Réglage de PID fractionnaire pour une Réponse désiré en boucle fermée

MINISTERE DE L’ENSIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MENTOURI DE CONSTANTINE FACULTE DES SCIENCES DE L ΄ INGENIEUR

DEPARTEMENT D ΄ ELECTRONIQUE

N⁰ d’Ordre :…...

Série :………...

MÉMOIRE DE MAGISTER

Présenté par : Mr Nadir Fergani Option : Contrôle

Thème :

Soutenu le : / /2009

Examiné par le jury :

Président : A.Bennia Professeur université de Constantine Rapporteur : A.charef Professeur université de Constantine Examinateur : I.bouttamina Maitre de conférence A université de Skikda Examinateur : S.Ladaci Maitre de conférence B université de Skikda

Réglage de PID fractionnaire pour une Réponse désiré en boucle fermée

Année 2009

Je dédie ce mémoire

A mes chers parents pour tout les sacrifices consentis, pour leur soutient durant toute mes années d'études.

A mes frères et sœurs.

A tout ma famille.

A tous mes amis.

A tous mes collègues et amis de l’option Contrôle des systèmes.

A tous les membres du laboratoire de Traitement du Signal.

Nadir Fergani.

Je remercie Allah tout puissant qui m'a donné la force et la volonté pour pouvoir finir ce mémoire de magister.

Je tiens à remercier profondément mon encadreur : le professeur ABDELFATAH CHAREF pour la confiance qu’il m’a accordée, ses encouragements, et ses précieux Conseils, et pour leur effort avec mois dans ce travaille.

J’exprime ma gratitude envers Pr. BENNIA ABDELHAK professeur à l’université de Mentouri de Constantine de m’avoir fait l’honneur d’accepter de présider le jury.

Je remercie le Dr. IBRAHIM BOUTTAMINA Maître de Conférences à l’université Mentouri de Constantine de m’avoir accepté de juger ce travail en tant qu’examinateur.

Je remercie le Dr. LADACI SAMIR Maître de Conférences à l’université 20 out 1955 de Skikda, d’avoir accepté de juger ce travail en tant qu’examinateur.

Je remercier, tous ceux qui m’ont enseigné durant toutes mes études et en particulier mes enseignants à l’université de Constantine et mes enseignants à l’université de Annaba.

Enfin, je tiens aussi à remercier tous ce qui m’a aidé de prés ou de loin à la réalisation de ce modeste travail.

Introduction générale ... 1

Chapitre 1 : opérateur d’ordre fractionnaire ... 3

I.1 Introduction au calcul fractionnaire ... 3

I.2 Opérateurs d'ordre fractionnaire ... 3

I.2.1 Définition de Riemann-Liouville ... 4

I.2.2 Définition de Grundwald-Leitnikov (G-L) ... 4

I.2.3 Définition de Caputo ... 5

I.2.4 Quelque propriétés de la dérivation non entière ... 5

I.3 Transformée de Laplace des opérateurs d'ordre fractionnaire ... 6

I.3.1 Transformée de Laplace de l'intégrale d'ordre fractionnaire ... 6

I.3.2 Transformée de Laplace de la dérivée d'ordre fractionnaire ... 6

I.4 Méthodes d’approximation des opérateurs d’ordre fractionnaire ... 7

I.4.1 Méthode Générale d'approximation des opérateurs intégro-differentiels d'ordre fractionnaire ... 7

I.4.2 Méthode de Carlson ... 7

I.4.3 Méthode de Matsuda ... 8

I.4.4 La méthode d’Oustaloup ... 8

I.4.5 La méthode de Charef: Fonction de singularité ... 9

I.4.5.1 Approximation de l’intégrateur d’ordre fractionnaire ... 9

I.4.5.2 Approximation de l’opérateur dérivateur d’ordre fractionnaire ... 11

I.4.5.3 Implémentation par des circuits électriques analogiques ... 14

I.5 conclusion ... 16

Chapitre I1 : système d’ordre fractionnaire et correcteur PI^λD^µ ... 17

II.2 Approximation par une fonction rationnelle ... 17

II.3 Réponse temporelle et fréquentielles ... 18

II.3.1 La réponse impulsionnelle ... 19

II.3.2 La réponse indicielle ... 19

II.3.3 Les réponses fréquentielles ... 20

II.3.4 La fonction de transfert idéal de bode ... 21

II.4 Performances et Caractéristiques du Système d’ordre Fractionnaire Multiple ... 24

