EXERCICE 1 : Etude de la réponse fréquentielle d’un filtre

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PT Lycée Benjamin Franklin le 07 Octobre 2020

DS 1 : Electronique et chimie des solutions aqueuses

(calculettes interdites)

EXERCICE 1 : Etude de la réponse fréquentielle d’un filtre

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III. Étude d’un filtre

Soit le filtre suivant, constitué de deux résistors identiques de résistance R et de deux bobines idéales identiques d’inductance L. La tension d’alimentation et la tension de sortie de ce quadripôle s’écrivent respectivement : u_e = U_e_,m cos t et u_s = U_s_,m cos ( t + ) (figure B.3).

L L u_s

u_e u'

R R

Figure B.3

1. En dessinant un schéma équivalent en basse fréquence (f 0), puis en haute fréquence (f + ), déterminer, sans calcul, la nature (ou le type) de ce filtre. En déduire la nature des signaux que ce quadripôle laisse « passer ».

La réponse proposée à la question § B.I.1. peut être utilisée pour résoudre la question suivante (§ B.III.2.).

2. Exprimer, d’une part, la tension de sortie complexe us en fonction des grandeurs u’, R et ZL

(impédance complexe de la bobine), puis, d’autre part, la tension complexe u’ en fonction des grandeurs R, u_e et ZL.

3. Il est rappelé que l’impédance complexe de la bobine s’écrit ZL = jL . Écrire la fonction de transfert H =

e s

u

u de ce filtre sous la forme H(j ) =

C j B

A , avec A, B et C constantes réelles,

puis sous la forme H(jx) =

x j x

x 3

1 ²

2

, avec x pulsation réduite : x =

o

.

4. En déduire l’expression de o en fonction de R et L et la valeur numérique du gain maximal Gmax.

5. Donner les expressions, voire les valeurs numériques approchées le cas échéant, du gain, en décibels, GdB = 20 log H(jx) pour x 0, x = 1 et x + . Rassembler ces résultats dans le tableau ci-dessous (tableau à recopier) :

Valeurs de x x 0 x = 1 x +

G_dB (décibels)

6. En déduire le diagramme de Bode asymptotique GdB = f(log x) de ce filtre. Esquisser, sur ce graphe, l’allure de la courbe réelle correspondante.

7. Application numérique : L = 1,40 × 10 ³ H ; f_c = 1,50 × 10⁴ Hz.

La valeur numérique de la pulsation réduite de coupure est établie par le calcul : xc = 2,67.

Calculer la résistance R des résistors à utiliser pour fabriquer le filtre.

Fin de l’énoncé Aide numérique : 20.log(3)=9,5

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EXERCICE 2 : Générateur d’un signal de balayage de plage de tension

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PARTIE C : L’ELECTRONIQUE AU SERVICE DU MICROSCOPE (20% du barème environ)

Le microscope électronique nécessite un générateur de balayage qui commande le déflecteur électromagnétique, et qui sert également à synchroniser l’affichage de l’image sur un écran cathodique. Par ailleurs, on utilise souvent un capteur C.C.D. pour transformer un signal lumineux en signal électrique.

Dans cette partie, aucune connaissance préalable sur les diodes ou photodiodes n’est nécessaire.

C.1 Générateur de balayage

Le générateur de balayage délivre un signal en rampes. On propose le montage de la figure 10 suivante pour la réalisation de ce signal.

Les amplificateurs linéaires intégrés (A.L.I.) sont supposés idéaux. Ils sont alimentés par des tensions continues ±V₀ avec V0=15 V, et on suppose que leur tension de saturation est : Vsat=V0.

Les diodes D1 et D2 sont des interrupteurs commandés par la tension ve : Si v_e >0 D1 est fermé et D2 est ouvert.

Si v_e <0 D1 est ouvert et D2 est fermé.

C.1.1 Quelles sont les propriétés d’un A.L.I. idéal ?

C.1.2 Justifier que l’un des deux A.L.I. fonctionne nécessairement en régime de saturation.

C.1.3 On observe expérimentalement, pour la tension u(t), l’oscillogramme de la figure 11 ci- contre.

Echelle horizontale : 1 ms/division Echelle verticale : 1 V/division

Justifier que l’autre A.L.I. fonctionne en régime linéaire.

