(1)Problème : Algèbre de Boole SoitE un ensemble quelconque

Problème : Algèbre de Boole SoitE un ensemble quelconque.

On appelle algèbre de Boole surE, toute partie Ade P(E) tel que

— ∅ ∈ A,

— ∀(A, B)∈ A², A∪B ∈ A,

— ∀A∈ A, A^c∈ A.

1. Exemples.

(a) Donner un exemple très simple d’algèbre de Boole.

(b) Soit{E₁,· · · , En} une partition deE. On considère

A=

[

i∈I

E_i / I ⊂ {1,· · ·, n}

.

Montrer queA est une algèbre de Boole.

(c) Dans cette questionE=R.

On considère Al’ensemble formé par les réunions d’un nombre fini d’intervalles deR. Montrer queA est une algèbre de Boole.

(d) Dans cette question E=N. On considère

A={A⊂N/∃n∈N/ A⊂[[0, n]]ou A^c⊂[[0, n]]}.

Montrer queA est une algèbre de Boole surN.

Dans la suite du problème, on suppose donné Aune algèbre de Boole.

2. Montrer queE ∈ A.

3. Montrer que si A, B∈ AalorsA∩B∈ A.

4. Montrer que si A, B∈ AalorsA\B ∈ A.

5. Soit(An)∈ A^N une famille d’éléments de A.

Avons-nous [

n∈N

A_n∈ Aet \

n∈N

A_n∈ A?

Dans la suite de l’exercice, on suppose donné un endomorphisme deA, c’est-à-dire une applica- tionf :A → Atelle que

— ∀A∈ A, f(A^c) =f(A)^c,

— ∀A, B∈ A, f(A∪B) =f(A)∪f(B).

6. Montrer quef(E) =E etf(∅) =∅.

7. Montrer que∀A, B∈ A, f(A∩B) =f(A)∩f(B) etf(A\B) =f(A)\f(B).

8. Montrer que∀A, B∈ A, A⊂B ⇒ f(A)⊂f(B).

9. Montrer quef est injectif si, et et seulement si,{A∈ A/f(A) =∅}={∅}.

10. Description des algèbres de Boole finies.

SoitA une algèbre de Boole surE.

On définit une relation binaire, notéeR, surE par

xRy ⇔ ∀A∈ A, (x∈A ⇔ y ∈A). (a) Montrer queR est une relation d’équivalence.

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(b) Soitx∈A. On noteA_x ={X ∈ A/ x∈X}. Montrer que x= \

X∈A_x

X.

(c) On suppose que Aest constitué d’un nombre fini d’éléments.

i. Soit x∈E. Montrer que x∈ A.

ii. Montrer que chaque élément de As’écrit comme une réunion finie de classe d’équiva- lence.

iii. En déduire queA est décrit comme en 1.(b).

* * * FIN DU SUJET * * *

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