II.4.1Spécifications fréquentielles ... 24

II.4.2 Spécifications temporelles ... 24

II.5 Contrôleur PI^λD^µ ... 24

II.5.1 Introduction ... 24

II.5.2 Approximation du PI^λD^µ par une fonction rationnelle ... 25

II.5.3 Implémentation analogique du contrôleur PI^λD^µ ... 27

II.6 conclusion ... 30

Chapitre III : réglage de PI^λD^µ fractionnaire ... 31

III.1 introduction ... 31

III.2 formulation du problème ... 32

III.3 présentation de la méthode ... 33

III.3.1 principe de la méthode ... 33

III.3.2 calcule des valeurs des fonctions Gd(i) (ωu) ... 33

III.3.3 calcule des fonctions C⁽ⁱ⁾(ωu) et de Go(i) (ωu) ... 34

III.3.4 calcule des valeurs des fonctions Gp(i)(ωu) ... 35

III.3.5 calcule des valeurs des variables Xi ... 37

III.3.6 calcule des valeurs des paramètres du correcteur PI^λD^µ ... 37

III.4 algorithme de réglage des paramètres du correcteur ... 39

III.4.2 Correcteur d’ordre fractionnaire PI^λ ... 41

III.5 Exemples illustratifs ... 42

III.5.1 Exemple 1 ... 43

III.5.2 Exemple 2 ... 45

III.6 conclusion ... 47

Chapitre IV application commande d’un moteur à courant continu ... 48

IV.1 introduction ... 48

IV.2 modélisation du système ... 48

IV.3 synthèse du contrôleur ... 51

IV.3.1 cahier des charges ... 51

IV.3.2 Résultat ... 51

IV.4 Etude de la robustesse ... 53

IV.4.1 variation du gain K ... 53

IV.4.2 variation constante τm ... 57

IV.4.3 variation de K et τm ... 60

IV.5 conclusion ... 62

Conclusion générale ... 63

Références ... 64

Figure I-1 Tracés de Bode amplitude et phase de ^.et son approximé... 11

Figure I-2 Tracés de Bode amplitude et phase de ^.et son approximé ... 13

Figure I-3 réalisation analogique de l’intégrateur fractionnaire ... 14

Figure I-4 réalisation analogique de dérivateur fractionnaire ... 15

Figure II-1 La réponse impulsionnelle du système pour y=1dB, wn=1 et m=1.1,…,1.9 ... 19

Figure II-2 La réponse indicielle du système pour y=1dB, wn=1 et m=1.1,1.2,…,1.9 ... 20

Figure II-3 Tracés de Bode de (2.2) et (2.6) pour plusieurs valeurs de m ... 21

Figure II-4 boucle de commande idéale de bode ... 22

Figure II-5 Tracés de Bode amplitude et phase de L(p) pour 1<m<2... 22

Figure II-6 réponse indicielle du système (2.20) pour différente valeur de K ... 23

Figure II-7 régulateur PID et PI^λD^µ ... 25

Figure II-8 Tracés de Bode amplitude de PI^1.7D^1.7 et son approximé ... 26

Figure II-9 Tracés de Bode phase de PI^1.7D^1.7 et son approximé ... 27

Figure II-10 structure du PI^λD^µ ... 27

Figure II-11 Réalisation analogique de l’action P ... 27

Figure II-12 Réalisation analogique de l’action I^λ ... 28

Figure II-13 Réalisation analogique de l’action D^µ ... 29

Figure II-14 Réalisation analogique du contrôleur PI^λD^µ ... 29

Figure III-1 Système asservi classique à retour unitaire ... 32

Figure III-2 Réponse indicielle du système asservi projeté et du model de référence ... 43

Figure III-3 Tracés de Bode des FTBO du système asservi projeté et du model de référence .. 44

Figure III-4 Réponse indicielle du système asservi projeté et du model de référence ... 45

Figure III-5 Tracés de Bode des FTBO du système asservi projeté et du model de référence .. 46

Figure IV-2 moteur à courant continu ... 48

Figure IV-4 Schéma fonctionnel du moteur à courant continu ... 50

Figure IV-5 Tracés de Bode de CPIDG(p), C(p)G(p) et de ^. ... 52

Figure IV-5 réponse temporelle du système boucle fermée et système désirer ... 53

Figure IV-6 réponse indicielle du système en boucle fermée pour différent valeur de K ... 54

Figure IV-7 réponse indicielle du système en boucle fermée pour différent valeur de K (PID classique) ... 54

Figure IV-8 variation de marge de phase en fonction de gain K ... 55

Figure IV-9 variation de dépassement en fonction de gain K ... 55

Figure IV-10 Réponse indicielle du système boucle fermée pour différent valeur de τm ... 58

Figure IV-11 variation de marge de phase en fonction de τm ... 58

Figure IV-12 variation de dépassement en fonction de τm ... 59

Figure IV-13 dépassement en fonction de K et τm (correcteur PI^λD^µ) ... 60

Figure IV-14 dépassement en fonction de K et τm (correcteur PID classique) ... 61

Tab IV.1 Les différents caractéristiques pour K variant ... 56 Tab IV.2 différents caractéristiques pour τ_m variant ... 59 Tab IV.3 Les différentes caractéristiques (cas ou K et τ_m variées) ... 61

Ce travail porte essentiellement sur les techniques de réglage du contrôleur PI^λD^µ d’ordre fractionnaire, nous avons proposé une nouvelle méthode de réglage qui consiste à rendre le système en boucle fermée équivalent à un système désiré d’ordre fractionnaire, comme un exemple d’application on à utilisé le contrôleur PI^λD^µ régler par la méthode proposé dans la commande en position du moteur à courant continu, les résultats obtenu sont comparé avec celle- ci obtenu avec un PID classique pour démontré l’efficacité ,la robustesse et l’intérêt de l’utilisation du PI^λD^µ.

Introduction générale

Le calcul fractionnaire à son origine en question de l’extension de la signification.

L’exemple bien connu de la l’extension de la signification est l’extension de la signification du nombre réel au nombre complexe, un autre exemple est l’extension du factorielle d’un nombre entier au factorielle d’un nombre réel ou complexe. Dans la généralisation de l’intégration et la différentions la question qui pose est : est ce que on peut fait l’extension du

ou n entier à

ou α est un réel ou complexe.

