Traitement du signal

1 Signal

électrique

Traitement du signal

• Télécommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, …)

• Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation écho, Analyse, Synthèse, …)

• Médical (Échographie, Imagerie, Biosignaux, …)

• Radar, géophysique, Acoustique (sous-marine)

• …

Grandeur physique

Milieu de transmission

Capteur Bruit

Traitement du signal

Information

Signaux et systèmes

Les signaux :

- Déterministes - Impulsionnels - Périodiques

- Aléatoires : bruits (bruit blanc), données, information, …

Les systèmes :

– Linéaires Invariant dans le Temps (SLIT) : canaux de transmission, composants électroniques passifs (R,L,C), filtres analogiques et numériques, …

régis par l'opération de convolution

ayant les signaux sinusoïdaux comme fonctions propres Fonction de transfert et analyse de Fourrier

– Non linéaires ou non stationnaires : non linéarités (saturation),

3

Traitement Numérique du Signal

Numérisation : double discrétisation

Discrétisation temporelle : Echantillonnage Discrétisation numérique : Quantification

4

Plan du cours

Introduction Rappels

Systèmes linéaires invariants dans le temps Analyse de Fourier

Echantillonnage

Théorème de l'échantillonnage Bruit de quantification

Transformée de Fourier Discrète (TFD)

Transformée de Fourier Discrète Rapide : FFT (Fast Fourier Transform) Filtrage numérique

Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII) Transformée en Z

5 Plan du cours

Introduction

Classification des signaux et des systèmes Chaîne de traitement du signal numérique Rappels

Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps (SLIT) - Convolution - Fonctions propres Analyse de Fourier – Série de Fourier – Transformée de Fourier - Parseval

Echantillonnage

Spectre d'un signal échantillonné - Transformée de Fourier d'un signal échantillonné Théorème de l'échantillonnage

Reconstruction – Interpolation - Suréchantillonnage.

Bruit de quantification - Facteur de crête Transformée de Fourier Discrète (TFD)

Périodisation temporelle  Echantillonnage fréquentiel - Fenêtrage

Transformée de Fourier Discrète Rapide : FFT (Fast Fourier Transform) - Fonctions Matlab Filtrage dans le domaine fréquentiel, filtrage 2D

OFDM (évocation) Filtres numériques

SLIT à temps discret – Réponse impulsionnelle - Convolution discrète – Réponse en fréquence – Fonction filtrage Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) - Filtre à phase linéaire (retard) – Filtre de Hilbert – Phase minimale Synthèse par la méthode directe – Phénomène de Gibbs – Fenêtrage - Synthèse par TFD – Fonctions Matlab Filtre RIF à ondulations réparties – Nb de coefficients - Algorithme de Remez (évocation) – Fonctions Matlab Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII) – Equations aux différences – Réponse impulsionnelle Stabilité Transformée en Z – Factorisation - Stabilité de la cellule récursive du premier ordre – Stabilité d'un filtre RII Pôles et Zéros - Interprétation géométrique

Synthèse – Fonctions modèles – Transformée bilinéaire - Filtres Elliptiques – Gabarit – Ordre Étude de la cellule du premier ordre – Application à l'estimation – Mise en œuvre en virgule fixe

Étude de la cellule du second ordre – Résonance – Réponse impulsionnelle - Décomposition en éléments simples Cellule du second ordre générale - Filtre réjecteur – Déphaseur pur

Mise en œuvre en virgule fixe – Structure cascade – Quantification des coefficients – Bruit de calcul - Nb de bits – Règles Applications

Filtrage multicadence – Bancs de filtres – Transformation IQ

Références

Les livres :

• Traitement numérique du signal, Maurice BELLANGER (Dunod) ;

• Méthodes et techniques de traitement du signal, J.MAX (Masson) ;

• Traitement numérique des signaux, M.KUNT (Dunod) ;

• Digital signal processing, J. G. Proakis, D. G. Manolakis, (Prentice Hall)

Sur Internet :

• Wikipédia : site en pleine progression

• Luc Vandendorpe : http://www.tele.ucl.ac.be/EDU/ELEC2900/tout_2900b.pdf

• Joël Le Roux : http://users.polytech.unice.fr/~leroux/

Exercices, Devoirs surveillés et documents de cours :

•

http://luc.fety.free.fr

•

http://luc.fety.free.fr/ELE102

• http://luc.fety.free.fr/ftp/

7

Systèmes linéaires invariants dans le temps

Linéarité :

