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3 Algèbre de Boole des parties d’un ensemble

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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13-14

Théorie des ensembles 18 février 2014

Feuille d’exercices n

2

1 Axiomes de Zermelo

Premiers axiomes de Zermelo :

Axiome d’extensionalité : Deux ensembles possédant les mêmes éléments sont égaux.

∀x∀y ∀z(z∈x ⇐⇒ z ∈y)⇒x=y

Principe de compréhension restreinte : Pour tout ensemble A et pour toute propriété P[·], il existe un ensemble B formé des éléments de A qui satisfont la propriété P :

∀A∃B∀x x∈B ⇐⇒ (x∈A∧P[x])

Remarque : P peut contenir des paramètres ;

Axiome de la paire : Pour tous ensemblex et y, il existe un ensemble pdont les éléments sont précisément x et y :

∀x∀y∃p∀z z ∈p ⇐⇒ (z =x∨z =y)

Axiome de la réunion : Pour tout ensemble A, il existe un ensemble C dont les éléments sont les éléments des éléments de A :

∀A∃C∀x x∈C ⇐⇒ ∃Y (x∈Y ∧ Y ∈A)

Axiome de l’ensemble des parties : Pour tout ensemble A, il existe un ensemble C dont les éléments sont les parties de A :

∀A∃C∀X(X ∈C ⇐⇒ X ⊂A)

2 Utilisation du langage formel

Exercice 1. Écrire des formules utilisant uniquement les symboles primitif du langage de la théorie des ensembles (soit : symboles logiques, égalité, appartenance et parenthèses) et exprimant :

1. X =∅;∅ ∈X; X ∈ ∅; 2. y∈S

X; Y =S X;

3. {x∈A|F(x)}={y∈B|G(y)};

4. X est la paire {u, v};X est une paire, une vraie paire, un singleton ; 5. z est le couple(x, y); z est un couple ;

6. Gest le graphe d’une fonctionf telle quef(x) =y;Gest le graphe d’une fonctionfinjective de A dans B.

Exercice 2. Démontrer, en utilisant les axiomes de Zermelo, l’existence des ensembles :

(2)

2

1. E0 =

{x} |x∈A ; 2. E1 ={S

x|x∈A}; 3. E2 ={B∩x|x∈A}.

Exercice 3. Soit(Ai)une famille d’ensembles, soit un ensemble de couples, dont les les premières composantes sont les indices et les secondes composantes, les éléments de la famille. On note I l’ensemble de tous les indices. Justifier l’existence des ensembles :

1. I;

2. {Ai |i∈I};

3. T

i∈IAi pourI 6=∅; 4. S

i∈IAi;

Exercice 4 (couples de Wiener). Montrer que la définition suivante des couples, due à Wie- ner (1914), satisfait bien la propriété fondamentable des couples :

(x, y)w =n

{x},∅ , {y} o

3 Algèbre de Boole des parties d’un ensemble

Exercice 5 (distributivité). Soit

A

6=∅, et soit B un ensemble. Montrer que : B∪\

A

=\

{B∪X|X ∈

A

} C∩[

A

=[

{B∩X|X ∈

A

}.

Exercice 6 (dualité ou règles de de Morgan). Pour

A

6=∅, montrer que : B r

\

A

=[

{BrX|X ∈

A

} B r

[

A

=\

{BrX|X ∈

A

}

Exercice 7 (Images directe et réciproque d’ensembles par une fonction). Soitf :X → Y une fonction.

1. Montrer les identités suivantes, pour tous ensembles A, B ⊂Y :

f−1(A∪B) =f−1(A)∪f−1(B) f−1(A∩B) =f−1(A)∩f−1(B) f−1(ArB) =f−1(A)rf−1(B)

2. Donner une condition suffisante sur f qu’on ait, pour tous ensembles A, B ⊂X :

f(A∩B) = f(A)∩f(B) f(ArB) = f(A)rf(B)

3. A-t-on f(A∪B) =f(A)∪f(B) en général ?

4. Les égalités ensemblistes précédentes se généralisent-elles aux unions et intersections infinies ? 5. Montrer que f est surjective si et seulement si f−1 :P(Y)→ P(X)est injective.

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