Problème : Algèbre de Boole SoitE un ensemble quelconque.
On appelle algèbre de Boole surE, toute partie Ade P(E) tel que
— ∅ ∈ A,
— ∀(A, B)∈ A2, A∪B ∈ A,
— ∀A∈ A, Ac∈ A.
1. Exemples.
(a) Donner un exemple très simple d’algèbre de Boole.
(b) Soit{E1,· · · , En} une partition deE. On considère
A=
[
i∈I
Ei / I ⊂ {1,· · ·, n}
.
Montrer queA est une algèbre de Boole.
(c) Dans cette questionE=R.
On considère Al’ensemble formé par les réunions d’un nombre fini d’intervalles deR. Montrer queA est une algèbre de Boole.
(d) Dans cette question E=N. On considère
A={A⊂N/∃n∈N/ A⊂[[0, n]]ou Ac⊂[[0, n]]}.
Montrer queA est une algèbre de Boole surN.
Dans la suite du problème, on suppose donné Aune algèbre de Boole.
2. Montrer queE ∈ A.
3. Montrer que si A, B∈ AalorsA∩B∈ A.
4. Montrer que si A, B∈ AalorsA\B ∈ A.
5. Soit(An)∈ AN une famille d’éléments de A.
Avons-nous [
n∈N
An∈ Aet \
n∈N
An∈ A?
Dans la suite de l’exercice, on suppose donné un endomorphisme deA, c’est-à-dire une applica- tionf :A → Atelle que
— ∀A∈ A, f(Ac) =f(A)c,
— ∀A, B∈ A, f(A∪B) =f(A)∪f(B).
6. Montrer quef(E) =E etf(∅) =∅.
7. Montrer que∀A, B∈ A, f(A∩B) =f(A)∩f(B) etf(A\B) =f(A)\f(B).
8. Montrer que∀A, B∈ A, A⊂B ⇒ f(A)⊂f(B).
9. Montrer quef est injectif si, et et seulement si,{A∈ A/f(A) =∅}={∅}.
10. Description des algèbres de Boole finies.
SoitA une algèbre de Boole surE.
On définit une relation binaire, notéeR, surE par
xRy ⇔ ∀A∈ A, (x∈A ⇔ y ∈A). (a) Montrer queR est une relation d’équivalence.
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(b) Soitx∈A. On noteAx ={X ∈ A/ x∈X}. Montrer que x= \
X∈Ax
X.
(c) On suppose que Aest constitué d’un nombre fini d’éléments.
i. Soit x∈E. Montrer que x∈ A.
ii. Montrer que chaque élément de As’écrit comme une réunion finie de classe d’équiva- lence.
iii. En déduire queA est décrit comme en 1.(b).
* * * FIN DU SUJET * * *
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