Invariance temporelle :

Exemples : canaux de transmission, systèmes optiques, filtres, … )

(t

x

SLIT

y (t )

)

1

( t

x y

₁

( t )

)

2

( t

x y

₂

( t )

) ( )

(

_{2 2}

1

1

x t α x t

α + α

₁

y

₁

( t ) + α

₂

y

₂

( t )

) (t

x y (t )

) ( t − τ

x y ( t − τ )

Principe de superposition

Stationnarité

8

Convolution

Réponse impulsionnelle :

Un signal quelconque peut être exprimé comme une somme d'impulsions :

En vertu de la linéarité et de l'invariance temporelle :

Cette opération s'appelle le produit de convolution :

)

δ (t

^SLIT

h (t )

τ τ δ

τ ^{t d}

x t

x ( ) = ∫

₋^+∞_∞

( ) ( − )

τ τ τ ^{h t d} x

t

y ( ) = ∫

₋^+∞_∞

( ) ( − )

) ( ) ( )

( t x t h t

y = ∗

9

Propriétés du produit de convolution

Le produit de convolution est – commutatif :

– associatif : – distributif :

L'élément neutre est l'impulsion de Dirac :

La convolution par opère une translation de :

Évaluation graphique :

(Wikipedia)

) ( ) ( ) ( )

(x g x g x f x

f ∗ = ∗

) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )

(x g x h x f x g x h x

f ∗ ∗ = ∗ ∗

) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( )

(x g x h x f x g x f x h x

f ∗ + = ∗ + ∗

) ( )

( ) ( )

( )

(x x u f x u du f x

f ∗^δ =

∫

₋^+∞_∞^δ − =

) ( )

( ) ( )

( )

(x x a u a f x u du f x a

f ∗^δ − =

∫

₋^+∞_∞^δ − − = − )

(x−a

δ ^a

du u x g u f x

g x

f ( )∗ ( ) =

∫

₋^+∞_∞ ( ) ( − )

Fonctions propres

Fonctions telles que

Proposition :

) ( )

( )

( x t d x t

h − = ⋅

∫

₋^+∞_∞ ^{τ τ τ λ}

) (t

x x ( t ) ∗ h ( t ) = λ ⋅ x ( t )

e

at

t

x ( ) = x ( t − τ ) = e

^a(t−τ)

= e

^−aτ

⋅ e

^at

= e

^−aτ

⋅ x ( t )

4 4 3 4

4 2 1 λ

τ

τ τ τ τ

τ ^{e d e h e d}

h ^{a t at +∞ −a}

∞

− +∞ −

∞

−

∫

∫

^{( ) ( ) = ⋅ ( )}

11

Exprimer le signal d'entrée comme une somme de fonctions propres :

ou

Pour déterminer plus facilement le signal de sortie : ou

est appelée " Transformée de ".

est appelée " Fonction de Transfert ".

Base de fonctions propres

∑

^⋅

=

a

eat

a X t

x( ) ( ) ^x(t)=

∫

_a^X(a)⋅eatda

∑

^{⋅ ⋅}

=

a

at a

Y

e a X a t

y 14243

) (

) ( ) ( )

( λ ⁼

∫

_a ^{⋅ ⋅ at}

a Y

da e a X a t

y 14243

) (

) ( ) ( )

( λ

) (t

x

_SLIT

y (t )

) (a

X x(t)

)

λ

(a ^{Y(a)=λ(a)⋅X(a)}

12

Différentes transformées :

• Laplace :

• Fourier :

• En Z dans le cas des signaux échantillonnés, …

ω α ^j p

a = = +

^x(t)=

∫

_p^X(p)⋅eptdp

f j

a = ² π

^x(t)=

∫

₋^+∞_∞^{X(f)⋅e2πftdf}

13

Exemple de décomposition

t f t

x ( ) = cos 2 π

_{0 SLIT}

y ( t ) = ?

t f j t

f

j

e

e t

x

^{2 0 2 0}

2 1 2

) 1

( =

^π

+

^{− π}

SLIT

SLIT

+

t f

e

j^{2 0} 2

1 π

t f

e

j^{2 0} 2

1 − π

t f f j

H

e

^{2 0}

2 ) 1

( 0 _⋅ π

t f f j

H

e

^{2 0}

2 ) 1

(− 0 ⋅ − π

0)) 0 (

2 cos(

0) ( )