Il est clair que jusqu'à une période très récente, une telle notion mathématique n'avait

aucune explication réelle ou pratique. Ce n'est qu'au début des années 1950 que les chercher sur les spectres de bruit des semi-conducteurs VanDerZiel (en 1950) et la relaxation diélectrique dans certains liquides Davidson et Cole(en 1951), ont pu mettre à jour des phénomènes naturels dont les modèles faisaient appel à la dérivée d'ordre fractionnaire. Depuis ces découvertes, beaucoup de travaux de recherche scientifique ont montré l'importance des systèmes d'ordre fractionnaire et leur intérêt en mathématique, traitement de signal,…

En automatique, ce n’est qu’au début des années 1990 que le régulateur CRONE (Commande Robuste d'Ordre Non Entier) était proposé par Oustaloup [1.6]. En profitant des propriétés avantageuses des systèmes d'ordre fractionnaire, ce régulateur permettait d'assurer la robustesse de la commande dans une bande de fréquences donnée. Depuis cette initiative, La commande d'ordre fractionnaire captiva l'intérêt de beaucoup de chercheurs. En 1999, Podlubny [3.2] a proposé le régulateur PI^λD^µ comprenant une intégration fractionnaire d'ordre λ et une dérivation fractionnaire d’ordre µ, élargissant ainsi le champ d'application du calcul fractionnaire à la théorie de la commande ce qui orienté plusieurs chercheur à un nouvelle axe de recherche qui est le réglage du correcteur PI^λD^µ d’ordre fractionnaire [3.11],[3.9],[3.12]…

Alors, l’objectif de ce travaille est de proposée une méthode simple de réglage de correcteur PI^λD^µ, l’approche proposée est basée sur un système désiré en boucle fermé défini par la fonction de transfert irrationnelle suivante :

/ ou m est nombre réel et 1<m<2, ce système à une propriété de robustesse très importante tell que ce dernier possède un dépassement indépendant de ωu.

Ce mémoire est décomposé en quatre chapitres organisé de façon suivante :

Le chapitre I est consacré aux notions de base des opérateurs d’ordre fractionnaire, on y présente les définitions mathématiques de la dériver et l’intégrale d’ordre fractionnaire puis leur transformé de Laplace en introduisant les opérateurs d’ordre fractionnaire et les différente méthodes d’approximation par des fonctions rationnelles avec un grande intérêt à la méthode de charef [1.3] qui nous avons utilisé dan notre travaille.

Le chapitre II présente des notions de base sur les systèmes linéaires fondamentale d’ordre fractionnaire en présentons les spécifications et caractéristiques du système d’ordre m pour 1<m<2 et leur approximation par une fonction rationnelle on utilise la méthode de charef [3.8] .puis en fait une présentation du correcteur PI^λD^µ d’ordre fractionnaire, leur approximation et réalisations à l’aide des circuits analogique par la méthode de charef [3.7].

Le chapitre III présente une nouvelle méthode de réglage du correcteur PI^λD^µ basé sur la réponse impulsionelle du processus avec de exemples ilustratif.

Le chapitre IV présente une application de la commande d’ordre fractionnaire, en utilisons le PI^λD^µ régler par la méthode proposé dans la commande en position du moteur à courant continu,puis l’etude de robustesse du correcteur à été faite ,en comparons les résultat avec cell ci obtenu par un correcteur classique.

Enfin, une conclusion générale résume les principaux résultats réalisés.

Opérateur d’ordre fractionnaire

I.1 Introduction au calcul fractionnaire

Le calcul fractionnaire est le champ de l'analyse mathématique, l'investigation et l’application des intégrales et des dérivées d'ordre arbitraire. Le calcul fractionnaire peut être considéré comme un sujet ancien et encore nouveau. Ces dernières années l'intérêt considérable pour le calcul fractionnaire a été stimulé par les applications que ce calcul trouve dans les différents domaines de la physique et de l’ingénierie [1.1].

Généralement on sait que les dérivées et les intégrales d’ordre entier ont des interprétations physiques et géométriques claires, qui simplifient de manière significative leur utilisation pour résoudre des problèmes appliqués dans de divers domaines de la science. Puisque l'aspect de l'idée de la différentiation et de l'intégration d'ordre arbitraire (pas nécessairement un nombre entier) n’a aucune interprétation géométrique et physique acceptable sur ces opérations pendant plus de 300 ans, et lorsque l'intégration et la différentiation d’ordre fractionnaire sont des généralisations des notions de l'intégration et de la différentiation d'ordre entière. Pour cette raison, il serait idéal pour avoir de telles interprétations physiques et géométriques d'opérateur d'ordre fractionnaire, qui fourniront également un lien pour savoir des interprétations classiques de différentiation et d'intégration d’opérateur d'ordre entier [1.2].

L’objectif de ce chapitre est de présenter les bases théoriques des opérateurs d’ordre fractionnaire nécessaires pour le développement des chapitres qui suite, tout en rappelant les définitions et les principales propriétés des opérateurs d’ordre fractionnaire.

