On constate qu’un filtre passe bas du premier ordre se comporte comme un intégrateur dans le domaine des hautes fréquences

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PCSI 1

PROGRAMME DE COLLE DE PHYSIQUE Semaine du 07/01 au 12/12

Régime sinusoïdal permanent Tout exercice sur le sujet.

Filtrage linéaire (cours + exercices simples)

– Analyse spectrale d’un signal : rappel sur les séries de Fourier

– Fonction de transfert d’un quadrupôle linéaire : définition, caractéristiques : module et argument.

H(jω) = u_s

u_e =|H(jω)|e^jϕ(ω)

– Définition du gain en décibel. Diagramme de Bode. Si le gain s’exprime sous la forme d’un multiple de ω^αalors la courbe associée dans le diagramme de Bode sera une droite de pente 20αdB/dec.

– Filtres du premier ordre : exemple du filtre passe-bas réalisé à l’aide des composants R et C (en sortie ouverte). Tracé du diagramme de Bode asymptotique. On constate qu’un filtre passe bas du premier ordre se comporte comme un intégrateur dans le domaine des hautes fréquences. Forme canonique de la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du premier ordre.

Filtre passe haut. Forme canonique de la fonction de transfert. Tracé du diagramme de Bode asymptotique.

Un filtre passe haut du premier ordre se comporte comme un dérivateur dans le domaine des basses fréquences.

– Filtres du second ordre : filtre passe-bas réalisé avec un R, L, C série (en sortie ouverte) ; généra- lisation ; diagramme de Bode asymptotique ; condition d’existence d’une résonance. On remarque que, quel que soit le facteur de qualité,ϕ= arg(H) =−π/2pourω=ω₀ (siH₀>0).

Filtre passe bande réalisé avec un R, L, C série (en sortie ouverte) ; généralisation ; diagramme de Bode asymptotique. Bande passante à -3dB : le filtre est d’autant plus sélectif que son facteur de qualité est élevé :

∆x= ∆ω ω₀ = ∆f

f₀ = 1 Q

–Mise en cascade de quadrupôles :on montre sur un exemple de mise en cascade de deux quadrupôles que la fonction de transfert (en sortie ouverte)H₁₂de l’ensemble n’est pas égale au produit des deux fonctions de transfert de chaque quadrupôle (en sortie ouverte)H₁₂6=H₁H₂car, le premier filtre n’étant pas en sortie ouverte, on ai_s16= 0.

Modélisation d’un quadrupôle : l’entrée est modélisée par une impédance d’entrée Z_e et la sortie par un générateur de Thévenin de tension H u_e (H représentant la fonction de transfert en sortie ouverte) et d’impédanceZ_sappelée impédance de sortie.

On montre à l’aide de ce modèle que la fonction de transfert (en sortie ouverte) de la mise en cascade de deux filtres est de la forme :

H₁₂=H₁ H₂ Z_e2 Z_e2+Z_s1

Ainsi on pourra écrireH₁₂=H₁ H₂, lorsque l’impédance de sortie du premier filtre est nulle ou lorsque l’impédance d’entrée du second est infinie.

Calcul deZ_e,Z_s sur l’exemple pris précédemment.

Réalisation expérimentale : l’interposition d’un montage suiveur (le montage n’est pas à connaître) entre le premier et le deuxième quadrupôle permet de réaliser la conditioni_s1= 0.

– Action d’un filtre sur un signal périodique quelconque : on admet la décomposition spectrale d’un signal périodique de périodeT = 2π/ω :

e(t) =E0+

∞

X

n=1

Encos(nωt−φn) avec E0=< e(t)>

On en déduit l’expression du signal de sortie (en régime établi) :

s(t) =H(0)E0+

∞

X

n=1

En|H(jnω)|cos(nωt−φn+ϕ(nω))

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avecH(0)∈Rgain en statique.

Applications : réalisation d’un moyenneur ; élimination de la valeur moyenne à l’aide d’un passe-haut (on remarque qu’un passe bande l’élimine également).

Signature spectrale de la non linéarité d’un système : contrairement à un système linéaire, un système non linéaire fait apparaître de nouvelles fréquences dans le spectre du signal de sortie.

– Gabarit d’un filtre : exemple du filtre passe-bas et du filtre passe-bande.

Cinématique du point (cours)

– L’espace temps classique : l’espace est euclidien et de dimension 3, le temps s’écoule continûment, indépendamment du point d’espace considéré, et de manière irréversible. En mécanique classique, on peut donc choisir une chronologie commune à tous les référentiels. Le choix d’un référentiel se réduit alors au choix d’un repère d’espace.

– Systèmes de coordonnées du plan : cartésiennes, polaires. Expression du déplacement élémentaired−−→

OM dans ces deux systèmes de coordonnées.

– Systèmes de coordonnées de l’espace : cartésiennes, cylindriques, sphériques. Expression des dépla- cements élémentaires d−−→

OM dans chacun des trois systèmes de coordonnées : savoir justifier à l’aide d’un schéma les différentes composantes des déplacements élémentaires.

– Vitesse d’un point dans un référentiel donné ; expression en coordonnées cartésiennes et cylindriques.

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JOYEUSES FÊTES DE FIN D’ANNÉE !

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