2 - 1 2 La droite réelle

La droite réelle

0. Rappels sur les ensembles ordonnés.

1. Axiomes des nombres réels.

2. Corps totalement ordonnés.

3. Corps ordonnés archimédiens.

4. Axiome des segments emboîtés.

5. Logarithmes.

Pierre-Jean Hormière __________

Introduction

Comme l’observe Roger Godement dans son Cours d’Analyse : « Les nombres prétendûment

"réels"− ne se rencontrent pas vraiment dans la réalité physique ; ils sont nés dans le cerveau des mathématiciens. L’événement qui a déclenché le processus est la découverte par les Pythagoriciens, au V^e siècle avant notre ère, du fait que le rapport (1 + 5)/2 entre la diagonale et le côté d’un pentagone régulier − leur insigne − et, plus tard, les nombres 2, 3, etc. ne sont pas rationnels.

(...) Les Grecs de cette époque, comme leurs prédécesseurs babyloniens, indiens ou égyptiens, ne connaissaient que les fractions, les successeurs des Pythagoriciens, jusqu’à Euclide, furent obligés de développer une théorie fort abstruse des nombres réels (positifs) fondée sur la "mesure des grandeurs" : dire que le nombre π est le rapport entre la longueur d’une circonférence et celle de son diamètre suppose que l’on dispose d’une définition mathématique exacte, et non pas cadastrale ou physique, des "longueurs" ; c’est fort loin d’être évident. » ¹

Ce n’est qu’au début du XIX^e siècle que les mathématiciens Gauss, Bolzano, Cauchy et Abel, déplorant le manque de rigueur de nombreuses démonstrations d’analyse, se sont préoccupés de donner des fondements solides à cette branche des mathématiques. Cela nécessitait d’élucider la notion de limite, et, au préalable, de clarifier la nature et les propriétés des nombres réels. Cette entreprise, entamée dans l’isolement par le praguois Bernard Bolzano (1781-1848) et le français Cauchy (1789-1857) fut menée à son terme, après 1870, par Weierstrass, Dedekind, Cantor et Méray. Ces mathématiciens parvinrent par différents procédés à construire la droite réelle à partir de la droite rationnelle, achevant le processus d’arithmétisation de l’analyse. Il peut paraître paradoxal que la nature des nombres complexes ait été élucidée avant celle des nombres réels, autrement dit que la crise des fondements soulevée par les pythagoriciens au V^e siècle avant J.C. ait été résolue après celle soulevée par les algébristes bolognais au XVI^e siècle : c’est que −1 est plus facile à définir à partir des nombres réels, que 2 et π, à partir des rationnels.

Un mot de « pédagogie », enfin. Je sais bien que ce mot est discrédité par l’imposture actuelle des soi-disant « sciences de l’éducation ». Mais si la pédagogie n’est pas une science, c’est une pratique, un art, comme la menuiserie, la cuisine, la musique. L’Analyse est une branche essentielle, mais difficile des mathématiques : nous venons de voir que, née au VI^e siècle avant J.-C., elle n’est parvenue à maturité que dans la seconde moitié du XIX^e siècle ! Elle reste difficile à assimiler par les élèves, et ceux-ci ont besoin de temps pour s’accoutumer au sujet : « la pédagogie est l’art de la répétition », a dit je-ne-sais-plus-qui. Les apprentis-sorciers qui prétendent accélérer la transmission des connaissances par des artifices divers (diminution des horaires, preuves admises ou bâclées),

1 Bourbaki d’ailleurs parle de droite « numérique » et d’espaces « numériques » pour désigner la droite réelle et les espaces Rⁿ. Mais cette dénomination est elle-même problématique, car la droite rationnelle ou la droite complexe peuvent aussi prétendre au statut de droite numérique. Bref, on n’en sort pas.

sont des imposteurs. De même qu’une symphonie de Beethoven doit, pour vivre et respirer, être jouée avec le bon tempo, c’est-à-dire pas trop vite, de même l’exposé des propriétés de la droite réelle ne doit pas toujours emprunter le plus court chemin. Chi va piano, va sano…

0. Rappels sur les ensembles ordonnés.

0.1. Ensembles ordonnés.

Définition : Une relation d’ordre sur un ensemble E est une relation RRRR vérifiant les trois axiomes : (R) réfléxivité ∀x ∈ E x RRRR _{x ;}

(A) antisymétrie ∀x, y ∈ E x RRRR _{y et y} RR RR_x ⇒ x = y ; (T) transitivité ∀x, y, z ∈ E x RRRR _{y et y} RRRR _z ⇒ x RRRR _{z .}

Un ensemble ordonné est un ensemble muni d’une relation d’ordre. RRRR sera notée dans la suite ≤. On note x ≥ y ⇔ x ≤ y. C’est une relation d’ordre sur E, dite opposée à ≤ .

On note x < y ⇔ x ≤ y et x ≠ y. Cette relation, appelée ordre strict associé à ≤ , n'est pas une relation d’ordre.

Si (E, ≤) et (E', ≤) sont deux ensembles ordonnés, une fonction f : E → E' est dite croissante (resp.

décroissante) si x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) (resp. x ≤ y ⇒ f(y) ≤ f(x)). f est dite (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou décroissante.

La composée de deux fonctions croissantes (resp. monotones) est croissante (resp. monotone).

Un isomorphisme d’ensembles ordonnés est une bijection croissante ainsi que sa réciproque.

Si a et b sont deux éléments de (E, ≤), on définit les intervalles en tous genres : [a, b] = { x ∈ E ; a ≤ x ≤ b } (appelé aussi segment), ]a, b[ = { x ∈ E ; a < x < b }, [a, b[ = { x ∈ E ; a ≤ x < b } , ]a, b] = { x ∈ E ; a < x ≤ b },

[a, →[ = { x ∈ E ; a ≤ x } , ]a, →[ = { x ∈ E ; a < x }, ]←, b] = { x ∈ E ; x ≤ b } et ]←, b[ = { x ∈ E ; x < b }.

0.2. Exemples d’ensembles ordonnés.

• Un ensemble ordonné (E, ≤) est dit réticulé, ou treillis, ou lattis, si toute partie à deux éléments {x, y} admet une borne supérieure et une borne inférieure.

On note souvent sup(x, y) = x ∨ y , inf(x, y) = x ∧ y ces éléments.

Lorsque ces lois sont distributives l’une par rapport à l’autre, on dit que E est un treillis distributif.

• Un ensemble ordonné (E, ≤) est dit totalement ordonné si toute partie à deux éléments {x, y}

admet un plus grand élément et un plus petit élément, autrement dit si : ∀x, y ∈ E x ≤ y ou y ≤ x , ou encore si, pour tous x et y, on a : soit x < y , soit x = y , soit x > y.

− L’ensemble N muni de l’ordre naturel, est totalement ordonné.

− L’ordre naturel sur Z, Q, ou l’intervalle [0, 1] de Q, est total.

