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Les oscillateurs non linéaires et le diagramme de Nyquist
A. Blaquière
To cite this version:
LES OSCILLATEURS NON
LINÉAIRES
ET LE DIAGRAMME DENYQUIST
Par A.
BLAQUIÈRE.
Laboratoire de Radioélectricité de l’École Normale Supérieure, Paris.
Sommaire. - Ce travail
a pour but la recherche de lois générales permettant l’étude de systèmes
oscillants régis par des équations non linéaires. Les méthodes employées permettent d’établir rapi-dement et clairement tous les résultats classiques obtenus plus laborieusement par les méthodes
tradi-tionnelles, en particulier ceux relatifs à l’équation de van der Pol.
Nous commençons par rappeler les approximations linéaires classiques et la méthode de Nyquist sous sa forme originale, valables seulement lorsque les oscillations s’amorcent.
L’évolution du système est ensuite analysée entre l’amorçage et le régime permanent grâce à une
généralisation de la méthode de Nyquist s’étendant au cas d’oscillateurs à loi non linéaire.
L’étude, faite sur des modèles simples (l’oscillateur de van der Pol est pris pour type), permet de déterminer :
1° La valeur de l’amplitude et de la pulsation en régime stabilisé;
2° Le temps de réaction à une petite perturbation;
3° La stabilité de fréquence;
4° La plage de synchronisation.
La portée plus générale des résultats est cependant soulignée.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM.
13,
I.
L’AMORÇAGE
DESOSCILLATIONS,
LES APPROXIMATIONSLINÉAIRES CLASSIQUES.
A. - Pulsation
complexe
(rappel) :
&)1 +jW2
(wl, pulsation;
&)2’ amortisserrientalgébrique).
1. Pulsation réelle limite : conditiond’accro-chage
voisine de la stabilité. - Les réseauxélectriques plus
ou moinscompliqués
qui
cons-tituent les oscillateurs
radioélectriques
renferment des élémentspassifs :
selfs,
capacités,
résistances et des éléments actifs tels que deslampes
électroniques
indispensables
à l’entretien des oscillations. Il seracommode,
pour la clarté del’exposé,
degrouper
leséléments actifs d’une
part,
les élémentspassifs
d’autrepart,
et de réduire le réseau au schémasimple
de lafigure
r ,A et B sont deux
quadripôles,
convenablementassociés,
dont nous examinerons d’abordséparément
le fonctionnement
(fig. 2).
On sait
qu’un quadripôle
est une boîteprouvant
renfermer des éléments actifs et
passifs
d’où sortentquatre
bornes,
deux d’entrée et deux de sortie. Si l’onapplique
entre lesbornes,
a, b d’entrée unedifférence de
potentiel
sinusoïdaleV1=
Ai
sin m l,il en résulte une différence de
potentiel
V2
entre les bornes de sortie c et d.Cette différence de
potentiel V,
peut
être déter-minée aisément au moyen deséquations classiques
de l’électricité
appliquées
aux diverses branches duréseau constituant le
quadripôle.
Si tous les éléments dont il est formé obéissent à deslois linéaires,
V2 dépend
linéairement deV1,
c’estdonc,
commeV1,
une fonction sinusoïdale dutemps
que nous mettronssous la forme
En vertu du
principe
desuperposition
desrégimes
électriques, applicable
à tous lessystèmes linéaires,
° à unpotentiel
d’entrée de la formeFig. 1.
Fig. 2.
correspondra
unpotentiel
de sortieUne méthode bien connue consiste à donner
à j
la valeur
imaginaire
V-l,
auquel
casV1
etV2
prennent
les formessimples
Ces fonctions
qui
semblent, a
priori,
n’avoir aucun sensphysique,
sont d’unemploi
très commode. Elles font intervenir simultanément les deuxsions
Ai
cos mi etAi
sin et il suffit de ne conserverà la fin des calculs que l’une d’elles pour se ramener au cas concret où les
potentiels
sont réels.Impédance
detransfert
complexe
d’unquadripôle.
--- Le
rapport
dupotentiel complexe
de sortieau
potentiel complexe
d’entréecorrespondant
est
appelé
«impédance
de trânsf ertcomplexe
duquadripôle
». Nous poserons(j
dépendra
généralement
dem).
Le terme «
impédance
de transfertcomplexe
» estgénéralement remplacé
par celui d’ « atténuationcomple;e »
dans le cas desquadripôles
nerenfer-mant que des éléments
passifs
et de« gain
conplexe »
lorsque
le réseau renferme deslampes
électroniques.
Coefficient
de réaction d’un auto-oscillateur.-Considérons maintenant les deux
quadripôles
associés de lafigure I.
A étantsupposé
actif,
degain
complexe
Gi et Bpassif,
d’atténuationBi.
Cesys-, tème
peut
osciller pour des valeurs convenables de~i
et Gique
nouspréciserons
sur desexemples.
L’oscillation étant
supposée d’amplitude
et depulsation
constantes, soitle
potentiel complexe
d’entrée deA;
sonpotentiel
de sortie est
V2
est alors lepotentiel complexe
d’entrée deB,
tandis que
Vi
est sonpotentiel
desortie,
et l’on aOn en déduit
l’équation
bien connuequi
donnela
pulsation
de l’oscillationqui
s’établitLe
produit Bi
Gi
estappelé
le«gain complexe
total »de l’oscillateur et
Gi
le « coefficient deréac-tion ».
