Traitement numérique des signaux Filtrage à réponse impulsionnelle nie

Traitement numérique des signaux Filtrage à réponse impulsionnelle nie

I - On considère le traitement numérique suivant :

y(n) =x(n) + 2.x(n−1) +x(n−2)

1. Calculer le signal de sortiey(n)lorsque le signal d'entrée vaute^j2πf0nT avecFe= 8kHz 2. En déduire et représenterH(f), la réponse en fréquence du traitement

3. Calculer le signal de sortiey(n)lorsque le signal d'entrée vautx(n) =cos(n^π₄) +sin(n^3π₄) 4. Etablir la réponse impulsionnelleh(n)du traitement

5. Retrouver la réponse en fréquence à partir de la réponse impulsionnelle 6. Etablir la fonction de transfert H(Z)du traitement.

II - On considère le ltre numérique de fonction de transfert : H(Z) = 1 + 2.2Z⁻¹+Z⁻²

1. Placer les zéros dans le plan complexe et calculer la réponse en fréquence (module et phase) pour la fréquence 0.25.

2. Le signal x(n) =sin(n^π₂)étant appliqué au ltre, exprimer le signal de sortie y(n).

3. Un bruit blanc b(n)de puissance Pb = 0.1 est ajouté au signal d'entrée. Calculer la puissance totale du signal de sortie.

4. Donner la fonction de transfert en Z du ltre à phase minimale dont la réponse en fréquence a le même module.

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Traitement numérique des signaux Filtrage à réponse impulsionnelle nie

Exercice I

1. Calculer le signal de sortie y(n)lorsque le signal d'entrée vaut e^j2πf0nT avecF_e= 8kHz. y(n) =e^j2πf0nT + 2.e^{j2πf0(n−1)T} +e^{j2πf0(n−2)T}

Soit encore :

y(n) =e^j2πf0nT

1 + 2.e^−j2πf0T +e^−j2πf02T ou encore :

y(n) =e^j2πf0nT.e^−j2πf0T[2 + 2cos2πf0T] y(n) =e^j2πf0nT.e^−j2πf0T.4.cos²πf0T

2. En déduire H(f), la réponse en fréquence du traitement. La question I nous a permis d'établir que lorsqu'on applique en entrée du traitement un signal sinusoïdal (complexe), celui-ci se retrouve en sortie multiplié par une quantité complexe. Cette quantité représente la valeur de la réponse en fréquence à la fréquence f0 du signal sinusoïdal. En dénitive, la réponse en fréquence du traitement est donc simplement :

H(f) =e^{−j2πf T}.4.cos(πf T)² 3. Calculer le signal de sortie y(n)lorsque le signal d'entrée vaut

x(n) =cos(n^π₄) +sin(n^3π₄) Le signal de sortie est alors :

y(n) =cos(n^π₄) +sin(n^3π₄) + 2cos((n−1)^π₄) + 2sin((n−1)^π₄) +cos((n−2)^π₄) +sin((n−2)^π₄) Cette expression pourrait être simpliée en ayant recours aux formules trigonométriques. Il est cependant possible de procéder diéremment en passant dans le domaine fréquentiel et en exploitant la réponse en fréquence que nous venons d'établir :

X(f) = ¹₂δ(f−0.125) + ¹₂δ(f + 0.125) + _2j¹δ(f−0.375) +_2j¹δ(f + 0.375)

Y(f) = ¹₂δ(f −0.125).H(0.125) +¹₂δ(f+ 0.125).H(−0.125) +_2j¹δ(f−0.375).H(0.375) +_2j¹δ(f+ 0.375)H(−0.375) soit encore :

Y(f) =1

2δ(f−0.125).e^−jπ4 +¹₂δ(f+ 0.125).e^+jπ4

.4.cos(^π₈)²+ h1

2jδ(f−0.375).e^−j3π4 +_2j¹δ(f+ 0.375).e^+j3π4 i

.4.cos(^3π₈ )²

et donc : y(n) =₁

2e^+jnπ4.e^−jπ4 +¹₂e^−jnπ4.e^+jπ4

.4.cos(^π₈)²+h

1

2je^+jn3π4 .e^−j3π4 +_2j¹e^−j3π4 .e^+j3π4i

.4.cos(^3π₈)²

y(n) =cos(n^π₄ −^π₄).4.cos(^π₈)²+sin(n^3π₄ −^3π₄).4.cos(^3π₈)²

En observant l'expression du signal de sortie on s'aperçoit qu'on aurait pu aboutir beaucoup plus rapide- ment au résultat :

y(n) =|H(0.125)|.cos(n^π₄ +ϕ(0.125)) +|H(0.375)|.sin(n^3π₄ +ϕ(0.375))

Cette façon de procéder n'est exacte que dans le cas où à la fois le signal et le traitement sont réels.

Mais c'est généralement le cas et désormais nous utiliserons toujours ce résultat pour traiter ce genre de problème.En dénitive :

y(n) = 3.4142.cos((n−1)^π₄) + 0.5858.sin((n−1)^3π₄)

Les deux composantes fréquentielles d'égale amplitude qui composaient le signal d'entrée sont présentes dans le signal de sortie mais leurs amplitudes sont très diérentes. La fréquence la plus basse a été ampliée alors que la fréquence la plus haute a été atténuée. Le traitement remplit une fonction de ltrage fréquentiel. Le ltre en question est un ltre passe-bas.Les deux composantes fréquentielles sont déphasées diéremment de telle sorte quelles apparaissent en sortie avec un retard identique égal à un instant d'échantillonnage. Ce phénomène provient de la phase linéaire du traitement.

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4. Etablir la réponse impulsionnelle h(n)du traitement. Il sut pour cela d'établir le signal de sortie lorsque le signal d'entrée est constitué d'une seule impulsion unitaire placée à l'instant 0.

h_n={1 ; 2 ; 1}

5. Retrouver la réponse en fréquence à partir de la réponse impulsionnelle. Par dénition : H(f) =

N−1

X

i=0

hi.e^{−j2πf iT}

Il vient donc :

H(f) = 1 + 2e^{−j2πf T} +e^{−j4πf T} 6. Etablir la fonction de transfert H(Z)du traitement : Par dénition :

H(Z) =

N−1

X

i=0

h_i.Z⁻ⁱ

Il vient donc :

H(Z) = 1 + 2Z⁻¹+Z⁻²

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