− L’ensemble PPPP(X) des parties de X ordonné par inclusion est un treillis pour lequel inf(A, B) = A

∩ B et sup(A, B) = A ∪ B, mais l’inclusion n’est pas un ordre total (si X a plus d’un élément).

− Sur l’ensemble N*, la divisibilité est une relation d’ordre et (N*, | ) est un treillis : la borne infé- rieure de a et b est leur pgcd, leur borne supérieure leur ppcm ; ce treillis est d’ailleurs distributif.

Mais cet ordre n’est pas total : 2 ne divise pas 3 et 3 ne divise pas 2.

0.3. Éléments remarquables dans un ensemble ordonné.

Dans ce §, (E, ≤) désigne un ensemble ordonné, A une partie de E.

1. Plus petit élément, plus grand élément.

A admet pour plus petit élément a si a ∈ A et (∀x ∈ A) a ≤ x ; A admet pour plus grand élément b si b ∈ A et (∀x ∈ A) x ≤ b ; S’ils existent, ces éléments sont uniques ; on les note resp. :

a = min A = min_x∈A x et b = max A = max_x∈A x . On parle aussi d’élément minimum ou maximum.

2. Majorants et minorants.

Un minorant de A dans E est un élément α∈ E tel que (∀x ∈ A) α≤ x ; Un majorant de A dans E est un élément β ∈ E tel que (∀x ∈ A) x ≤ β .

A est dite minorée si l’ensemble m(A) de ses minorants est non vide, majorée si l’ensemble M(A) de ses majorants est non vide, et bornée si elle est à la fois majorée et minorée, autrement dit si A est incluse dans un segment [α, β] = { x ∈ E ; α ≤ x ≤ β } de E.

3. Bornes supérieures et inférieures.

Si l’ensemble m(A) des minorants de A dans E admet un plus grand élément, celui-ci est appelé borne inférieure de A dans E, et noté inf_E A ou inf_x∈A x.

Si l’ensemble M(A) des majorants de A dans E admet un plus petit élément, celui-ci est appelé borne supérieure de A dans E, et noté sup_E A ou sup_x∈A x.

Écrire a = inf_E A signifie deux choses :

1° a est un minorant de A : (∀x ∈ A) a ≤ x ;

2° tout minorant de A est inférieur à a : (∀a' ∈ E) [ (∀x ∈ A) a' ≤ x ] ⇒ a' ≤ a . Exemples :

1) Si A admet un plus grand élément b, b est la borne supérieure de A dans E. Plus précisément, pour que A admette un plus grand élément, il faut et il suffit que A admette une borne supérieure, et que cette borne supérieure appartienne à A. Idem pour les bornes inf.

2) L’intervalle ]0, 1[ de Q a pour borne supérieure 1 mais n’a pas de plus grand élément ; il a pour borne inférieure 0 mais n’a pas de plus petit élément.

3) Il y a des parties majorées sans borne supérieure : ainsi, ]0, 1[ est majorée dans ]0, 1[∪]1, 2[, mais n’a pas de borne supérieure.

Si A est une partie ≠ ∅ admettant des bornes supérieure et inférieure, on a : inf_E A ≤ sup_E A .² Soient A et B des parties non vides de E, telles que A ⊂ B. Si elles admettent des bornes inférieures, alors inf_E B ≤ inf_E A ; si elles admettent des bornes supérieures, alors sup_E A ≤ sup_E B . Le théorème suivant est absolument fondamental :

Théorème d’associativité des bornes supérieures : Soient (E, ≤) un ensemble ordonné, (A_i)_i∈I une famille de parties de E. On suppose que, pour tout i ∈ I, A_i admet une borne supérieure b_i dans E. Alors, pour que A =

U

I i

Ai

∈

admette une borne supérieure dans E, il faut et il suffit que la famille (b_i)_i∈I admette une borne supérieure dans E, et l’on a : sup A = sup_i∈I sup A_i = sup_i∈I b_i . Traduction immédiate en termes de bornes inférieures.

Preuve : • Supposons d’abord que (b_i)_i∈I admet une borne supérieure b dans E.

Comme b majore b_i, il majore chaque élément de A_i. Et cela, pour tout i. Donc b majore la réunion des A_i ; b est donc un majorant de A.

Soit β un majorant de A ; β majore chaque A_i, donc β majore b_i = sup A_i. Et ce, pour tout i. Donc β est plus grand que b = sup b_i. Ainsi, b = sup A.

• Supposons que l’ensemble A admet une borne supérieure b’ dans E.

Comme b’ majore A, b’ majore chaque ensemble A_i, donc b’ majore chaque b_i.

Soit β un majorant de (b_i) ; il majore chaque élément de A_i, et cela, pour tout i. Donc β majore la réunion des A_i , c’est-à-dire A. Par définition d’une borne sup, β majore b’. Ainsi, b’ = sup b_i.

2 Le cas de la partie vide est tout à fait paradoxal : si E admet un plus petit élément α et un plus grand élément ω, alors α = sup ∅ et ω = inf ∅ ! (Pourquoi ?). C’est le seul cas où l’on peut avoir sup A < inf A .

Ce théorème a de très nombreuses applications. Il s’applique d’abord aux treillis, et implique l’associativité usuelle des lois ∧ et ∨. Il s’applique aussi à des situations plus générales : suites doublement monotones (§ 7.3), interversion de limites par double monotonie, familles sommables de réels ≥ 0, théorème de convergence monotone de Beppo Levi, extrema globaux de fonctions de plusieurs variables, etc.

Définition : Un ensemble ordonné est dit achevé, ou treillis complet, si toute partie admet une borne supérieure et une borne inférieure.

Exemples : 1) PPPP(X) ordonné par inclusion est achevé : toute famille d’ensembles (A_i)_i∈I admet une borne supérieure, sa réunion, et une borne inférieure, son intersection.

2) L’ensemble V(E) des sous-espaces vectoriels de E, ordonné par inclusion, est achevé : toute famille de sev admet une borne inférieure : son intersection, et une borne supérieure : sa somme.

3) Enfin, la droite numérique achevée R est un ensemble ordonné achevé.

Remarque : La notion d’élément maximal, qui sert peu en analyse (cf. toutefois le théorème de Cauchy-Lipschitz), est définie et étudiée dans le chapitre sur les ensembles.

1. Axiomes des nombres réels.

Théorème : Il existe un ensemble, noté R, vérifiant les quatre axiomes suivants : (I) R est muni d’une structure de corps commutatif ;

(II) R est muni d’une relation d’ordre total compatible avec la structure de corps, i.e. vérifiant : (CO1) ∀(x, y, z) ∈ R³ x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z ;

(CO2) ∀(x, y) ∈ R² 0 ≤ x et 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x.y .

(III) Axiome d’Eudoxe-Archimède : ∀(x, y) ∈ R² (0 < x et 0 ≤ y ) ⇒ (∃n ∈ N) y ≤ n.x ;

(IV) Axiome des segments emboîtés de Cantor-Dedekind : Si ([a_n, b_n])_n∈N est une suite décrois- sante de segments ( i.e. a_n≤ a_n+1≤ b_n+1≤ b_n), alors

I

n∈N

[a_n, b_n] ≠∅ .