C

+ - R₁

e u v

v s R

+ -

R 3

4 A.L.I. 1

A.L.I. 2 R2 D2

D1

Figure 10

Figure 11

9 Tournez la page S.V.P.

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EXERCICE 3 : Oscillateur à pont de Wien

PHYSIQUE I

Concours Centrale-Supélec 2000 1/8

PHYSIQUE I Filière TSI

À propos de l’oscillateur à pont de Wien…

Les amplificateurs opérationnels (notés par la suite) utilisés dans ce pro- blème sont identiques et supposés idéaux. La tension de saturation en sortie de ces est notée et on suppose que, dans tous les montages proposés, la saturation en courant n’est jamais atteinte. Toutes les valeurs numériques uti-

les sont regroupées ci-après : , , , ,

, , .

Cet énoncé propose plusieurs graphes dont les échelles sont :

• Échelle des abscisses : en secondes .

• Échelle des ordonnées des graphes 4, 5 et 6 : ou en volts .

Partie I - Préliminaire

On considère une fonction du temps , , solution de l’équation différentielle :

et désignent des coefficients réels et constants, est positif.

I.A - Quelles sont les dimensions de et . Jus- tifier brièvement votre réponse.

I.B - Le graphe 1 repré- sente la fonction en Volt pour un couple de valeurs de et de .

I.B.1) Caractériser briè- vement l’allure de la

courbe. Quel est le signe de ? Quel est le signe du discriminant associé à A.O.

A.O. V_sat

V_sat = 14 V C = 100 nF R = 10 kΩ R₂ = 600 Ω r = 100 kΩ R₀ = 200 Ω V_p = 3 V

t ( )s

V₁ V₂ ( )V

t V t( )

10

5

0

-5

-10

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

t(s)

V^{V en Volt} Graphe 1

d²V dt²

--- bωdV

---dt ω²V

+ + = 0

b ω

ω

b ω

V t( )

b ω

b

Filière TSI

l’équation différentielle ci-dessus ? Que peut-on dire de la valeur de à l’instant initial ? Justifier brièvement vos réponses.

I.B.2) En mesurant directement sur le graphe 1 les amplitudes et la pseudo- période des oscillations, expliquer pourquoi on peut négliger devant l’unité et en déduire les valeurs numériques approximatives des coefficients et .

I.C - Le graphe 2 représente la fonction en Volt pour une seconde valeur du coefficient ( n’ayant pas été modifié). Caractériser brièvement l’allure de la courbe. Quel est le signe de ? Quel est le signe du discriminant associé à l’équation différentielle ? Que peut-on dire de la valeur de à l’instant initial ? Justifier brièvement vos réponses

I.D - Reprendre la question I.C) dans le cas du graphe 3 où l’on a donné au coef- ficient une troisième valeur ( n’ayant pas été modifié).

Partie II - Montage de base

II.A -

II.A.1) Dans le montage amplificateur (A) de la figure 1, montrer que, lorsque l’ fonctionne en régime linéaire, on peut écrire et exprimer le gain de l’amplificateur (A) en fonction de et .

V

b²

b ω

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.0005 0.001 0.0015 0.002 V

t (s)

Graphe 2

début de la courbe

V en Volt

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0.005 0.01 0.015 0.02

t (s) V

Graphe 3

début de la courbe

V en Volt

V t( ) b ω

b

V

b ω

A.O. V₂ = GV₁

G R₁ R₂

II.A.2) Dans quel domaine de tensions peut-il varier sans provoquer la saturation de l’ . On définira ainsi une valeur critique de la tension d’entrée que l’on exprimera en fonction de et .

II.A.3) Tracer la courbe représentant en fonction de pour variant

de à .

II.B - On considère le « filtre de Wien » représenté figure 2 et on suppose qu’aucun courant ne sorte de ce filtre . Les équations demandées dans les questions qui suivent seront établies directement sans passer par la notation complexe.

II.B.1) Exprimer le courant d’entrée en fonction de , , de et de la

dérivée .

II.B.2) Montrer que les tensions d’entrée et de sortie sont liées par l’équation différentielle :

Exprimer le coefficient en fonction de et et déterminer la valeur numé- rique du paramètre , valeur que l’on utilisera ultérieurement.

II.C - On relie l’amplificateur (A) et le filtre suivant le schéma de la figure 3.

