Systèmes linéaires asservis : analyse de la stabilité

Automatique

Systèmes linéaires asservis : analyse de la stabilité

UV Automatique

ASI 3

Cours 4

Contenu

!

Introduction

"

Éléments d'une structure d'asservissement

!

Système en boucle fermée

"

Fonction de transfert en boucle ouverte – notion de chaîne

directe

"

Fonction de transfert en boucle fermée

"

Propriétés des systèmes asservis

!

Analyse de la stabilité d'un système asservi

"

Critère de Routh

"

Critère de Nyquist

"

Critère du revers

Automatique

Introduction (1)

!

Schéma de principe d'un asservissement

Correcteur Système

Capteur

y_c + - ε u actionneur y

d

! y_c: consigne

! ε ^{= y}_c – y : signal d'erreur (écart entre consigne et sortie du système)

! Correcteur : élabore la loi de commande u

! Actionneur : applique la commande au système. Joue en général le rôle d'amplificateur de puissance

! y : sortie du système ou grandeur à asservir

Introduction (2)

!

Structure fonctionnelle d'un asservissement

C(s) H(s)

y_{c + −} ε ^u _y

d

++ ++

b_e F₁(s)

G(s)

++

r

b_m

F₂(s)

! C(s) : fonction de transfert du correcteur

! H(s) : fonction de transfert du système

! G(s) : fonction de transfert de la boucle de retour (capteur en général)

! r : signal de retour

! d: perturbation externe (mesurable ou non), b_m : bruit de mesure

! b : bruit d'entrée (bruit de transmission de u aux actionneurs)

Automatique

Introduction (3)

! Types d'asservissement

"

Régulation : consigne y

_c

constante

"

Poursuite de trajectoire : consigne y

_c

varie

! Objectifs de l'asservissement

"

Stabilité du système asservi

"

Précision : en régime permanent, la sortie doit suivre la

consigne

"

Rapidité : Le système asservi doit répondre le plus

rapidement possible aux variations de la consigne

"

Rejet des perturbations et des bruits càd

"

Robustesse : le système en BF doit résister aux

variations de paramètres, à l'imprécision du modèle H(s)

Le travail de l'automaticien est de régler convenablement le correcteur pour répondre au mieux à ces exigences

= 0 b

y

Analyse du système asservi (1)

!

Définitions

"

Fonction de transfert en boucle ouverte H

_BO

(s)

Supposons les perturbations et les bruits nuls. La fonction de transfert en boucle ouverte est la transmittance entre le signal d'erreur ε et le signal de retour r

C(s) H(s)

y_{c + −} ε ^u _y

d

++ ++

b_e F₁(s)

G(s)

++

r

b_m

F₂(s)

) ( ) ( ) ) (

( ) ) (

( C s H s G s

s s s R

H

_BO

= Ε =

Automatique

Analyse du système asservi (2)

"

Chaîne directe

"

Fonction de transfert en boucle fermée H

_BF

(s)

Si G(s)=1, on parle de retour unitaire

C'est la transmittance entre la consigne y_c et la sortie y

) ( 1

) ( ) ) (

( H s

s H s s C

H

BF

= +

BO

C'est la cascade de transmittance entre une entrée (y_c ou les perturbations d, b_m, b_e) et la sortie y

Entre y_c et y : C(s)H(s), Entre d et y : F₂(s)

Entre b_e et y : F₁(s)H(s), Entre b_m et y : C(s)H(s)

Dans ce cas particulier, on a :

1 ( ) ) ) (

( H s

s s H

H

BO BF

= +

BO

) ( ) ( ) ( 1

) ( ) ( )

( ) ) (

( C s H s G s

s H s C s

Y s s Y

H

BF

=

c

= +

Analyse du système asservi (3)

!

Fonction de transfert entre la sortie y et les perturbations

!