L’équation (1)
estéquivalente
à unsystème
dedeux
équations
obtenues en annulant lesparties
réelle et
imaginaire
pure dupremier
membre. On tire de ces deuxéquations
lapulsation
d’oscil-lation
(réelle
parhypothèse)
et une conditionsup-plémentaire
entre les données des circuits : « lacondition
d’accrochage
». La conditiond’accrochage
nepouvant
êtreremplie
en touterigueur,
le casenvisagé
iciapparaît
comme un cas limitephysi-quement
irréalisable. Onpeut
s’enapprocher
cependant
sil’accrochage
est extrêmement doux.Application
à un oscillateurclassique.
-Consi-dérons,
à titred’exemple,
l’oscillateur trèssimple
de la
figure
3. Le C. 0. branché sur lagrille
estcouplé
par mutuelle induction au circuit deplaque.
Le
quadripôle
A du schéma initial se réduit icià une seule
lampe.
La différence depotentiel
Viest
appliquée
entre les bornes d’entréegrille
etcathode,
V2
est la différence depotentiel
entre les bornes de sortieplaque
et cathode. On suppose, deplus,
donnéelia
caractéristique
de lalampe,
courant deplaque i2
fonction linéaire dupotentiel
de
grille
V1
de la forme(s,
pente
de lalampe).
On calcule aisément le
gain
complexe
G, de lalampe
d’entretienFig. 3.
’
De
même,
lequadripôle
B est le réseau que nous avons isolé sur lafigure
4.
Il est constitué par le C. 0. degrille
et la self deplaque couplés
par mutuelle.On trouve, de même,
pour
(Ll’ C1’
rl,self,
capacité
et résistance série du C.0. ;
"L2,
self deplaque).
L’équation
donnant la
pulsation
de l’oscillationqui
s’établitprend
ici la formeElle est
équivalente
ausystème
de deuxéquations
àune inconnue CI), obtenu en annulant les
parties
réelle et
complexe
dupremier
membreLa deuxième
exprime la
conditiond’accrochage
bienconnue.
2. Pulsation
complexe :
Conditiond’accro-chage
très instable . - Dans la méthode suiviejusqu’ici
nous avonspostulé
l’existence d’unrégime
d’oscillation sinusoïdal. Or un tel
régime
n’estpos-sible que si la condition
d’accrochage
précédente
est« exactement »
vérifiée,
cequi
seraitphysiquement
irréalisable en toute
rigueur.
En
fait,
nousdevons,
pourreprésenter plus
correc-tement le cas
réel,
montrer que, auvoisinage
del’accrochage,
l’oscillation dusystème
peut
croîtrelentement en
amplitude,
ou bien tendre vers le repos. Le cas limite mis en évidencecorrespond
àun cas
théorique
intermédiaire.Il
suffit,
pourgénéraliser
l’étudeprécédente,
d’étendre la définition del’impédance
de transfertcomplexe
d’unquadripôle
au cas où lagrandeur
d’entrée est
pseudo-sinusoïdale.
Soit,
parexemple,
le
potentiel appliqué
entre les bornes d’entrée duquadripôle,
on voitqu’il
peut
êtreremplacé
commeplus
haut par lepotentiel complexe
Les raisonnements
qui
nous ont conduit à la défi-nition del’impédance
de transfert et àl’équation
en w,
peuvent
êtrerepris
ici sans modification àcondition de poser
c’est-à-dire de considérer la
pulsation
comme unegrandeur complexe.
Lia forme de
l’expression
del’impédance
detrans-fert
complexe
d’unquadripôle
restera donc lamême,
ainsi que celle del’équation
qui
permet
la détermination de Mlorsque
les deuxquadripôles
Aet B sont associés pour former un oscillateur.
Application Ù
t’oscillafeurprécédent.
-- Dansl’exemple
précédent,
l’équation
d’oscillationcorres-pondant
à unrégime
dontl’amplitude
varie,
resteSa
décomposition
nepeut, cependant, plus
se fairecomme
plus
haut, il faut poser d’abordauquel
cas cetteéquation
devienton en tire le
système
Ces deux
équations
à deux inconnuespermettent
le calcul de W1 et W2. Enparticulier,
on voit quel’amplitude
durégime
transitoirequi
s’établit estde la forme
Fig. 4.
Si l’on a
r,C, -f-
IVIs = o, on retrouve le cas traitéprécédemment
où l’oscillation conserve uneampli-tude constante.
Si l’on a
f1C1
T àls o, les oscillations s’amorcentet croissent en
amplitude.
Si l’on a
f1CI
> o, les oscillations nepeuvent
s’amorceret,
si lerégime
initial a uneamplitude
finie,
lesystème
doit tendre vers le repos.3.
Graphique
deNyquist :
exemple type.
-Nous venons de voir que
l’équation qui
permet
de calculer lapulsation
de l’oscillateurpris
commeexemple
estet que cette
pulsation, complexe
dans le casgénéral,
ne devient réelle que si la condition
d’accro-chage riC1
+ Ms = o estremplie.
On
peut
aussi étudierl’équation (2)
par uneFig. 5.
méthode
graphique,
due àNyquist
etsavoir,
parl’inspection
d’une courhe, si la conditiond’accro-chage
est vérifiée. Dans le cascontraire,
il estpossible
depréciser
la stabilité ou l’instabilité de l’oscillateur. Nous allonsrappeler
la méthodequi
sera d’une extrême utilité
lorsque
nousenvisagerons
Donnons à w une valeur réelle arbitraire wr;
le nombre
complexe
obtenu en
portant
cette valeur co,. dans lepremier
membre de
l’équation précédente,
a uneimage
msur le
plan complexe.
Si (Dr
varie,
tout en restantréel,
lepoint
m décritune courbe : le
diagramme
deNyquist
del’oscil-lateur considéré.
