (0,5 V) du signal.
(b) Pour chacun des harmoniques, l’amplitude de sortie s’obtient en multipliant celle d’entrée par le gain ; en dB, on ajoute donc à la valeur d’entrée celle du gain du diagramme de Bode. On obtient le spectre représenté ci-dessous.
Le signal se compose principalement de la composante continue, du fondamental et du premier harmonique, non atténués mais surtout du deuxième harmonique dont l’amplitude devient envi- ron1014/20'5 fois plus grande que le fondamental. On en déduit l’allure de l’évolution tempo- relle représentée ci-dessous.
0 5 10 15 20 25 30
·100 10
0
−10
−20
−30
−40
−50
f(Hz) 20log(Um/Uref)
ue us
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
·10−2
−4
−2 0 2 4
t(s)
u(V)
ue sortie
Correction de l’exercice 6
1. (a) L’instantt= 0réalise le maximum dey(t). On constate également que pourt=τ/2, on aura : (2n+ 1)πt
τ =π
2+nπ→(−1)nsin
(2n+ 1)πt τ
= (−1)nsinπ 2 +nπ
= (−1)2n= 1.
Tous les termes de la série sont donc positifs et maximaux en valeur absolue : c’est bien cette valeur qui réalise le maximum dey(t): on peut choisirt0=τ/2. On en déduit par ailleurs que, puisque
y(τ/2) = 1:
+∞
X
n=1
1
(2n+ 1)2 =π2 8 . (b) On vérifie de même que la période estτ.
2. Pour chaque terme, on peut écrire :
sin
(2n+ 1)πt τ
=cos
(2n+ 1)πt
τ −π
2
.
On aura donc : ppair :ap= 0,
pimpair ap= 8/(π2p2)etπp=−π/2 +(p−1)π2 .
400 1200 2000 2800 0
0,2 0,4 0,6 0,8 1
f an/a1
3. (a) et (b) En posantf0 =1,00 kHz la fréquence de coupure du filtre, le module de sa fonction de transfert estH = 1/
q
1 + (f/f0)2et sa phase est−arctan(f/f0). En notant respectivementa0n etπnnl’amplitude et la phase de la décomposition de Fourier du signal en sortie de filtre, on aura :
f1=400 Hz H=0,93 a01/a1=0,93 π01=−π/2−0,38 f3=1200 Hz H=0,64 a03/a1=7,1·10−2 π03= +π/2−0,88 f5=2000 Hz H=5,0·10−2 a05/a1=1,8·10−2 π03=−π/2−1,1 Le spectre correspondant est représenté en pointillés sur la figure précédente.
4. La cinquième harmonique a pour amplitudea5=a1/52. Pour l’extraire on peut par exemple choisir un passe-bande d’ordre 2, de fréquence de coupuref0= 5ν, suffisamment fin pour qu’il filtre efficacement les harmonique de rang1,3,7. Le gain en amplitude d’un tel filtre estH(f/f0) =q 1
1+Q2(f/f0−f0/f)2. On calcule les amplitudesa01,a03eta07pourf0= 5ν:
p= 1 f=ν=f0/5 a01/a05=H(1/5)a1/(H(1)a5) = 25/
q
1 +Q2(1/5−5)2 '25/p
1 +Q2×23;
p= 3 f= 3ν= 3f0/5 a03/a05=H(3/5)a3/(H(1)a5) = 25/(9 q
1 +Q2(3/5−5/3)2) '2,8/(9p
1 +Q2×1,14);
p= 7 f= 7ν= 7f0/5 a07/a05=H(7/5)a7/(H(1)a5) = 25/(49 q
1 +Q2(7/5−5/7)2) '0,51/(49p
1 +Q2×0,47).
La pureté du signal filtré attendue impose quea0p/a05 6 1% pourp 6= 5. On calcule les facteurs de qualité correspondant :
a01/a0561%→Q1>5,2·102 a03/a0561%→Q3>2,6·102 a07/a0561%→Q7>74.
Le critère le plus contraignant est celui sur le fondamental, on doit donc choisirQ>5.2e2, difficile à réaliser avec un simple RLC passe-bande.