Expression de la sortie du système bouclé

Remarque

La fonction de transfert entre la sortie asservie y et une entrée est le rapport de la transmittance de la chaîne directe sur 1+H_BO(s).

) ( 1

) ( ) ( )

( ) ) (

(

¹

s H

s H s F s

B s s Y

P

BO

e

=

e

= + ( )

) ( 1

) ( ) ( )

( ) ) (

( H s

s H

s H s C s

B s s Y

P

_BF

BO

m

=

m

= + =

) ( 1

) ( )

( ) ) (

(

²

s H

s F s

D s s Y

P

d

= = +

BO avec

H

_BO

( s ) = C ( s ) H ( s ) G ( s )

) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( s H s Y s P s B s P s D s H s B s

Y =

_{BF c}

+

_{e e}

+

_d

−

_{BF m}

Automatique

Propriétés d'un système asservi

!

Stabilité

!

Précision

!

Performances dynamiques

Le système asservi doit fonctionner automatiquement. Il est indispensable qu'il soit stable. Autrement, le système évolue en s'éloignant de son point (ou trajectoire) d'équilibre, ce qui peut engendrer des saturations voire une dégradation du système

En régime permanent, la sortie du système asservi doit suivre la référence sans erreur et rejeter rapidement les perturbations

Elles caractérisent le temps de réaction du système lorsque la consigne varie et la rapidité avec laquelle le système asservi

"efface" les perturbations

Stabilité des systèmes linéaires asservis (1)

!

Notion de stabilité : définitions

!

Théorème de stabilité

#

Un système est stable si et seulement si écarté de sa position d'équilibre (point ou trajectoire), il tend à y revenir.

Une faible perturbation des conditions initiales du système engendre une faible perturbation de sa trajectoire

#

Un système est stable si en réponse à une entrée bornée, la sortie du système est borné

Un système linéaire continu à temps invariant est asymptotiquement stable si et seulement si les pôles de sa fonction de transfert sont à parties réelles strictement négatives

Automatique

Stabilité des systèmes linéaires asservis (2)

!

Elements de démonstration

( )

∏

∏

∏

+

−

−

= −

k k k

i i

l l

c b

s a

s

z s s K

H ( ) ( )2 2

) ) (

(

Décomposition en

éléments simples

∑ ∑

+

− + +

= − _k

k k

k k

i i

i

c b

s

C s

B a

s s A

H( ) ( )2 2

Réponse

impulsionnelle ^{h(t) =}

∑

_i ^A_i^{eait +}

∑

_k ^D_k^{ebkt sin(c}_k^{t +}φ⁾ La réponse impulsionnelle converge si les termes sont convergents c'est-à-dire si a_i ^et b_k sont négatifs

kt b it

a e

e et Soit le système de fonction de transfert

0 1

0

) 1

( a s a s a

b s b s

s b

H n

n m m

+ +

+

+ +

= +

L L H(s) a des pôles réels λ_i^=a_i

et/ou complexes λ_k^=b_k+jc_k, λ^∗_k^=b_k−jc_k

⇒

⇓

⇒

Stabilité des systèmes linéaires asservis (3)

!

Application du théorème de stabilité aux systèmes en BF

!

Outils d'analyse de la stabilité en BF à partir de H

_BO

(s)

" Critère algébrique de Routh

" Critère graphique de Nyquist

) ( 1

) ( ) ) (

( H s

s H s s C

H

BF = + BO avec

H

_BO

( s ) = C ( s ) H ( s ) G ( s )

Le système asservi est stable asymptotiquement si et seulement si les pôles de H_BF(s) sont à parties réelles strictement négatives

Equation caractéristique du système asservi :

1 + H

_BO

( s ) = 0

Le système asservi est stable ssi les racines de l'équation caractéristique sont à parties réelles strictement négatives.

Peut-on analyser la stabilité en BF à partir de H_BO(s) sans calculer explicitement la fonction de transfert en BF? Oui!

Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Routh (1)

!

Intérêt du critère

!