Si, d’ailleurs,
l’un des coefficients del’équa-tion
(2),
parexemple
+Ms),
estsusceptible
de
prendre
diversesvaleurs,
à chacune de ces valeurscorrespondra
une courbe deNyquist
différente. Nous avonsreprésenté
sur lafigure
5, trois courbes deNyquist
r1,
F2, f3,
pour trois valeurs :négative,
nulle,
positive
de Ms.Pour Ms = o, à
l’accrochage,
la courbef2
se confond avec une
portion
de l’axeréel,
elle passe,par
suite,
parl’origine
0. Les courbesr1
etr 3
tracées pour
r1C1
+ Ms o et + Ms > o nepassent
ni l’une ni l’autre par 0. Cepoint,
pourlequel
on a Hi = o, necorrespond
pas, en
effet,
dans ces deux derniers cas, à une valeur réelle
de ~,).
Les courbes
flet r3
relatives,
lapremière
à uneoscillation
d’amplitude
croissante lVlso),
la deuxième à une oscillation tendant vers le
repos -~- >
o),
ne diffèrent que par lesens de
déplacement
dupoint
courant mquand (a,
varie de -
00 à +00. De ce sens de parcours,
peut
être déduit un critère
général
de stabilité dont nouslaisserons de côté l’étude ici
[1].
Oscillateur à
déphasage.
- Nousappliquerons
la méthodegraphique,
résumée dans le cassimple
précédent,
à untype
d’oscillateur moinsclassique
afin de montrer que son utilisation est très
générale.
L’exemple
choisi sera l’oscillateur à résistance etcapacité représenté
sur lafigure
6.Fig. 6.
Ce
système
ne renfermeplus
le circuit oscillantusuel à
résistance,
self etcapacité.
Un réseau d’untype
plus général
permet
dereporter
sur lagrille
de la
lampe
d’entretien,
une tensionV’1
obtenue àpartir
de la tension deplaque V,.
V,
est déduit deV2
par modificationsd’amplitude
et de
phase,
cequi
revient à dire encore que lecircuit de réaction déduit
V1
deV2
par atténuationcomplexe.
Le calcul du coefficient d’atténuation
complexe
donne :(la
signification
des lettres estindiquée
sur ledessin).
Cetteexpression, jointe
augain complexe
de la1 . Fig. 7.
lampe, qui
vautici,
lorsque
la résistance decharge
rest
faible,
permet
de déterminer le coefficient de réactioncomplexe
de l’oscillateur et, parsuite,
sonéqua-tion aux
pulsations qui
est de la forme°
Cette
équation
du troisièmedegré
estéquivalente,
lorsque w
estréel,
ausystème
suivant obtenu enannulant les
parties
réelle etimaginaire
pure deson
premier
membre :Comme nous l’avons
indiqué plus
haut,
onpeut
obtenir ainsi la valeur de la
pulsation
àl’accrochage
et la
condition
d’accrochage.
De lapremière
équa-tion,
ontire,
eneffet,
Portant cette valeur dans la
deuxième,
on trouve,pour condition
d’accrochage,
Nous avons encore
représenté
(fig, 7)
trois courbesde
Nyquist
rI,
T2, r 3’
pour des valeurs différentesde 7.~: :
à
l’accrochage
passe par CJ. Du sens de parcoursdes deux autres
courbes,
quand
mr varie de -00
à +
oo,peut
être déduit la stabilité ou l’instabilitéde l’oscillateur.
Plus
généralement, l’équation qui
donne Mpeut
êtreécrite sous la forme réduite :
Nous
représentons
alors sur leplan complexe
lacourbe obtenue en
portant
dans les valeurs réelles lespoints
de cette courbeayant
pouraffixes
réel).
,A
l’accrochage,
l’équation
a une racine réelle en GJ et la courbe de
Nyquist
passe par 0.Lorsque
la conditiond’accrochage
n’est pasremplie,
l’origine
0(~ === o) correspond
à unevaleur de m
complexe
dont on déduit
aisément,
selon que ú)2 estnégatif
ou
positif,
l’instabilité ou la stabilité de l’oscillateurLa courbe ne passe pas par 0 dans ce cas.
B. --
Opérateur
différentielreprésentatif
d’un oscillateur.1. La méthode directe et ses liens avec la
méthode
précédente.
- Une méthodeplus
directepour étudier un oscillateur consiste à écrire les
équations
de Kirchh off du réseauqui
le constituesous leur forme différentielle.
On
obtient,
endéfinitive,
l’équation
d’oscillation sous la forme d’uneéquation
différentielle,
qui
estlinéaire si tous les éléments du réseau obéissent à
des lois linéaires.
Nous allons vérifier sur
l’exemple
type
choisiplus
haut,
que cettefaçon
deprocéder
est formel-lementidentique
à laprécédente.
Gain
symbolique
de lalampe amplificatrice.
-- La relation entre la tension de sortieV2
et la tension d’entréeVI
est~I
nous poserons
symboliquement
Gop
est le« gain symbolique
dusystème
d’entretien ».Atténuation
symbolique
du réseuupussz f .
- Denième,
la relation entre la tension de sortie~’1
etla tension d’entrée
V"2
du réseaupassif
estnous poserons aussi .
ce
qui
revient à écrirel’équation
différentielleci-dessus sous la forme
symbolique
L’équation
d’oscillation,
déterminée facilement àpartir
deséquations (4)
et(5),
’
peut
être mise sous la f ormesymbolique
On voit alors que, dans le cas où
VI
est de la formeAi
e’°i,
on aL’opération
dusymbole d
surV,
est, dans ce cas,équivalente
à lamultiplication
deVi
parjw
équivaut,
demême,
à lamultiplication
deV1
par
(;M)~.
et
peuvent
êtreremplacés
par les valeurscomplexes
Gi
etf3i
calculéesplus
haut etl’équation
différentielle de l’oscillateur par
l’équation complexe
déjà
rencontrée2.