I.2 Opérateurs d'ordre fractionnaire

Le calcul fractionnaire est une généralisation de l'intégration et de la différentiation à l'opérateur fondamental d'ordre non entier où et sont des limites de l'opération. L'opérateur intégro-différentiel continu est défini comme :















<

ℜ

= ℜ

>

ℜ

=

∫

^{( )− ( ) 0,}

, 0 ) ( 1

, 0 ) (

0 0

m d

m dt m

d

D

t

t

m m m

m t t

τ

(I.1)

Où m∈Rest l'ordre de l'opération.

Il existe plusieurs définitions mathématiques pour l'intégration et la dérivation d'ordre fractionnaire. Ces définitions ne mènent pas toujours à des résultats identiques mais sont équivalentes pour un large panel de fonctions.

I.2.1 Définition de Riemann-Liouville (R-L)

L'intégrale dite de Riemann-Liouville est définie ainsi :

Définition 1 : Soient C et ℜ les anneaux des nombres complexes et réels respectivement et ℜ (.) symbolise la partie réelle d'un nombre complexe. Soient m∈Cavec ℜ(m)>0, t₀∈ℜ et f une fonction localement intégrable définie sur [t0 +∞ [. L'intégrale d'ordre m de f de borne inférieure t0 est définie par :

^RL_t I_t^m

0 f(t) t τ f τ dτ

m

t

t

m ( )

) ( ). (

1

0

∫

^{− −}1

≡ Γ (I.2) avec t≥t₀ ^et Γ(.) est la fonction gamma d'Euler définie par :

( )

^{, 0}

0

1 >

=

Γ ^x

∫

^{∞ yx−e−ydy x .}

Définition 2 : Soient m∈C avec ℜ(m)>0, nun entier positif, t0∈ℜ et f une fonction localement intégrable définie sur [t0 +∞ [. La dérivée d'ordre m de f de borne inférieur t0 est définie par :

^RL_t D_t^m

0 f(t) t τ f τ dτ

dt d m n

t

t

m n n

n

) ( ) ( ) . (

1

0

∫

^{− − −}1

−

= Γ (I.3) Où le nombre entier nest tel que (n−1)<m<n.

Cette dérivée d'ordre fractionnaire peut aussi être définie à partir de l'équation (I.2) comme suit:

^RL_t D_t^m

0 f(t)

{

^{I( )f(t)}

}

dt

d _{n m}

n

n −

= (I.4) Remarque : Pour simplifier l'écriture, on notera dans la suite pour , et pour .

I.2.2 Définition de Grundwald-Leitnikov (G-L)

La dérivée d'ordre fractionnaire d'ordre m> 0 de G-L est donnée par :

m t GL

t D

0 f(t)=

lim0

→

h ^{1 ( 1)}

( )

^{( . )}

0

0

h k t h f

m k h

t t

k k

m

∑

^− −













−

=

(I.5) Où

[]

. dénote la partie entière d’un nombre réel, hest la période d’échantillonnage et les coefficients

( )

^mk sont donnés par :

=







 k m

) 1 k m ( ).

1 k (

) 1 m (

+

− Γ + Γ

+

Γ (I.6)

La définition de Gründwald-Leitnikov de l’intégration d’ordre fractionnaire est formulée comme

suit : ^GL_t I_t^m

0 f(t)= ⁻ ()=

0D_t^mf t

GL

t lim0

→

h ^{( 1)}

( )

^{( . )}

0

0

h k t f

h ^m_k

h t t

k k

m − ⁻ −











−

∑

= (I.7) I.2.3 Définition de Caputo

Caputo a introduit une autre formulation de la dérivée d'ordre fractionnaire définie par

m t C

t D

0 f(t) τ

τ

τ d t

f m t n

f D I

t

t

n m n n

m

n

∫

− +

−

∆

− −

= Γ

=

0

1 ) (

) (

) ( )

( ) 1

( (I.8)

avec nest un entier positif vérifiant l'inégalité (n−1)<m<n.

Cette définition peut être formulée également en fonction de la définition de Riemann-Liouville comme suit :

∑_Ґ 0 (I.9) Ce qui peut être décrit autrement par :

∑0

!" (I.10)

I.2.4 Quelque propriétés de la dérivation non entière

Les principales propriétés des opérateurs d'ordre fractionnaire sont les suivantes [1.1]:

1. Si ^f

( )

^z est une fonction analytique dez, alors sa dérivée d'ordre fractionnaireD^mf(z) est une fonction analytique de z et m.

2. Pour m=n , où n est un entier, l'opération D^mf(z) donne le même résultat que la différentiation classique d'ordre entier n.

3. Pourm=0 l'opérationD^mf(z)est l'opérateur identité : ^D0f(^z)= ^f

( )

^z

4. La différentiation et l'intégration d'ordres fractionnaire sont des opérations linéaires ^Dmaf(^z)+^Dmbg

( )

^z =^aDmf

( )

^z +^bDmg

( )

^z 5. La loi additive (propriété du semi-groupe)

^#$% ^#$% est valable sous certaines contraintes sur la fonction f(z).

6. la dérivée non entière de f(t) nécessite la connaissance de f(t) sur l'intervalle [t0,t] alors que dans le cas entier, seule la connaissance "locale" de autour de t est nécessaire. Cette propriété

permette d'interpréter les systèmes non entiers comme des systèmes à mémoire longue, les systèmes entiers étant alors interprétables comme des systèmes à mémoire courte^.