De plus, si R' est un autre ensemble vérifiant ces axiomes, il existe un isomorphisme de corps strictement croissant, de R sur R' ; et cet isomorphisme est unique.

Définition : On appelle droite réelle, ou droite numérique un ensemble, noté R, choisi une fois pour toutes, vérifiant les axiomes précédants. Ses éléments sont les nombres réels. On appelle corps des réels l’ensemble R muni de sa seule structure de corps commtutatif.

Retenons que 18 axiomes sont nécessaires pour définir la droite numérique. Dans ce chapitre, nous admettons le théorème précédent, et allons décrire, analyser de façon progressive les propriétés de R. Plus précisément, nous étudierons les propriétés découlant des axiomes (I) et (II), qui sont communes à tous les corps ordonnés, puis celles qui découlent des axiomes (I), (II) et (III), qui caractérisent les corps ordonnés archimédiens, et enfin celles qui découlent des axiomes (I) à (IV), qui sont spécifiques à R. Une fois cette analyse faite, nous serons en mesure de démontrer le théorème précédent, c’est-à-dire de construire la droite numérique, dans un autre chapitre.

2. Corps totalement ordonnés.

2.1. Notion de corps ordonné.

Dans ce §2, nous allons étudier les propriétés de R qui découlent des seuls axiomes (I) et (II).

Elles sont partagées par tous les corps ordonnés.

Définition 1 : Soit K un corps commutatif. Une relation d’ordre sur K est dite compatible avec la structure de corps de K si elle vérifie les deux axiomes :

(CO1) ∀(x, y, z) ∈ K³ x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z ; (CO2) ∀(x, y) ∈ K² 0 ≤ x et 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x.y .

On appelle corps ordonné un corps commutatif muni d’une relation d’ordre total compatible avec sa structure.

Exemples :

1) Le corps Q des rationnels est ordonné pour l’ordre naturel.

2) Dans C identifié à R² via z = x + iy ↔ (x, y), l’ordre produit (x, y) ≤ (x', y') ⇔ x ≤ x' et y ≤ y' n’est pas total ; il vérifie (CO1) et pas (CO2) ; l’ordre lexicographique, défini par :

(x, y) ≤ (x', y') ⇔ x < x' ou ( x = x' et y ≤ y' ) est total, vérifie (CO1) et pas (CO2).

Du reste, nous montrerons bientôt qu’aucune relation d’ordre total sur C ne peut vérifier (CO2).

2.2. Conséquences élémentaires.

Proposition 1 : conséquences de (CO1).

i) Si l’on a x_i ≤ y_i pour 1≤ i ≤ n, alors

∑

= n

i

xi 1

≤

∑

= n

i

yi 1

; si de plus

∑

= n

i

xi 1

=

∑

= n

i

yi 1

, alors x_i = y_i (∀i).

ii) ∀(x, y, z) ∈ K³ x ≤ y ⇔ x + z ≤ y + z ;

iii) x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x ⇔ x − y ≤ 0 ⇔ −y ≤−x ; idem en remplaçant ≤ par < ; Corollaire 1 : Tout corps ordonné K vérifie : ∀(n, x) ∈ Z×K n.x = 0 ⇒ n = 0 ou x = 0.

On dit que le groupe additif sous-jacent à K est un « Z-module sans torsion ».

Corolloire 2 : Tout corps ordonné est de caractéristique 0. Son corps premier est isomorphe à Q.

Conséquences : 1) On peut plonger Q dans R au moyen du morphisme précédent.

2) Sur un corps de caractéristique ≠ 0, par exemple Z/pZ (p premier), il n’y a pas d’ordre total compatible avec la structure de corps (ni même avec celle du groupe additif sous-jacent).

Proposition 2 : conséquences de (CO1 et CO2).

iv) ∀z ≥ 0 x ≤ y ⇒ x.z ≤ y.z ; ∀z ≤ 0 x ≤ y ⇒ y.z ≤ x.z .

v) règle des signes ( x ≤ 0 , 0 ≤ y ) ⇒ x.y ≤ 0 ; ( x ≤ 0 , y ≤ 0 ) ⇒ 0 ≤ x.y . vi) ∀x ∈ R x² ≥ 0 ; en particulier 1 > 0.

vii) ∀x ∈ R 0 < x ⇒ 0 < x⁻¹ ; ∀z > 0 x ≤ y ⇔ x.z ≤ y.z ; 0 < x < y ⇔ 0 < y⁻¹ < x⁻¹ . viii) Si l’on a 0 ≤ x_i ≤ y_i pour 1≤ i ≤ n , alors

∏

_i=ⁿ₁^{xi ≤}

∏

_i=ⁿ₁ ^{yi ;}

Si de plus 0 < x_i ≤ y_i pour tout i, alors

∏

= n

i

xi 1

=

∏

= n

i

yi 1

⇒ (∀i) x_i = y_i . ix) 0 < x < y ⇒ (∀n ∈ N*) xⁿ < yⁿ .

Corollaire 1 : Le morphisme injectif de corps Q → K est croissant.

Corollaire 2 : L’application sgn : K → {−1, 0, +1} définie par : sgn(x) = +1 si x > 0 , sgn(0) = 0 , sgn(x) = −1 si x < 0

vérifie sgn(x.y) = sgn(x).sgn(y). L’application x ∈ K* → sgn x ∈ {−1, +1} est un morphisme surjectif de groupes. K^*₊ = { x ∈ K ; x > 0 } est un sous-groupe d’indice 2 de K*.

Corollaire 3 : Dans un corps ordonné, x₁² + ... + x_n² = 0 implique x₁= ... = x_n = 0 . En particulier l’équation x² + 1 = 0 est sans solution.

Conséquences :

− Un corps ordonné n’est jamais algébriquement clos ;

− Un corps algébriquement clos ne peut jamais être muni d’un ordre total vérifiant (CO1) et (CO2) 2.3. Compléments théoriques.

Les axiomes (CO1) et (CO2) expriment que les translations et les homothéties de rapport ≥ 0 sont croissantes.

Proposition 3 : i) Soit K un corps ordonné. L’ensemble P = { x ∈ K ; 0 ≤ x } jouit des propriétés : P + P ⊂ P ; P.P ⊂ P ; P ∩⁽−P) = {0} et P ∪ ⁽−P) = K .

ii) Réciproquement, si P est une partie d’un corps commutatif K vérifiant ces propriétés, il y a dans K une, et une seule, relation d’ordre total compatible avec la structure de corps, et telle que : P = { x ∈ K ; 0 ≤ x } . Elle est donnée par x ≤ y ⇔ y − x ∈ P .

Signalons enfin pour mémoire un remarquable théorème fournissant une condition nécessaire et suffisante, de nature purement algébrique, pour qu’un corps commutatif puisse être muni d’une structure de corps ordonné.

