La stabilité des systèmes régulés et asservis 1- Réponse impulsionnelle d’un système

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La stabilité des systèmes régulés et asservis 1- Réponse impulsionnelle d’un système

Définition : Une impulsion de Dirac ( )t est un signal d’amplitude infinie en t=0 et nulle pour t$0. La transformée de Laplace d’un Dirac demande quelques notions sur les distributions que nous n’aborderons pas ici, nous pouvons cependant écrire que :

L

^[ ^{( )}^t ^{] =}

0

( ).t e pt.dt e p.0 1

+ = =

Considérons un système caractérisé par la transmittance isomorphe T(p) et soumettons-le à une impulsion de Dirac.

Si le signal d’entrée e(t) = ( )t sa transformée est E(p) = 1. On remarque alors que :

( ) ( ) ( )

( ) T p S p S p

= E p =

La transformée de Laplace du signal de sortie d’un système excité par un Dirac correspond donc à la transmittance isomorphe T(p) de ce système.

Ce système est stable si le signal de sortie, après l’impulsion de Dirac, se stabilise en revenant à sa valeur initiale. Dans le cas où nous avons s(0)=0,

nous aurons après l’excitation

[ ]

₀

[ ]

0

( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0

t p p

s = s t = pS p = pT p = .

Un système stable est un système qui écarté de sa position d’équilibre y revient.

2- Stabilité et équation différentielle

Expliquons à présent le lien entre l’équation différentielle qui régit le comportement d’un système et la stabilité de ce système. Prenons le cas de la réponse indicielle d’un système du second ordre (circuit RLC série par exemple, voir fig 1) caractérisé par l’équation :

2

2 2

0 0

1 d u 2m du

dt + dt + =u E (E = constante)

Nous savons que le régime transitoire de la réponse indicielle correspond

T (p)

E(p) S(p)

t ( )t Représentation

symbolique

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à la solution de l’équation sans second membre ₂ ²₂

0 0

1 2

d u m du 0

dt + dt + =u et que le régime permanent correspond à une solution particulière de l’équation complète, ici u=constante.

En régime permanent pour notre réponse indicielle, les dérivées d u²₂ dt et du

dt sont nulles et l’on retrouve bien à partir de l’équation complète u=constante=E, la réponse indicielle se termine à ce moment. On remarque la disparition du premier membre de l’équation différentielle au profit du second membre, voir fig 2.

En conclusion :

Un système est stable si sa réponse transitoire tend vers zéro au cours du temps. En régime permanent, sa réponse indicielle est finie.

fig1

fig2

3- Condition de stabilité d’un système bouclé

Considérons maintenant un système caractérisé par la transmittance isomorphe en boucle fermée T (p), excité par un Dirac.

Nous avons T (p) = S(p).

La décomposition de T (p) en éléments simples permet d’obtenir la forme : ( ) ( ) ( )

( )

k

k k

C T p S p N p

D p p a

= = = , où lesa_ksont réels ou complexes conjugués.

Rappel : - les racines de N(p) sont appelées zéros de T (p) - les racines de D(p) sont appelées pôles de T (p)

Dans la table des transformées de Laplace, la transformée inverse de

E u

(3)

1

p a+ correspond à e at ce qui permet d’écrire s(t), expression temporelle du signal de sortie et transformée inverse de S(p), sous la forme : ( ) _k. ^k

k

s t = C ea t Pour que cette expression converge il faut que chaque a_k soit à partie réelle négative.

En conclusion, pour qu’un système soit stable, il faut que les pôles de sa

transmittance isomorphe en boucle fermée soient à gauche de l’axe imaginaire dans le plan complexe.

4-

Critère de stabilité

Il n’est souvent pas possible de trouver simplement les pôles car le dénominateur de la transmittance en boucle fermée peut être d’un degré élevé, c’est donc dans le but de simplifier l’étude de la stabilité d’un système que nous allons introduire le critère du revers de Nyquist. Ce critère permet de déterminer la stabilité d’un système en boucle fermée à partir de l’étude de la transmittance isochrone T (j=) en boucle ouverte.

Il faut commencer par tracer les couples de valeurs (Im[ T(j=) ];Re[ T(j=) ]) dans le plan complexe (plan de Nyquist) pour les valeurs croissantes de =. Si la courbe ainsi obtenue passe à droite du point -1 (point dit critique) sur l’axe des réels, chaque pôle a_k est à partie réelle négative et le système est stable en boucle fermée.