I.3 Transformée de Laplace des opérateurs d'ordre fractionnaire

Les définitions temporelles des opérateurs différentiels non entiers souffrent d'un formalisme mathématique quelque peu compliqué, mais leur expression dans le domaine de Laplace relève d'une simplicité remarquable, en particulier dans le cas de l'étude de systèmes relaxés à t=0.

I.3.1 Transformée de Laplace de l'intégrale d'ordre fractionnaire Nous commencerons par la transformée de Laplace de l'intégrale d'ordre fractionnaire de Riemann-Liouville d'ordrem>0 définie par (I.2) qu'on peut écrire comme une convolution des

fonctions ¹

) ( ) 1

( ⁻

= Γ t^m t m

g et f(t)

^{Imf t =D−mf t =}_{Γ m}

∫

^t

(

^t−

)

^{m− f d =}_{Γ m} ^{tm− f t}

0

1 1

) ( ) *

( ) 1

) ( ( ) 1 ( )

( τ τ τ (I.11)

La transformée de Laplace de la fonctiont^m−1est [15]:

{ }

^{tm m p m}

L p

G( )= ⁻¹ =Γ( ) ⁻ (I.12) donc la transformée de Laplace de l'intégrale de Riemann-Liouville

[ ] ( )

{

^{I f t}

}

^{p F( p)}

L ^m = ^−m (I.13) De la même façon la transformée de Laplace de l’intégrale d’ordre fractionnaire défini par Gründwald-Leitnikov et Caputo est aussi donné par l’équation (I.13).

I.3.2 Transformée de Laplace de la dérivée d'ordre fractionnaire

Nous citons dans ce qui suit la transformée de Laplace des différentes définitions de la dérivée.

I.3.2.1 Dérivée de Riemann-Liouville

{ } ∑

⁻

[ ]

= − − =

−

= ¹

0

0 1 () )

( )

(

n

k

t k m k m

mf t p F p p D f t

D

L (I.14)

Avec n−1<m<n cette transformée de Laplace de la dérivée de Riemann-Liouville

est bien connue. Mais son applicabilité en pratique est limitée à cause de l'absence d'interprétation physique des valeurs limites des dérivées d'ordre fractionnaire pourt=0.

I.3.2.2 Dérivée de Caputo

{ } ∑

⁻

=

−

− −

= ¹

0

1 (0) )

( )

(

n

k

k k m m

mf t p F p p f

D

L (I.15)

L'avantage principal de la définition de Caputo par rapport à celle de Riemann-Liouville est qu'elle permet de considérer des conditions initiales conventionnelles faciles à interpréter telles que y(0)=y₀,y′(0)=y₁etc. De plus, la dérivée de Caputo d’un constant est bornée (égale à 0), alors que la dérivée de Riemann-Liouville d'une constante n'est pas bornée à t =0.La seule exception est quand on prend t =−∞ comme point de départ (limite inférieure) dans la définition de Riemann-Liouville. Cependant, quand on s'intéresse à des processus transitoires, on ne peut pas accepter de placer le point de départ à −∞; dans ce cas la définition de Caputo semble être la plus appropriée quand on la compare aux autres.

I.3.2.3 Dérivée de Gründwald-Leitnikov

{

^{D f(t)}

}

^{p F(p)}

L ^m = ^m (I.16) Remarque

La résolution des équations différentielles d'ordre fractionnaire avec la transformée de Laplace se fait de la même manière qu'avec les équations différentielles d'ordre entier.

I.4 Méthodes d’approximation des opérateurs d’ordre fractionnaire

Dans ce qui suit nous allons présenter quelque méthode d’approximation de l’opérateur d’ordre fractionnaire, avec un intérêt particulier à la méthode de la fonction singulière [1.3] qui sera entièrement détaillée dans ce chapitre.

I.4.1 Méthode Générale d'approximation des opérateurs intégro-differentiels d'ordre fractionnaire

En général [1.4], une approximation rationnelle de la fonction G(p)= p^−m ,0<m<1(Intégration d'ordre fractionnaire dans le domaine de Laplace) peut être obtenue en utilisant l'expansion des fractions continues des fonctions :



















 +

=

= +

=

−

1 ; 1 ) (

) ; 1 ( ) 1 (

m l

h m m

p p G

p p T

G

p (I.17)

Où G_h( p) est l'approximation pour les hautes fréquences (ωT >>1), et G_l( p) l'approximation pour les basses fréquences (ωT <<1).

I.4.2 Méthode de Carlson

Cette méthode se base sur l'hypothèse suivante [1.4] :

(G(p))^1/m = p (I.18) La méthode de l'itérative de newton mènera à une séquence d'approximations de G_i( p) commencer de la valeur initialeG₀(p)=1, une fonction rationnelle approximée est obtenue sous

la forme :

m p p

m G

m p p

m G p G p G

m i

m i

i i



 



 −

+



 



 +



 



 +

+



 



 −

=

−

−

−

1 1 ))

( ( 1 1

1 1 ))

( ( 1 1 ) ( )

(

1 1

1 1

1 (I.19)

I.4.3 Méthode de Matsuda

La méthode proposée dans [1.4], est basée sur l'approximation d'une fonction irrationnelle par une fonction rationnelle obtenue par la CFE et l'ajustement de la fonction originale dans un ensemble de points logarithmiquement espacés. En supposant que les points choisis sont