(t H f f t f

y = π +ϕ

)* ( 0 0)

( f H f

H

si − =

Exemple de SLIT

) (t

x +

τ

) ( ) ( )

(t = x t +x t−τ y

) 1

(

) (

2 2

) ( 2 2

2

0 0 0

0 0

0 14243

f H

f j t

f j t

f j t f j t

f

j e e e e

e ^π → ^π + ^{π −τ} = ^π + ^{− π τ}

) 1

(

) (

2 2

) ( 2 2

2

0 0 0

0 0

0 14243

f H

f j t

f j t

f j t

f j t

f

j e e e e

e

− +

−

−

−

−

− ^π → ^π + ^{π τ} = ^π + ^{π τ}

t f e j f t H

f ej f H t t y f e j t f ej t f t

x ₀ ^{0 0} ₀ ⁰ ₀ 2 ⁰

) 2 (

2 1 ) 2 ( ) 1 2 (

2 2 1

2 2 1

cos )

( = π = π + − π → = ⋅ π + − ⋅ ⁻ π

τ τ π

τ π τ π

τ π π τ

π τ

π ₀

0 0 0

0 0 0

0) ( 0 ) 2cos ( ) 2cos

( j f

e f f

H f et e j f f

e j f e j f e j f

H = + + − ⋅ − = ⋅ − − = ⋅ +

) 2

cos(

cos ) 2

2 ( 2 ) 1 2

( 2 cos 1

2 )

(^t π^f₀τ ^ej π^f0t π^f0τ ^{e j} π^f0t π^f0τ π^f₀τ π^f₀^t π^f₀τ

y = ⋅ −



 



 ⋅ − + ⋅ − −

=

15

Ce qu'il faut retenir

Les traitements des signaux sont le plus souvent des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps.

Ils sont régis par le produit de convolution :

est la réponse impulsionnelle du système. Elle caractérise entièrement le système.

Les transformées de Laplace et de Fourier sont très utilisées pour l'étude des SLIT car elles sont basées sur des fonctions propres des SLIT de la forme .

Elles transforment le produit de convolution en produit simple.

) (t

x

_SLIT

y (t )

τ τ τ h t d x

t h t x t

y( )= ( )∗ ( )=

∫

₋^+∞_∞ ( ) ( − ) )

(t h

eat

16

17

Traitement Numérique du Signal

Le traitement numérique des signaux requiert leur numérisation :

1) Les calculateurs sont des systèmes discrets : Ils peuvent tout au plus mémoriser et calculer les valeurs des signaux à des instants dénombrables.

Il faut donc opérer une discrétisation temporelle :

L'Echantillonnage

2) Les mémoires disponibles dans les calculateurs sont elles-mêmes constituées d'un nombre fini de bits : Elles peuvent tout au plus mémoriser des valeurs arrondies des échantillons des signaux.

il s'agit d'une discrétisation numérique :

La Quantification

L'Echantillonnage

L'échantillonnage d'un signal consiste à mesurer et ne conserver que ses valeurs à des instants particuliers :

Le signal obtenu est un signal discret :

est l'indice (ou indexe) des échantillons.

est le symbole de Kronecker :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -0.5 0 0.5 1

{

^{L 0.9 0 0.9 0.6 0.6 0.9 L}

}

) ( )

( = = − − −

nTe ↑

x n

x _A

) (n x

) (t x_A

∑

^+∞

−∞

=

−

⋅

=

i

i n i x n

x( ) () δ( )

) δ(n





=

= ≠

0 1

0 ) 0

( si n

n n si

δ N

n∈

Te

fe

Te1 =

: Période d'échantillonnage

Te

: Fréquence d'échantillonnage

fe

19

Reconstruction

Problème : Plusieurs signaux présentent les mêmes échantillons :

Il faut certainement compléter l'information contenue dans les échantillons par des hypothèses supplémentaires.

Solution retenue : Hypothèses dans le domaine spectral Le théorème d'échantillonnage

τ τ τ h t d x

t h t x t

y( )= ( )∗ ( )=

∫

₋^+∞_∞ ( ) ( − )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -0.5 0 0.5 1

20

Spectre d'un signal échantillonné

Quelle est l'expression analogique du signal numérique ?