Principe du critère de Routh

"

Condition nécessaire (CN) de stabilité

Soit D(s) le dénominateur de la fonction de transfert d'un système )

( ) ) (

( D s

s s N

H = ^avec

D ( s ) = a

_n

s

ⁿ

+ L + a

₁

s + a

₀

Le critère de Routh permet de déterminer si les racines de l'équation caractéristique D(s)=0 du système sont à parties réelles positives ou non sans calculer explicitement ces racines

0

)

1

( s a s a s a

D =

_n ⁿ

+ L + +

Une condition nécessaire de stabilité est que tous les coefficients a_i de D(s) soient strictement de même signe.

Analyse de la stabilité : critère de Routh (2)

!

Principe du critère de Routh

"

Condition nécessaire et suffisante (CNS) de stabilité

Si la CN est vérifiée, il faut construire le tableau de Routh

…

…

…

…

… …

a₄₄ … a₄₃

a₄₂ a₄₁

Ligne 4

a₃₄ … a₃₃

a₃₂ a₃₁

Ligne 3

a_n-7 … a_n-5

a_n-3 a_n-1

Ligne2

a_n-6 … a_n-4

a_n-2 a_n

Ligne 1

Le tableau a au plus n+1 lignes (n : ordre de D(s))

1 3 1

2

31 ⁻ ₋ ⁻

−

−

= n

n n

n n

a a a

a a

a

1 5 1

4

32 ⁻ ₋ ⁻

−

−

= n

n n

n n

a a a

a a

a

31 32 31

3 1

41 a

a a

a a_{n n}

a

−

−

−

=

31 33 31

5 1

42 a

a a

a a_{n n}

a

−

−

−

=

Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Routh (3)

Enoncé du critère de Routh : CNS

!

Application du critère de Routh à un système en BF

Un système est asymptotiquement stable ssi tous les coefficients de la première colonne du tableau de Routh sont tous de même signe

Remarques

#

Le nombre de changements de signe dans la première colonne est égal au nombre de pôles à parties réelles positives

#

Si dans la première colonne il existe un élément nul, le système admet au moins un pôle à partie réelle positive ou une paire de pôles conjugués imaginaires purs

) ( )

(

) ( ) ( ) ( )

( 1

) ( ) ) (

( D s N s

s H s C s D

s H

s H s s C

H

BO BO

BO

BF = + BO = +

Appliquer le critère de Routh au dénominateur de la fonction de transfert en BF c'est-à-dire D_BO(s) +N_BO(s)

) (

) ) (

( D s

s s N

H

BO

BO = BO ⇒

Soit

Analyse de la stabilité : critère de Routh (4)

!

Exemple 1 : étude de la stabilité du système en BF

Boucle fermée à retour unitaire :

H(s)

yc + ₋ ε _y

) 3 (

) 10

( =

2

+ +

s s

s s H

10 3

10 )

( 1

) ) (

( = + =

3

+

2

+ +

s s

s s H

s s H

H

_BF

Tableau de Routh

0 Ligne 4 10

0 Ligne 3 -7

10 Ligne2 1

3 1

Ligne 1

10 3

)

( s = s

³

+ s

²

+ s + D

_BF

Il y a un changement de signe dans la première colonne de ce tableau Le système en boucle fermée

à retour unitaire est instable

Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Routh (5)

!

Exemple 2 : étude de la stabilité du système en BF

y_{c + −} ε K ( 1) y

1 + s s

5 1 + s

) 5 )(

1 ) (

( = + +

s s

s s K

H_BO

0 Ligne 4 K

Ligne 3 0

K Ligne2 6

5 1

Ligne 1

D'après le critère de Routh, la condition de stabilité impose :

et

⇒ s s s K

s s K

H_BF

+ +

+

= +

5 6

) 5 ) (

( 3 2

6 30 − K

> 0

K 0

6

30 − K >

⇒ 0 < K < 30

K : gain variable

Analyse de la stabilité : critère de Routh (6)

!

