UV Automatique - ASI 3 1
TD6 : Système en boucle fermée - synthèse de correcteurs
Exercice 1
On considère un asservissement à retour unitaire de fonction de transfert en boucle ouverte :
HBO(s) = K
(1 +s)(1 + 0.125s) avecK >0 K est un gain variable.
1. Donner le schéma fonctionnel du système.
2. Donner l'allure du diagramme de Bode de ce système en BO.
3. On désire avoir une marge de phase égale à 45◦. Déterminer la valeur du gainK qui permet de satisfaire à cette exigence.
4. La consigne est un signal échelon d'amplitudeA. Quelle est la valeur de l'erreur entre la sortie asservie et la consigne en régime permanent.
5. On veut annuler cette erreur. Proposer un correcteur permettant de réaliser cela. Justier ce choix.
6. Déterminer les paramètres de ce correcteur de façon à maintenir la marge de phase de 45◦. Donner le nouveau schéma fonctionnel du système asservi.
7. Donner l'allure des diagrammes de Bode du système corrigé en BO.
Exercice 2
La fonction de transfert en boucle ouverte d'un asservissement à retour unitaire est de la forme : HBO(s) = K
(1 +T s)2 avecK >0 avecK un gain variable.
Reprendre les questions de l'exercice précédent avec le nouveau cahier de charges suivant : marge de phase de 60◦,
erreur statique nulle.
Exercice 3 : synthèse d'un correcteur à retard de phase Soit un système de fonction de transfert :
HBO(s) = K
(s+ 3)3 avecK >0
Ce système est placé dans un asservissement à retour unitaire. On désire avoir en boucle fermée les performances suivantes :
dépassement limité à 10%, erreur statique de 10%.
1. Déterminer la valeur du gainK qui assure au système en BF le dépassement maximal désiré.
2. Pour cette valeur du gain, calculer l'erreur statique en BF. Conclure par rapport aux exigences du cahier de charges.
3. Pour améliorer la précision du système on se propose d'utiliser un correcteur à retard de phase. Justier ce choix. Calculer les paramètres du correcteur à retard de phase. Ecrire la fonction de transfert en boucle ouverte du système corrigé.
4. Donner le schéma fonctionnel complet du système asservi.
Exercice 4
Soit un système de fonction de transfert :
HBO(s) = K
(s+ 1)3 avecK >0
Ce système est placé dans un asservissement à retour unitaire. Les exigences du cahier de charges sont les suivantes :
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réponse oscillatoire du système en BF, marge de phase de 45◦,
temps de montéetm= 1.5s.
1. Etudier la stabilité du système asservi.
2. On désire régler la rapidité du système bouclé. Déterminer la valeur du gain K permettant d'avoir le temps de montée spécié dans le cahier de charges. Calculer la marge de phase correspondant à ce réglage.
Conculure.
3. Le réglage précédent de K est maintenu et on se propose de régler la marge de stabilité du système à la valeur désirée. Proposer un correcteur permettant d'atteindre cet objectif. Justier ce choix. Calculer les paramètres du correcteur.
4. Donner le schéma fonctionnel complet du système asservi. Donner l'allure du diagramme de Bode du système corrigé en BO.
Exercice 5 : régulation d'un four
Un four destiné au traitement thermique d'objets est constitué d'une enceinte close chauée par un résistance électrique alimentée par une tension v(t). Dix objets peuvent prendre place simultanément dans le four. Le traitement thermique consiste à maintenir les objets pendant 1 heure à une température de 1200◦. Les objets sont détruits si la température à l'intérieur du four dépasse 1400◦. Entre deux cuissons, un temps de 24 minutes est nécessaire pour procéder au refroidissement du four et à la manutention. Le comportement du four est régi par l'équation diérentielle suivante :
dT(t)
dt + 2000d2T(t)
dt2 = 0.02v(t)
1. Calculer la fonction de transfert du four en boucle ouverte. Que se passerait-il si on alimentait en continu le four par une températurev(t) =V0?
2. On souhaite réguler la température dans le four en utilisant un capteur de température qui délivre une tensionu(t). Le capteur est régi par l'équation diérentielle :
u(t) + 2du(t)
dt = 5.10−3T(t) On introduit dans la chaîne directe un correcteur de gain Kvariable.
(a) Donner la fonction de transfert du capteur.
(b) Donner le schéma fonctionnel du système asservi.
(c) Analyser la stabilité du système.
3. La température de consigne est Tc = 1200◦. La consigne est donc une température. Or le capteur de température délivre une tensionu(t)qui ne peut être comparée directement avec la température. Donner le gain de préltreAà placer devant la consigneTc pour l'adapter à la sortie du capteur. Donner alors le schéma fonctionnel du système asservi.
4. On impose une marge de stabilité de 45◦pour pouvoir se placer dans des conditions de stabilité susantes.
Quelle est est la valeur du temps de montée en BF sachant que la réponse en BF est oscillatoire ? 5. Pour la valeur de la marge de phase de 45◦ et en se servant de la valeur du dépassement pour ce réglage,
quelle est la température maximale atteinte dans le four ? Cette valeur maximale de la température est-elle tolérable ?
6. Comptenu de la température maximale admissible de 1400◦, on limite le dépassement de 10%. Quel est dans ce cas le temps de montée en température du four. Combien d'objets peut-on traiter en 24 heures.
7. On souhaite augmenter la cadence et l'amener à 100 objets/heure. Calculer le temps de montée tm cor- respondant à cette cadence. Régler la valeur deK pour obtenir ce temps de montée.
8. Calculer la marge de phase pour la valeur de K précédente. Est-elle satisfaisante ? Quel correcteur faut- il ajouter à la chaîne directe pour limiter le dépassement à 10% tout en conservant la cadence de 100 objets/heure. Faire la synthèse de ce correcteur et donner le schéma fonctionnel de l'asservissement complet du four.