Peut-on exprimer comme une somme de sinusoïdes : ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -0.5 0 0.5 1

) (t

x_A x_N(t)

) (t x_N

) (t

x_N ^xN(t)=

∫

_f^afej2πftdf

∫

⁻

= t

ft j N

N f x t e dt

X ( ) ( ) ^2π

21

Spectre d'un signal échantillonné

Les signaux présentent tous les mêmes échantillons :x_k⁽t⁾=x_A⁽t⁾⋅^cos2πkf_et

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1

t f_e π 2 cos

t f t

x_A()⋅cos2π_e

t f_e π 4 cos

t f t

x_A⁽⁾⋅^cos4π_e )

(t x_A

) (t x_A

Spectre d'un signal échantillonné

Si nous faisons la somme de ces signaux :

∑

= + ⁻

⋅ + ^K

k e e

e A

A

et kf j et kf j

t kf t

x t

x

1 2 2

2 cos 2 ) ( )

( 14243

π π

π

=1 K

=2 K

=3 K

=4 K

=5 K

) (t x_A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-202

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-5 0 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-505

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-505

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10 0 10

Nous obtenons un signal constitué d'impulsions approchant .^xN^(t)

23

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Spectre d'un signal échantillonné

=50 K

8.8 8.9 9 9.1 9.2

-5 0 5 10 15 20 25 30 35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

1000 K =500











 + ⋅

⋅

=

∑

^∞

=1

2 cos 2 ) ( )

( )

(

k

e A

A

N t fe x t x t kf t

x π

∑

^∞

−∞

=

−

⋅

=

n A

N t x nTe t nTe

x ( ) ( ) δ( )

) ˆ (t x_N

) ( )

ˆ (

2

2

nTe x dt t

x _A

nTe

nTe N

Te

Te ⋅ ≈

∫

₋⁺

∑

^∞

−∞

=

⋅

⋅

=

k

t kf j A

N t fe x t e ^e

x () ( ) ^2π

24

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 9.4

-5 0 5 10 15 20 25 30 35

Vérification du facteur

=1 fe

=10 fe

f

e

0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 -50

0 50 100 150 200 250 300 350

=1 Te

1 .

=0 Te

25

Somme de modulation Périodisation

∑

^+∞

−∞

=

−

⋅

=

k

e A

N f fe X f kf

X ( ) ( )

∑

^∞

−∞

=

⋅

⋅

=

k

t kf j A

N t fe x t e ^e

x ( ) () ^2π

) ( f X_A

0 f

) ( f X_N

0 f

fe

fe 2f_e

fe

−2

∫

₋^+∞_∞

= X f e df t

x_A( ) _A( ) ^j2πft

∑ ∫

^∞

−∞

=

∞ +

∞

−

⋅ +

=

k

t kf f j A

N t fe X f e df

x ( ) ( ) ^{2π( e)}

) 2

( _e

A f f

feX −

Somme de modulations d’amplitude avec des fréquences porteuses kf_e

)

( _e

A f f

feX −

) ( f feX_A )

( _e

A f f

feX +

) 2

( _e

A f f

feX +

∫ ∑ −

= ₋⁺_∞^{∞ +∞}

−∞

= X f kf e df

fe t

x ^{j ft}

f X

k A e

N

N

π 2

) (

) (

) (

4 4 4 3 4

4 4 2 1

Transformée de Fourier de

∑

^∞

−∞

=

−

⋅

=

n A

N t x nTe t nTe

x ( ) ( ) δ( )

∑

^∞

−∞

=

⋅ −

=

n

fnTe j A

N f x nTe e

X ( ) ( ) ^2π

) (t x

_N

∫

₋^+∞_∞ ⁻

= x t e dt

f

X_N( ) _N( ) ^j2πft

∫ ∑

₋⁺_∞^{∞ +∞ −}

−∞

= 









 ⋅ −

= x nTe t nTe e dt

f

X ^{j ft}

n A N

δ^{( ) 2}π

) ( )

(

or

∑

^+∞

∫

−∞

=

∞ +

∞

−

−

−

−

⋅

=

n

e

ft j A

N

fnTe j

dt e

nTe t

nTe x

f

X 144424443

π

δ

π

2

) 2

( )

( )

(

car ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

τ τ

δ τ τ

δ τ τ

δ

^t− ^{f t dt} =

∫

^{f t}− ^dt = ^f

∫

^t− ^dt = ^f

∫

₋^+∞_{∞ −}^+∞_{∞ −}^+∞_∞

4 43 4

42 1

27

Reconstruction

) ( ) ( )

