2 nd ordre passe bas

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Fiche Pratique

2 ^nd ordre passe bas

Système linéaire Rév : 1.0

Définition & Formes canoniques Equation différentielle :

) ) ( ( 2 ) ( ) 1

(

₂

2

2

s t

dt t ds o m dt

t s d t o

e = ⋅ + ⋅ +

ω ω

Fonction de transfert complexe :

2

)

2

2 ( 1

1 )

( ) ) (

(

o j o m j j

E j j S

T

ω ω ω

ω ω

ω ω

+ +

=

=

Réponse indicielle

L’entrée e(t) est un échelon d’amplitude 1V.

• Si m > 1 : réponse apériodique

( ) ( )

( t t )

t

s

^{2 1. 1 2.}

2 1

exp 1 exp

1 )

( ω ω ω ω

ω

ω − ^{⋅ − − −}

+

=

avec

^ω

¹

^{= ω o} ( ^{m + m}

²

^{− 1} )

^et

^ω

²

^{= ω o} ( ^{m − m}

²

^{− 1} )

• Si m = 1 : réponse apériodique critique

( 1 . ) exp( . )

1 )

( t o t o t

s = − + ω ⋅ − ω

• Si m < 1 : réponse pseudo périodique

( ω ϕ )

ω

⋅ +

− ⋅

−

= e

⁻

t

m t

s

m ot p

. sin 1

1 1 )

(

^.

2

avec

ω

p

= ω o ⋅ 1 − m

² et

ϕ = arccos(m )

Caractérisation des réponses pour m>1

( ³

²

¹ )

%

5

= ⋅ − −

m m o tr ω

E(jω)

2nd ordre passe bas

S(jω)

e(t) s(t)

fo

: fréquence propre

ω o

: pulsation propre

m : coefficient d’amortissement

Q m 2

= 1

: Facteur de qualité

0 5 10 15 20 25 30 35

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

ωo.t

Réponse indicielle

m=0.2

m=1

m=2

0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t trα

%

1-α

%

Réponse indicielle m>1

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Caractérisation des réponses pour m<1

Tp

p

π

ω = ²

1

2

2 o m

tpic Tp

−

= ⋅

= ω

π

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛

−

= −

1

2

exp . 100

%

m

D π m

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛

= −

+1

1

2

exp 2

m m D

D

n

n

π

Réponse fréquentielle

• Si m >

0 , 707 2

1 =

Il n’y a pas de résonance

• Si m =

0 , 707 2

1 =

Il s’agit d’une réponse de Butterworth La courbe de gain est alors « la plus plate »

• Si m <

0 , 707 2

1 =

Il existe un phénomène de résonance

Pulsation de coupure (à –3db):

2 2

2

1 ( 1 2 )

1 m m

o

c = ω ⋅ − + + − ω

Pulsation de résonance :

2

2

1 m

o r = ω ⋅ − ω

Gain à la pulsation de résonance

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛

−

= ⋅

1

2

2 log 1 . 20

m m

Gr

00 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

tpic

t

D%

100%

Tp

Réponse indicielle m<1

-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

1 10

0,1

f/fo Phase (deg)

m=0,1

m=0,7 m=2 -50

-40 -30 -20 -10 0 10 20

1 10

0,1

f/fo Gain

(dB)

m=0,1

m=0,7

m=2