Symbolisme
del’opérateur
différentiel.-Nous pouvons résumer maintenant la méthode
déve-loppée jusque-là
sur unexemple
et la donner sous une formeplus générale.
Un oscillateur étant réduitau
schéma i,
nous supposeronstoujours
donnés legain
et l’atténuationsymbolique
Gui,
et~3, ,,
de A~et B sous la forme
désignant
lesym-dm
bole
dtm’
ai des coefficients constants.dtm
Cette
expression généralise
les coefficients detransfert
symboliques Gop
et déterminés dansl’exemple
précédent.
Ayant
choisi unevariable,
parexemple
lepoten-tiel d’entrée V de A, nous écrirons
l’équation
-sous la forme réduite
en
posant
Nous chercherons ensuite une solution de cette
équation
de la forme V =aoePi,
ao étant réelet p égal
à
iw (c~ réel). H( p V === 0
s’écrit alorsétant la
grandeur complexe
obtenue enrem-plaçant
dansH "p
les dérivéespremières,
secondes,
etc.par p,
p2,
....Par
suite,
l’équation (7)
peut
êtreremplacée
parHi= 0,
qui
permet le calcul de w.(9)
Elle est
équivalente
à deuxéquations
à uneinconnue o, obtenues en annulant les
parties
réelleset
complexes
de H~.Nous nous
placerons
dans le caspratique
où lapulsation
oopeut
être déterminée defaçon
unique;
la condition de
compatibilité
des deuxéquations
précédentes
donne alors la conditiond’accrochage.
En
fait,
la conditiond’accrochage
n’estjamais
exactement vérifiée et
l’équation
Hi === o n’admetpas, en toute
rigueur,
de solution réelle en M.On
peut
trouvercependant,
dans ce cas, une solutioncomplexe
Il en résulte pour V une
expression
de la formedont
l’amplitude ~
1
VI
= ao e-w:Bt est une fonctiondu
temps,
croissante ou décroissante selon que Cù2est
négatif
oupositif.
L’oscillateur est instable dans le
premier
cas, stable dans lesecond,
et indifférent dans le casthéo-rique
limite où la conditiond’accrochage
serait exactement vérifiée.II.
ÉVOLUTION
DES OSCILLATIONS ENTREL’AMORÇAGE
ET LERÉGIME
PERMANENT. A. - Défin~ition dudiagramme
deNyquist.
1. Deux classes de mécanismes limiteursd’amplitude.
- Nous venonsde voir que si les
équations qui
régissent
un autooscillateur sontlinéaires,
l’oscillation libre nepeut
atteindre unrégime
stable. Elletend,
soit àdisparaître,
soit à croître indéfiniment enamplitude.
Les oscillateurs utilisés en radioélectricité ont
toujours, cependant,
uneamplitude
limitée. Il estfacile
d’expliquer
cette limitation par laprésence,
dans les
circuits,
d’éléments obéissant à des loisnon linéaires. S’il
s’agit,
parexemple,
d’unoscil-lateur à
lampes,
la courbure descaractéristiques
intervient pour stabiliser lerégime.
L’é.quation
différentiellequi régit
l’oscillation d’unsystème
réel n’est doncjamais,
en touterigueur,
linéaire et son
étude,
généralement
trèscompliquée,
ne
peut
plus
être faite par la méthode deNyquist
sous sa forme
classique.
Nous essaierons néanmoinsd’étendre la méthode à ce cas et
choisirons,
là encore,quelques exemples simples
avant d’aborder unexposé plus général.
Remarquons
d’abordcependant,
que deux classes de mécanismes limiteursd’amplitude
pourront
être rencontrées.Dans le
premier
exemple
que nousexaminerons,
nous supposeronsqu’il
existe un filtred’enveloppe.
La limitation est donc assurée, pour ce
type
d’oscil-lateur,
soit parl’amplitude
a, soit par une fonctionsimple
del’amplitude
(par
exemple a2).
Cela nous
permettra
d’introduire unparamètre
limi-teur à variation lente etcontinue,
dontl’emploi
seraprécieux
pour lagénéralisation
que nous avons en vue.Dans le deuxième
exemple,
c’est la variableVI
elle-même
qui
contrôleral’amplitude.
L’introduction d’unparamètre
limiteuranalogue
auprécédent
seramoins directe. On pourra le faire
apparaître
cepen-dant,
tant que l’oscillation resterapseudo-sinu-soïdale,
enprenant
la moyenne deV1
surchaque
pseudo-période.
2.
Exemple
type
d’un limiteur à filtred’en-veloppe.
-Reprenons
l’oscillateur considéréplus
haut,
celui de lafigure
3 etajoutons-y
unméca-nisme
de réaction fonction del’amplitude
d’oscil-lation.L’équation
linéairedevra être
modifiée,
remplacée,
parexemple [2],
parm étant un coefi’lcient
caractéristique
dusystème
de contrôle choisi. Si ma2 tend vers i, par suite de
la croissance de
l’amplitude
a, le terme résistantdevient nul et l’oscillation se stabilise pour
Un
exemple
simple
de ce cas est obtenu enajou-tant à l’oscillateur
pris
antérieurement commetype ~ fig.
3),
unsystème
à résistance etcapacité
enLinéarisation de
l’opérateur différentiel
représen-tati f .
