Traitement numérique des signaux Filtrage à réponse impulsionnelle infinie Cellule du premier ordre

Traitement numérique des signaux Filtrage à réponse impulsionnelle infinie

Cellule du premier ordre

On considère le traitement numérique suivant :

y(n) =a.x(n) +b.y(n−1)

I - Calculer la réponse impulsionnelleh(n)du traitement.

II - En déduire la fonction de transfertH(Z)du traitement.

III - Vérifier le résultat en recalculant H(Z)à partir de l’équation définissant le traitement. Placer les pôles et les zéros dans le plan enZ.

IV - Etablir la réponse en fréquence (module et phase). En déduire le comportement du traitement en fonction des paramètresaetb(passe-bas, passe-haut, stabilité ...).

V - Soit le signal suivant :

x(n) =m+b(n)

oùmest une valeur constante etb(n)est un bruit blanc de puissanceσ².

Comment doit-on choisir les paramètresaet b pour estimer m. Calculer le gain en rapport signal à bruit.

VI - Quel filtre à réponse impulsionnelle finie faudrait-il choisir pour obtenir les mêmes performances (longueur et coefficients). Comparer les coûts de calcul.

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Traitement numérique des signaux Correction du TD

Filtrage à réponse impulsionnelle infinie Cellule du premier oddre

I - On remplacex(n)parδ(n). On suppose quey(n) = 0∀n <0. Il vient : h(n) = 0∀n <0

h(n) =a.bⁿ ∀n≥0 II - Par définition :

H(Z) =

+∞X

i=−∞

h(i).Z⁻ⁱ

Il vient donc :

H(Z) =a.

X+∞

i=0

bⁱ.Z⁻ⁱ=a

+∞X

i=0

¡b.Z⁻¹¢_−i

H(Z) = _1−b.Z^a −1 si|b.Z⁻¹|<1 H(Z) =∞ailleurs

H(Z) = a

1−b.Z⁻¹ si|b.Z⁻¹|<1 III -

y(n) =a.x(n) +b.y(n−1) Y(Z) =a.X(Z) +b.Y(Z).Z⁻¹

H(Z) = Y(Z)

X(Z)= a 1−b.Z⁻¹

fonction de transfert à1 pôle réel, de valeurb.

IV -

H(f) = a

1−b.e^{−j2πf Te}

a: facteur d’échelle.

b: pôle de la fonction de transfert. |b|doit être inférieur à1 pour la stabilité.

0< b <1 : filtre passe bas

−1< b <0 : filtre passe haut

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La sélectivité du filtre est d’autant plus importante que|b|est proche de 1.

Impossibilité de faire d’autre filtre que passe-bas ou passe-haut (pôle réel).

V - Pour obtenir une bonne estimation de m, il faut laisser passer la composante continue avec un gain de1 tout en rejetant le plus possible le bruit blanc.

La réponse du filtre à la composante continuemest :

a 1−b

pour obtenir un gain de1. Le facteur d’échelleadoit donc être égal à1−b.

La puissance de bruit en sortie du filtre vaut :

σ².

+∞X

i=0

h(i)²=σ² a² 1−b² La puissance du signal en sortie vaut :

m². µ a

1−b

¶₂

Le rapport signal à bruit en sortie vaut :

m²

σ². 1−b² (1−b)² =m²

σ².1 +b 1−b Le gain en rapport signal à bruit qui vaut

1 +b 1−b

est d’autant plus grand que b est proche de1(typiquement 0.99).

VI - Pour obtenir les mêmes résultats avec un filtre à réponse impulsionnelle finie, il faudrait que la longueur soit égale à ^1+b_1−b et fixer tous les coefficients à ^1−b_1+b ⇒gain de 1pour le continu et gain pour le bruit blanc de :

1+b 1−b−1

X

i=0

µ1−b 1 +b

¶₂

=1−b 1 +b

Le coût de calcul serait de ^1+b_1−b multiplication-accumulation par instant alors qu’il ne fallait que 2 multiplication-accumulation avec la solution récursive.

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