Correction de l’exercice 7
1. Les fréquences voisines de 40 kHz sont transmises (avec une atténuation cependant) alors que celles supérieures ou inférieures sont bloquées : il s’agit d’un filtre passe-bande
2. Sa fréquence caractéristique estfc =40 kHz. La fréquencefcest atténuée d’un facteur17/3 ' 5,6.
Les fréquences de coupure sont donc celle pour lequel le gain est plus faible d’un facteursqrt2et vaut donc1/(5,6∗sqrt2)'0,12. On détermine que ce sont approximativementf1=37 kHzetf2=43 kHz pour lesquelles le gain vaut environ(0,01/0,1) =0,1. La finesse est alorsfc/(f2−f1)'6. Pour un passe-bande d’ordre 2, cette finesse est égale àQ: on a donc environQ= 6.
3. Comme on l’a vu en TP, le signal électrique produit par un GBF est transformé en signal acoustique par l’émetteur (quartz piézoélectrique) qui se propage dans l’air et est retransformé en signal électrique par le récepteur (un autre quartz piézoélectrique). La propagation dans l’air est vraisemblablement indépendant de la fréquence sur la gamme considérée et c’est plutôt lors des conversions par l’émetteur et le récepteur que le filtrage est réalisé.
Correction de l’exercice 8
On se place tout d’abord en RSE. On désigne parZ1l’impédance de l’association sérieR−Cet parZ1
celle de l’association parallèle. On obtient alors à l’aide d’un diviseur de tensionUsm/Uem=ZZ2
1+Z2. avec :Z1= 1 +jRCω
jCω Z2= R
1 +jRCω on obtient :Usm
Uem
= jRCω
1 + 3jRCω+ (jRCω)2.
Pour l’équation différentielle, on utilise jω ↔ d
dt pour obtenir : RCdue(t)
dt = us(t) + 3RCdus(t)
dt + (RC)2d2us(t) dt2 .
Correction de l’exercice 9
1. La pulsation de coupure estωc= 1/(RC).
2. (a) Toutes les composantes de Fourier sont des sinusoïdes à des pulsationsωi = (2i+ 1)ωωc. On est donc dans le régime intégrateur oùH '1/(jRCω). Chaque composante de Fourier est intégrée donce(t)est intégrée :s(t) =s(0) +ωcRt
t=0e(t)dt. La sortie est la somme d’une fonction constantes(0)et de la primitive dee(t)s’annulant ent= 0, le signal triangulaire de période même
périodeT:sTU(t)
0 =
(ωct pourt∈[−T/4;T/4]
−ωct pourt∈[T/4; 3T/4] .
Dans le cass(0) = 0, on obtient un triangle de périodeT et d’amplitudeωcT/4, d’autant plus faible queTest faible, soitω= 2π/T élevée : c’est en effet dans la zone où il est coupant que le filtre a un comportement intégrateur.
Ces courbes sont représentées sur la figure ci-contre où on
a représentée/U0ets/(U0ωcT)en fonction det/T. -2 -1 0 1 2
-1 -0,5 0 0,5 1
-1 -0,5 0 0,5 1
e(t)/U0 s(t)/(U0ωcT)
t/T
signal créneau intégré en signal triangulaire de même période pourωωc. (b) La conditionωωcsignifie que la période du signale(t)est très faible devant la constante du cir-
cuitRC. Ce dernier voyant pendant chaque demi-période un signal constant d’amplitudeU0, on n’observe que le tout début de la charge d’un condensateur. Les portions rectilignes correspondent aux approximations linéaire deU0
1−e−RCt
et−U0
1−e−RCt
pourt1/(RC).
3. (a) Les premières composantes de Fourier, pour lesquelles on a toujoursωi= (2i+ 1)ωωcne sont pas filtrées et sont transmises à l’identique. En négligeant celles d’ordre supérieur qui sont d’autant plus atténuées queiest élevé, le signal est transmis quasiment sans aucun filtrage :s(t)'e(t).
(b)
La constante de temps du circuitRCest mainte- nant très petite devantTet la charge du conden- sateur a le temps de s’effectuer durant chaque demi-période comme représenté sur la figure ci- contre, pourωc= 50ω.
-2 -1 0 1 2
-1 -0,5 0 0,5 1
-1 -0,5 0 0,5 1
e(t)/U0 s(t)
t/T
signal créneau transmis quasiment à l’identique pourωcω.