Stable Critique Instable

Re Im

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5-

Marges de stabilité

Lorsque le système est critique (juste instable), la courbe passe précisément en -1 ce qui correspond à T_BO(j ) 1= et ^arg

(

^T^BO⁽^j ⁾

)

⁼ ^{, il faut}

donc éviter la coexistence de ces deux valeurs.

Plus la courbe qui représente la transmittance en boucle ouverte dans le plan complexe pour 0, passe loin du point critique -1, sans entourer ce point, plus le système est stable en boucle fermée. Si la courbe est proche du point critique il est possible que le système devienne instable lorsque l’on referme la boucle, il convient donc de définir une marge de sécurité.

Nous étudierons le degré de stabilité de nos systèmes en utilisant les diagrammes de Bode en gain et en phase.

La méthode est simple :

On repère la pulsation pour laquelle on a T_BO(j ) 1= ce qui correspond à GdB = 20.logT_BO(j ) =0 et on mesure l’argument de TBO (j=) qui, pour cette pulsation, doit être suffisamment éloigné de . Nous prenons une marge de sécurité, appelée marge de phase, de

4 au minimum.

La marge de phase MC s’exprime par la relation : MC = ⁺^arg

(

^T^BO

( )

^j

)

(5)

On peut également inverser le problème en définissant une marge de gain (au moins 10 dB) en repérant la pulsation pour laquelle on a

( ( ) )

arg T_BO j = . Cela revient au même.

6- Précision d’un système

Prenons pour simplifier le cas d’un système du premier ordre.

Transmittance en boucle ouverte :

( ) 2

( ) ( ) 1

BO

T p S p

E p p

= =

+

Travail :Pour cet exemple, donner :

- L’expression de S(p) en réponse indicielle.

- L’expression de s(t) correspondante.

- Le temps de réponse à 5% tr_5%.

- La valeur finale de s(t) en utilisant le théorème de la valeur finale.

- La représentation graphique de la réponse s(t) (comparer ce résultat à la fig 3).

Sous l’action d’une perturbation la sortie évolue librement, ce qui est inacceptable. La prise en compte de l’écart entre la sortie et la consigne est indispensable si l’on veut ’’contrer’’ ces perturbations.

La comparaison de la grandeur de sortie avec la consigne est assurée par un opérateur de différence (ou sommateur algébrique). La chaîne directe correspond au système physique qu’il faut commander et nous choisissons ici une chaîne de retour unitaire, pour simplifier.

On dit que l’on passe en système de commande asservi.

Transmittance en boucle fermée : 2

( ) 1 ( ) 2

( ) ( ) 1 2 1 ( ) 3

1

BF BO

BO

T p

S p p

T p

E p T p p

p

= = + = =

+ +

- Le temps de réponse à 5% tr_5%.

- La valeur finale de s(t) en utilisant le théorème de la valeur finale.

- La représentation graphique de la réponse s(t) Comparer ce résultat à la fig 4.

La sortie tente maintenant de suivre la consigne mais on constate une E(p)

+ -

2 1+ p

S(p) 2

1+p

E(p) S(p)

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erreur statique non négligeable.

A partir du théorème de la valeur finale, il est possible d’estimer l’erreur statique et donc la précision de notre système connaissant sa transmittance isomorphe. En effet l’erreur statique correspond à :

[ ]

₀

[ ]

lim ( ) lim ( ( ) ( ))

s =t E s t = p p E p S p Pour notre exemple, 1

( )

E p = p et 1 2

( ) ( ). ( ) .

BF 3 S p E p T p

p p

= =

+ par conséquent :

0 0

1 2 2 2 1

lim ( ) lim 1 1

(3 ) 3 3 3

s p p p

p p p p

= = = =

+ + ce qui correspond

bien à la réponse de la figure 4.

La maîtrise de notre système passe par le contrôle du temps de réponse et de la précision tout en assurant une bonne stabilité. Il est donc impératif de corriger le système de commande asservi.

fig3 fig4

7- Correction du système de commande asservi

Pour corriger un système de commande asservi on introduit un correcteur dans la chaîne directe, juste après l’opérateur de différence (il existe d’autres techniques non abordées ici). Nous traitons ici les correcteurs analogiques, les correcteurs numériques seront abordés ultérieurement.

7-1- Correcteur proportionnel (P)

Introduisons dans notre exemple un correcteur de type P de gain A=10.

