FILTRES EN REGIME SINUSOIDAL
1 - DEFINITIONS 1.1 Filtre
Un filtre électronique est un quadripôle linéaire qui ne transmet que les signaux dont la fréquence est dans une plage appelée bande passante.
Exemples d'applications :
• extraire la valeur moyenne d'un signal (moyenneur)
• éliminer des fréquences indésirables (bruit, ondulation ..)
• sélectionner une fréquence (détection) 1.2 Fonction de transfert
En régime sinusoïdal, on utilisera la notation complexe où UE et US représentent les valeurs complexes des tensions d'entrée uE(t) et de sortie uS(t) du filtre.
Z U
M S
UE E
M
Filtre
SOn appelle fonction de transfert du filtre (ou transmittance) le rapport :
1 2
U H= U
N.B. H est fonction de jω.
• Module :
E S
U
H= U c'est le rapport des valeurs efficaces (ou valeurs de crête)
• Argument : θ = θS - θE c'est la différence de phase entre uS(t) et uE(t)
1.3 Exemples de filtres parfaits
• filtre transparent H = 1 (ex. suiveur)
• filtre opaque H = 0
• filtre passe-bas
fH H
f
• filtre passe-haut
fB H
f
• filtre passe-bande
fB H
fH f
• filtre coupe-bande (ou réjecteur de bande)
fB H
f fH
1.4 Filtres réels Filtres passifs
En général assez simples, ils sont constitués d'éléments passifs (R, L, C). La fonction de transfert est fonction de la charge.
Filtres actifs
Il contienne un élément actif, le plus souvent un amplificateur opérationnel. En général la
1.5 Fonctions de transfert élémentaires filtre passe-bas
H o
1 H H
f j f
= +
log f H
filtre passe-haut
f jfB
o
1 H H
= −
log f H
filtre passe-bande
−
= +
f f f Q f
j o
o o o
1 H H
log f H
Définitions
• Gain (en dB) : G = 20 log H
• Fréquence de coupure à -3 dB : fréquence pour laquelle G = Gmax - 3dB G = 20 log Hmax -10×log2 = 20 (log Hmax -log√2)
2 H= Hmax
• Bande passante (à -3dB) : gamme de fréquences telle que G ≥ Gmax - 3 dB
N.B. Dans la pratique on pourra prévoir le comportement d'un filtre à partir des propriétés de ces composants.
Par exemple pour un condensateur : f → 0 : circuit ouvert ; f →∞ court-circuit (C'est l'inverse pour une inductance pure)
2 - FILTRE RC PASSE-BAS 2.1 Fonction de transfert
R
U1 C U2
R c
c 1
2
Z Z
Z U
H U
= +
= avec
= ω C Zc 1
j et ZR = R (Cf montage diviseur de tension)
+ ω
= ω
C R 1
C 1 H
j j
ω
= +
RC 1
H 1
j Posons
C R 2 o 1
o = π =
ω f
o o
1 1 1
H 1
f j f
j +
= ω + ω
=
2.2 Calcul du module
2
o
1 H 1
+
=
f f
Hmax = 1 pour f = 0 (U2 = U1, le condensateur est équivalent à un circuit ouvert) H → 0 lorsque f →∞(U2 = 0, le condensateur est équivalent à un court-circuit) C'est donc un filtre passe-bas de fréquence de coupure fH (-3 dB) :
2
o max
1 1 2
1 2 H H
+
=
=
=
f f
= 1
=
2.3 Calcul de l'argument
−
=
o
arctan
θ f
f
f = 0 θ = 0
∞
→
f θ = -π/2
f = fo θ = -π/4
2.4 Diagrammes de Bode : G et θθθθ en fonction de log f Courbe de gain (en dB) : A.N. : R = 10 kΩ et C = 10 nF
Courbe de phase
Remarques
• f<< fo G = 0 (asymptote horizontale)
• f >> fo asymptote oblique de coefficient directeur égal à -20 dB par décade.