Remarques

"

Stabilité absolue

"

Stabilité conditionnelle

H(s)

y_{c + −} ε _y

G(s)

Soit un système de gain K_B0 en boucle ouverte

Le système est à stabilité absolue s'il existe une valeur limite du gain K_lim telle que le système soit stable en boucle fermée pour K_B0< K_lim et instable pour K_B0 > K_lim

Le système est à stabilité conditionnelle s'il est stable pour un certain intervalle de valeurs [K_lim,1, K_lim,2] du gain K_B0 et

instable en dehors de cet intervalle

Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (1)

!

Théorème de Cauchy

C'est une méthode graphique permettant de déterminer si le dénominateur de H_BF(s) n'a pas de pôles instables à partir de la connaissance de H_BO(s). Elle est basée sur le théorème suivant :

Soit F(s) une fonction de la variable complexe s admettant P pôles et Z zéros dans un contour fermé C. Lorsque s décrit le contour C, la courbe F(C), image de C par F(s) effectue T=P−Z tours autour de l'origine. T est compté positivement si C et F(C) sont orientés dans le même sens et négativement autrement

Re(s) Im(s)

C

pôle zéro

+

Re(F(s)) Im(F(s))

F(C)

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (2)

!

Contour de Nyquist

Le contour d'exclusion de Nyquist Γ englobe tout le demi-plan droit correspondant aux pôles et zéros à parties réelles strictement positives de la fonction de transfert F(s)

Im

R→+∝

ω → +∞

ω → 0⁺ ω → 0⁻

ε Re

I II

IV III

] [

^ω

ω∈ − ∞, 0 , ^s = ^j :

I

] [

^ω

ω ∈ 0, + ∞ , ^s = ^j :

II

∞

 →

 

₋

∈

= R

s ^j ,

, 2 , 2

Re

:

III ^θ θ π π

0

, ,

,

:

IV ^s = ε^{e jθ} θ ∈− π π  ε → L'image de Γ ^{par F(s) est le}

diagramme de Nyquist de F(s)

R→+∝

ω → +∞

ω → −∞

Re Im

I II

III

Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (3)

!

Etape préliminaire

) ( )

(

) ( ) ( ) ( )

( 1

) ( ) ) (

( D s N s

s H s C s D

s H

s H s s C

H

BO BO

BO

BF = + BO = +

) (

) ) (

( D s

s s N

H

BO BO = BO

⇒

Soit un système asservi de transmittance en BO

De plus

) (

) ( )

) ( (

1 D s

s N

s s D

H

BO

BO BO BO

= + +

Remarques

#

Les zéros de 1+H_BO(s) sont les pôles de H_BF(s)

#

^1+H_BO^{(s) et H}_BO^(s) ont les mêmes pôles

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (4)

! Application du théorème de Cauchy à

1+H_BO(s)

Le diagramme de Nyquist de 1+H_BO(s) effectue T=P−Z tours dans le sens trigonométrique autour de l'origine.

Soit P le nombre de pôles instables de 1+H_BO(s) (donc de H_BO(s)) Soit Z le nombre de zéros à parties réelles positives de 1+H_BO(s)

Remarques

#

Les zéros de 1+H_BO(s) étant les pôles de H_BF(s) , la condition de stabilité du système en BF impose que 1+H_BO(s) ne possède pas de zéros à parties réelles positives càd Z=0 ⇒ T=P

#

En pratique, étudier la position du diagramme de Nyquist de 1+H_BO(s) par rapport à l'origine équivaut à analyser la position du diagramme de H (s) par rapport au point –1 appelé point critique

Théorème

Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (5)

!

