Problème : Filtres et ultrafiltres d’un ensemble
SoitE un ensemble non vide. On dit qu’un sous-ensembleF de P(E) est un filtre surE si
— (P0) :F 6=∅.
— (P1) :∀X, Y ∈ F, X ∩Y ∈ F.
— (P2) :∀X∈ F, ∀Y ∈ P(E),
X⊂Y ⇒ Y ∈ F
.
— (P3) :∅∈ F/ .
Partie No1
1. Que dire d’une famille F deP(E)qui vérifierait P2 mais pasP3. 2. L’ensemble P(E) est-il un filtre surE?
A quel condition surE,P(E)\ {∅} est un filtre surE.
3. Montrer que si F est un filtre surE alorsE ∈ F.
4. Pour toute partie non videA de E, on note
FA={X ∈ P(E) / A⊂X}.
Montrer queFA est un filtre surE contenantA.
On l’appelle le filtre principal engendré parA.
5. On désigne parF(E) l’ensemble des filtres surE.
Montrer que l’application ϕdeP(E)\ {∅} dansF(E) définie parϕ(A) =FAest injective.
6. Dans cette question, on suppose queE est un ensemble infini.
On noteIE l’ensemble des complémentaires des parties finies de E.
Montrer queIE est un filtre surE.
Partie No2
1. Soit F un filtre sur E. On suppose que l’un des éléments de F est une partie finie de E.
L’objectif de cette question est de démontrer que le filtreF est principal.
Par hypothèse l’ensembleN ={n∈N/∃B∈ F /|B|=n} est donc non vide.
Soientn0 le minimum de l’ensembleN etAun élément de F de cardinal n0. Montrer queF est le filtre principal engendré par A.
2. (a) En déduire que siE est un ensemble fini alors tout filtre surE est principal.
(b) Si E est fini, qu’en déduit-on sur l’applicationϕdéfinie précédemment.
(c) Quel est le nombre de filtres sur un ensemble à néléments ?
3. SoitE un ensemble infini. Prouver que le filtre IE n’est pas un filtre principal.
Partie No3
SoitF un filtre sur E. On définit une relation Rsur P(E)en posant :
∀X, Y ∈ P(E),
XRY ⇔ ∃B ∈ F / X∩B =Y ∩B
.
1. Montrer queR est une relation d’équivalence surP(E).
2. SoitA une partie non vide de E. On suppose queF =FA. Montrer que
∀X, Y ∈ P(E),
XRY ⇔ X∩A=Y ∩A
.
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3. On suppose queE est infini et queF est le filtreIE.
∆désigne l’opération différence symétrique surP(E).
Montrer que, pour tous X, Y ∈ P(E),XRY si, et seulement si,X∆Y est un ensemble fini.
Partie No4
On munit l’ensemble F(E) de la relation d’ordre « inclusion ». Autrement dit, si F et G sont deux filtres sur E, on poseF ⊂ G ⇔ F 4G.
On dit qu’un filtreF surE est un ultrafiltre si
∀G ∈ F(E),
F ⊂ G ⇒ F =G
.
1. Montrer que
∀A, B∈ P(E),
A⊂B ⇔ FB⊂ FA
.
2. L’ensemble F(E)possède-t-il un minimum ? Si oui lequel ? 3. L’ensemble F(E)possède-t-il un maximum ? Si oui lequel ? 4. SoitA une partie non vide de A.
Montrer queFA est un ultrafiltre si, et seulement si,A est réduit à un singleton{x}.
On dit que les ultrafiltresF{x} sont les ultrafiltres triviaux.
5. Montrer qu’un filtre F sur E est un ultrafiltre si, et seulement si,
∀A∈ P(E),
A∈ F ou Ac∈ F
.
Indication : On pourra introduire l’ensemble G={X⊂E / A∪X∈ F }.
6. Montrer qu’un filtre F sur E est un ultrafiltre si, et seulement si,
∀A, B∈ P(E),
A∪B ∈ F ⇒ A∈ F ou B ∈ F
.
7. (a) Montrer que IN n’est pas un ultrafiltre.
(b) Montrer que IN n’est inclus dans aucun ultrafiltre trivial.
* * * FIN DU SUJET * * *
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