• f = fo G = -3 dB et θ = -π/4 (-45°)
3 - FILTRE ACTIF PASSE-HAUT 3.1 Fonction de transfert
U1
ud S
+
_ ∞
M
R R1
C
2
U2
1 2 1
2
Z Z U
H= U =− (Cf montage amplificateur inverseur)
avec
− ω
=R C
Z1 1 j
et Z2 = R2
− ω
=
− ω
−
=
C 1 R
R R - R C
H R
1 1 2 1
2
j j
Posons
C R 2 1
1 o
o = π =
ω f et
1 o 2
R H =−R
f j f
j o
o o
o
1 H 1
H H
−
= ω
− ω
=
3.2 Calcul du module
2
o o
1 H H
+
=
f f
H → Hmax =
1 2
R
R lorsque f →∞
C'est donc un filtre passe-haut de fréquence de coupure fB (-3 dB) :
2
o 1 2 1
2 max
1 R R 2
R R 2 H H
+
=
=
=
f f
C R 2
1
1 o
B = f = π
f
3.3 Calcul de l'argument
−
− π
= f
fo arctan θ
f → 0 θ → +3π/2 (ou -π/2)
∞
→
f θ → π (ou -π)
f = fo θ = π - π/4 =+5π/4 (ou -3π/4) 4 - FILTRE PASSE-BANDE
4.1 Fonction de transfert
R
R C
C
U1 U2
2 1
2 1
2
Z Z
Z U
H U
= +
= (Cf montage diviseur de tension) avec
+ ω
= C
R 1 Z1
j et = = + Cω
R 1 Z Y 1
2
2 j
2 1 2
1 2
Y Z 1
1 Z
Z H Z
= +
= +
2 1 2
1 2
Y Z 1
1 Z
Z H Z
= +
= +
+
+ +
=
R Cω 1 Cω R 1
1 H 1
j j
ω
+
=
RCω - 1 RC 3
H 1
j
Posons
C R 2 o 1
o = π =
ω f et x = R C ω =
o
o f
= f ω
ω
− +
=
ω
−ω ω + ω
=
f f f j f
j o
o o
o 3
1 3
H 1
− +
=
− +
=
x x Q x j
x
j 1
1
H 3 1
H 1
o o
avec Ho = 1/3 et Qo = 1/3 4.2 Calcul du module
1 2
9 H 1
− +
=
x x
Hmax = Ho = 1/3 lorsque x = 1 ou f = fo
lorsque f → 0 H → 0 lorsque f →∞ H → 0
C'est donc un filtre passe-bande de fréquences de coupure fB et fH (-3 dB) : 4.3 Bande passante
2 2
o o o
1 1 H 2
H H
− +
=
=
x x Q
soit 2 1 2 1
o =
− x x
Q et
o
1 1
Q x x=±
−
Equations du second degré : 1 1 0
o
2 ± x− =
x Q de discriminant 1 4 0
2 o
>
+
=
∆ Q
Seules les solutions positives conviennent car x = fo
f est toujours positif :
o H 1 o
2 1
f f
x = + Q + ∆ = et
o B 2 o
2 1
f f
x = − Q + ∆ =
o o o
B H 2 1
1 Q f B f
f x f
x − = − = =
B représente la largeur de la bande passante (-3dB) et Qo est le facteur de qualité du circuit.
1 f = ∆ω=
∆
4.4 Calcul de l'argument
θ = Argument [Ho] - Argument
− + jQ x 1x
1 o
−
−
= Q x 1x
arctan 0
θ o
f → 0 f = fB f = fo f = fH f →∞
θ → +π/2 θ = +π/4 θ = 0 θ = -π/4 θ → -π/2
4.5 Diagrammes de Bode A.N. : R = 10 kΩ et C = 10 nF
5 - ROLE D'UN FILTRE SUR UN SIGNAL PERIODIQUE 5.1 Rappel : Théorème de Fourier
Tout signal périodique u(t) de fréquence f peut être décomposé, de façon unique, en une somme :
! d'un terme constant U égal à sa valeur moyenne (composante continue);
! d'une composante sinusoïdale de fréquence f appelée fondamental ;
! de composantes sinusoïdales de fréquences multiples de f appelées harmoniques.
u= +U U!1sin(2π× f t+ϕ1)+U!2sin(2π×2f t+ϕ2) ...+ +U!nsin(2π×n f t+ϕn) ...+ Exemple : signal rectangulaire
5.2 Rôle du filtre Passe bas
Le filtre "arrête" les hautes fréquences. Si la fréquence de coupure fC << f (fréquence du fondamental), les composantes alternatives sont très atténuées, seule la composante continue
"passe".
Passe-haut
Le filtre "arrête" les basses fréquences ,en particulier la composante continue. Les composantes alternatives sont peu atténuées si la fréquence de coupure fC << f .
Passe-bande
Si le filtre est assez sélectif (bande passante étroite ou facteur de qualité élevé) seule la
