Automatique
Marges de stabilité et performances des systèmes linéaires asservis
UV Automatique
ASI 3
Cours 5
Automatique
Contenu
!
Robustesse de la stabilité
"
Notion de robustesse de la stabilité
"
Marges de stabilité (marges de gain et de phase)
!
Performances des systèmes asservis
"
Précision des systèmes asservis
# Erreur en régime permanent liée à la consigne
# Rejet des perturbations
"
Rapidité des systèmes asservis
"
Dilemme stabilité, rapidité, précision
Automatique
Robustesse de la stabilité (1)
!
Introduction
"
Caractéristiques des critères de Routh et de Nyquist
# Déterminer si le système est stable, oscillant ou instable en BF
# Déterminer les conditions limite de stabilité
# Ne permettent pas de dire si le système stable en BF est plus ou moins proche de l'instabilité (point critique)
" Concept de marges de stabilité (système à stabilité absolue)
# Intuitivement, la stabilité est satisfaisante si le lieu de Nyquist ou de Black du système en BO passe loin du point critique -1
Re Im
-1 Stabilité
satisfaisante
Re Im
-1 Marges de stabilité faibles
Automatique
Robustesse de la stabilité (2)
!
Marges de stabilité
"
Marge de phase m
ϕ"
Marge de gain m
gavec
Elles permettent d'estimer la proximité de la réponse fréquentielle HBO(jω) du point critique −1=1∠−π
Soit ωc0 la pulsation telle que |HBO(jωc0)|=1. La marge de phase est la différence entre ϕBO(ωc0) et −π
( ( ) )
arg )
(
c0 C0BO
ω H j ω
ϕ =
Soit ω-π la pulsation telle que argHBO(jω-π )=−π. La marge de gain est l'écart entre 0dB et le gain à la pulsation ω-π
π ω
ϕ
= ϕ
BO(
c0) + m
avec
ϕ
BO( ω
−π) = − π )
( log
20
10ω
−π−
= H j
m
g BOAutomatique
Robustesse de la stabilité (3)
!
Interprétation des marges de stabilité
!
Remarques
$
Un système est stable en BF si la marge de phase est positive$
La marge de gain correspond au gain supplémentaire maximum que l'on peut donner au système en BO sans risquer de le rendre instable en BF$
Plus les marges sont grandes, plus robuste est la stabilité$
Pour une bonne stabilité, on considère satisfaisantes les valeurs minimales : mϕ = π/4 à π /3 (45° à 60°) et mg=10dB à 15dB$
On définit aussi la marge de retardm
r comme le retard maximal admissible sans déstabiliser le système en BF0 r c
m m
ω
ϕ=
e−τs introduit un déphasage de −τω
Condition de stabilité : −τωc0 +ϕBO(ωc0) ≥ −π
0 lim
c
m τ ≤ ωϕ
⇒
Automatique
Robustesse de la stabilité (4)
!
Détermination des marges de stabilité
ϕ G (dB)
-π/2 -ππππ
mϕ
mg ωc0
ω-π −−−−ππππ
0 dB ωlog
G (dB)
ϕ (rad)
ωlog mϕ
mg ωc0
ω-π Re
Im
-1
O A
mϕ
ωc0
ω-π mg = −20log10 A
Cercle de rayon unité
Automatique
Performances des systèmes asservis
!
Introduction
!
Précision des systèmes asservis
En boucle fermée, on désire que :
$
le système suive la consigne en régime établi (précision)$
le système élimine les perturbations (rejet des perturbations)$
le système ait une dynamique rapideC(s) H(s)
yc +− ε u y
d
++
F(s)
La précision est définie à partir du signal d'erreur ε :
) ( )
( )
( t = y
ct − y t ε
Considérons le schéma simplifié d'asservissement
On s'intéresse à l'erreur en régime permanent :
lim ( t )
t
ε
ε
∞=
→∞Automatique
Précision des systèmes asservis (1)
!