Théorème d’Artin-Schreier³ (1926). Soit K un corps commutatif. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

i) Il existe sur K une structure de corps ordonné ;

ii) La relation x₁² + ... + x_n² = 0 implique x₁= ... = x_n = 0 ; iii) −1 n’est pas somme de carrés d’éléments de K .

Preuve : i) ⇒ ii) corollaire 3, prop. 2. ii) ⇒ iii) est immédiat.

Voici une preuve de iii) ⇒ i), qui repose sur l’axiome du choix.⁴

Nous dirons que C est un cône propre de K si C + C ⊂ C , C.C ⊂ C , x ∈ K ⇒ x² ∈ C et −1 ∉ C.

L’ensemble C₀ des sommes de carrés d’éléments de K est un cône propre de K ; tout cône propre contient d’ailleurs C₀.

L’ensemble CCCC de tous les cônes propres de K, ordonné par inclusion, est inductif, en ce sens que si (C_i)_i∈I est une famille totalement ordonnée par inclusion de cônes propres, sa réunion est un cône propre (facile). En vertu de l’axiome de Zorn, variante de l’axiome du choix, CCCC admet au moins un élément maximal P. En vertu de la proposition précédente, tout revient à montrer que :

P + P ⊂ P , P.P ⊂ P , P ∩ (−P) = {0} et P ∪ (−P) = K . Les deux premières assertions sont immédiates.

Soit x ∈ P ∩ (−P). Si x était non nul, on aurait

² 1

x ∈ P, donc −1 =

² ) .(

x x

x − ∈ P ; c’est impossible.

Reste à montrer que P ∪ ⁽−P) = K. Soit a ∈ K tel que −a ∉ P. Posons Q = { + ay ; (x, y) ∈ P×P }.

Il est facile de s’assurer que Q + Q ⊂ Q , Q.Q ⊂ Q et x ∈ K ⇒ x²∈ Q.

Si l’on avait –1 = x + ay ∈Q ; alors y ≠ 0 car −1 ∉ P et donc − a =

² 1

y y(1 + x) ∈ P ; donc −1∉Q.

La partie Q est donc un élément de CCCC qui contient P ; par maximalité de P, on a P = Q, donc a ∈ P.

Exemple : Considérons le corps abstrait Q[ 2] = { x = a + b 2 ; a, b ∈ Q }, extension quadratique de Q, c’est-à-dire l’ensemble des couples (a, b) ∈ Q×Q muni des deux lois

3 Emil Artin (1898-1962) et Otto Schreier (1901-1929) firent des recherches en algèbre, en collaboration à Hambourg dans les années 1920.

4 Lara Thomas a passé une thèse sur la théorie de Galois des extensions d’Artin-Schreier.

(a, b) + (c, d) = (a + c , b + d) , (a, b).(c, d) = ( ac + 2bd , ad + bc)

vérifie la condition ii) ci-dessus. Pourquoi ? Par conséquent, il existe sur Q[ 2] une structure de corps ordonné. On peut aussi démontrer cela directement, sans appliquer ce théorème, mais ce n’est pas si simple. Essayez…

Exercice : Un sous-corps K de R est dit pythagoricien si ∀x, y ∈ K x² y+ ²∈ K.

1) Q et Q[ 2] sont-ils pythagoriciens ?

2) Montrer que l’ensemble A des réels algébriques est un sous-corps pythagoricien de R.

3) On plonge R dans le plan euclidien usuel R². Montrer que les réels constructibles à la règle et au compas (à partir de 0 et 1), forment un corps pythagoricien ⁵ strictement inclus dans A.

4) Montrer qu’un sous-corps K de R est pythagoricien ssi toute matrice A symétrique d’ordre 2 est diagonalisable dans M₂(K).

2.4. Valuation sur K.

Proposition 5 : Soit K un corps ordonné. a) K est un treillis ;

b) ∀(x, y, z) ∈ K³ (x ∨ y) + z = (x + z) ∨ (y + z) et (x ∧ y) + z = (x + z) ∧ (y + z) ; c) ∀(x, y, λ) ∈ K³ λ≥ 0 ⇒ (λ.x) ∨ (λ.y) = λ.(x ∨ y) et (λ.x) ∧ (λ.y) = λ.(x ∧ y) . Définition 2 : On pose |x| = x ∨ (−x) , x⁺ = x ∨ 0 et x⁻ = −(x ∧ 0) .

Proposition 6 : On a les identités :

d) x ≥ 0 ⇒ ( |x| = x , x⁺ = x , x⁻ = 0 ) ; x ≤ 0 ⇒ ( |x| = −x , x⁺ = 0 , x⁻ = −x ) . e) |x| = x⁺ + x⁻ , x = x⁺− x⁻ , x⁺∧ x⁻ = 0 , x⁺∨ x⁻ = 0 .

f) x ∨ y = x + ( y − x )⁺ = 2

1₍x + y + | y − x |) ; x ∧ y = y − ( y − x )⁺ = 2

1_{(x + y − | y − x |) .} g) ( x ∨ y ) + ( x ∧ y ) = x + y .

h) (∀a ≥ 0) |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a , |x| < a ⇔ −a < x < a , |x| = 0 ⇔ x = 0 . i) | x + y | ≤ |x| + |y| et | x₁ + ... + x_n | ≤ |x₁| + ... + |x_n| .

Il y a égalité ssi x et y , resp. x₁ , ... , x_n , sont tous ≥ 0, ou tous ≤ 0.

j)

|

|x| − |y|

|

≤ | x − y | et

|

|x| − |y₁| − ... − |y_n|

|

≤ |x − y₁ − ... − y_n| . k) |x.y| = |x|.|y|

Proposition 7 : Une partie X de K est bornée ssi (∃A > 0) (∀x ∈ X) |x| ≤ A .

Exercice : Graphes des fonctions x+, x−, | x + 1 | + |x| + |x − 1| , |x + 1| − |x − 1| , 1 −

|

|x+1| − |x−1|

|

. Exercice : Tracer les (x, y) ∈ R² tels que |x| = |y| , |x| + |y| = 1 , |x| + |y| + |x + y| = 2.

2.5. Bornes supérieures et inférieures.

Proposition 8 : Soit X une partie ≠ ∅ de K. Pour que b soit borne supérieure de X, il faut et il suffit que : • (∀x ∈ X) x ≤ b • (∀ε > 0) (∃x ∈ X) b −ε < x ≤ b .

Corollaire : Si X est l’intervalle (a, b) , a = inf X et b = sup X.

Proposition 9 : (lemme de séparation). Soient x ∈ K, a ≥ 0.

Si (∀ε > 0) x ≤ε.a , alors x ≤ 0 ; si (∀ε > 0) |x| ≤ε.a , alors x = 0 . Corollaire : 0 = inf K^*₊ , et

I

>0

ε [−ε , ε] = {0} .

5 Pour des compléments, cf. J.-C. Carrega, Règle et compas, p. 156-161.

2.6. Parties denses.

Définition 3 : Une partie X de K est dite dense si tout intervalle ouvert non vide ]a, b[ de K rencontre X.

Proposition 10 : K est dense dans K.

