(1)Sup Analyse 1 5 octobre 2013 (2)En bref ∗ Borne supérieure ∗ Axiome de la borne supérieure ∗ Applications à l’étude des limites de suites (3)Droite réelle achevée Définition R:=R

Sup

Analyse 1

5 octobre 2013

En bref

∗ Borne supérieure

∗ Axiome de la borne supérieure

∗ Applications à l’étude des limites de suites

Droite réelle achevée

Définition

R:=R∪ {−∞} ∪ {∞}=« la droite réelle achevée »

Ordre, opérations dansR

(liste non exhaustive)

∗ −∞ ≤x ≤ ∞,∀x ∈R

∗ ±∞ ∓ ∞,±∞/± ∞et 0· ±∞n’ont pas de sens (opérations « illicites »)

∗ x · ∞=

(∞, six >0

−∞, six <0

Définition

SoitA⊂R

∗ M ∈Rest unmajorantdeAsi

M ≥x, ∀x ∈A

∗ m ∈Rest unminorantdeAsi

m ≤x, ∀x ∈A

∗ Une partie A⊂Ra toujours un majorant (∞) et en a, en général, plusieurs

∗ Aestmajorées’il existe un majorantréeldeA:∃M ∈R tel queM ≥x,∀x ∈A. (Notion analogue :minorée)

∗ Par exemple, siA=]0,1[, alors 1,2,3, . . ., sont des majorants de A.]0,1[est majoré

∗ Intuitivement, 1 est un majorant spécial de cetA, au sens où il semble être le plus petit de tous les majorants possibles

Définition

SoitA⊂R

∗ M ∈Rest lesupremumou laborne supérieuredeA(et on écritM =supA) siM est le plus petit majorant de A, càd

M majorant deAet :∀M⁰ majorant deA,M ≤M⁰

∗ m ∈Rest l’infimumou laborne inférieuredeA(et on écritm =infA) simest le plus grand minorant deA, càd

m minorant deAet :∀m⁰ minorant deA,m≥m⁰

∗ Par contraposée de la définition du supA: siM =supA et siM⁰ <M, alorsM⁰ n’est pas majorant deA

∗ Càd : il existex ∈Atel quex >M⁰

Axiome de la borne supérieure

Toute partie non videA⊂Rpossède (exactement) une borne supérieureM =supA∈R

Si, de plusA⊂RetAest majorée, alors supAest un réel

Preuve de l’unicité.

SiM1 etM2sont des sup deA, alors :M1 majorant deA, d’oùM2 ≤M1. De même,M1 ≤M2. D’oùM1=M2

Exercice

SiA⊂Rnon vide, alors Aadmet exactement un inf. Plus précisément, infA=−sup(−A)

Solution.

SoientB :=−AetM =supB [But :−M =infA]

∗ On aM ≥b,∀b∈B, cadM ≥ −a,∀a∈A, d’où

−M ≤a,∀a∈A

∗ Sim⁰ ≤a,∀a∈A, alors−m⁰ ≥ −a,∀a∈A, càd

−m⁰ ≥b,∀b∈B, d’où−m⁰ ≥M, ou encorem⁰ ≤ −M

∗ Donc−M est (l’unique) infA

Exercice

SiA⊂B, alors supA≤supB

Solution.

SoitM :=supB. AlorsM majorant deB =⇒M majorant deA =⇒M ≥supA, càd supB ≥supA

Exercice

On a sup[0,1] =1

Solution.

∗ SoitM :=sup[0,1]. AlorsM ≥1 (car 1∈[0,1])

∗ Par ailleurs, 1 majorant de[0,1], d’oùM ≤1

∗ D’où sup[0,1] =1

Exercice

On a supN=∞(évident ?)

Solution.

∗ On aM :=supN≥0, d’où supN∈[0,∞]

∗ Si (par l’absurde)M <∞, alorsM−1<M

∗ D’oùM−1 n’est pas majorant de N

∗ D’où∃n∈Ntel quen>M−1

∗ D’oùn+1∈Netn+1>M

∗ DoncM =∞

∗ Au passage : siM⁰ <∞, alorsM⁰ <supN, et donc il existe n0∈Ntel quen0>M⁰

∗ Nous verrons plus tard que ceci implique lim

n→∞n=∞ (évident ?)