Sortie du système asservi
!
TL de l'erreur
) ( ) ( )
( s C s H s H
BO=
) ) (
( 1
) ) (
) ( ( 1
) ) (
( D s
s H
s s F
s Y H
s s H
Y
c BO BO
BO
+ +
= +
avec
) ( )
( )
( t Y s Y s E =
c−
) ) (
( 1
) ) (
) ( ( 1
) ) (
( )
( D s
s H
s s F
s Y H
s s H
Y t
E
c BO BO
c
− +
BO− +
=
) ) (
( 1
) ) (
) ( ( 1
) 1
( D s
s H
s s F
s Y s H
E
c BO
BO
− +
= + H
BO( s ) = C ( s ) H ( s )
Automatique
Précision des systèmes asservis (2)
!
Erreur d'asservissement
" Un terme relatif à l'écart avec la consigne
" Un terme d'erreur dû à la perturbation
) ) (
( 1
) ) (
) ( ( 1
) 1
( D s
s H
s s F
s Y s H
E
c BO
BO
− +
= +
L'erreur est fonction de deux termes :
) ) (
( 1
) 1
( Y s
s s H
E
cc
= +
BO) ) (
( 1
) ) (
( D s
s H
s s F
E
d
= − +
BOLe système est d'autant plus précis que
l'erreur en régime permanent est proche de 0
lim ( ) → 0
∞
→
t
t
ε
Automatique
Précision des systèmes asservis (3)
!
Erreur relative à la consigne ε
c) ( lim
) (
0
s sE
cc s
=
→∞
⇒ ε )
( lim
)
(
ct
c t
ε
ε ∞ =
→∞) ) (
( lim 1
) (
0
s s Y
H s
BO c
c
∞ =
s+
ε
→) (
) ) (
(
0 0 0
0
D s
s N s
s K
H
BO=
αEcrivons HBO(s) sous la forme
) 1 (
) lim (
0 0
0
=
→
D s s N
s
avec
) ( )
( ) 1 (
lim )
(
0 0 0 0
0
s Y s D
s N s
K s
s c c
α
ε ∞ = +
→
( )
1 lim )
(
0
0 0
s Y s
K s
s c c
α
ε ∞ = +
⇒
→) ( lim
) (
0 1
0 0
0
Y s
K s
s
s c
c
∞ = +
+→ α
ε
α1 1 )
( ) (
1 1 0
0
0
0
+ + +
+ +
=
−+
−
s a s
a
s b s
b s
D s N
n n m m
L
α
L
α
⇒
Automatique
Précision des systèmes asservis (4)
!
Erreur relative à la consigne ε
c" : consigne échelon. On parle d'erreur de
position ou erreur statique
" : consigne rampe. On parle d'erreur de vitesse
ou erreur de traînage
" : consigne parabole. On parle d'erreur
d'accélération
L'étude peut être menée pour tout signal de consigne. En pratique, on s'intéresse à l'erreur pour des consignes suivantes :
) ( )
( t t
y
c= Γ ) ( )
( t v t y
c=
2
2 ) 1
( t t y
c=
Remarque
Un système ayant α0 intégrateurs est dit de classe α0 ou de type α0
Automatique
Précision des systèmes asservis (5)
!
Erreur relative à la consigne ε
c"
Consigne échelon (erreur statique ou de position)
#
#
(pas d'intégrateur en BO, système de classe 0) avec
0 0
, 0
lim 0
)
( s K
s
p s
c ∞ = +
⇒ → α
ε α
s s
Yc 1 ) ( = ) ⇒
( )
(t t yc = Γ
0
= 0 α
Kp
p K
c
1 1
) 1 (
0
, =
= +
ε ∞
lim ( 1 ( ) )
0
s H
Kp
BOs
+
=
→(au moins un intégrateur en BO)
0
≥ 1 α
Si le système n'a pas d'intégrateur en BO, le système en BF présente une erreur statique permanente. Cette erreur est d'autant plus petite que le gain en BO K0 est grande
0 )
,p(∞ =
εc Si le système a au moins un intégrateur en BO, le système en BF a une erreur statique nulle.