(7)

Transmittance en boucle fermée :

20 1 20

( ) 1 20 21

1

BF

T p p

p p

= + =

+ + + Travail :Pour cet exemple, donner :

- Le temps de réponse à 5% tr5%. - La précision statique du système.

Retrouver ces valeurs sur la fig 5.

On remarque une diminution importante de l’erreur statique et du temps de réponse.

Notons que l’erreur ne s’annule pas. Il est tentant d’augmenter considérablement le gain du correcteur pour limiter au maximum cette erreur statique mais ceci est à éviter car pour un système d’ordre supérieur à 1, un gain trop important peut

engendrer l’instabilité du système. _fig5

Dilemme précision – stabilité

Prenons le cas d’un système du second ordre de transmittance isomorphe en boucle ouverte : 2

( ) 1 ²

TBO p

= p p + +

La mesure sur une représentation de Bode de la marge de phase (voir fig 6) montre quelle est suffisante pour assurer une bonne stabilité en boucle fermée.

La réponse indicielle en boucle fermée correspond à la transmittance : ( ) 2

3 ²

TBF p

= p p

+ + (voir fig 7) et présente une erreur statique importante.

E(p)

+ - 2

1+ p 10

S(p)

(8)

fig6

fig7

Pour limiter cette erreur nous pouvons faire le choix d’augmenter le gain d’amplification de la chaîne directe en ajoutant un correcteur proportionnel de gain égal à 5 par exemple. Nous obtenons alors une transmittance isomorphe en boucle ouverte :

( ) 10

1 ²

TBO p

= p p + +

La mesure sur une représentation de Bode de la marge de phase (voir fig 8) montre qu’elle n’est plus suffisante pour assurer une bonne stabilité en boucle fermée. Bien qu’améliorant la précision de notre système, nous avons en fait fortement dégradé la stabilité (voir réponse indicielle fig 9)..

(9)

fig8

La correction proportionnelle à un effet accélérateur et déstabilisateur sur un système asservi

fig 9

Dans ce dilemme précision - stabilité il nous faudra faire un compromis.

7-2- Correcteur intégral (I)

Introduisons dans notre exemple un correcteur de type I.

Effectuer une intégration revient, au sens de Laplace à diviser par p, la transmittance isomorphe d’un intégrateur simple est donc 1

p.

(10)

2

2 (1 ) 2

( ) 1 2 2

(1 )

BF

p p

T p

p p

p p

= + =

+ + + + Travail :Pour cet exemple, donner :

- Le temps de réponse à 5% tr5% en utilisant l’abaque approprié.

- La précision statique du système.

- La marge de phase (représenter pour ce faire le diagramme de Bode en gain et en phase de TBO(p)).

Retrouvez vos valeurs sur la fig 10. Le système est-il stable ?

On remarque qu’il y a une annulation de l’erreur statique, ce qui confère à notre système une précision maximum en réponse indicielle, mais que le temps de réponse est beaucoup plus important. L’ajout d’un intégrateur dans la chaîne directe rend visiblement le système moins stable. Si notre chaîne directe contenait naturellement un intégrateur dans l’expression de sa transmittance isomorphe il faudrait prendre quelques précautions avant d’ajouter ce type de correcteur sous peine d’instabilité.

fig10

7-3- Correcteur proportionnel - intégral (PI)

Le correcteur intégral augmentant le temps de réponse, nous allons ajouter une correction proportionnelle qui aura pour but de palier cet effet.

Introduisons donc dans notre exemple un correcteur de type PI de transmittance isomorphe A 10

p = p . Notons que ce correcteur peut se présenter sous la forme d’une somme.

2

20

20 (1 )

( ) 1 20 20

(1 )

BF

p p

T p

p p

p p

= + =

+ + + + E(p)

+ - 2

1+p 1

p

S(p)

E(p) + -

2 1+ p 10

p

S(p)

(11)

- Le temps de réponse à 5% tr5%en utilisant l’abaque approprié.

- La précision statique du système.

- La marge de phase (représenter le diagramme de Bode en gain et en phase de TBO(p)).

Retrouvez vos valeurs sur la fig 11. Le système est-il stable ?

L’erreur statique reste nulle mais l’introduction du facteur d’amplification, trop important sur la chaîne directe, rend le système instable stable. On observe à nouveau l’effet accélérateur et déstabilisateur du correcteur de type P. Il faut donc choisir le gain du correcteur proportionnel avec précaution si l’on veut réellement accélérer notre système.

fig11