Preuve : ]a, b[ ∩ ^K ≠∅ , car par exemple 2

a+b _{∈ ]a, b[ .}

3. Corps ordonnés archimédiens.

Définition : Soit K un corps ordonné. On plonge Q dans K. On dit que K est archimédien si : (A) ∀(x, y) ∈ K² (x > 0 et y ≥ 0) ⇒ (∃n ∈ N) y ≤ n.x , i.e. (∀x > 0) K₊ =

U [ ]

N n

nx

∈

, 0 .

Cet axiome signifie qu’ « avec une chaîne d’arpentage, on arrive à mesurer l'univers », ou encore qu’« en mettant un pas devant l'autre, on arrivera à dépasser Sirius ». Cantor pensait que cette propriété pouvait se déduire des autres propriétés de R ; tel n’est pas mon avis : l’existence de mathématiques non archimédiennes (auxquelles Cantor ne croyait pas) montre que cette propriété a sa logique propre.

Exemples : a) Q, R sont des corps ordonnés archimédiens. Tout sous-corps de R pour l’ordre induit également : Q[ 2] , Q[ 3], etc.

b) Il existe des corps ordonnés non archimédiens : on en trouvera un exemple à la fin de ce §, mais le plus important est le corps des réels non standard *R.

Proposition 1 : Un corps ordonné archimédien vérifie :

(A') ∀(x, y) ∈ K² x > 0 ⇒ ∃n ∈ N |y| ≤ n.x i.e. ∀x > 0 K =

U

n∈N [−n.x , n.x]

(A") ∀y ∈ K ∃n ∈ N |y| ≤ n i.e. K =

U

n∈N [−n , n]

(A''') ∀y ∈ K₊ ∀n ∈ N* x ≤ n y_⇒

x ≤ 0 i.e. ∀y ≥ 0 K₋ =

I

≥1 n

] ← , n y ] (A'''') La suite décroissante (

n 1₎

n≥1 vérifie 0 = inf n 1 _.

Remarque : ces propriétés sont en fait équivalentes à l’axiome d’Archimède.

Proposition 2 : (∀y ∈ K) ∃!(m, z) ∈ Z×[0, 1[ y = m + z .

m est dit partie entière de y, z partie fractionnaire ou mantisse de y.

Preuve : Existence. En vertu d’Archimède, { n ∈ Z ; n ≤ y } est une partie majorée non vide de Z ; elle a un plus grand élément m. Et alors y = m + z, où z ∈ [0, 1[.

Unicité. Si y = m + y = m’ + y’, alors m − m’ = z’ − z ∈ Z ∩ ]−1 ,1[ = {0}. Cqfd.

Fonctions usuelles de R dans Z :

♣ E(x) = [x] = ^x^ est le plus grand entier relatif ≤ x (partie entière, ou plancher, de x) ; ♦ ^x^ est le plus petit entier relatif ≥ x (plafond de x) ;

On a ^x^ = ^x^ si x∈Z, et ^x^ = ^x^ +1 sinon , et (∀x) ^−x^ = −^x^ et x − 1 < ^x^ ≤ x ≤^x^< x + 1 . ♥ F(x) = x − [x] est la partie fractionnaire ou mantisse de x ;

♠ (x) est l’entier relatif le plus proche de x ; on convient que (n + 2

1_{) = n (∀n ∈ Z) ;} ♣ d(x, Z) = | x − (x) | est la distance de x à l’entier le plus proche.

♦ x mod y = x − y.

[

y

x

]

si y ≠ 0 , x si y = 0.

Restreinte à Z×N*, mod n’est autre que le reste euclidien, et l’on a F(x) = x mod 1.

Remarque : Maple nomme resp. floor, ceil, frac, round, |x – round(x)| les 4 premières fonctions.

Proposition 3 : densité de Q dans K.

Si K est un corps ordonné archimédien, tout intervalle ouvert de K contient un rationnel.

Preuve : Soit a < b. Cherchons r = q

p (p ∈ Z, q ∈ N*) tel que a <

q p

< b. Cela s’écrit a.q < p < b.q.

Si l’on choisit q tel que (b − a).q > 1 en vertu de l’axiome d’Archimède, il existe p ∈ Z tel que aq <

p < bq. Par exemple q =

[

b−1a

]

+ 1 et p = [aq] + 1.

Corollaire 1 : Tout intervalle ouvert de K contient une infinité de rationnels.

Corollaire 2 : Toute famille (I_α)_α∈Α d’intervalles ouverts de K 2 à 2 disjoints est dénombrable.

Preuve : Choisissons pour chaque α∈ A un rationnel r_α ∈ I_α . On définit ainsi une injection α→ r_α de A dans Q, donc A est dénombrable.

Proposition 4 : i) Une partie A de K est bornée ss’il existe n ∈ N tel que A ⊂ [−n , n] ; ii) On a b = supA ssi b majore A et (∀n ∈ N*) (∃x ∈ A) b −

n

1 < x ≤ b . En d’autres termes, l’axiome d’Archimède « autorise à prendre des ε de la forme

n 1_».

La proposition 3 admet la généralisation suivante :

Théorème 5 : Soit K un corps ordonné archimédien, G un sous-groupe additif de K. G est dense dans K ssi : ∀ε∈ K_*+ ∃ε' ∈ G 0 < ε' < ε .

Preuve : Soient a < b , ε = b − a , et ε' ∈ G tel que 0 < ε' < ε . Je dis qu’il existe n ∈ Z tel que a < nε’ < b , par exemple n =

[ ε

' a

]

+ 1.

Voici enfin une version multiplicative de l’axiome d’Archimède, utile dans l’équation de Fermat par exemple, mais aussi dans les constructions directes du logarithme à l’aide des axiomes de R.

Proposition 6 : Soit K un corps ordonné archimédien.

i) ∀x > 1 inf (1/xⁿ) = 0 ;

ii) ∀x > 1 ∀y > 0 ∃! n ∈ Z xⁿ≤ y < xⁿ⁺¹ .

Exercice 1 : Soit I = [x, y] un segment de R, de longueur L = y – x.

Exprimer N = card( I ∩ Z ) par une formule exacte, et montrer que N = [L] + 0 ou 1.

Exercice 2 : Montrer que d(x, Z) = min( x – [x], 1 – x + [x] ) =

21 ( 1 − | 2x – 2[x] – 1 | ). Trouver une formule donnant (x) à l’aide de [ ].

Exercice 3 : Montrer que pour tout (x, y) ∈ R², on a :

[x + y] = [x] + [y] + ε , avec ε = 0 ou 1 ; [x − y] = [x] − [y] − ε' , avec ε' = 0 ou 1 ; [x] + [x + y] + [y] ≤ [2x] + [2y]

Exercice 4 : Montrer que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N* :

[

n nx]

[

]

= [x] et [x] + [x + n

1_{] + [x +} n

2_{] + ... + [x +} n

n 1− _{] = [nx] .}

Exercice 5 : Soit θ un irrationnel ∈ ]0, 1[. On pose g_n = 0 ou 1 selon que [nθ] et [(n−1)θ] sont égaux ou différents. Montrer que lim_n→+∞

n 1_{( g}

1 + g₂ + ... + g_n ) = θ .