Automatique
Précision des systèmes asservis (6)
!
Erreur relative à la consigne ε
c"
Consigne rampe (erreur de vitesse)
#
#
#
(système de classe 0, pas d'intégrateur en BO)
avec
0 1 , 0
0
lim 0
)
( s K
s
v s
c ∞ = +
⇒ −
→ α
ε α 2
) 1 (s s Yc =
⇒ )
( )
(t v t yc =
0
= 0 α
∞
=
∞)
,v( εc
) ( lim
0
s sH
K
BOv s
=
→(système de classe 2 ou supérieure)
0
≥ 2 α
0 )
,v(∞ = εc
0
= 1
α
(système de classe 1, 1 intégrateur en BO)v v
c K
) 1
, (∞ =
ε Gain en
vitesse
Automatique
Précision des systèmes asservis (7)
!
Erreur relative à la consigne ε
c"
Consigne parabole (erreur d'accélération)
#
#
#
(au plus 1 intégrateur en BO)
2
2 ) 1
(t t yc =
avec
0 2 , 0
0
lim 0
)
( s K
s
a s
c ∞ = +
⇒ −
→ α
ε α 3
) 1 (s s Yc =
⇒
0
≤ 1 α
∞
=
∞)
,a( εc
) ( lim
20
s H
s
K
BOa s
=
→(plus de 2 intégrateurs en BO)
0 ≥ 3 α
0 )
,a(∞ = εc
0
= 2
α
(système de classe 2, 2 intégrateurs en BO)a a
c K
) 1
, (∞ =
ε Gain en
accélération
Automatique
Précision des systèmes asservis (8)
!
Récapitulation (erreur due à la consigne)
∞ 0
ε
c,a ∞0
∞ 0
ε
c,v0 0
ε
c,p 0α
0>2
2 1
α
0 0ε
Ka
1 Kv
1 K p
1
α0 : nombre d'intégrateurs de la fonction de transfert en BO
Ces résultats sont valables si le système est stable en BF !!
Remarques
$
Dans le cas où l'erreur est non nulle mais bornée, cette erreur est d'autant plus petite que le gain en BO est grand$
Si le gain en BO est grand, il y a risque d'instabilité (cf Routh) : c'est le dilemme stabilité - précisionAutomatique
Précision des systèmes asservis (9)
! Illustration
0 2 4
0 0.5
1 εc,p
0 5 10 15
0 5 10 15
εc,v→∞
0 10 20 30 40 50
εc,a→∞
0 5 10 15
0 0.5
1 εc,p= 0
0 5 10
0 5 10
εc,v
0 50 100 150
200 εc,a→∞
0 20 40
0 0.5 1 1.5 2
εc,p= 0
0 10 20
0 10 20 30
εc,v=0
0 50 100 150
200 εc,a≠0
α
0=0 α
0=1 α
0=2
Automatique
Précision des systèmes asservis (10)
!
Erreur relative à la perturbation ε
d) ) (
( 1
) ) (
( D s
s H
s s F
E
d
= − +
BO) ( lim
) (
0
s sE
dd s
=
→∞
⇒ ε )
( lim
)
(
dt
d t
ε
ε ∞ =
→∞) (
) ) (
(
0 0 0
0
D s
s N s
s K
H
BO=
α1
) 0 (
) 0 (
0
0
=
D
Posons
N
On parle de rejet asymptotique de la perturbation si l'erreur due à la perturbation εd tend vers 0 en régime permanent
) (
) ) (
( D s
s N s
s K F
d d βd
= 1
) 0 (
) 0
( =
d d
D N
) ( lim
) (
0 1
0 0
0
D s
K s
s K
dd s
− +
=
∞
⇒
− +→ α
β
ε
αavec
avec
Automatique
Précision des systèmes asservis (11)
!