- Sur un intervalle detemps
assez court,pendant
lequel l’amplitude
d’oscillation reste voisineFig. 8.
d’une valeur at, on
peut
remplacer l’équation
nonlinéaire
précédente
parl’équation
linéaireoù l’on a donné à a la valeur constante at.
L’oscillation
pseudo-sinusoïdale
représentée
parcette
équation
linéaire a uneamplitude
qui
varieexponentiellement
avec letemps (fig. g).
Elle necoïncide avec l’oscillation du
système
considéré quelorsque l’amplitude
de cette dernière est voisine Nousl’appellerons
« oscillationpseudo-sinusoîdale
tangente
auphénomène
» par a = ai, etl’équation
linéaire
correspondante,
«équation
linéairetan-gente
».On est alors conduit à
généraliser
l’étude deNyquist,
précédemment
résumée,
au cas oùl’équa-tion
d’oscillation,
nonlinéaire,
a la forme choisiecomme
exemple.
Ilsuffira,
pourchaque
valeur de a(soit
at une tellevaleur),
deremplacer l’équation
donnée par
l’équation
linéairetangente,
auquel
casl’équation
différentielle de l’oscillationpeut
êtreremplacée,
comme nous l’avons vuplus
haut,
parl’équation symbolique
Fig. 9.
pulsation
complexe correspondante
est encoredonnée par
l’équation
déduite de la forme
symbolique
enremplaçant
d
dt
d2 , ,
et
yp
par jw
et(jW)2.
Une diff érence
profonde
entre le casenvisagé
iciet le cas étudié antérieurement
(système
à loilinéaire)
tient au fait que,ici,
pourchaque
valeurde at la
pulsation complexe,
tirée de cetteéquation,
a une valeur différente.
Cette
pulsation
complexe
varie donc avecl’ampli-tude.
Déformation
lente dudiagramme
deNyquist
entret’accrochage
ei Ierégime
permanent.
- Nouscons-truirons,
pour a = a,, lediagramme
deNyquist
deFig. Io.
l’équation
linéairetangente.
Lepoint
courant decette courbe aura pour affixe
(wr
désignant
une valeur réelle variable donnée àw).
Lorsque
ai varie au cours dutemps,
la courbe ainsi obtenue sedéforme,
engendrant
une famille à unparamètre.
La
figure
1 oreprésente quelques
courbes de lafamille. On ne doit pas confondre ce schéma avec
celui de la
figure
5, pourlequel
les diverses courbesinva-534
riable,
et les courbescorrespondent
à divers étatsde son évolution.
En résumé,
l’équation
d’oscillation esttoujours
mise sous la forme = o. La différence entre unsystème
à loi linéaire et unsystème
à loi non linéaireest
marquée
par laprésence
duparamètre
ai dansl’expression
L’équation
auxpulsations,
déduite del’équation
d’oscillation sera, par
suite,
écritece
qui
permet
deremplacer
la courbeunique
deNyquist,
construiteprécédemment
àpartir
de l’afplxe Hi(W,.)
d’unpoint
courant m, par la famille de courbes à unparamètre engendrée
par lepoint
d’affixe Hi
(at,
Nouscomplèterons
le dia-gramme enreprésentant
les lieux despoints
pourlesquels
j~. a une valeurdonnée,
lorsque at
varie.Nous
joignons
ainsi à la famille des courbeséqui-amplitude précédentes,
une deuxièmefamille,
celle des courbeséquipulsation dépendant
dupara-mètre c~,.
I o).
3. Cas d’un limiteur sans filtre
d’enveloppe ~
exemple
de l’oscillateur de van der Pol.--Un autre
type
classique
d’oscillateur est celui quenous avons choisi comme
premier
exemple,
sansdispositif
de contrôlesupplémentaire;
son étudenous
conduira,
bien queplus
laborieusement,
à des résultats de la même forme.Nous avons écrit
plus
haut sonéquation
d’oscil-lation en
supposant
que lacaractéristique
de lalampe
est donnée parl’équation
linéairei,
= sV1.
Nous tiendrons
compte
ici de la courbure de lacaractéristique
en lareprésentant
par lespremiers
termes d’un
développement
en série. Soit(s,
pente
de lalampe;
b,
coefficientconstant)
cedéveloppement,
danslequel
nous avonssupprimé,
par souci de
simplicité,
le terme enVi .
Cettesimpli-fication est d’ailleurs
justifiée
dans de nombreuxcas
pratiques,
ilsuffit,
pours’y
ramener,d’employer
un
montage
push-pull.
L’équation
d’oscillationprend
alors la formeEquation
linéairetangente.
--- Onpeut
vérifierencore
(appendice) qu’il
estpossible
d’approcher
l’oscillation
réelle,
pourchaque
valeur at de sonamplitude,
par unepseudo-sinusoïde
tangente
dontl’amplitude
varieexponentiellenlent,
l’équation
linéairetangente ayant
ici la formeD’une
façon plus générale,
onpeut
poseret écrire
l’équation
d’oscillationLa
pratique
montrequ’un
grand
nombre d’oscil-lateurs non linéairespeuvent
être décrits au moyend’un
développement
de cette forme.L’équation
linéairetangente
est alorsDiagramme
deNyquist à
unparamètre.
- Onpourra encore
construire,
pourchaque
valeur at del’amplitude,
lediagramme
deNyquist
déduit decette dernière
équation
et obtenirainsi,
commeplus
haut,
une famille de courbeséquiamplitude
etde courbes
équipulsation,
chacune à unparamètre.