(f X f H f

X_A = _N ⋅

) ( f H

0 f ) ( f X_N

0 f

fe

fe

− 2fe

fe

−2

)

( _e

A

e X f f

f ⋅ + f_e⋅X_A( f) )

2

( _e

A

e X f f

f ⋅ + f_e⋅X_A(f−f_e) f_e⋅X_A(f −2f_e)

) ( f X_A

0 f

2 fe

2 fe

−

fe

1

∫

₋^{+ ⋅}

= ²

2

1 ( ) 2

) (

fe

fe

e X f e df

t

x_{A f N} ^{j πft}

28

Formule de Shannon (reconstruction)

∫

₋^{+ ⋅}

= ²

2

1 ( ) 2

) (

fe

fe

e X f e df

t

x_{A f N} ^{j πft}

∑

^+∞

−∞

=

= − n

fnTe j A

N f x nTe e

X ( ) ( ) ^2π

∫

₋⁺

∑

^+∞

−∞

=

− ⋅









= ²

2

2

1 ( ) 2

) (

fe

fe

e x nTe e e df

t

x ^{j ft}

n

fnTe j f A

A π π

∑

^+∞

∫

−∞

=

+

−

− 









= 

n

nTe t f j A f

A

fe

fe

e e df

nTe x t

x ²

2

) ( 1 2

) ( )

( ^π

∑

^+∞

−∞

=

−

−

−

− 



 



 



 



 −

=

n

nTe t j nTe t j nTe t j A f

A

fe fe

e e e

nTe x t

x ( ) ( ) ¹ _2π(¹ ₎ ^{2π2( ) 2π2( )}

∑

^+∞

( )

−∞

= −

= − n

nTe t j

nTe t f j A f

A ^e

e

nTe x t

x ( ) ( ) ^{1 2 sin(}_2π^π₍ ⁽ ₎ ⁾

∑

^+∞

−∞

= −

= − n

nTe t f

nTe t f A

A e

nTe e

x t

x ( ) ( ) ^sin(_π^π₍ ⁽ ₎ ⁾ or

t f

t f N

A _e

t

e

x t

x ( ) = ( ) ∗

^sin(_π^{π )}

t f

t f nTe

t f

nTe t f

e e e

e

t nTe

or

^sin(_π^π₍ ⁽₋⁻ ₎ ⁾

= δ ⁽ − ⁾ ∗

^sin(_π^{π )}

∑

^+∞

−∞

=

∗

−

=

n

t f

t f A

A _e

nTe

e

t nTe x

t

x ^{( ) ( )} δ ^{( )}

^sin(_π^{π )}

29

Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon

) ( f X_A

0 f

) ( f X_N

0 f

fe

fe

− 2fe

fe

−2 − ^f₂^{e f}₂^e

) ˆ (f X_A

0 f

fe

fe

− 2fe

fe

−2 − ^f₂^{e f}₂^e

fmax

max 2

f

e

f <

^{Au moins}2 échantillons par période Repliement de spectre

∑

^∞

−∞

=

−

⋅

=

n A

N t x nTe t nTe

x ( ) ( ) δ( )

∑

^∞

−∞

=

⋅

⋅

=

k

t kf j A e

N t f x t e ^e

x ( ) () ^2π

∑

^∞

−∞

=

−

⋅

=

n A

N t x t t nTe

x () ( ) δ( )

∑

^∞

−∞

=

⋅

=

k

t kf j e A

N t x t f e ^e

x () ( ) ^2π

∑

∑

^∞

−∞

=

∞

−∞

=

=

−

k

t kf j e n

e e

f nTe

t ^π

δ( ) ²

∑

∑

^∞

−∞

=

∞

−∞

=

− = −

k

e e

n

fnTe

j f f kf

e ^2π δ( )

∑

^∞

−∞

=

−

∗

=

k

e e

A

N f X f f f kf

X ( ) ( ) δ( )

∑

^∞

−∞

=

∗ −

=

n

fnTe j A

N f X f e

X ( ) ( ) ^2π

TF

TF TF

En définitive

∑

^∞

−∞

=

−

=

k

e A

e

N f f X f kf

X ( ) ( )

∑

^∞

−∞

=

= − n

fnTe j A

N f x nTe e

X ( ) ( ) ^2π

TF TF