∗ On se donneε >0. En prenantM⁰ := 1

ε, il existen0 ∈N tel quen0> 1

ε, d’où il existen0∈Ntel que 1 n0

< ε

∗ Nous verrons plus tard que ceci implique lim

n→∞

1 n =0 (évident ?)

Limites de suites

Soient(xn)⊂Retl ∈R. Nous allons donner un sens à

n→∞lim xn=l (ouxn →l quandn→ ∞)

Définition

∗ Sil ∈R, alorsxn →l ⇐⇒ ∀ε >0,∃n0∈Ntel que

|x_n−l|< ε,∀n≥n0

∗ xn → ∞ ⇐⇒ ∀M ∈R,∃n0∈Ntel quexn>M,

∀n≥n0

∗ xn → −∞ ⇐⇒ ∀M ∈R,∃n0∈Ntel quexn<M,

∀n≥n0

Remarque

L’inégalité|xn−l|< εest équivalente à

l−ε <xn<l +ε

Exercice

On a lim

n→∞n=∞

Solution.

∗ On posexn :=n

∗ SoitM ∈R. Déjà vu :∃n0∈Ntel quen0>m

∗ Alorsxn =n ≥n0 >M,∀n≥n0

∗ D’oùxn >M,∀n≥n0

Exercice

On a lim

n→∞

1 n =0

Solution.

∗ On posexn := 1 n

∗ Soitε >0. Déjà vu :∃n0∈Ntel que 1

n0

< ε

∗ Alors 0<xn= 1 n ≤ 1

n0

< ε,∀n ≥n0

∗ D’où|x_n−0|< ε,∀n ≥n0

Exercice (Enlever des termes ne change pas la limite)

Si la suite(xn)n≥0 a la limitel, il en est de même pour la suite(xn)n≥k

Solution.

∗ Cas à étudier :l =−∞,l =∞,l ∈R

∗ On étudie le cas oùl ∈R

∗ Soitε >0. Soitn0tel que|x_n−l|< ε,∀n≥n0

∗ Soitn1:=max(n0,k)

∗ Alors|x_n−l|< ε,∀n≥k tel quen≥n1

Théorème

Une suite croissante(xn)⊂Ra comme limite sup{xn; n∈N}

Enoncé analogue pour une suite décroissante

Démonstration.

∗ SoientA:={xn; n∈N}etl :=supA. On doit mq xn →l

∗ 3 cas à distinguer :l =−∞,l =∞,l ∈R

∗ On examine le cas oùl ∈R

∗ Soitε >0. Alorsl−ε <l, d’oùl −εn’est pas majorant

deA:∃n0tqxn0 >l −ε

∗ D’oùl −ε <xn₀ ≤xn ≤l,∀n ≥n0

∗ D’où|xn−l|< ε,∀n≥n0

Corollaire

Sixn %l, alorsxn ≤l,∀n Enoncé analogue sixn &l

Corollaire (Recherche du sup à l’aide des suites)

SoientA⊂RetM ∈R. Si

∗ M majorant deA

∗ ∃(xn)⊂Atqxn %M alorsM =supA

Enoncé analogue pour l’inf

Démonstration.

∗ SoientB :={xn; n∈N}etN :=supA

∗ On aM ≥N

∗ On aB ⊂A, d’où supB≤supA

∗ Or, supB = lim

n→∞xn=M, d’oùM ≤N

∗ D’oùM =N

Exemple

On a inf]0,1[=0

Solution.

∗ SoientA:=]0,1[ etxn = 1

n,n ≥2

∗ 0 est minorant de A

∗ On a(xn)_n≥2⊂A,(xn)_n≥2 décroissante, etxn→0

Le résultat suivant est plus général que le corollaire, et sera admis

Proposition

SoientA⊂RetM ∈R. AlorsM =supA ⇐⇒ [M majorant deAet∃(xn)⊂Atqxn→M]

Remarque

En particulier, la suite(xn)n’est pas supposée monotone

Limites et inégalités

Proposition (Les inégalités larges passent à la limite)

Sixn →l etxn ≥a,∀n, alorsl ≥a Ou encore :[xn ≥a,∀n] =⇒ lim

n→∞xn≥a Enoncé analogue pour «≤»

Mais pas pour «>» ou «<»

Plus généralement : sixn→l,yn→Letxn ≥yn, alors l ≥L

Démonstration.