Erreur relative à la perturbation ε
d"
Perturbation de type échelon ( )
# (système de classe 0). On a :
•
Si β = 0, on obtient•
Si β ≠ 0, on obtientL'erreur est bornée si F(s) n'a pas d'intégrateur
0 0
, 0
lim
0)
( s K
s K
dp s
d
∞ = − +
−→ α
β
ε
αs s
D 1
) ( =
0
= 0 α
0 0
,
( ) lim 1
K s K
dp s
d
∞ = − +
−→
ε
βp d p d
d
K
K K
K = −
− +
=
∞
0
,
( ) 1
ε
−∞
=
∞ )
,p
( ε
dLa présence d'intégrateurs dans F(s) ne contribue pas à l'élimination asymptotique de la perturbation
Automatique
Précision des systèmes asservis (12)
!
Erreur relative à la perturbation ε
d"
Perturbation de type échelon
# (au moins un intégrateur)
•
Si α0−β = 0, on obtient•
Si α0−β ≥1, on obtient0
≥ 1 α
0 ,
( )
K K
dp
d
∞ = − ε
L'erreur de position εd,p due à la perturbation est diminuée voire annulée si on augmente le nombre d'intégrateurs α0 en amont du point d'application de la perturbation tout en veillant à ne pas déstabiliser le système
0 0 ,
lim
0)
( K
s K
dp s d
β
ε
α −→
−
=
∞
On a
0 )
,p
( ∞ =
ε
dAutomatique
Précision des systèmes asservis (13)
!
Erreur relative à la perturbation ε
d0 -∞ -∞ -∞ -∞
ε
d,a0 0
3
00
2
10 0
2
0-∞
1
10
1
0-∞
0
0ε
d,vε
d,pα
0β
p d
K
− K
v d
K
− K
Avec
) ( lim
0sH s
K BO
v = s→ v
d
K
− K
a d
K
− K
a d
K
− K
) ( lim 2
0
s H
s
K BO
a s
= →
(
1 ( ))
lim
0 H s
K BO
p = s +
→
L'erreur totale en régime permanent est la somme de l'erreur par rapport à la consigne et de l'erreur due à la perturbation
Automatique
Précision des systèmes asservis (14)
!
Rejet de la perturbation par compensation
Si F(s) est connue, on peut éliminer totalement la perturbation en réalisant une correction par compensation
C(s) H(s)
yc + − ε u y
d
++
F(s) W(s)
−
) ) (
( 1
) ( )
( )
) ( ) (
( 1
) ) (
( D s
s H
s H
s W s
s F s Y
H s s H
Y
BO c BO
BO
BO +
+ −
= +
Le hic! W(s) n'est pas toujours stable ou physiquement réalisable (contrainte de causalité) On élimine totalement la perturbation en prenant
) ( ) ( )
(s C s H s HBO =
) (
) ) (
( H s
s s F
W
BO
=
Automatique
Performances dynamiques (1)
!
Performances
" rapidité : temps de montée tm, temps de réponse tr
" dépassement
" résonance
!
Résultats qualitatifs
On apprécie le comportement dynamique des systèmes asservis en termes de (cf cours 1 à 3) :
Ces performances peuvent être évaluées sur la réponse indicielle ou fréquentielle du système asservi
Peut-on déduire les performances des systèmes asservis à partir de la connaissance de HBO(s) ?
$
Oui pour les systèmes du 1er ordre$
Des résultats qualitatifs pour les systèmes du 2e ordreAutomatique
Performances dynamiques (2)
!