Exercice 6 : Pour tout naturel n > 0, on note d(n) le nombre de diviseurs > 0 de n, y compris 1 et n.

Montrer que d(1) + d(2) + ... + d(n) = [n] +

[

2 n

]

+

[

3

n

]

+ ... +

[

n n

]

.

[ Ind : dénombrer { (x, y) ∈ N² ; 1 ≤ x.y ≤ n }. ] En déduire : d(1) + d(2) + ... + d(n) ∼ n.ln n.

Exercice 7 : 1) Soient p et q deux entiers > 0 premiers entre eux. En dénombrant des points à coor- données entières dans le plan, montrer :

[

p q

]

+

[

p q 2

]

+

[

p q

3

]

+ ... +

[

p q p 1) ( −

]

=

2 ) 1 )(

1 (p− q−

. 2) Plus généralement, soient p et q deux entiers > 0, d leur pgcd. Montrer la formule :

(∀x ∈ R)

[

p x

]

+

[

p q x+

]

+

[

p q

x 2+

]

+ ... +

[

p q p

x+( −1)

]

= 2

) 1 )(

1 (p− q−

+ 2

−1 d _{+ d.[}

d x _].

3) En déduire la formule de réciprocité : (∀x ∈ R)

∑

<

≤k p 0

[

p

kq

x+

]

=

∑

<

≤k q 0

[

q

kp x+

]

.

Problème 8 : Un exemple de corps ordonné non archimédien.

Soient K un corps ordonné archimédien (par exemple Q ou R), K(X) le corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur K. Notons P* l’ensemble des fractions rationnelles R non nulles

qui peuvent s’écrire R = _p

p n n

X b X b b

X a X a a

+ + +

+ + +

...

...

1 0

1

0 ( a_n.b_p > 0 ).

Montrer qu’il existe sur K(X) une relation d’ordre et une seule qui fasse de K(X) un corps ordonné, telle que { R ; R > 0 } = P*. Montrer que la suite (1/Xⁿ) a pour borne inférieure 0. En considérant la suite (n)_n∈N, montrer que K(X) n’est pas archimédien.

NB : au fond, R(X) est le corps des germes de fonctions rationnelles au V(+∞). Ce corps n’est pas complet, car F_n = 1 + 1/X + … + 1/Xⁿ est une suite de Cauchy non convergente. Si on complète ce corps, on obtient un corps ordonné complet, mais non archimédien.

4. L’axiome des segments emboîtés.

4.1. Conséquence élémentaire, suites adjacentes.

Proposition 1 : Soit K un corps ordonné archimédien vérifiant l’axiome des segments emboîtés.

Si I_n = [a_n, b_n] est une suite de segments emboîtés telle que inf_n (b_n− a_n) = 0, alors ∩ I_n est réduite à un point α et : α = sup a_n = inf b_n.

Preuve : En vertu de l’axiome des segment emboités, ∩ I_n est non vide.

Si cette intersection contenait deux points α < β, alors, on aurait, pour tout n : a_n≤ α < β ≤ b_n. D’où 0 < β−α≤ b_n− a_n , contredisant inf_n (b_n− a_n) = 0 .

Définition : Deux suites (a_n) et (b_n) sont dites adjacentes si : (a_n) croit , (b_n) décroit et inf_n (b_n− a_n) = 0 .

Corollaire : Deux suites adjacentes (a_n) et (b_n) vérifient : sup a_n = inf b_n. 4.2. Théorème de la borne supérieure.

Théorème 1 : Soit K un corps ordonné archimédien vérifiant (IV). Alors K vérifie la propriété : (BS) Toute partie majorée non vide X de K admet une borne supérieure .

Preuve : Elle procède d’un argument de dichotomie fondamental en analyse, et déjà pensé par les mathématiciens grecs. Notons M l’ensemble des majorants de X ; X et M sont non vides.

1) L’algorithme. Choisissons a ∈ X, b ∈ M , et posons a₀ = a , b₀ = b , c₀ = 2

0

0 b

a + _.

• Si c₀ ∈ M, on pose a₁ = a₀ , b₁ = c₀ ; • Si c₀ ∉ M, on pose a₁ = c₀ , b₁ = c₀ .

Dans les deux cas, I₁ = [a₁ , b₁] vérife I₁∩ X ≠∅ et b₁∈ M .

Supposons construits par récurrence les segments I_k = [a_k , b_k] (1 ≤ k ≤ n), chacun étant l’une des moitiés du précédent, et tels que b_k ∈ M et I_k∩ X ≠∅. On pose c_n =

2

n

n b

a + _.

• Si c_n∈ M, on pose a_n+1 = a_n , b_n+1 = c_n ; alors b_n+1∈ M et [a_n+1 , b_n+1] ∩ X = I_n∩ X ≠∅. • Si cn∉ M, on pose an+1 = c_n , b_n+1 = b_n ; alors b_n+1∈ M et (∃x ∈ X) cn< x ; donc :

[a_n+1, b_n+1] ∩ X ≠∅.

Dans les deux cas, I_n+1 = [a_n+1 , b_n+1] vérife I_n+1∩ X ≠∅ , et b_n+1∈ M . 2) Concluons.

On définit ainsi une suite (I_n) de segments emboîtés de longueur b _na 2

− . En vertu de l’axiome

d’Archimède (§ 3, prop. 6) , inf b _na 2

− = 0 , donc

I

n

I_n = {α}, où α = sup an = inf b_n. •α est un majorant de X : (∀x ∈ X) (∀n) x ≤ b_n , donc (∀x ∈ X) x ≤ inf b_n = α.

• α est le plus petit majorant de X , car si β majore X, β majore [a_n, b_n] ∩ X qui est non vide, donc β majore a_n; par suite β≥ sup a_n = α . cqfd.

Remarques : 1) X peut être de forme très compliquée (penser à l’ensemble triadique de Cantor).

Mais l’ensemble M, lui, est facile à décrire : c’est la demi-droite [α, +∞[.

2) La bonne question à poser à c_n est bien : c_n∈ M ? et non pas c_n∈ X ? Penser à l’exemple : X = ( [0, 1] − Q ) ∪ {0} ; a₀ = 0 et b₀ = 1.

Théorème 2 : Réciproquement, tout corps ordonné vérifiant l’axiome de la borne supérieure (BS) est archimédien et vérifie l’axiome de Cantor-Dedekind.

Preuve : 1) Montrons par absurde (BS) ⇒ (A). Supposons (∃x > 0) (∃y ≥ 0) (∀n) nx < y.

X = { nx ; n ∈ N } serait une partie non vide majorée par y. Soit z = sup X.

Par définition d’un sup, (∃n ∈ N) z − x < nx ≤ z . Du coup, z < (n + 1).x ... Or z majore X !...