Montrons par exemple le dernier résultat

∗ 9 cas à considérer, en combinant les 3 possibilités (−∞,∞et réel) pourl etL

∗ Considérons le cas où l,L∈R

∗ Par l’absurde :l <L

∗ Soitε:= L−l

2 , de sorte quel +ε =L−ε

∗ Soientn0,n1 tq|x_n−l|< ε,∀n ≥n0, et|y_n−L|< ε,

∀n≥n1

∗ Soitn:=max(n0,n1)

∗ Alorsxn <l +ε =L−ε <yn

Limites et opérations

Résultat provisoirement admis

Proposition (Enoncé vague)

Les limites des suites commutent avec les opérations licites

Exemple

Sixn →l etyn →L, alors(xn+yn)→l+Lsil+Lest licite Càd, sauf dans les cas exceptionnelsl+L=±∞ ∓ ∞

Exercice

Etudier le comportement de la suite(xn)n≥0 donnée par x0 ∈Ret la récurrencexn+1= (xn)²+1,∀n≥0

Solution.

∗ Monotonie ?

xn+1?xn ⇐⇒ (xn)²+1?xn ⇐⇒ (xn)²−xn+1?0

∗ On ax²−x +1>0,∀x ∈R, d’où « ? »=«>». Donc suite (strictement) croissante

∗ Soitl := lim

n→∞xn

∗ On al ≥x0, d’oùl ∈R∪ {∞}

∗ On axn+1= (xn)²+1 =⇒ l =l²+1 (tout est licite !)

∗ D’oùl =∞

∗ Conclusion :xn% ∞

Suites adjacentes

Définition

Deux suites(xn),(yn)⊂Rsont adjacentes si :

∗ xn %

∗ yn &

∗ yn−xn→0

Suites adjacentes

Théorème (des suites adjacentes)

Si(xn),(yn)sont adjacentes, alors(xn)et(yn)convergent vers la même limite (finie)

Solution.

∗ Commeyn−xn &0, on ayn−xn ≥0

∗ Soientl := lim

n→∞xn etL:= lim

n→∞yn

∗ Commexn ≥x0, nous avonsl ≥x0>−∞. De même, L<∞

∗ On obtient quel−La un sens

∗ Commeyn−xn →0, on obtientL=l ∈R

Exercice

Soitzn :=1− 1 2 +1

3 − 1

4 +. . .+ (−1)ⁿ⁺¹1

n,∀n≥1 On posexn :=z2n etyn :=z2n−1,∀n≥1

Montrer que les suites(xn)_n≥1et(yn)_n≥1convergent vers la même limite

Remarque

La suite(zn)n≥1 se « casse » donc en deux parties convergeant vers la même limitel ∈R

Nous verrons plus tard que ceci impliquezn→l (principe du « recollement » des morceaux)

Solution.

∗ On ayn−xn= 1 2n →0

∗ On axn+1−xn = 1

2n+1 − 1

2n+2 >0

∗ De même, yn+1−yn= 1

2n+1− 1 2n <0

Travail individuel

Exercice (Décaler une suite ne change pas la limite, et variations)

Si la suite(xn)n≥0 a la limitel, il en est de même pour la suite(xn+j)n≥0,∀j ∈N

Même conclusion pour(xkn+j)_n≥0, aveck ∈N^∗ etj ∈N

Travail individuel

∗ Refaire les preuves portant surM =supAetm=infA quandM =∞oum=−∞

∗ Refaire les preuves portant surl = lim

n→∞xn quand l =−∞oul =∞

∗ Approfondissement : caractérisation du sup à l’aide des suites (sans supposer la monotonie). Notes de cours, Prop. 3.3, p. 25, et Prop. 6.18, p. 49

Travail individuel

∗ Opérations avec les limites des suites. Notes de cours, Prop. 5.1–5.6, pp. 35–37

∗ Approfondissement : preuve de la Prop. 5.3, p. 36

∗ Les inégalités passent à la limite : Prop. 5.8–5.10, p. 38

∗ Unicité de la limite : la limite d’une suite, si elle existe, est unique : Exo 3.14, p. 27