Système du premier ordre en BF
" Fonction de transfert en BF
avec
Quand on boucle un système du 1er ordre, on obtient en BF un système ayant le comportement d'un 1er ordre
KBF : gain statique en BF
TBF : constante de temps en BF
s T s K
H
BO0 0
) 1
( = +
HB O(s)
yc + − ε y
s T K
s K H
BF0 0
0
) 1
( = + + ⇒
s T
s K H
BF BF
= +
BF) 1 (
0 0
1 K
K
BFK
= +
0 0
1 K
T
BFT
= +
et
Automatique
Performances dynamiques (3)
!
Système du premier ordre en BF
" Remarques
# Le système du 1er ordre en BF présente en régime permanent, une erreur statique non nulle. Cette erreur est d'autant plus petite que le gain K0 est grand (mais attention à la saturation des actionneurs !!)
# Temps de réponse en BF
•
Le système est plus rapide en BF qu'en BO•
Le temps de réponse est d'autant plus petit que K0 est grand avecs T s K
H
BF BF = + BF
) 1 (
0 0
1 K KBF K
= +
0 0
1 K TBF T
= + et
0 , 0
1 3 3
K T T
t
r BF BF= +
=
Automatique
Performances dynamiques (4)
!
Système du deuxième ordre en BF
" Fonction de transfert en BF
1 2
) (
0 , 0 2,0
2
0
+ +
= s s s K
H
n n BO
ω ξ ω
HB O(s)
yc +− ε y
) 1
( 2
) (
0 0
, 0 2
0 , 2
0
K s s
s K H
n n
BF = + + +
ω ξ ω
,
⇒
1 2
) (
2 , ,
2 + +
= s s s K
H
BF n
BF BF
n BF BF
ωξ ω
: gain statique en BF
0 0
1 K KBF K
= +
0 0
1 K
BF = ξ+ ξ
0 0
,
,BF n 1 K
n = ω +
ω
: facteur d'amortissement en BF ( ) : pulsation naturelle en BF
1 0 < ξBF <
Automatique
Performances dynamiques (5)
!
Système du deuxième ordre en BF
" Remarques
# Le système en BF a une erreur statique non nulle
# Le système en BF a un comportement oscillatoire amorti
# Le facteur d'amortissement ξBF est faible si K0 est grand
⇒ la réponse indicielle a un fort dépassement
# Le temps de montée tm est rapide si K0 grand
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
2 4 6 8 10
ξBF
ωn,BFtm
8 . 0 2
.
0 < ξBF <
Pour on a
4 2 < ωn,BFtm <
Pour les valeurs courantes de ξBF, on peut obtenir un ordre de grandeur du temps de montée en BF à partir des éléments de la BO
Automatique
Performances dynamiques (6)
!
Système du deuxième ordre en BF
"
Relation empirique 1
" Relation empirique 2 : relation entre marge de phase et
facteur d'amortissement en BF
Si K0 >> 1, on montre que ωn,BF = ωn,0 1+ K0 ≈ωc0
avec ωc0 la pulsation telle que |HBO(jωc0)|=1 ou G(ωc0)=0dB ωc0 est appelée aussi pulsation de coupure à 0dB
Ces deux relations permettent de déduire les performances du système en BF à partir de la connaissance des caractéristiques fréquentielles de HBO
100
) (degré m
BF
ξ ≈ ϕ mϕ : marge de phase mϕ =ϕBO(ωc0) +180°
Automatique
Performances dynamiques (7)
!
Système du deuxième ordre en BF
"
Influence du gain statique
K0en BO sur la BF
# Augmentation de K0 ⇒
•
diminution de ξBF , augmentation de ωn,BF (donc de la BP)•
dépassement DBF important•
diminution de la marge de phase (stabilité moins bonne)•
augmentation du temps de montée en BF et de la précision# Diminution de K0 ⇒
•
augmentation de ξBF , diminution de ωn,BF (donc de la BP)•
diminution du dépassement DBF•
augmentation de la marge de phase (stabilité améliorée)•
diminution du temps de montée en BF et de la précision Il y a un compromis à trouver entrela rapidité, la stabilité et la précision