2) Montrons (BS) ⇒ (CD). Soit I_n = [a_n, b_n] est une suite de segments emboîtés. La suite (a_n) est majorée par b₀ ; soit α = sup a_n . La suite (b_n) est minorée par a₀ ; soit β = inf b_n . On montrera en exercice que α ≤ β et ∩ I_n = [α , β].

Exercice 1 : Soient (a_i)_i∈I et (b_i)_i∈I deux familles majorées de réels. Montrer que : sup_i∈I (a_i + b_i) ≤ sup_i∈I a_i + sup_i∈I b_i

| sup_i∈I a_i − sup_i∈I b_i| ≤ sup_i∈I |a_i − b_i| . Donner des exemples où les inégalités sont strictes.

Exercice 2 : Soient (a_i)_i∈I et (b_j)_j∈J deux familles majorées de réels. Montrer que : sup_(i,j)∈I×J (a_i + b_j) ≤ sup_i∈I a_i + sup_j∈J b_j .

Exercice 3 : Soient (a_i)_i∈I et (b_j)_j∈J deux familles non vides de réels telles que ∀(i,j)∈I×J a_i ≤ b_j . Montrer que : sup_i∈I a_i ≤ inf_j∈J b_j .

Exercice 4 : Soit (a_ij)_(i,j)∈I×J une famille bornée de réels.

Montrer que : sup_j∈J inf_i∈I a_ij ≤ inf_i∈I sup_j∈J a_ij . Extension à R . Donner un exemple où l’inégalité est stricte.

4.3. Caractérisation des intervalles.

Les intervalles ont été définis au § 0.1, dans tout ensemble ordonné.

Exemples : Si A est une partie majorée (resp. minorée) non vide de R, l’ensemble des majorants (resp. minorants) de A est la droite fermée M(A) = [sup A , +∞[ (resp. m(A) = ]−∞, inf A]).

Proposition : Pour qu’une partie non vide A de R soit un intervalle, il faut et il suffit que : ∀(a, b) ∈ A² a < b ⇒ [a , b] ⊂ A .

En d’autres termes, les intervalles en tous genres sont les parties convexes de R.

Preuve : La condition est évidemment nécessaire. La preuve de la réciproque est longue.

Si A est majorée, minorée et non vide, soient m = inf A et M = sup A. On montre que A = (m, M).

En effet, on a A ⊂ [m, M] ; et si m < x < M, il existe a et b dans A tels que a < x < b ; donc x∈A.

Ainsi ]m, M[ ⊂ A. D’où quatre cas : A = [m, M], ]m, M[, ]m, M] ou [m, M[.

Les autres cas se traitent de même.

Exercice 5 : Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction monotone. Montrer que l’image réciproque par f de tout intervalle de R est un intervalle.

Exercice 6 : Soit I un intervalle de R. Montrer qu’une condition suffisante pour que I rencontre Z est que long(I) > 1.

Exercice 7 : Montrer que l’intersection d’une famille quelconque d’intervalles de R est un intervalle de R, et que la reunion d’une suite croissante d’intervalles de R en est un.

Exercice 8 : Soit A une partie de R. Montrer que la relation « x RRRR y ⇔ le segment d’extrémités x et y est inclus dans A » est une relation d’équivalence dans A, et que la classe d’équivalence de x est le plus grand intervalle contenant x et inclus dans A. Cas où A = R − Z, R − {1/n ; n ∈ N*}, Q, R−K (K ensemble triadique de Cantor.)

4.4. Non dénombrabilité de R.

« La plus haute perfection de Dieu est la possibilité de créer un ensemble infini, et son immense bonté le conduit à le créer.»

Georg Cantor

Théorème de Cantor (décembre 1873) : Un corps ordonné archimédien vérifiant (CD) est non dénombrable.

Preuve : Cantor a donné deux démonstrations de ce résultat fondamental, qui le conduisit à penser qu’il y a différentes sortes d’ensembles infinis. Ce résultat, joint à sa démonstration de l’équipotence de Q et N, préluda à ses travaux révolutionnaires sur les cardinaux infinis.

1ère preuve : méthode des segments emboités (1873).

Supposons qu’existe une bijection n ∈ N* → x_n∈ I₀ = [0, 1]. Divisons I₀ en trois segments [0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1]. L’un au moins d’entre eux ne contient pas x1 ; choisissons-le et notons-le I₁. Divisons I₁ en trois segments. L’un au moins d’entre eux ne contient pas x₂ (Si x₂ ∉ I1, on a l’embarras du choix ; sinon, on a deux ou une possibilités). Supposons construits I₁⊃ I₂⊃ ... ⊃ I_n ; l’un au moins des trois tiers de I_n ne contient pas xⁿ⁺¹ notons-le Iⁿ⁺¹. On définit ainsi une suite de segments emboîtés de longueurs 1/3ⁿ. En vertu de l’axiome (CD), ∩ I_n = {a} . Pour tout n, x_n ∉ In

et a ∈ I_n , donc a ≠ x_n. Donc n → x_n ne peut être surjective. cqfd.

Il a été necessaire de couper I₀ en trois, en raison des chevauchements des segments ; mais on peut se contenter de couper I₀ en deux : si x₁ = 1/2, on peut choisir un segment ne contenant pas x₁ et de longueur < 1/2, etc.

2ème preuve : méthode de la diagonale (1891).

On verra plus tard que tout réel x ∈ I = [0, 1] s’écrit sous la forme x = 0, d₁d₂d₃ ... avec des décimales d₁, d₂, d₃, ... comprises entre 0 et 9 ; cette écriture est unique si l’on exige que 0, d₁d₂ ...

d_n < x pour tout n. Cela impose de choisir pour développement admissible le développement impropre si x est décimal : 1/4 = 0,249999 ... plutôt que 0,25.

Soit f : N → I ; pour tout n ∈ N, notons a_n la n-ième décimale de f(n) et, pour tout n, choisissons un entier b_n≠ a_n compris entre 1 et 9. Considérons le nombre b = 0, b₁b₂b₃ ... Il appartient à I, mais non à f(N). Supposons en effet b = f(n) pour un n ∈ N. Comme les décimales de b sont toutes ≠ 0 , le développement 0, b₁b₂b₃ ... est admissible. Et, pour tout n, b ≠ f(n), puisque leurs n-ièmes décimales sont différentes.

Cette méthode de la diagonale servit aussi à Cantor à démontrer que E et PPPP(E) ne sont pas équipotents ; elle fut aussi utilisée par Gödel pour démontrer son théorème d’incomplétude.

Corollaire 1 : Q ne vérifie ni (CD), ni (BS).

Corollaire 2 : Il existe des nombres irrationnels, des nombres transcendants.

Preuve : Montrons la deuxième assertion. Rappelons qu’un réel x est dit algébrique s’il existe un polynôme P non nul à coefficients dans Q, et annulant x ; notons Z(P) l’ensemble des zéros réels de P. L’ensemble A des nombres algébriques vérifie donc : A = ∪ { Z(P) ; P ∈ Q[X] − {0}}.