Enoncé du critère de Nyquist

Un système en boucle fermée est asymptotiquement stable à la condition nécessaire et suffisante que le diagramme de Nyquist de sa transmittance en boucle ouverte H_BO(s) effectue autour du point -1 et dans le sens trigonométrique, un nombre de tours T égal au nombre de pôles instables P de H_BO(s)

#

Les pôles instables et les zéros à parties réelles positives sont comptés avec leur ordre de multiplicité

#

L'intérêt du critère de Nyquist est d'étudier les conditions de stabilité du système asservi à partir du diagramme de Nyquist du système en boucle ouverte

Théorème

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (6)

!

Exemple 1

Soit un système en BF de

transmittance en boucle ouverte ( ) (1 )(1 )

2

1s T s

T s K

H_BO

+

= +

avec K = 5,T₁ =1, T₂ = 0.5

Real Axis

Imaginary Axis

Nyquist Diagrams

-2 0 2 4 6 8 10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-1

Point critique H_BO(s) n'a pas de pôle instable P=0.

Le nombre de tours autour de –1 est nul, T=0.

Le système est stable en boucle fermée

⇓

Automatique

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (7)

!

Exemple 2

Soit un système en BF de

transmittance en boucle ouverte ( 1)( 5 25) ) 20

( = − 2 + +

s s

s s H_BO

H_BO(s) a un pôle instable λ^{=1 ⇒ P=1}

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 -0.4

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

Real Axis

Imaginary Axis

Nyquist Diagrams

Point critique

Or le nombre de tours autour de –1 est nul, T=0. Le système est donc instable en boucle fermée

Le système sera stable en boucle fermée si le diagramme de Nyquist entoure une fois le point –1 dans le sens trigonométrique

Vérifier ce résultat par le critère de Routh

Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (8)

!

Exemple 3

Soit un système en BF de

transmittance en boucle ouverte ( ) (4 1)( 1) +

= −

s s

s k H_BO

H_BO(s) a un pôle instable λ^{=1/4 ⇒ P=1.}

La condition de stabilité impose que OM > OC c'est-à-dire k > 1

Le système sera stable en boucle fermée si le diagramme de Nyquist entoure une fois le point –1 dans le sens trigonométrique

-2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Real Axis

Imaginary Axis

Nyquist Diagrams

Point critique

k C O

M

Vérifier ce résultat par

Automatique

Simplification du critère de Nyquist

!

Critère du revers

Si le système est stable en boucle ouverte (H_BO(s) n'a pas de pôles ni zéros instables), une condition nécessaire et suffisante de stabilité asymptotique du système en boucle fermée est qu'en parcourant le lieu de Nyquist de H_BO(s) dans le sens des pulsations ω croissantes, on laisse le point critique –1 à gauche

Re Im

-1

ω ↑

Stabilité en boucle fermée mais non asymptotique (système juste oscillant)

Re Im

-1

ω ↑

Re Im

-1

ω ↑ Stabilité asymptotique

en boucle fermée Instabilité en

boucle fermée

Critère du revers dans le plan de Black

!

Définition

Plan de Black : point critique a pour coordonnées C(-π^{, 0dB)}

Soit ω_c0 la pulsation telle que |H_BO(jω_c0^)|=1. La condition de stabilité asymptotique du critère du revers impose que le déphasage ϕ_BO⁽ω_c0⁾ soit supérieur à −π ^(arg(H_BO^(jω_c0⁾ > −π⁾ c'est-à-dire en parcourant le lieu de Black dans le sens des ω croissants, on laisse le point critique –1 à droite

Re Im

-1

ω ↑

ϕ G (dB)

-π^/2 -ππππ

ω_c0

correspond à

Automatique

Critère du revers sur le lieu de Bode

!

Définition

−π

0 dB 0 dB

0 dB

ω_c0 ω_c0

ω_c0

ω_log G (dB)

ϕ ^(rad)

ω_log

Cas 1

Cas 2

Cas 3

Cas 1 : stabilité asymptotique du système en BF

Cas 2 : stabilité non asymptotique du système en BF

Cas 3 : instabilité du système en BF