V₁

A.O. V₁_C

V_sat G

V₂ V₁ V₁

–V_sat +V_sat + ∞ –

V₂ V₁

V₃ V₄

i₃

R C

C R

i₄ = 0

R₂ R₁

Figure 1 : Amplificateur (A) Figure 2 : filtre de Wien( )W ( )W

i₄ = 0

( )

i₃ R C V₄

dV₄⁄dt

V₃ V₄

d²V₄ dt²

--- aω₀dV₄

---dt ω₀²V₄

+ + ω₀dV₃

---dt

=

ω₀ R C

a

+ ∞ –

V₂ V₁

R C

C R

R₂ R₁

Figure 3 : oscillateur à pont de Wien ( )W

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II.A.2) Dans quel domaine de tensions peut-il varier sans provoquer la saturation de l’ . On définira ainsi une valeur critique de la tension d’entrée que l’on exprimera en fonction de et .

II.A.3) Tracer la courbe représentant en fonction de pour variant

de à .

II.B - On considère le « filtre de Wien »

représenté figure 2 et on suppose qu’aucun courant ne sorte de ce filtre . Les équations demandées dans les questions qui suivent seront établies directement sans passer par la notation complexe.

II.B.1) Exprimer le courant d’entrée en fonction de , , de et de la

dérivée .

II.B.2) Montrer que les tensions d’entrée et de sortie sont liées par l’équation différentielle :

Exprimer le coefficient en fonction de et et déterminer la valeur numé- rique du paramètre , valeur que l’on utilisera ultérieurement.

II.C - On

relie l’ampli- ficateur (A) et le filtre suivant le schéma de la figure 3.

V₁

A.O. V_1C

V_sat G

V₂ V₁ V₁

–V_sat +V_sat + ∞ –

V₂ V₁

V₃ V₄

i₃

R

C

C R

i₄ = 0

R₂ R₁

Figure 1 : Amplificateur (A) Figure 2 : filtre de Wien

( )W ( )W

i₄=0

( )

i₃ R C V₄

dV₄⁄dt

V₃ V₄

d²V₄ dt²

--- aω₀dV₄

---dt ω₀²V₄

+ + ω₀dV₃

---dt

=

ω₀ R C

a

+ ∞ –

V₂ V₁

R C

C R

R₂ R₁

Figure 3 : oscillateur à pont de Wien

( )W

II.C.1) Montrer que l’on peut utiliser l’équation obtenue à la question II.B.2.

II.C.2) Montrer que la tension est régie par le système d’équations diffé- rentielles

si

Exprimer le coefficient en fonction du gain de l’amplificateur (A) et déter- miner la valeur numérique du coefficient .

II.C.3) Montrer que la tension et sa dérivée sont nécessairement des fonctions continues du temps.

II.C.4) Quelle valeur minimale doit-on donner au gain pour faire fonc- tionner l’oscillateur ? Pourquoi ? Dans toute la suite de ce problème, on suppo- sera évidemment .

II.D - Première simulation : on donne à la valeur

et on observe la tension représentée sur le graphe 4.

II.D.1) En vous aidant des résultats établis lors de la partie I (Préliminaire), commenter de manière précise et claire la forme du graphe. On distingue en particulier deux régimes successifs : un régime transitoire où l’amplitude des oscillations augmente et un régime établi où l’amplitude des oscillations reste constante ; expliquer pourquoi il en est ainsi.

II.D.2) Tracer, en conservant

approximativement comme échelle des temps celle du graphe 4, l’allure de la tension en fonction du temps .

II.D.3) On se place en régime établi. Mesurer la période des oscillations, en déduire la valeur numérique de la pulsation correspondante et comparer celle- ci à la valeur numérique de . Commenter brièvement.

V₁ d²V₁

dt²

--- b₁ω₀dV₁

---dt ω₀²V₁

+ + = 0 V₁ ≤V_1C

d²V₁ dt²

--- b₂ω₀dV₁

---dt ω₀²V₁

+ + = 0 V₁ >V_1C

b₁ G

b₂

V₁ dV₁⁄dt

G₀ G

G G> ₀

-4 -2 0 2 4

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

t (s)

V1 (V) Graphe 4

G G₁ = 3 1, V₁

V₂ t

ω₀

(5)

EXERCICE 4 : Chimie des solutions aqueuses

→

Déterminer le volume versé Ve à l’équivalence

de la page suivante en surimpression pointillée

(6)

∆

∆∆

∆