Comme Q[X] − {0} =

U

n

Q_n[X] est dénombrable, A est dénombrable comme union dénombrable d’ensembles finis. Du coup, on peut être sûr qu’existent des réels transcendants. cqfd. ⁶

Corollaire 3 : R est un Q-espace vectoriel de dimension infinie.

Preuve : En effet, si R était de dimension finie n, et si (e₁, ..., e_n) était une Q-base de R, l’application : (λ1, ... , λn) →∑_λi.ei mettrait en bijection Qⁿ et R, et R serait dénombrable.

Remarque : R est même de dimension non dénombrable, car s’il avait une base dénombrable (e₁, e₂, e₃, ... ), R =

U

n

Vect_Q(e₁, ..., e_n) serait dénombrable comme union dénombrable d’ensembles dénombrables. Si l’on admet l’axiome du choix (qui implique l’existence et l’équipotence des bases), et l’hypothèse du continu ⁷ , R est un Q-espace vectoriel de dimension égale à son cardinal, dim R = card R. Cela ne veut pas dire que R est une Q-base de R, mais que toute Q-base (e_i)_i∈I de R, appelée base de Hamel, est indexée par un ensemble I équipotent à R.

Exercice 7 : Voici des variantes de la non-dénombrabilité de R.

1) Montrer que les ensembles E et PPPP(E) ne sont jamais équipotents.

[ Si A : E →PPPP(E) est une surjection, considérer { x ∈ E ; x ∉ A(x) }.]

2) Soit x un réel ∈ ]0, 1/2[. Montrer que a = (a_n) ∈ S = {0, 1}^N→ f(a) =

∑

^+∞

=0

.

n nxn

a est une injection de Sdans [0, 1]. ¶ Décrire l’ensemble image.

3) Soit a = (a_n) ∈ {0, 1}^N . On lui associe la suite (I_n) de segments emboîtés définie ainsi : • si a0 = 0 , I₀ est le tiers gauche de [0, 1], si a₀ = 1, I₀ est le tiers droit de [0, 1] ;

• si a_n+1 = 0, I_n+1 est le tiers gauche de I_n, si a_n+1 = 1, I_n+1 est le tiers droit de I_n. On pose { f(a) } = ∩ I_n . Montrer que f est une injection de S dans [0, 1].

6 Cette démonstration abstraite de l’existence de nombres transcendants sans en exhiber un seul a beaucoup intéressé Weierstrass, lorsque Cantor la soumit à son ancien maître, lors d’une rencontre à Berlin, le 25 décembre 1873. Afin de ne pas heurter Kronecker, farouche algébriste et finitiste, Cantor présenta sa décou- verte comme une nouvelle preuve du théorème de Liouville. En 1844, Liouville avait construit une classe de nombres transcendants. Mais cette habileté ne désarma pas les préventions du redoutable Kronecker.

7 qui stipule qu’une partie infinie de R est équipotente, soit à N, soit à R.

5. Logarithmes.

Nombreuses sont les constructions du logarithme. Celle que nous allons donner ici, tirée de Jean Dieudonné, est la plus « élémentaire », en ce sens qu’elle repose directement sur l’axiome de la borne supérieure. Mais elle n’est pas la plus « pédagogique », il en est de plus courtes, qui reposent sur la théorie de l’intégration, ou les séries (voir mes chapitres Exponentielle, Intégration, Equations fonctionnelles, etc.)

5.1. Racine n-ième d’un réel.

On peut établir directement qu’il y a dans Q des parties majorées non vides sans borne supérieure.

Proposition 1 : L’ensemble X = { z ∈ Q ; z ≥ 0 et z² < 2 } est sans borne supérieure dans Q.

Preuve : X ≠ ∅ car 0 ∈ X ; 2 majore X (Pourquoi ?).

Si X admettait une borne sup y ∈ Q, on ne pourrait avoir ni y² = 2, ni y² > 2, ni y² < 2.

• L’équation y² = 2 est sans solution dans Q. Rappelons une des nombreuses preuves, la plus rapide peut-être : si l’on avait y = a/b, alors a² = 2b². L’exposant de 2 dans la factorisation de a² est pair, alors que celui de 2b² est impair.

• Si l’on avait y² < 2, je dis qu’on pourrait trouver n ∈ N* tel que y < y + n 1 _{∈ X.}

( y + n

1₎2 = y² + 2 n y +

² 1

n < 2 ⇔ 2 n y +

² 1

n < 2 − y². Or 2 n y +

² 1

n ^≤ n y 1 2 +

. Il suffit de choisir n tel que

n y 1

2 + _{≤ 2 − y2} , i.e.

² 2

1 2

y

−y+ _{≤ n .} y + n

1 ∈ X et majore y : y ne peut être borne supérieure de X !

• Si l’on avait y² > 2, je dis qu’on pourrait trouver un entier n ∈ N* tel que y − n 1 _{∈ X.}

( y − n

1₎2 = y² − 2 n y +

² 1

n > 2 ⇔ 2 n y ₋

² 1 n ^{< y}

2 − 2.

Il suffit de choisir n tel que : 2 n

y < y² − 2 , i.e. n >

2

² 2− y

y . cqfd.

Théorème 2 : Pour tout réel x > 0 et tout n ∈ N*, il existe un unique réel y > 0 tel que yⁿ = x ; ce réel est noté ⁿ x = x^1/n . On a : ∀x, x' > 0 (x.x')^1/n = (x)^1/n.(x')^1/n et (x^1/n)^1/m = x^1/nm .

Preuve : L’ensemble X = { z ≥ 0 ; zⁿ < x } est non vide car 0 ∈ X ; il est majoré par 1 si x ≤ 1 et par x si x ≥ 1. Montrons que y = sup X vérifie yⁿ = x . Le reste en découlera aisément.

• Supposons yⁿ < x ; soit ε = x − yⁿ . Pour tout h ∈ [0, 1], on a (binôme) : ( y + h )ⁿ = yⁿ + n.yⁿ⁻¹.h +

2 ) 1 (n−

n .yⁿ⁻².h² + ... = yⁿ + h.

[

n.yⁿ⁻¹ + 2

) 1 (n−

n .yⁿ⁻².h + ...

]

≤ yⁿ + h.

[

n.yⁿ⁻¹ + 2

) 1 (n−

n .yⁿ⁻² + ...

]

= yⁿ + h.[ (1 + y)ⁿ − yⁿ ] . Si l’on choisit 0 < h < min(1 , _{n n}

y y − + ) 1

(

ε

_{) , on a y}n < (y + h)ⁿ < yⁿ + ε = x, contredisant y = sup X.

• Supposons yⁿ > x ; soit ε = yⁿ− x . Pour tout h ∈ [0, 1], on a (binôme) : ( y − h )ⁿ = yⁿ− n.yⁿ⁻¹.h +

2 ) 1 (n−

n .yⁿ⁻².h² + ... = yⁿ− h.

[

n.yⁿ⁻¹− 2

) 1 (n−

n .yⁿ⁻².h + ...

]

≥ yⁿ− h.

[

n.yⁿ⁻¹ + 2

) 1 (n−

n .yⁿ⁻².h + ...

]