La
généralisation
de l’étude deNyquist
nous adonc conduit à faire
correspondre
à un oscillateuren état
d’évolution,
une courbequi,
elleaussi,
évolue. A des
propriétés
géométriques
de cettedernière
correspondront
despropriétés physiques
dusystème
réel.Ce
diagramme
mobileayant
été’ défini sur deuxexemples,
nous allons maintenant en étudierquelques
propriétés
enenvisageant
toujours
des cas concrets.B. - Utilisation
du
diagramme
deNyquist
mobile. 1. Valeur de1’amplitude
(as)
et de lapulsa-tion en
régime
stabilisé. - Pourchaque
valeur ut de
l’amplitude
d’oscillation,
onpeut
tirerde
l’équation
auxpulsations
déduite comme nous l’avons vu de
l’équation
linéairetangente,
une valeur de c~généralement
complexe.
Soit m == Ú)1
-~ j c~2
cettepulsation
complexe,
elleindique
que lapseudo-sinusoîde
tangente,
depulsa-tion réelle a une
amplitude
qui
varie comme e-{Ú2t.Un état de
régime
stable sera donc atteintlorsque
seranul,
c’est-à-direlorsque
l’équation
aux
pulsations
admettra une racine réelle. Ce casne
peut
être rencontré que pour des valeursconve-nables de ai et il est facile de voir que le
diagramme
deNyquist
correspondant
passe parl’origine.
La(somme nous allons le voir en
poursuivant
l’étude de1"exemple
précédent.
L’équation
auxpulsations,
déduite del’équation
linéaire
tangente,
est icico ..1"1
Lorsque
~o estréel,
elle estéquivalente
ausystème
suivant :
-on en tire les valeurs hien connues de
l’amplitude
etde la
pulsation
durégime
stabilisé[2]
Ce sont les conditions pour
lesquelles
la courbe deNyquist correspondante
passe parl’origine.
En résumé, pour ai = o,
l’équation
auxpulsa-tions s’écrit
Elle
correspond
au casoù,
l’amplitude
étantfaible,
l’oscillateur est
régi
par une loi très sensiblementlinéaire.
Si nous supposons que le
régime qu’elle
définitest
instable,
c’est-à-direqu’elle
n’admet pas de solution réelle en M,l’amplitude
va croître.Le
diagramme
deNyquist
initial va se déformerjusqu’au
moment oùl’équation
admettra une solution réelle en ce. A ce moment,
le
diagramme
mobile passe parl’origine.
2.
Application
à l’oscillateur àquartz
dePierce. -- Les
exemples simples
choisisjusque-là
Fig. i 1.
nous ont servi à illustrer la
généralisation
de laméthode de
Nyquist
et à montrer sonapplication
sur des casprécis.
Avant de ladévelopper plus
longuement,
nous étudierons par ce moyen unpro-blème moins
classique :
la stabilisation enamplitude
de
l’osçillateur
àquartz,
de Pierce.L’oscillateur
envisagé
contient unquartz
branchéentre la
grille
et la cathode‘ d’unelampe
suivant lafigure
11.Lorsque
lacaractéristique
de lalampe peut
êtreassimilée à une
droite,
le circuitprécédent
peut
êtrereprésenté
par le schéma réduit ci-dessous(fig. 12) :
Z,,
Z2’
Z,
sont desimpédances
que nous suppo-serons données sous formesymbolique.
Nous supposerons encore ici que la
caractéristique
est courbe, cequi
introduit une stabilisation del’amplitude.
Fig. 1 2.
Aux deux
équations
de Kirchhoff :qui
restent linéairesquelle
que soitl’amplitude
d’oscillation,
nous devonsjoindre l’équation
expri-mant l’influence de la
lampe.
La
caractéristique
courbe sera encorerepré-sentée par ’
t ? - ,s Y’1-I- b TT 1.
Cette
expression,
jointe
auxéquations
des circuitspermet
d’obtenirl’équation
d’oscillationOn posera ici
Pour obtenir
l’amplitude
et lapulsation
durégime
stabilisé,
onremplacera (H1)op
et c’est-à-direZi, Z,, Z,,
par les valeurscomplexes
corres-pondantes
etl’équation
différentiellequi régit
l’osciliation parl’équation
complexe
(l’indice ’
indiquant
le passage aux valeurscom-plexes).
Avec les valeurs
complexes
deZl’ Z2, Z,,
données(la signification
des lettres estindiquée
sur les schémas i i , 12 et1,3).
L’amplitude
stabilisée a, est donnée paroô étant la
pulsation
imposée
par lequartz.
Cetteexpression
permet,
enparticulier,
d’étudier lavaria-tion de
l’amplitude
stabilisée en fonction d’unpara-mètre du
circuit,
C~ 2
parexemple.
Les résultats sontreprésentés
sur legraphique
de lafigure
Fig. 1 3.
. Fig. 14.
3.
Temps
de réaction à unepetite
pertur-bation. -- L’oscillation
naturelle,
tantqu’elle
n’a pas atteint unrégime
stable,
a étéassimilée,
pendant
un court
laps
detemps,
à unepseudo-sinusoïde
dont
l’amplitude
varieexponentiellement
avec letemps
(fig. g).
La constante detemps 71
de cettepseudo-sinusoïde
tangente
auphénomène
réel serviraà
définir,
pour l’oscillationréelle,
une constante detemps
instantanée.Pour
chaque
valeur at del’amplitude
existe unepseudo-sinusoîde
tangente
différente. La constante detemps 71
varie donc avecl’amplitude
et nousrenseigne,
àchaque
instant,
sur la vitessed’évolu-tion de l’oscillation.