, , 2 , 1 , 0

,k = L

p_k l'approximation prend la forme : +L

− +

− + + −

= ( ) ( ) ( ) ( ) )

(

3 2 2

1 1

0

0 a p

p p p a

p p p a

p p p

a p

G (I.20)

Ou a_i =v_i(p_i)^, v₀(p)=G(p)^,

i i

i

i v p a

p v p

−

= −

+¹ ( ) (I.21)

I.4.4 La méthode d’Oustaloup

La méthode [1.5], [1.6] est basée sur l’approximation de la fonction de la forme:

G

( )

p =p^m, m∈R⁺ (I.22) Par la fonction rationnelle suivante :

( ) ∏

−

=

∧

+ ′

= ^N +

N

k k

k

p C p

s

G ω

ω 1

1 (I.23) En utilisant les formules de synthèse suivantes :

u 5 . 0

0 α ω

ω′ = ⁻ ; ω₀ =α^0.5ω_u (I.24) 1

k 1 k k

1

k = = >

′

′_{+ +} ω αη ω ω

ω ; 1

k 1 k⁺ =η >

ω

ω ; = >0

′ α ω ω

k

k (I.25)

( )

( )

^αηω

ω log log _{N 0}

N = ;

( )

^αηα

log

= log

m (I.26)

Avec ω_ula fréquence du gain unité tel que,ω_u = ω_hω_b ωh^etωb sont les fréquences transitoires hautes, et basse respectivement.

I.4.5 La méthode de Charef : Fonction de singularité

I.4.5.1 Approximation de l’intégrateur d’ordre fractionnaire

La fonction de transfert de l’opérateur intégrale d’ordre fractionnaire est représentée dans le domaine fréquentiel par la fonction irrationnelle suivante :

&'( _)* (I.27) Avec ^p = ^jω la fréquence complexe et m est un nombre positif tel que 0 < m < 1.

Dans une bande de fréquence donnée

[

ωb,ωh

]

, cet opérateur d’ordre fractionnaire peut être modelé par un pôle à puissance fractionnaire (PPF) comme suit :

&( ⁺-^,

./"^* (I.28) Si on suppose que pour ^ω∈

[

^ωb,ωh

]

^{on a ω >>ωc} , on peut écrire :

( )

^{1 G (p)}

p p

K p

p K

G _{m m I}

m c I m

c

I = = =







= ω

ω

(I.29)

Avec ^{KI =}

(

^1/ωcm

)

^{et ωc} est la fréquence de coupure du PPF qui est obtenue à partir de la basse fréquence ω_b par la relation01 √10^4/ 1 .avec ε est l’erreur maximal permise entre la pente de la réponse fréquentielle de l'opérateur (I.27) et le PPF de l'équation (I.28).

Dans le but de représenter le PPF de l’équation (I.28), et par conséquent l’intégrateur d’ordre fractionnaire, par un système linéaire invariant dans le temps il est nécessaire d’approximer sa fonction de transfert irrationnelle par une fonction rationnelle [1.3], [3.7]. La méthode d’approximation consiste à approximer la pente de -20m dB/dec sur le tracé de Bode du PPF par un nombre de lignes en de zig-zag produisant une alternance de pente -20 dB/de et 0 dB/dec correspondant à une alternance de pôles et de zéros sur l’axe réel négative du plan p tel que p0 <

z0 < p1 < z1 < . . . < zN-1 < pN. D’où l’approximation suivante :

( ) ∏

∏

=

−

=







 +







 +

≅







 +

= N

i i

N

i i

m I

c I

p p z

p K

p p K

G

0 1

0

1 1

1 ω

(I.30)

Les p et les _i z sont les pôles et les zéros de l’approximation. En utilisant une méthode _i graphique [1.3], les pôles et les zéros de l’approximation s’avèrent sous une forme d’une progression géométrique. Cette méthode graphique d’approximation commence par une erreur d’approximation y en dB et une bande de fréquence d’approximationω_max =100ω_h. Le nombre de pôles d’approximation N est donné par:

6 (789: :;9:8 <^=>?_=>?BC^{.*@A- "}D 1 (I.31) L'arrangement des singularités (pôles-zéros) est établi selon les deux progressions géométriques suivantes :

( )

0

i

i ab p

p = , pour i=0,1,...,N

z_i =

( )

ab ⁱz0 , pour i=0,1,...,N−1

Où a et b sont appelés les rapports de position, leurs expressions en fonction de y et m sont données par :

( )^







= ^{10 1}−^m y

10

a ,



 





= ^{10 m}

y

10 b

Et le premier pôle p0 et le premier zéro z 0 sont donnés par:

b

p₀ =ω_c , z₀ =ap₀

Afin de connaître la contribution de chaque pôle au processus de relaxation. On doit décomposer la fonction rationnelle en somme de fractions élémentaires :

( ) ∑

∏

∏

=

=

−

=











 +

=











 +











 +

= ^N

i

i i N

i

i N

i

i I

p ab

p h

p ab

p ap K ab

p G

0

0 0 0

1

0 0

) 1 ( )

1 ( ) ( 1 p

. (I.32)

Ou` les coefficients hi sont les résidus et qui sont déterminés par :

( )

( )

∏

∏

∏

∏

≠

=

−

−

=

−

≠

=

−

=

−







 −

=











 −











 −

= _N

i j , 0 j

) j i ( 1

N

0 j

j i

N I

i j , 0

j 0

j 0 i 1

N

0

j 0

j 0 i

I i

) ab ( 1

a ) ab 1 ( . K p ) ab (

p ) ab 1 (

ap ) ab (

p ) ab 1 ( . K

h , i=0,1,...N (I.33)

Exemple : la figure (I-1) représente le tracer de bode de la fonction de transfert de l’intégrateur d’ordre 0.7 et son approximée sur la bande [10^E, 10^E] et pour (y=1dB, ε=10^G).

