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L’échantillonnage d’une fonction continue est sa représentation par un ensemble de N valeurs, N étant un nombre entier.
Sur le plan théorique, l’échantillonnage offre une représentation discrète pour les signaux analogiques.
L’opération inverse de l’échantillonnage: L’interpolation.
Il s'agit de restituer toutes les valeurs du signal analogique à partir de la connaissance des échantillons.
Échantillonnage idéal
Circuit d’échantillonnage
C’est tout circuit générant un ensemble discret de valeurs prélevées sur son entrée analogique.
Echantillonneur
Temps:
n=0,1,2,..
x(nT) Temps: t
x(t)
T
Signal original x(t)
Signal discret
xe(t)= x(nT)={x(nTe)}
Période d'échantillonnage Te= T
Le symbole d’un échantillonneur est l’interrupteur.
Temps: t Temps:
n=0,1,2,..
T
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Théorème de Shannon
Pour échantillonner un signal sans perte d'information, il faut que la fréquence d'échantillonnage Fe soit supérieure au double de la fréquence maximale du signal:
Fe 2 F max
Fréquence de Shannon:
(de Nyquist ou fréquence de repliement):
Elle vaut:
C’est la fréquence maximale admissible dans un spectre qui permet d’éviter les distorsions du spectre du signal échantillonné par une fréquence Fe.
2 Fma x Fe
Filtre de Shannon :
C’est le filtre passe – bas idéal de fréquence de coupure égale à la
fréquence de Shannon. -Fe/2 0 Fe/2 f
Restitution du signal
Pour restituer un signal x(t) à partir de xe(t) il suffit de pouvoir isoler un motif du spectre Xe(f).
Pour ceci, il faut que le spectre initial soit borné et que l’échantillonnage vérifie le théorème de Shannon.
1 2
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Echantillonnage réel
Le peigne de Dirac utilisé pour l’échantillonnage idéal est un objet théorique.
Dans la pratique, seules des impulsions approximant ceux de Dirac peuvent être utilisées: durée courte non nulle.
Pour un échantillonnage réel, il faut prendre en compte:
1. Les moyens techniques disponibles pour la génération des impulsions de durées
et de période Te (électronique non linéaire) .
2. Les limites tolérables des déformations lors de la restitution.
Un nouveau objet mathématique va être utilisé: Le peigne réel.
) nTe t
( )
t (
* ) t ( )
t (
n Te
,
Te
Son spectre s’exprime par:
TF( )( f ) . F sin c ( nF ) ( f nF
e)
n
e e
,
Te
Te nTe 2
n
n
Te(t) (t nTe)
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Exemples d’échantillonnages
2 t
x
e(t)
x
e(t)
x
e(t)
nTe
2
nTet
2
nTet
x
e(nT
e)=x(t) pour
nT
e-
<t
<nT
e +
x
e(t)=x(nT
e )pour
nT
e -
<t
<nT
e+
x
e(nT
e)= moy
(x(t)) pour
nT
e--
<t
<nT
e+
Echantillonnage naturel:
Amplitude égale à celle du signal durant la durée 2.
Echantillonnage régulier:
Amplitude constante durant toute la durée 2 et égale à celle du signal à l’instant d’échantillonnage x(nTe).
Echantillonneur moyenneur:
Amplitude constante durant toute la durée 2 et égale à la moyenne du signal durant intervalle 2 autour de l’instant d’échantillonnage nTe.
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Echantillonnage naturel
( t ) * ( t )
spectre de base Xe0(f) peut alors s’écrire (si les précautions théoriques sont prises) selon:)
Cet échantillonnage est comparable à l’échantillonnage idéal et n’est pas réalisable pratiquement.
2 t
Echantillonnage régulier bloqueur
Remarquons qu’on a aussi
)
Il y a déformation de X(f) par la fonction sinc. Si <<Te, cette déformation peut être acceptable.
Exemple: =5s; Te=20kHz; distorsion à f0=1KHz de l’ordre de 2%.
!