On
peut
définir une autre constante detemps
[2],:,,
liée à la vitesae avec
laquelle
l’oscillateur,
dérangé
de son état de
régime
stablesupposé
atteint,
revientvers cette
position d’équilibre.
Il existe évidemmentune relation entre ces deux constantes. La seconde
sera déduite de
l’expression
trouvée pour lapre-mière.
Régime exponentiel tangent (constante
detemps
- Revenons à l’oscillateurtype
de lafigure
3,
dontl’équation
auxpulsations
estNous avons vu que, tant que le
régime
stabilisén’est pas
atteint,
m estcomplexe.
Posanttou-jours
w _ etportant
dans cetteéquation,
on obtient
L’annulation des
parties
réelle etcomplexe
dupremier
membre donne unsystème
permettant
ladétermination de et pour
chaque
valeur arbi-trairement choisie de atDe la
seconde,
on tireAu
voisinage
de la valeur ai,l’amplitude
de lapseudo-sinusoide
tangente
croît donc commed’où sa constante de
temps
valeur fi; " de
l’amplitude
stabilisée calculéeplus
haut
Evolution réelle du
systéme
(pseudo-conslanle
detemps
~2).
- On déterminesimplement,
comme nousallons le
voir,
la loi de variation del’amplitude
duphénomène
réel avec letemps
(courbe
en traitplein
de la
figure
g)
et la deuxième constante detemps ’:’2.
Soit
(t)
cette loi devariation,
qui
ne se confond avec celle de lapseudo-sinusoïde
tangente
qu’au
voisinage
de ai.Au
point
considéré,
il existe entre ai et lapente
a=at
la relation
(da)
lla 1.
puisque
l’exponentielle
enpointillé
et la courbe réelle en traitplein
ont mêmetangente
(fig.
9).
Cette relation s’écrit
ici,
enremplaçant
z1 par lavaleur calculée ci-dessus
Comme elle est valable
quel
que soit a~,l’équation
différentielle
qui
permet
de déterminer la loi de variation a(t) représentée
par la courbe en traitplein
est°
On retrouve ainsi une
équation
bien connue[2],
d’où l’on tire aisément la valeur
classique
de la deuxième constante detemps
Ces déterminations
peuvent
se passer d’uneinter-prétation graphique qui,
dans les cassimples
choisis,
ne sert
qu’à
résumer le résultatalgébrique,
en luidonnant une forme
plus
concrète.On
peut
notercependant
que ces constantes detemps
précisent,
en mêmetemps
que la loid’évolu-tion de
l’amplitude,
la loi de variation du dia-gramme mobile.Le calcul
de !’ 2 permet
l’évaluation de lapuissance
de bruit de l’auto-oscillateur
lorsque
l’onenvisage,
par
exemple,
l’eff et degrenaille,
l’effetd’agitation
thermique
dans lesrésistances,
etc.Quelle
que soitla source de
bruit,
onpeut,
eneffet,
réduire à unesuccession de chocs élémentaires la
perturbation
qu’elle apporte
aurégime
de l’oscillateur.Celui-ci,
dérangé
parchaque
choc élémentaire de son étatd’équilibre
stable,
tend ensuite à y revenir avec laconstante de
temps
72. La détermination de lapuissance
de bruitprésente
donc unegrande
analogie
avec celle d’un
pendule
amorti de même constantec1P
temps,
d’où l’intérêt deconnaître T.,.
~1. Stabilité de
fréquence ;
loifréquence-ampli-tude. ~-- Dans le
paragraphe précédent,
nous avonsporté
notre attention sur lapartie imaginaire
purede ú). Sa
partie
réelle Mi est aussi d’ungrand
intérêt,
puisqu’elle représente
lapulsation
au sens leplus
courant de la
pseudo-sinusoïde
tangente :
~2013
si Ten
désigne
lapseudo-période.
De même que nous a
permis
de définirplus
hautla constante de
temps
instantanée de l’oscillationnaturelle,
cettepulsation
réelle &)1permet
d’en définir lapulsation
réelle instantanée. Comme &)2’ elle varie avecl’amplitude
ai et c’est cettedépen-dance que nous étudierons ici.
La valeur de pour
l’exemple
choisi est immé-diatement tirée dusystème (10),
on trouveou, en faisant intervenir la
valeur as
del’amplitude
stabilisée,
Cette relation entre la
pulsation
réelle etl’ampli-tude
peut
être traduite sur lediagramme
mobile : àchaque
valeur réellecorrespond,
eneffet,
unpoint
particulier
dudiagramme
deNyquist
tracépour la valeur at considérée. Ce
point
décrit,
lorsque
aivarie,
une courbequi
seraappelée
«tra-jectoire
effective de l’oscillateur y~; elle estrepré-sentée en trait mixte sur la
figure 10.
Pour at = as, Mi est la
pulsation
durégime
stabilisé,
qui
vautPour at = o, vaut
c’est la
pulsation
de l’oscillation au moment où elles’amorce,
et l’onpeut
suivre,
sur legraphique,
la dérive de
fréquence
de l’oscillateur entre l’amor-çage et la stabilisation de sonrégime.
La loi
fréquence-amplitude,
mise en évidenceici,
impose
une limite ultime à la stabilité defréquence
de l’oscillateur. En
effet,
toute variation de sonamplitude
derégime,
parexemple
la fluctuation dueà une source de
bruit,
entraîne une modification desa
fréquence.
Si l’oscillateur est utilisé commehorloge
radioélectrique,
il en résultera donc des~).
Plage
désynchronisation,
calculgraphique
des limites de laplage.
- Nousreprendrons
l’équation
non linéaire de van derPol,
en yajoutant
un second meml)re sinusoïdal donné~’~
sin(wot
+y).