&'( _).IJ &K ( 2.0845 10' ^{P∏ RU\}_Z] S.TT UVW.XXYTZ^- [

∏ R^UX_Z] W.UYIX UVW.XXYTZ^- [

Figure I-1diagrame de bode amplitude et phase de (^{.^}et son approximé.

La figure (I-1) montre que la les tracer de bode de la fonction

)^.I et son approximé sont superpose sur la bande d’approximation, en remarque que l’amplitude est une droite de pente 20 _ 0.7 14ab/a:c et la phase est une constante de 0.7 _^d_E -63 deg.

I.4.5.2 Approximation de l’opérateur dérivateur d’ordre Fractionnaire

La fonction de transfert de l’opérateur dérivateur d’ordre fractionnaire est représentée dans le domaine fréquentiel par la fonction irrationnelle suivante :

pm

p)= (

G_D (I.34) Avec ^p = ^jω : la fréquence complexe et m : est un nombre positive tel que 0<m<1.Dans une bande de fréquence donnée

[

ωb,ωh

]

cet opérateur peut être modelé par un zéro à puissance fractionnaire (ZPF) comme suit [3.7]:

&( ef1 _g⁾

/" (I.35) Si on suppose que pour ω∈

[

ωb,ωh

]

on a ω >>ω_c , on peut écrire :

( )

_m ^{m m}

c D m

c

D p K p p

K p

G  = =







= 

ω

ω (I.36) Avec K_D =ω^m_c et ω_c est la fréquence de coupure de ZPF qui est obtenue à partir de la basse fréquence ω_b par la relationω_c =0.01ω_b.

Dans le but de représenter le zéro d’ordre fractionnaire de l’équation (I.35), et par conséquent le dérivateur d’ordre fractionnaire, par un système linéaire invariant dans le temps, il est nécessaire d’approximer sa fonction de transfert irrationnelle par une rationnelle. La méthode d’approximation consiste à approximer la pente de 20mdB/dec sur le tracé de Bode du ZPF par un nombre de ligne en Zig-Zag produisant une alternance de pente 20 dB/de cet 0 dB/dec correspondant à une alternance de pôles et de zéros sur l’axe réel négative du plan p tel que z0<p0<z1<p1< . . . <zN-1<pN [1.3]. D’où l’approximation suivante :

&( ef1 _g⁾

/" J ef∏ )/hⁱ_Z] Z

∏ )/)ⁱ_{Z] Z} (I.37) En utilisant une méthode graphique simple [1.3], les pôles et les zéros de l’approximation s’avèrent sous une forme d’une progression géométrique. Cette méthode graphique d’approximation a commencé par une erreur d’approximation y en dB et une bande de fréquence d’approximationω_max =100ω_h. Le nombre de pôles d’approximation N est donné par :

6 (789: :;9:8 <^=>?_=>?BC^{.*@Aj "}D 1 (I.38) L'arrangement des singularités (pôles-zéros) est établi selon les deux progressions géométriques suivantes :

( )

0 i

i ab z

z = , pour i=0,1,2...,N

( )

0 i

i ab az

p = , pour i=0,1,2...,N Avec : z₀ =ω_c b et p₀ =az₀^.

Par conséquent, la fonction rationnelle d’approximation dans une bande de fréquence donnée sera :

&f( ef1 _g⁾_/" J ef

∏ ⁱ_{Z] j@kZ}^-

∏ ^-

-@kZ

iZ] (I.39)

Pour des raisons concernant la réalisation, on va développer

( )

p p

G en fonctions élémentaires,

alors :

( ) ∏

= 







 +







 +

= ^N

i

i i D

D

az ab

p ab

p p K

p p G

0

0 0

) 1 (

z ) 1 (

1 (I.40)

Calculant les résidus des pôles, on obtient :

( ) ∑ ( )

= +

+

= ^N

i i

i

D p p

p G g

s G

0

0 1 / (I.41) Avec G₀ =K_D, et

(

( )

)

( ) ( _∏ )

∏

≠

=

−

=

−

−

−

−

= _N

i j , 0 j

) j i ( 0

i N

0 j

j i

D i

) ab ( 1 az

) ab (

a ) ab ( 1 K

g Pour i=0,1,...,N (I.42)

Exemple : la figure (I-2) représente le tracer de bode de la fonction de transfert de dérivateur d’ordre 0.35 et son approximée sur la bande [10^E, 10^E] et pour (y=1dB, ε=10^G).