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Échantillonneur moyenneur
Échantillonnage réel par moyennage simple
Relations énergétiques Exercice:
1.
Exprimer l’énergie d’interaction entre deux signaux x(t) et y(t) (à spectres bornés ) en fonction des échantillons obtenus par un échantillonnage respectant la condition de Shannon.2.
Déduire l’expression de l'énergie totale d’un signal en fonction des puissances des échantillons.3.
Déduire l’expression de l’autocorrelation d’un signal en fonction des puissances des échantillons.www.al3abkari-pro.com
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• La quantification est une discrétisation de l’amplitude du signal.
• C’est une opération préliminaire à tout traitement numérique d’un signal car les systèmes numériques ne travaillent que sur des quantités finies: les amplitudes, comme le temps, doivent prendre des valeurs finies dans un ensemble fini de valeurs.
• Ceci limite la précision d’une représentation.
La quantification consiste à transformer les échantillons d’un signal x(nTe)=x(n)=xn en des échantillons d’amplitudes y(nTe)=y(n)=yn prises dans un ensemble fini connu à l’avance.
Quantification des signaux échantillonnés
La quantification est donc
1. Une classification de xn dans des intervalles pré-définis.
2. Une approximation où chaque valeur de xe(t) est représentée par un multiple entier d'une quantité élémentaire q appelée "pas de quantification" ou quantum.
Si le quantum q est constant, on parle de quantification uniforme.
Lois de quantification:
L’association de yn à xn se fait selon une certaine loi: Arrondi au plus proche voisin, Arrondi par défaut, par excès,…..
La quantification yn =Q(xn ) est une loi non linéaire.
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Exemples de quantification:
1. Par arrondi: Si ) q
2 N 1 ( ) t ( x 2 q
N 1 e
Alors à xe(t) on associe le code
N ou la valeur Nq
2. Par troncature: Si
Nq x
e( t ) ( N 1 ) q
Alors à xe(t) on associe le code N ou la valeur Nq Erreur de quantification:La quantification introduit une erreur dite erreur de quantification:
n
n
x
y k )
(
Procédure de base
1. On défini des intervalles d’amplitude Ik selon Ik=]xk , xk+1] où xk et xk+1 sont deux valeurs numériques. (En général, on prend M=2N intervalles (k=1 à M) où N est le nombre de bits associé aux niveaux de xk.
2. On associe à l’échantillon d’amplitude xn un indice k si son amplitude est dans l’intervalle Ik.
I3 I2 I1 I0
0 T 2T 3T t -3T -2T -T
Intervalles d’amplitudes: valeurs numériques de référence:
xk (k=1,2,3,4) Amplitude signal
Echantillons discrets:
Exemple: Arrondi par défaut
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Quantification uniforme
La longueur de l’intervalle Ik=]xk , xk+1] est une constante: C’est le quantum q.
La quantification selon le plus proche voisin se fera en associant
l’ensemble à ensemble selon:
N max max
2 V 2 M
V q 2
Amplitude +Vmax
t -Vmax
xe(k)
xe,q(k)
) q 2 n 1 ( ) k ( x 2 qn 1 si
nq )
k (
xe,q e
CAN
La fonction de transfert d’un CAN définit la relation entre le code numérique de la sortie du CAN en fonction de la tension d'entrée
Sortie CAN
Signal numérique
Signal d’entrée au CAN Signal analogique
Rechercher à la maison
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Erreur de quantification
C’est l’erreur entre l’entrée et la sortie reconstituée du CAN.
Elle s’exprime par: e(t) xnum(t)xanal(t)
On numérise une rampe.
L’erreur est négative et oscille entre 0 et –1 (LSB)
Il y a un offset dans le signal numérique (quantification par défaut).
Cette erreur est comprise entre - q/2 et +q/2.
Quantification sans offset (CAN corrigé)
On décale le premier LSB d’un demi LSB à gauche.
L’erreur est centrée: elle est symétrique par rapport à 0 et égale à ±1/2 LSB.
Le 1/2 LSB tronqué au début se retrouve au dernier état.
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