On
peut
fie ramener, commeplus
haut, à l’étude deavec
toujours
après quoi,
cherchant unrégime
stable,
depulsa-tion réelle (--.)0
qui
vérifiel’équation,
nous sommesamenés à
remplacer
V,
et le second membrerespec-tivement par ao eJt"0L et
Eo
e/2(ao
étant uneamplitude
constante que nousdéterminerons).
L’équation
précédente prend
alors la formedésignant
les valeurscomplexes
déduites de(H1)lJp
et(Ng)op
enremplaçant
d
à
par et
(j~o)~’
Cetteéquation
pourra être résolue par l’utilisation dudiagramme
mobile.Elle nous conduit
cependant
à modifierlégèrement
la
représentation
utiliséejusque-là.
Ce n’est
pas en effet, ici, l’expression Hi
3
H31
qui
intervientseule,
maisNiz + ( 2013~ )
~o.Or,
lepoint
d’affixe]
X a o sedéduit du
point
d’affixeH,i
+( 4
H31
par homo-thétie de centre 0 et derapport
ao. Aussirempla-cerons-nous le
diagramme
deNyquist
à unpara-mètre défini à
partir
depar un autre
diagramme,
lui aussi à unparamètres,
défini à
partir
deIl est facile de déduire le second du
premier
et detracer les courbes
équiamplitude,
ainsi que les courbeséquipulsation
du nouveau réseau.Un tel
graphique
estreprésenté
sur lafigure 15
pour le casenvisagé
ici.Il ne reste
plus qu’à
déterminerl’image
M dunombre
complexe
Ce
point (à
l’intersection de la courbeéqui-amplitude
correspondant
à ao et de la courbeéqui-pulsation
(’Ü ()) correspondant
à(~~y)
permettra,
en
effet,
lorsque
l’on auraprécisé
saposition,
dedéterminer
aQ sur uneabaque
où l’on aura tracé à l’avance ungrand
nombre de courbeséquiamplitude
et de courbes
équipulsation.
Ledéphasage
entre la solutionsynchronisée
et le terme du second membrepeut
être aussi détermine très facilement., est connu, a, ne l’est pas, seule la courbe
équi-pulsation
est donc connue pour le moment et l’onsait,
deplus,
que le module du nombrecomplexe
précédent
vautEo.
Il
suffira,
parsuite,
pour obtenirM,
de couper lacourbe
équipulsation
donnée par le cercle de centre 0et de rayon
Ego.
La valeurcorrespondante
del’ampli-tude sera donnée par la courbe
équiamplitude
del’abaque
passant
par lepoint
que l’on vient d’obtenir.Fig. 15.
On
peut
exprimer
aussialgébriquement
l’inter-section du cercle de rayonEo
et de la courbeéqui-pulsation
en écrivant que le module du nombrecomplexe qui figure
aupremier
membre del’équa-tion est
égal
àE,.
On retrouve, de cette
façon,
la conditionclas-sique
[2]
qui
permet
de déterminer aQ.Nous laissons ici de côté la discussion des
résul-tats de la méthode
graphique, qui
serareprise
dansune
prochaine
étudeplus générale.
APPENDICE.
Nous cherchons un
régime
oscillant539
L’équation
d’oscillation danslaquelle
nous avonsporté
cetteexpression
peut
être écriteSuivant une
approximation justifiée
par lapra-tique, lorsque
la forme de l’oscillation n’est pastrop
relaxée, nous pouvons
négliger
le terme en sinqui apparaît
dans ledéveloppement
et conserver seulement le
fondamental 3 sin wt.
L’équation
précédente
devient doncNous l’écrirons sous la forme
étant entendu que
l’opération
d
a2t]
sur a
(t)
sin (,) t st--confond
avec1
i î
1
sur
a(t)
sin ú) t se confond avecComme a
(t)
estréel,
nous pouvons, ici encore,substituer pour raison de
commodité,
àl’expression
réellel’expression complexe a (t) eÍ(Ùl
(avec w réel),
etremplacer l’équation
ci-dessus paréquivalente
ausystème
On ne conservera, une fois les calculs
achevés,
quela
partie
en sin du nombrecomplexe
ejl,)’.Plus
généralement,
sil’équation
d’oscillation estmise sous la forme d’un
développement
tel que(Hi),
n et(H3)1,1,
étant desopérateurs
linéaires de laforme
précjsée plus
haut,
on en déduitl’équation
suivante,
danslaquelle
apparaît
l’ampli-tude d’oscillation comme
paramètre
limiteuravec
toujours
la convention10 On doit d’abord remarquer que si l’on
s’inté-resse seulement au cas où un
régime
stabled’oscil-lation est
atteint,
c’est-à-dire où .a(t)
est devenuindépendant
dutemps,
l’expression
tirée de
(12),
estégale
àpuisque
ladérivation -d
n’estplus
effectuée quedt
sur eilll. Autrement
dit,
onpeut remplacer,
dans ce casf(~3)up~1
V del’ équ ation (13)
par3 a’
(H3)"p
Vet
l’équation
-L’équation
qui
donne lapulsation
de cerégime
estalors,
avec les notationsantérieures,
Ces conditions sont celles où l’on se
place quand
onétudie la stabilisation ou la
synchronisation
d’un oscillateur.20
Lorsque (t)
dépend
dutemps,
parexemple
lorsque
la stabilisation del’amplitude
n’est pas encoreatteinte,
on pourratoujours
définir une famille de courbes à unparamètre
àpartir
du nombrecomplexe
Cela revient à
![X amp;;(]/$.E W^$G amp;^*2&](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)