&f( (^.PGJ &K ( 0.0247' ^{∏ RUX}_Z] Y.VTS UVW.IVUSZ^- [

∏ R^UX_Z] V.IX UVW.IVUSZ^- [

La figure (I-2) montre que la les tracer de bode de la fonction (^.PG et son approximé sont superpose sur la bande d’approximation, en remarque que l’amplitude est une droite de pente 20 _ 0.35 7ab/a:c et la phase est une constante de 0.35 _^d_E 31.5 deg.

Figure I-2 diagrame de bode amplitude et phase de m^n.opet son approximé.

I.4.5.3 Implémentation par des circuits électriques analogiques

L’approximation de l’opérateur intégrateur d’ordre fractionnaire dans une bande fréquentielle donnée par une fonction rationnelle a la forme :

( ) ∏

∏

=

−

=







 +







 +

≈







 +

=

= N

i i

N

i i

m I

c I m

p p z

p K

p K p p

G

0 1

0

1 1 1

1

ω

(I.43)

La décomposition en éléments simples de la fonction rationnelle approximant l’intégrateur d’ordre fractionnaire ^GI

( )

^p donne :

( ) ∑

=







 

 +

=

^N

i

i i

p p p h

G

0

1

(I.44)

Avec les hi sont les résidus des pôles donnés par l’équation (I.33).

Cet équation correspond à l’impédance d’un réseau RC du type Foster 1^ere forme dont le schéma est représenté comme suit :

L’impédance de ce réseau est :

∑

= 









= ^N +

i i i

i

C pR p R

Z

0 1

)

( (I.45)

Alors :

 

 



=

=

⇒

 

 



=

=

i i i

i i

i i

i i i

h p C 1

h R h

R p C 1 R

Pour i=0,1,...,N (I.46)

De la même façon, l’approximation de l’opérateur dérivée d’ordre fractionnaire dans une bande fréquentielle donnée par une fonction rationnelle a la forme :

( ) ∏

∏

=

=







 +







 +

 =







 +

=

= N

i i

N

i i

D m

c D m D

p p z

p p K

K p K p G

0 0

1 1 . 1

. ω (I.47)

La décomposition en éléments simples de la fonction rationnelle approximant le dérivateur d’ordre fractionnaire ^GD

( )

^p donne :

( ) ∑

= 







 + +

= ^N

i

i i

p p p G g

p G

0 0

1

(I.48)

Avec les gi sont les résidus des pôles donnés par l’équation (I.42)

Cette équation correspond à l’admittance d’un réseau du type Foster2^eme forme dont le schéma est représenté comme suit :

…...

C1

R1

I(p)

V(p)

CN

RN

C0

R0

Figure I-3 réalisation analogique de l’intégrateur fractionnaire

L’admittance de ce réseau est de la forme :

∑

= +

+

= ^N

i i i

i

P pRC

pC p R

Y

0 (1 )

) 1

( (I.49) Alors

N ....

2 , 1 , 0 i pour

G R 1

p g R 1

g C

R G 1

C g

C R p 1

0 p

i i i

i i

P 0

i i

i i i

=















=

=

=

⇒















=

=

=

(I.50)

Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre quelque définition de base pour la dérivation d’ordre non entier, ainsi sa représentation dans le domaine de Laplace et déférent méthode d’approximation des operateurs d’ordre fractionnaire par des fonctions rationnelles avec un intérêt particulier à la méthode de la fonction singulière qui nous avons utilisé dans les chapitres suivantes, finalement une méthode à été présenter pour la synthèse d’un opérateur d’ordre fractionnaire bornée en fréquence à l’aide d’un circuit analogique.

RN

CN

R1

C1

R0

C0

RP

) (p I

) (p V

Figure I-4 réalisation analogique de dérivateur fractionnaire

Système d’ordre fractionnaire et correcteur PI

^λ

D

^µ

II.1 Système linéaire d’ordre fractionnaire

Les systèmes linéaires d'ordre fractionnaire sont des systèmes dynamiques linéaires représentés par des équations différentielles linéaires d’ordre fractionnaire dont les ordres de leurs dérivées sont des nombres réelles. L’équation différentielle linéaire fondamentale d’ordre fractionnaire est définie par :

0 2 (II.1) Avec : e(t) : signal d’entrer.

Y(t) : signal de sortie.

: Constante de temps.

Il y’a deux type de système fondamentale :

-système d’ordre fractionnaire simple pour 0<m<1.

-système d’ordre fractionnaire multiple pour 1<m<2.

Nous intéresse dans notre étude au deuxième case 1<m<2, ce type des systèmes à un comportement d’un système du deuxième ordre avec poêles conjugue. Plus tard nous avons utilisé ce type des systèmes comme un modèle de référence dans la conception de contrôleur.

La fonction de transfert de ce type de systèmes est donnée par la fonction irrationnelle suivante : 1 2 (II.2) τ0 : temps caractéristique de relaxation.

II.2 Approximation par une fonction rationnelle

Dans cette section, on va présenter une méthode d’approximation de charef (2006) [3.8].

La fonction de transfert (II.2) est approximer à la forme de l’équation suivante :

!" , $%& 1 2 (II.3) '₍

' 1 ^!) : C’est un ZPF (zéro à puissance fractionnaire).

(

!" ; C’est un système du second ordre régulier.

On peut facilement montrer que :

*+ _{,- ,-}^,-!",- , 1 2 Pour +<<1/τ0 |*+| 1 1