Traitement du Signal Numérique
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- Echantillonnage -
Après échantillonnage à la fréquence Fe=32kHz, un signal vaut : x(n)=cos(nπ3).
1) Quelle était la fréquence du signal analogique xA(t) si on suppose que le théorème de l’échantillonnage était respecté ?
2) On cherche à produire un signal en combinant 3 échantillons successifs : y(n)=x(n)+a⋅x(n−1)+b⋅x(n−2)
Quelles doivent être les valeurs de a et b pour que y(n) soit systématiquement nul ? Vérifier que y(n) est bien nul sur une période du signal x(n).
3) Quel est le spectre XA( f) du signal xA(t) ? Exprimer le spectre X( f) du signal x(n) en fonction de XA( f). Représenter X( f).
4) On intercale deux échantillons à 0 entre chaque échantillon du signal x(n). Quelle est la fréquence d’échantillonnage Fe' du signal x2(n) ainsi obtenu ?
5) Exprimer le spectre X2(f) du signal x2(n) en fonction de XA( f) puis en fonction de X( f). 6) Comment faut-il traiter le signal x2(n) pour obtenir le signal y(n) qui aurait été obtenu en
échantillonnant xA(t) à la fréquence Fe' ?
7) Quelle est la réponse impulsionnelle h(n) du traitement ? Le traitement est-il causal ? 8) Vérifier le résultat grâce à une simulation sous MATLAB (joindre le code Matlab).
9) Calculer et représenter la réponse en fréquence H( f) du traitement (module et phase).
10) Comment faut-il traiter le signal y(n) pour obtenir le signal x3(n) qui aurait été obtenu en échantillonnant xA(t) à la fréquence F3 =48kHz ?
11) Déterminer pour 6 instants successifs les expressions de x3(n) en fonction des échantillons de x(n). En déduire une méthode pour déterminer directement le signal x3(n) à partir du signal x(n).
12) On cherche maintenant à faire de même pour un signal xA(t) contenant plusieurs
fréquences inconnues. Quelle est la fréquence maximale admissible pour que le théorème de l’échantillonnage soit respecté ?
13) Etablir une méthode dans le cadre de ce signal plus riche permettant de passer d’une fréquence d’échantillonnage de 32kHz à une fréquence d’échantillonnage de 48kHz. 14) Vérifier la méthode grâce à une simulation sous MATLAB (joindre le code Matlab).
